Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - alglin2.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.18.1 lcov report (development 30005-fc14bb602a) Lines: 1066 1175 90.7 %
Date: 2025-02-18 09:22:46 Functions: 87 93 93.5 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                         LINEAR ALGEBRA                         **/
      18             : /**                         (second part)                          **/
      19             : /**                                                                **/
      20             : /********************************************************************/
      21             : #include "pari.h"
      22             : #include "paripriv.h"
      23             : 
      24             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_mat
      25             : 
      26             : /*******************************************************************/
      27             : /*                                                                 */
      28             : /*                   CHARACTERISTIC POLYNOMIAL                     */
      29             : /*                                                                 */
      30             : /*******************************************************************/
      31             : 
      32             : static GEN
      33       34954 : Flm_charpoly_i(GEN x, ulong p)
      34             : {
      35       34954 :   long lx = lg(x), r, i;
      36       34954 :   GEN H, y = cgetg(lx+1, t_VEC);
      37       34954 :   gel(y,1) = pol1_Flx(0); H = Flm_hess(x, p);
      38      261567 :   for (r = 1; r < lx; r++)
      39             :   {
      40      226613 :     pari_sp av2 = avma;
      41      226613 :     ulong a = 1;
      42      226613 :     GEN z, b = zero_Flx(0);
      43      679858 :     for (i = r-1; i; i--)
      44             :     {
      45      569506 :       a = Fl_mul(a, ucoeff(H,i+1,i), p);
      46      569468 :       if (!a) break;
      47      453218 :       b = Flx_add(b, Flx_Fl_mul(gel(y,i), Fl_mul(a,ucoeff(H,i,r),p), p), p);
      48             :     }
      49      226610 :     z = Flx_sub(Flx_shift(gel(y,r), 1),
      50      226602 :                 Flx_Fl_mul(gel(y,r), ucoeff(H,r,r), p), p);
      51             :     /* (X - H[r,r])y[r] - b */
      52      226607 :     gel(y,r+1) = gerepileuptoleaf(av2, Flx_sub(z, b, p));
      53             :   }
      54       34954 :   return gel(y,lx);
      55             : }
      56             : 
      57             : GEN
      58        2157 : Flm_charpoly(GEN x, ulong p)
      59             : {
      60        2157 :   pari_sp av = avma;
      61        2157 :   return gerepileuptoleaf(av, Flm_charpoly_i(x,p));
      62             : }
      63             : 
      64             : GEN
      65       29984 : FpM_charpoly(GEN x, GEN p)
      66             : {
      67       29984 :   pari_sp av = avma;
      68             :   long lx, r, i;
      69             :   GEN y, H;
      70             : 
      71       29984 :   if (lgefint(p) == 3)
      72             :   {
      73       29198 :     ulong pp = p[2];
      74       29198 :     y = Flx_to_ZX(Flm_charpoly_i(ZM_to_Flm(x,pp), pp));
      75       29198 :     return gerepileupto(av, y);
      76             :   }
      77         786 :   lx = lg(x); y = cgetg(lx+1, t_VEC);
      78         786 :   gel(y,1) = pol_1(0); H = FpM_hess(x, p);
      79        4155 :   for (r = 1; r < lx; r++)
      80             :   {
      81        4155 :     pari_sp av2 = avma;
      82        4155 :     GEN z, a = gen_1, b = pol_0(0);
      83        9378 :     for (i = r-1; i; i--)
      84             :     {
      85        7065 :       a = Fp_mul(a, gcoeff(H,i+1,i), p);
      86        7065 :       if (!signe(a)) break;
      87        5223 :       b = ZX_add(b, ZX_Z_mul(gel(y,i), Fp_mul(a,gcoeff(H,i,r),p)));
      88             :     }
      89        4155 :     b = FpX_red(b, p);
      90        4155 :     z = FpX_sub(RgX_shift_shallow(gel(y,r), 1),
      91        4155 :                 FpX_Fp_mul(gel(y,r), gcoeff(H,r,r), p), p);
      92        4155 :     z = FpX_sub(z,b,p);
      93        4155 :     if (r+1 == lx) { gel(y,lx) = z; break; }
      94        3369 :     gel(y,r+1) = gerepileupto(av2, z); /* (X - H[r,r])y[r] - b */
      95             :   }
      96         786 :   return gerepileupto(av, gel(y,lx));
      97             : }
      98             : 
      99             : GEN
     100         553 : charpoly0(GEN x, long v, long flag)
     101             : {
     102         553 :   if (v<0) v = 0;
     103         553 :   switch(flag)
     104             :   {
     105          14 :     case 0: return caradj(x,v,NULL);
     106          14 :     case 1: return caract(x,v);
     107          14 :     case 2: return carhess(x,v);
     108          14 :     case 3: return carberkowitz(x,v);
     109           7 :     case 4:
     110           7 :       if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("charpoly",x);
     111           7 :       RgM_check_ZM(x, "charpoly");
     112           7 :       x = ZM_charpoly(x); setvarn(x, v); return x;
     113         490 :     case 5:
     114         490 :       return charpoly(x, v);
     115             :   }
     116           0 :   pari_err_FLAG("charpoly");
     117             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     118             : }
     119             : 
     120             : /* (v - x)^d */
     121             : static GEN
     122          42 : caract_const(pari_sp av, GEN x, long v, long d)
     123          42 : { return gerepileupto(av, gpowgs(deg1pol_shallow(gen_1, gneg_i(x), v), d)); }
     124             : 
     125             : /* characteristic pol. Easy cases. Return NULL in case it's not so easy. */
     126             : static GEN
     127        5898 : easychar(GEN x, long v)
     128             : {
     129             :   pari_sp av;
     130             :   long lx;
     131             :   GEN p1;
     132             : 
     133        5898 :   switch(typ(x))
     134             :   {
     135          35 :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD:
     136             :     case t_FRAC: case t_PADIC:
     137          35 :       p1=cgetg(4,t_POL);
     138          35 :       p1[1]=evalsigne(1) | evalvarn(v);
     139          35 :       gel(p1,2) = gneg(x); gel(p1,3) = gen_1;
     140          35 :       return p1;
     141             : 
     142          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD:
     143          14 :       p1 = cgetg(5,t_POL);
     144          14 :       p1[1] = evalsigne(1) | evalvarn(v);
     145          14 :       gel(p1,2) = gnorm(x); av = avma;
     146          14 :       gel(p1,3) = gerepileupto(av, gneg(gtrace(x)));
     147          14 :       gel(p1,4) = gen_1; return p1;
     148             : 
     149          28 :     case t_FFELT: {
     150          28 :       pari_sp ltop=avma;
     151          28 :       p1 = FpX_to_mod(FF_charpoly(x), FF_p_i(x));
     152          28 :       setvarn(p1,v); return gerepileupto(ltop,p1);
     153             :     }
     154             : 
     155         133 :     case t_POLMOD:
     156             :     {
     157         133 :       GEN A = gel(x,2), T = gel(x,1);
     158             :       long vx, vp;
     159         133 :       if (typ(A) != t_POL) return caract_const(avma, A, v, degpol(T));
     160          98 :       vx = varn(A);
     161          98 :       vp = varn(T);
     162          98 :       if (varncmp(vx, vp) > 0) return caract_const(avma, A, v, degpol(T));
     163          91 :       if (varncmp(vx, vp) < 0) pari_err_PRIORITY("charpoly", x, "<", vp);
     164          91 :       return RgXQ_charpoly(A, T, v);
     165             :     }
     166        5688 :     case t_MAT:
     167        5688 :       lx=lg(x);
     168        5688 :       if (lx==1) return pol_1(v);
     169        5632 :       if (lgcols(x) != lx) break;
     170        5625 :       return NULL;
     171             :   }
     172           7 :   pari_err_TYPE("easychar",x);
     173             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     174             : }
     175             : /* compute charpoly by mapping to Fp first, return lift to Z */
     176             : static GEN
     177          35 : RgM_Fp_charpoly(GEN x, GEN p, long v)
     178             : {
     179             :   GEN T;
     180          35 :   if (lgefint(p) == 3)
     181             :   {
     182          21 :     ulong pp = itou(p);
     183          21 :     T = Flm_charpoly_i(RgM_to_Flm(x, pp), pp);
     184          21 :     T = Flx_to_ZX(T);
     185             :   }
     186             :   else
     187          14 :     T = FpM_charpoly(RgM_to_FpM(x, p), p);
     188          35 :   setvarn(T, v); return T;
     189             : }
     190             : GEN
     191        3833 : charpoly(GEN x, long v)
     192             : {
     193        3833 :   GEN T, p = NULL;
     194             :   long prec;
     195        3833 :   if ((T = easychar(x,v))) return T;
     196        3602 :   switch(RgM_type(x, &p,&T,&prec))
     197             :   {
     198        2391 :     case t_INT:
     199        2391 :       T = ZM_charpoly(x); setvarn(T, v); break;
     200          35 :     case t_INTMOD:
     201          35 :       if (!BPSW_psp(p)) T = carberkowitz(x, v);
     202             :       else
     203             :       {
     204          35 :         pari_sp av = avma;
     205          35 :         T = RgM_Fp_charpoly(x,p,v);
     206          35 :         T = gerepileupto(av, FpX_to_mod(T,p));
     207             :       }
     208          35 :       break;
     209         147 :     case t_REAL:
     210             :     case t_COMPLEX:
     211             :     case t_PADIC:
     212         147 :       T = carhess(x, v);
     213         147 :       break;
     214        1029 :     default:
     215        1029 :       T = carberkowitz(x, v);
     216             :   }
     217        3602 :   return T;
     218             : }
     219             : 
     220             : /* p a t_POL in fetch_var_higher(); return p(pol_x(v)) and delete variable */
     221             : static GEN
     222        1953 : fix_pol(pari_sp av, GEN p, long v)
     223             : {
     224        1953 :   long w = gvar2(p);
     225        1953 :   if (w != NO_VARIABLE && varncmp(w, v) <= 0)
     226          56 :     p = poleval(p, pol_x(v));
     227             :   else
     228        1897 :     setvarn(p, v);
     229        1953 :   (void)delete_var(); return gerepileupto(av, p);
     230             : }
     231             : /* characteristic polynomial of 1x1 matrix */
     232             : static GEN
     233           7 : RgM1_char(GEN x, long v)
     234             : {
     235           7 :   pari_sp av = avma;
     236           7 :   return gerepileupto(av, gsub(pol_x(v), gcoeff(x,1,1)));
     237             : }
     238             : GEN
     239          14 : caract(GEN x, long v)
     240             : {
     241          14 :   pari_sp av = avma;
     242             :   GEN  T, C, x_k, Q;
     243             :   long k, n, w;
     244             : 
     245          14 :   if ((T = easychar(x,v))) return T;
     246             : 
     247          14 :   n = lg(x)-1;
     248          14 :   if (n == 1) return RgM1_char(x, v);
     249             : 
     250          14 :   w = fetch_var_higher();
     251          14 :   x_k = pol_x(w); /* to be modified in place */
     252          14 :   T = scalarpol(det(x), w); C = utoineg(n); Q = pol_x(w);
     253          28 :   for (k=1; k<=n; k++)
     254             :   {
     255          28 :     GEN mk = utoineg(k), d;
     256          28 :     gel(x_k,2) = mk;
     257          28 :     d = det(RgM_Rg_add_shallow(x, mk));
     258          28 :     T = RgX_add(RgX_mul(T, x_k), RgX_Rg_mul(Q, gmul(C, d)));
     259          28 :     if (k == n) break;
     260             : 
     261          14 :     Q = RgX_mul(Q, x_k);
     262          14 :     C = diviuexact(mulsi(k-n,C), k+1); /* (-1)^k binomial(n,k) */
     263             :   }
     264          14 :   return fix_pol(av, RgX_Rg_div(T, mpfact(n)), v);
     265             : }
     266             : 
     267             : /* C = charpoly(x, v) */
     268             : static GEN
     269          21 : RgM_adj_from_char(GEN x, long v, GEN C)
     270             : {
     271          21 :   if (varn(C) != v) /* problem with variable priorities */
     272             :   {
     273           7 :     C = gdiv(gsub(C, gsubst(C, v, gen_0)), pol_x(v));
     274           7 :     if (odd(lg(x))) C = RgX_neg(C); /* even dimension */
     275           7 :     return gsubst(C, v, x);
     276             :   }
     277             :   else
     278             :   {
     279          14 :     C = RgX_shift_shallow(C, -1);
     280          14 :     if (odd(lg(x))) C = RgX_neg(C); /* even dimension */
     281          14 :     return RgX_RgM_eval(C, x);
     282             :   }
     283             : }
     284             : /* assume x square matrice */
     285             : static GEN
     286        1967 : mattrace(GEN x)
     287             : {
     288        1967 :   long i, lx = lg(x);
     289             :   GEN t;
     290        1967 :   if (lx < 3) return lx == 1? gen_0: gcopy(gcoeff(x,1,1));
     291        1904 :   t = gcoeff(x,1,1);
     292        5271 :   for (i = 2; i < lx; i++) t = gadd(t, gcoeff(x,i,i));
     293        1904 :   return t;
     294             : }
     295             : static int
     296          56 : bad_char(GEN q, long n)
     297             : {
     298             :   forprime_t S;
     299             :   ulong p;
     300          56 :   if (!signe(q)) return 0;
     301          42 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, n);
     302          98 :   while ((p = u_forprime_next(&S)))
     303          70 :     if (!umodiu(q, p)) return 1;
     304          28 :   return 0;
     305             : }
     306             : /* Using traces: return the characteristic polynomial of x (in variable v).
     307             :  * If py != NULL, the adjoint matrix is put there. */
     308             : GEN
     309         119 : caradj(GEN x, long v, GEN *py)
     310             : {
     311             :   pari_sp av, av0;
     312             :   long i, k, n, w;
     313             :   GEN T, y, t;
     314             : 
     315         119 :   if ((T = easychar(x, v)))
     316             :   {
     317          42 :     if (py)
     318             :     {
     319          42 :       if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matadjoint",x);
     320          42 :       *py = cgetg(1,t_MAT);
     321             :     }
     322          42 :     return T;
     323             :   }
     324             : 
     325          77 :   n = lg(x)-1;
     326          77 :   if (n == 0) { if (py) *py = cgetg(1,t_MAT); return pol_1(v); }
     327          77 :   if (n == 1) { if (py) *py = matid(1); return RgM1_char(x, v); }
     328          70 :   av0 = avma; w = fetch_var_higher();
     329          70 :   T = cgetg(n+3,t_POL); T[1] = evalsigne(1) | evalvarn(w);
     330          70 :   gel(T,n+2) = gen_1;
     331          70 :   av = avma; t = gerepileupto(av, gneg(mattrace(x)));
     332          70 :   gel(T,n+1) = t;
     333          70 :   if (n == 2) {
     334          14 :     GEN a = gcoeff(x,1,1), b = gcoeff(x,1,2);
     335          14 :     GEN c = gcoeff(x,2,1), d = gcoeff(x,2,2);
     336          14 :     av = avma;
     337          14 :     gel(T,2) = gerepileupto(av, gsub(gmul(a,d), gmul(b,c)));
     338          14 :     T = fix_pol(av0, T, v);
     339          14 :     if (py) {
     340           7 :       y = cgetg(3, t_MAT);
     341           7 :       gel(y,1) = mkcol2(gcopy(d), gneg(c));
     342           7 :       gel(y,2) = mkcol2(gneg(b), gcopy(a));
     343           7 :       *py = y;
     344             :     }
     345          14 :     return T;
     346             :   }
     347             :   /* l > 3 */
     348          56 :   if (bad_char(residual_characteristic(x), n))
     349             :   { /* n! not invertible in base ring */
     350          14 :     (void)delete_var();
     351          14 :     T = charpoly(x, v);
     352          14 :     if (!py) return gerepileupto(av, T);
     353          14 :     *py = RgM_adj_from_char(x, v, T); return gc_all(av, 2, &T,py);
     354             :   }
     355          42 :   av = avma; y = RgM_shallowcopy(x);
     356         175 :   for (i = 1; i <= n; i++) gcoeff(y,i,i) = gadd(gcoeff(y,i,i), t);
     357          91 :   for (k = 2; k < n; k++)
     358             :   {
     359          49 :     GEN y0 = y;
     360          49 :     y = RgM_mul(y, x);
     361          49 :     t = gdivgs(mattrace(y), -k);
     362         210 :     for (i = 1; i <= n; i++) gcoeff(y,i,i) = gadd(gcoeff(y,i,i), t);
     363          49 :     y = gclone(y);
     364          49 :     gel(T,n-k+2) = gerepilecopy(av, t); av = avma;
     365          49 :     if (k > 2) gunclone(y0);
     366             :   }
     367          42 :   t = gmul(gcoeff(x,1,1),gcoeff(y,1,1));
     368         133 :   for (i=2; i<=n; i++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,1,i),gcoeff(y,i,1)));
     369          42 :   gel(T,2) = gerepileupto(av, gneg(t));
     370          42 :   T = fix_pol(av0, T, v);
     371          42 :   if (py) *py = odd(n)? gcopy(y): RgM_neg(y);
     372          42 :   gunclone(y); return T;
     373             : }
     374             : 
     375             : GEN
     376         105 : adj(GEN x)
     377             : {
     378             :   GEN y;
     379         105 :   (void)caradj(x, fetch_var(), &y);
     380         105 :   (void)delete_var(); return y;
     381             : }
     382             : 
     383             : GEN
     384           7 : adjsafe(GEN x)
     385             : {
     386           7 :   const long v = fetch_var();
     387           7 :   pari_sp av = avma;
     388             :   GEN C, A;
     389           7 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matadjoint",x);
     390           7 :   if (lg(x) < 3) return gcopy(x);
     391           7 :   C = charpoly(x,v);
     392           7 :   A = RgM_adj_from_char(x, v, C);
     393           7 :   (void)delete_var(); return gerepileupto(av, A);
     394             : }
     395             : 
     396             : GEN
     397         112 : matadjoint0(GEN x, long flag)
     398             : {
     399         112 :   switch(flag)
     400             :   {
     401         105 :     case 0: return adj(x);
     402           7 :     case 1: return adjsafe(x);
     403             :   }
     404           0 :   pari_err_FLAG("matadjoint");
     405             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     406             : }
     407             : 
     408             : /*******************************************************************/
     409             : /*                                                                 */
     410             : /*                       Frobenius form                            */
     411             : /*                                                                 */
     412             : /*******************************************************************/
     413             : 
     414             : /* The following section implement a mix of Ozello and Storjohann algorithms
     415             : 
     416             : P. Ozello, doctoral thesis (in French):
     417             : Calcul exact des formes de Jordan et de Frobenius d'une matrice, Chapitre 2
     418             : http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00323705
     419             : 
     420             : A. Storjohann,  Diss. ETH No. 13922
     421             : Algorithms for Matrix Canonical Forms, Chapter 9
     422             : https://cs.uwaterloo.ca/~astorjoh/diss2up.pdf
     423             : 
     424             : We use Storjohann Lemma 9.14 (step1, step2, step3) Ozello theorem 4,
     425             : and Storjohann Lemma 9.18
     426             : */
     427             : 
     428             : /* Elementary transforms */
     429             : 
     430             : /* M <- U^(-1) M U, U = E_{i,j}(k) => U^(-1) = E{i,j}(-k)
     431             :  * P = U * P */
     432             : static void
     433       15246 : transL(GEN M, GEN P, GEN k, long i, long j)
     434             : {
     435       15246 :   long l, n = lg(M)-1;
     436      183638 :   for(l=1; l<=n; l++) /* M[,j]-=k*M[,i] */
     437      168392 :     gcoeff(M,l,j) = gsub(gcoeff(M,l,j), gmul(gcoeff(M,l,i), k));
     438      183638 :   for(l=1; l<=n; l++) /* M[i,]+=k*M[j,] */
     439      168392 :     gcoeff(M,i,l) = gadd(gcoeff(M,i,l), gmul(gcoeff(M,j,l), k));
     440       15246 :   if (P)
     441      173663 :     for(l=1; l<=n; l++)
     442      159516 :       gcoeff(P,i,l) = gadd(gcoeff(P,i,l), gmul(gcoeff(P,j,l), k));
     443       15246 : }
     444             : 
     445             : /* j = a or b */
     446             : static void
     447        2842 : transD(GEN M, GEN P, long a, long b, long j)
     448             : {
     449             :   long l, n;
     450        2842 :   GEN k = gcoeff(M,a,b), ki;
     451             : 
     452        2842 :   if (gequal1(k)) return;
     453        1463 :   ki = ginv(k); n = lg(M)-1;
     454       14798 :   for(l=1; l<=n; l++)
     455       13335 :     if (l!=j)
     456             :     {
     457       11872 :       gcoeff(M,l,j) = gmul(gcoeff(M,l,j), k);
     458       11872 :       gcoeff(M,j,l) = (j==a && l==b)? gen_1: gmul(gcoeff(M,j,l), ki);
     459             :     }
     460        1463 :   if (P)
     461       12453 :     for(l=1; l<=n; l++)
     462       11263 :       gcoeff(P,j,l) = gmul(gcoeff(P,j,l), ki);
     463             : }
     464             : 
     465             : static void
     466         630 : transS(GEN M, GEN P, long i, long j)
     467             : {
     468         630 :   long l, n = lg(M)-1;
     469         630 :   swap(gel(M,i), gel(M,j));
     470        7931 :   for (l=1; l<=n; l++)
     471        7301 :     swap(gcoeff(M,i,l), gcoeff(M,j,l));
     472         630 :   if (P)
     473        6496 :     for (l=1; l<=n; l++)
     474        6027 :       swap(gcoeff(P,i,l), gcoeff(P,j,l));
     475         630 : }
     476             : 
     477             : /* Convert companion matrix to polynomial*/
     478             : static GEN
     479         504 : minpoly_polslice(GEN M, long i, long j, long v)
     480             : {
     481         504 :   long k, d = j+1-i;
     482         504 :   GEN P = cgetg(d+3,t_POL);
     483         504 :   P[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v);
     484        2387 :   for (k=0; k<d; k++)
     485        1883 :     gel(P,k+2) = gneg(gcoeff(M,i+k, j));
     486         504 :   gel(P,d+2) = gen_1;
     487         504 :   return P;
     488             : }
     489             : 
     490             : static GEN
     491          49 : minpoly_listpolslice(GEN M, GEN V, long v)
     492             : {
     493          49 :   long i, n = lg(M)-1, nb = lg(V)-1;
     494          49 :   GEN W = cgetg(nb+1, t_VEC);
     495         147 :   for (i=1; i<=nb; i++)
     496          98 :     gel(W,i) = minpoly_polslice(M, V[i], i < nb? V[i+1]-1: n, v);
     497          49 :   return W;
     498             : }
     499             : 
     500             : static int
     501         203 : minpoly_dvdslice(GEN M, long i, long j, long k)
     502             : {
     503         203 :   pari_sp av = avma;
     504         203 :   long r = signe(RgX_rem(minpoly_polslice(M, i, j-1, 0),
     505             :                         minpoly_polslice(M, j, k, 0)));
     506         203 :   return gc_bool(av, r == 0);
     507             : }
     508             : 
     509             : static void
     510           0 : RgM_replace(GEN M, GEN M2)
     511             : {
     512           0 :   long n = lg(M)-1, m = nbrows(M), i, j;
     513           0 :   for(i=1; i<=n; i++)
     514           0 :     for(j=1; j<=m; j++)
     515           0 :       gcoeff(M, i, j) = gcoeff(M2, i, j);
     516           0 : }
     517             : 
     518             : static void
     519           0 : gerepilemat2_inplace(pari_sp av, GEN M, GEN P)
     520             : {
     521           0 :   GEN M2 = M, P2 = P;
     522           0 :   gerepileall(av, P ? 2: 1, &M2, &P2);
     523           0 :   RgM_replace(M, M2);
     524           0 :   if (P) RgM_replace(P, P2);
     525           0 : }
     526             : 
     527             : /* Lemma 9.14 */
     528             : static long
     529         826 : weakfrobenius_step1(GEN M, GEN P, long j0)
     530             : {
     531         826 :   pari_sp av = avma;
     532         826 :   long n = lg(M)-1, k, j;
     533        3647 :   for (j = j0; j < n; ++j)
     534             :   {
     535        3094 :     if (gequal0(gcoeff(M, j+1, j)))
     536             :     {
     537        2352 :       for (k = j+2; k <= n; ++k)
     538        2079 :         if (!gequal0(gcoeff(M,k,j))) break;
     539         882 :       if (k > n) return j;
     540         609 :       transS(M, P, k, j+1);
     541             :     }
     542        2821 :     transD(M, P, j+1, j, j+1);
     543             :     /* Now M[j+1,j] = 1 */
     544       30555 :     for (k = 1; k <= n; ++k)
     545       27734 :       if (k != j+1 && !gequal0(gcoeff(M,k,j))) /* zero M[k,j] */
     546             :       {
     547       14014 :         transL(M, P, gneg(gcoeff(M,k,j)), k, j+1);
     548       14014 :         gcoeff(M,k,j) = gen_0; /* avoid approximate 0 */
     549             :       }
     550        2821 :     if (gc_needed(av,1))
     551             :     {
     552           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     553           0 :         pari_warn(warnmem,"RgM_minpoly stage 1: j0=%ld, j=%ld", j0, j);
     554           0 :       gerepilemat2_inplace(av, M, P);
     555             :     }
     556             :   }
     557         553 :   return n;
     558             : }
     559             : 
     560             : static void
     561         826 : weakfrobenius_step2(GEN M, GEN P, long j)
     562             : {
     563         826 :   pari_sp av = avma;
     564         826 :   long i, k, n = lg(M)-1;
     565        4655 :   for(i=j; i>=2; i--)
     566             :   {
     567        8330 :     for(k=j+1; k<=n; k++)
     568        4501 :       if (!gequal0(gcoeff(M,i,k)))
     569        1232 :         transL(M, P, gcoeff(M,i,k), i-1, k);
     570        3829 :     if (gc_needed(av,1))
     571             :     {
     572           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     573           0 :         pari_warn(warnmem,"RgM_minpoly stage 2: j=%ld, i=%ld", j, i);
     574           0 :       gerepilemat2_inplace(av, M, P);
     575             :     }
     576             :   }
     577         826 : }
     578             : 
     579             : static long
     580         826 : weakfrobenius_step3(GEN M, GEN P, long j0, long j)
     581             : {
     582         826 :   long i, k, n = lg(M)-1;
     583         826 :   if (j == n) return 0;
     584         273 :   if (gequal0(gcoeff(M, j0, j+1)))
     585             :   {
     586         980 :     for (k=j+2; k<=n; k++)
     587         728 :       if (!gequal0(gcoeff(M, j0, k))) break;
     588         252 :     if (k > n) return 0;
     589           0 :     transS(M, P, k, j+1);
     590             :   }
     591          21 :   transD(M, P, j0, j+1, j+1);
     592          21 :   for (i=j+2; i<=n; i++)
     593           0 :     if (!gequal0(gcoeff(M, j0, i)))
     594           0 :       transL(M, P, gcoeff(M, j0, i),j+1, i);
     595          21 :   return 1;
     596             : }
     597             : 
     598             : /* flag: 0 -> full Frobenius from , 1 -> weak Frobenius form */
     599             : static GEN
     600         553 : RgM_Frobenius(GEN M, long flag, GEN *pt_P, GEN *pt_v)
     601             : {
     602         553 :   pari_sp av = avma, av2, ltop;
     603         553 :   long n = lg(M)-1, eps, j0 = 1, nb = 0;
     604             :   GEN v, P;
     605         553 :   v = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
     606         553 :   ltop = avma;
     607         553 :   P = pt_P ? matid(n): NULL;
     608         553 :   M = RgM_shallowcopy(M);
     609         553 :   av2 = avma;
     610        1379 :   while (j0 <= n)
     611             :   {
     612         826 :     long j = weakfrobenius_step1(M, P, j0);
     613         826 :     weakfrobenius_step2(M, P, j);
     614         826 :     eps = weakfrobenius_step3(M, P, j0, j);
     615         826 :     if (eps == 0)
     616             :     {
     617         805 :       v[++nb] = j0;
     618         805 :       if (flag == 0 && nb > 1 && !minpoly_dvdslice(M, v[nb-1], j0, j))
     619             :       {
     620           0 :         j = j0; j0 = v[nb-1]; nb -= 2;
     621           0 :         transL(M, P, gen_1, j, j0); /*lemma 9.18*/
     622             :       } else
     623         805 :         j0 = j+1;
     624             :     }
     625             :     else
     626          21 :       transS(M, P, j0, j+1); /*theorem 4*/
     627         826 :     if (gc_needed(av,1))
     628             :     {
     629           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     630           0 :         pari_warn(warnmem,"weakfrobenius j0=%ld",j0);
     631           0 :       gerepilemat2_inplace(av2, M, P);
     632             :     }
     633             :   }
     634         553 :   fixlg(v, nb+1);
     635         553 :   if (pt_v) *pt_v = v;
     636         553 :   gerepileall(pt_v ? ltop: av, P? 2: 1, &M, &P);
     637         553 :   if (pt_P) *pt_P = P;
     638         553 :   return M;
     639             : }
     640             : 
     641             : static GEN
     642          49 : RgM_minpoly(GEN M, long v)
     643             : {
     644          49 :   pari_sp av = avma;
     645             :   GEN V, W;
     646          49 :   if (lg(M) == 1) return pol_1(v);
     647          49 :   M = RgM_Frobenius(M, 1, NULL, &V);
     648          49 :   W = minpoly_listpolslice(M, V, v);
     649          49 :   if (varncmp(v,gvar2(W)) >= 0)
     650           0 :     pari_err_PRIORITY("matfrobenius", M, "<=", v);
     651          49 :   return gerepileupto(av, RgX_normalize(glcm0(W, NULL)));
     652             : }
     653             : 
     654             : GEN
     655           0 : Frobeniusform(GEN V, long n)
     656             : {
     657             :   long i, j, k;
     658           0 :   GEN M = zeromatcopy(n,n);
     659           0 :   for (k=1,i=1;i<lg(V);i++,k++)
     660             :   {
     661           0 :     GEN  P = gel(V,i);
     662           0 :     long d = degpol(P);
     663           0 :     if (k+d-1 > n) pari_err_PREC("matfrobenius");
     664           0 :     for (j=0; j<d-1; j++, k++) gcoeff(M,k+1,k) = gen_1;
     665           0 :     for (j=0; j<d; j++) gcoeff(M,k-j,k) = gneg(gel(P, 1+d-j));
     666             :   }
     667           0 :   return M;
     668             : }
     669             : 
     670             : GEN
     671         504 : matfrobenius(GEN M, long flag, long v)
     672             : {
     673             :   long n;
     674         504 :   if (typ(M)!=t_MAT) pari_err_TYPE("matfrobenius",M);
     675         504 :   if (v < 0) v = 0;
     676         504 :   n = lg(M)-1;
     677         504 :   if (n && lgcols(M)!=n+1) pari_err_DIM("matfrobenius");
     678         504 :   if (flag > 2) pari_err_FLAG("matfrobenius");
     679         504 :   switch (flag)
     680             :   {
     681           7 :   case 0:
     682           7 :     return RgM_Frobenius(M, 0, NULL, NULL);
     683           0 :   case 1:
     684             :     {
     685           0 :       pari_sp av = avma;
     686             :       GEN V, W, F;
     687           0 :       F = RgM_Frobenius(M, 0, NULL, &V);
     688           0 :       W = minpoly_listpolslice(F, V, v);
     689           0 :       if (varncmp(v, gvar2(W)) >= 0)
     690           0 :         pari_err_PRIORITY("matfrobenius", M, "<=", v);
     691           0 :       return gerepileupto(av, W);
     692             :     }
     693         497 :   case 2:
     694             :     {
     695         497 :       GEN P, F, R = cgetg(3, t_VEC);
     696         497 :       F = RgM_Frobenius(M, 0, &P, NULL);
     697         497 :       gel(R,1) = F; gel(R,2) = P;
     698         497 :       return R;
     699             :     }
     700           0 :   default:
     701           0 :     pari_err_FLAG("matfrobenius");
     702             :   }
     703             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
     704             : }
     705             : 
     706             : /*******************************************************************/
     707             : /*                                                                 */
     708             : /*                       MINIMAL POLYNOMIAL                        */
     709             : /*                                                                 */
     710             : /*******************************************************************/
     711             : 
     712             : static GEN
     713          63 : RgXQ_minpoly_naive(GEN y, GEN P)
     714             : {
     715          63 :   long n = lgpol(P);
     716          63 :   GEN M = ker(RgXQ_matrix_pow(y,n,n,P));
     717          63 :   return content(RgM_to_RgXV(M,varn(P)));
     718             : }
     719             : 
     720             : static GEN
     721           0 : RgXQ_minpoly_FpXQ(GEN x, GEN y, GEN p)
     722             : {
     723           0 :   pari_sp av = avma;
     724             :   GEN r;
     725           0 :   if (lgefint(p) == 3)
     726             :   {
     727           0 :     ulong pp = uel(p, 2);
     728           0 :     r = Flx_to_ZX_inplace(Flxq_minpoly(RgX_to_Flx(x, pp),
     729             :                                    RgX_to_Flx(y, pp), pp));
     730             :   }
     731             :   else
     732           0 :     r = FpXQ_minpoly(RgX_to_FpX(x, p), RgX_to_FpX(y, p), p);
     733           0 :   return gerepileupto(av, FpX_to_mod(r, p));
     734             : }
     735             : 
     736             : static GEN
     737          21 : RgXQ_minpoly_FpXQXQ(GEN x, GEN S, GEN pol, GEN p)
     738             : {
     739          21 :   pari_sp av = avma;
     740             :   GEN r;
     741          21 :   GEN T = RgX_to_FpX(pol, p);
     742          21 :   if (signe(T)==0) pari_err_OP("minpoly",x,S);
     743          21 :   if (lgefint(p) == 3)
     744             :   {
     745          13 :     ulong pp = uel(p, 2);
     746          13 :     GEN Tp = ZX_to_Flx(T, pp);
     747          13 :     r = FlxX_to_ZXX(FlxqXQ_minpoly(RgX_to_FlxqX(x, Tp, pp),
     748             :                                    RgX_to_FlxqX(S, Tp, pp), Tp, pp));
     749             :   }
     750             :   else
     751           8 :     r = FpXQXQ_minpoly(RgX_to_FpXQX(x, T, p), RgX_to_FpXQX(S, T, p), T, p);
     752          21 :   return gerepileupto(av, FpXQX_to_mod(r, T, p));
     753             : }
     754             : 
     755             : static GEN
     756        3255 : RgXQ_minpoly_fast(GEN x, GEN y)
     757             : {
     758             :   GEN p, pol;
     759             :   long pa;
     760        3255 :   long t = RgX_type2(x,y, &p,&pol,&pa);
     761        3255 :   switch(t)
     762             :   {
     763           0 :     case t_INTMOD: return RgXQ_minpoly_FpXQ(x, y, p);
     764          77 :     case t_FFELT:  return FFXQ_minpoly(x, y, pol);
     765          21 :     case RgX_type_code(t_POLMOD, t_INTMOD):
     766          21 :                    return RgXQ_minpoly_FpXQXQ(x, y, pol, p);
     767        3157 :     default:       return NULL;
     768             :   }
     769             : }
     770             : 
     771             : /* return caract(Mod(x,T)) in variable v */
     772             : GEN
     773        3255 : RgXQ_minpoly(GEN x, GEN T, long v)
     774             : {
     775        3255 :   pari_sp av = avma;
     776        3255 :   GEN R = RgXQ_minpoly_fast(x,T);
     777        3255 :   if (R) { setvarn(R, v); return R; }
     778        3157 :   if (!issquarefree(T))
     779             :   {
     780          63 :     R = RgXQ_minpoly_naive(x, T);
     781          63 :     setvarn(R,v); return R;
     782             :   }
     783        3094 :   R = RgXQ_charpoly(x, T, v);
     784        3094 :   return gerepileupto(av, RgX_div(R,RgX_gcd(R, RgX_deriv(R))));
     785             : }
     786             : 
     787             : static GEN
     788        3668 : easymin(GEN x, long v)
     789             : {
     790             :   GEN G, R, dR;
     791        3668 :   long tx = typ(x);
     792        3668 :   if (tx == t_FFELT)
     793             :   {
     794         154 :     R = FpX_to_mod(FF_minpoly(x), FF_p_i(x));
     795         154 :     setvarn(R,v); return R;
     796             :   }
     797        3514 :   if (tx == t_POLMOD)
     798             :   {
     799        3465 :     GEN a = gel(x,2), b = gel(x,1);
     800        3465 :     if (degpol(b)==0) return pol_1(v);
     801        3437 :     if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(b))
     802             :     {
     803         217 :       if (varncmp(gvar(a), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("minpoly", x, "<", v);
     804         210 :       return deg1pol(gen_1, gneg_i(a), v);
     805             :     }
     806        3220 :     return RgXQ_minpoly(a, b, v);
     807             :   }
     808          49 :   R = easychar(x, v); if (!R) return NULL;
     809           0 :   dR = RgX_deriv(R);  if (!lgpol(dR)) return NULL;
     810           0 :   G = RgX_normalize(RgX_gcd(R,dR));
     811           0 :   return RgX_div(R,G);
     812             : }
     813             : GEN
     814        3668 : minpoly(GEN x, long v)
     815             : {
     816        3668 :   pari_sp av = avma;
     817             :   GEN P;
     818        3668 :   if (v < 0) v = 0;
     819        3668 :   P = easymin(x,v);
     820        3661 :   if (P) return gerepileupto(av,P);
     821             :   /* typ(x) = t_MAT */
     822          49 :   set_avma(av); return RgM_minpoly(x,v);
     823             : }
     824             : 
     825             : /*******************************************************************/
     826             : /*                                                                 */
     827             : /*                       HESSENBERG FORM                           */
     828             : /*                                                                 */
     829             : /*******************************************************************/
     830             : static int
     831         364 : relative0(GEN a, GEN a0, long bit)
     832             : {
     833         364 :   if (gequal0(a)) return 1;
     834         343 :   if (gequal0(a0)) return gexpo(a) < bit;
     835         203 :   return (gexpo(a)-gexpo(a0) < bit);
     836             : }
     837             : /* x0 a nonempty square t_MAT that can be written to */
     838             : static GEN
     839         168 : RgM_hess(GEN x0, long prec)
     840             : {
     841         168 :   pari_sp av = avma;
     842         168 :   long lx = lg(x0), bit = prec? 8 - prec2nbits(prec): 0, m, i, j;
     843         168 :   GEN x = bit? RgM_shallowcopy(x0): x0;
     844             : 
     845         665 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     846             :   {
     847         497 :     GEN t = NULL;
     848         497 :     if (!bit)
     849             :     { /* first non-zero pivot */
     850          84 :       for (i=m+1; i<lx; i++)
     851          77 :         if (!gequal0(t = gcoeff(x,i,m-1))) break;
     852             :     }
     853             :     else
     854             :     { /* maximal pivot */
     855         434 :       long E = -(long)HIGHEXPOBIT, k = lx;
     856        3906 :       for (i=m+1; i<lx; i++)
     857             :       {
     858        3472 :         long e = gexpo(gcoeff(x,i,m-1));
     859        3472 :         if (e > E) { E = e; k = i; t = gcoeff(x,i,m-1); }
     860             :       }
     861         434 :       if (k != lx && relative0(t, gcoeff(x0,k,m-1), bit)) k = lx;
     862         434 :       i = k;
     863             :     }
     864         497 :     if (i == lx) continue;
     865        4438 :     for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x,i,j), gcoeff(x,m,j));
     866         385 :     swap(gel(x,i), gel(x,m));
     867         385 :     if (bit)
     868             :     {
     869        4102 :       for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x0,i,j), gcoeff(x0,m,j));
     870         329 :       swap(gel(x0,i), gel(x0,m));
     871             :     }
     872         385 :     t = ginv(t);
     873             : 
     874        3668 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     875             :     {
     876        3283 :       GEN c = gcoeff(x,i,m-1);
     877        3283 :       if (gequal0(c)) continue;
     878             : 
     879        2520 :       c = gmul(c,t); gcoeff(x,i,m-1) = gen_0;
     880       41062 :       for (j=m; j<lx; j++)
     881       38542 :         gcoeff(x,i,j) = gsub(gcoeff(x,i,j), gmul(c,gcoeff(x,m,j)));
     882       67417 :       for (j=1; j<lx; j++)
     883       64897 :         gcoeff(x,j,m) = gadd(gcoeff(x,j,m), gmul(c,gcoeff(x,j,i)));
     884        2520 :       if (gc_needed(av,2))
     885             :       {
     886           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"hess, m = %ld", m);
     887           0 :         gerepileall(av,2, &x, &t);
     888             :       }
     889             :     }
     890             :   }
     891         168 :   return x;
     892             : }
     893             : 
     894             : GEN
     895         168 : hess(GEN x)
     896             : {
     897         168 :   pari_sp av = avma;
     898         168 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     899         168 :   long prec, lx = lg(x);
     900         168 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("hess",x);
     901         168 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     902         168 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     903         168 :   switch(RgM_type(x, &p, &T, &prec))
     904             :   {
     905         140 :     case t_REAL:
     906         140 :     case t_COMPLEX: break;
     907          28 :     default: prec = 0;
     908             :   }
     909         168 :   return gerepilecopy(av, RgM_hess(RgM_shallowcopy(x),prec));
     910             : }
     911             : 
     912             : GEN
     913       34954 : Flm_hess_pre(GEN x, ulong p, ulong pi)
     914             : {
     915       34954 :   long lx = lg(x), m, i, j;
     916       34954 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     917       34954 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     918             : 
     919       34954 :   x = Flm_copy(x);
     920      192160 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     921             :   {
     922      157333 :     ulong t = 0;
     923      734562 :     for (i=m+1; i<lx; i++) { t = ucoeff(x,i,m-1); if (t) break; }
     924      157333 :     if (i == lx) continue;
     925     1291639 :     for (j=m-1; j<lx; j++) lswap(ucoeff(x,i,j), ucoeff(x,m,j));
     926       95008 :     swap(gel(x,i), gel(x,m)); t = Fl_inv(t, p);
     927             : 
     928     1101259 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     929             :     {
     930     1006378 :       ulong c = ucoeff(x,i,m-1);
     931     1006378 :       if (!c) continue;
     932      357816 :       if (pi)
     933             :       {
     934      124814 :         c = Fl_mul_pre(c,t,p,pi); ucoeff(x,i,m-1) = 0;
     935     2020853 :         for (j=m; j<lx; j++)
     936     1896007 :           ucoeff(x,i,j) = Fl_sub(ucoeff(x,i,j), Fl_mul_pre(c,ucoeff(x,m,j), p, pi), p);
     937     3141802 :         for (j=1; j<lx; j++)
     938     3017319 :           ucoeff(x,j,m) = Fl_add(ucoeff(x,j,m), Fl_mul_pre(c,ucoeff(x,j,i), p, pi), p);
     939             :       } else
     940             :       {
     941      233002 :         c = Fl_mul(c,t,p); ucoeff(x,i,m-1) = 0;
     942     4607168 :         for (j=m; j<lx; j++)
     943     4374166 :           ucoeff(x,i,j) = Fl_sub(ucoeff(x,i,j), Fl_mul(c,ucoeff(x,m,j), p), p);
     944     7824329 :         for (j=1; j<lx; j++)
     945     7591132 :           ucoeff(x,j,m) = Fl_add(ucoeff(x,j,m), Fl_mul(c,ucoeff(x,j,i), p), p);
     946             :       }
     947             :     }
     948             :   }
     949       34827 :   return x;
     950             : }
     951             : 
     952             : GEN
     953       34954 : Flm_hess(GEN x, ulong p)
     954       34954 : { return Flm_hess_pre(x, p, SMALL_ULONG(p)? 0: get_Fl_red(p)); }
     955             : 
     956             : GEN
     957         786 : FpM_hess(GEN x, GEN p)
     958             : {
     959         786 :   pari_sp av = avma;
     960         786 :   long lx = lg(x), m, i, j;
     961         786 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     962         786 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     963         786 :   if (lgefint(p) == 3)
     964             :   {
     965           0 :     ulong pp = p[2];
     966           0 :     x = Flm_hess(ZM_to_Flm(x, pp), pp);
     967           0 :     return gerepileupto(av, Flm_to_ZM(x));
     968             :   }
     969         786 :   x = RgM_shallowcopy(x);
     970        3369 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     971             :   {
     972        2583 :     GEN t = NULL;
     973        5488 :     for (i=m+1; i<lx; i++) { t = gcoeff(x,i,m-1); if (signe(t)) break; }
     974        2583 :     if (i == lx) continue;
     975       12047 :     for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x,i,j), gcoeff(x,m,j));
     976        1897 :     swap(gel(x,i), gel(x,m)); t = Fp_inv(t, p);
     977             : 
     978        8253 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     979             :     {
     980        6356 :       GEN c = gcoeff(x,i,m-1);
     981        6356 :       if (!signe(c)) continue;
     982             : 
     983        5061 :       c = Fp_mul(c,t, p); gcoeff(x,i,m-1) = gen_0;
     984       29785 :       for (j=m; j<lx; j++)
     985       24724 :         gcoeff(x,i,j) = Fp_sub(gcoeff(x,i,j), Fp_mul(c,gcoeff(x,m,j),p), p);
     986       45465 :       for (j=1; j<lx; j++)
     987       40404 :         gcoeff(x,j,m) = Fp_add(gcoeff(x,j,m), Fp_mul(c,gcoeff(x,j,i),p), p);
     988        5061 :       if (gc_needed(av,2))
     989             :       {
     990           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"hess, m = %ld", m);
     991           0 :         gerepileall(av,2, &x, &t);
     992             :       }
     993             :     }
     994             :   }
     995         786 :   return gerepilecopy(av,x);
     996             : }
     997             : /* H in Hessenberg form */
     998             : static GEN
     999         161 : RgM_hess_charpoly(GEN H, long v)
    1000             : {
    1001         161 :   long n = lg(H), r, i;
    1002         161 :   GEN y = cgetg(n+1, t_VEC);
    1003         161 :   gel(y,1) = pol_1(v);
    1004         945 :   for (r = 1; r < n; r++)
    1005             :   {
    1006         784 :     pari_sp av2 = avma;
    1007         784 :     GEN z, a = gen_1, b = pol_0(v);
    1008        4690 :     for (i = r-1; i; i--)
    1009             :     {
    1010        3983 :       a = gmul(a, gcoeff(H,i+1,i));
    1011        3983 :       if (gequal0(a)) break;
    1012        3906 :       b = RgX_add(b, RgX_Rg_mul(gel(y,i), gmul(a,gcoeff(H,i,r))));
    1013             :     }
    1014         784 :     z = RgX_sub(RgX_shift_shallow(gel(y,r), 1),
    1015         784 :                 RgX_Rg_mul(gel(y,r), gcoeff(H,r,r)));
    1016         784 :     gel(y,r+1) = gerepileupto(av2, RgX_sub(z, b)); /* (X - H[r,r])y[r] - b */
    1017             :   }
    1018         161 :   return gel(y,n);
    1019             : }
    1020             : GEN
    1021         161 : carhess(GEN x, long v)
    1022             : {
    1023             :   pari_sp av;
    1024             :   GEN y;
    1025         161 :   if ((y = easychar(x,v))) return y;
    1026         161 :   av = avma; y = RgM_hess_charpoly(hess(x), fetch_var_higher());
    1027         161 :   y = fix_pol(av, y, v); return y;
    1028             : }
    1029             : 
    1030             : /* Bound for sup norm of charpoly(M/dM), M integral: let B = |M|oo / |dM|,
    1031             :  *   s = max_k binomial(n,k) (kB^2)^(k/2),
    1032             :  * return ceil(log2(s)) */
    1033             : static long
    1034        3903 : charpoly_bound(GEN M, GEN dM, GEN N)
    1035             : {
    1036        3903 :   pari_sp av = avma;
    1037        3903 :   GEN B = itor(N, LOWDEFAULTPREC);
    1038        3903 :   GEN s = real_0(LOWDEFAULTPREC), bin, B2;
    1039        3903 :   long n = lg(M)-1, k;
    1040        3903 :   bin = gen_1;
    1041        3903 :   if (dM) B = divri(B, dM);
    1042        3903 :   B2 = sqrr(B);
    1043       17726 :   for (k = n; k >= (n+1)>>1; k--)
    1044             :   {
    1045       13823 :     GEN t = mulri(powruhalf(mulur(k, B2), k), bin);
    1046       13823 :     if (abscmprr(t, s) > 0) s = t;
    1047       13823 :     bin = diviuexact(muliu(bin, k), n-k+1);
    1048             :   }
    1049        3903 :   return gc_long(av, ceil(dbllog2(s)));
    1050             : }
    1051             : 
    1052             : static GEN
    1053        4320 : QM_charpoly_ZX_slice(GEN A, GEN dM, GEN P, GEN *mod)
    1054             : {
    1055        4320 :   pari_sp av = avma;
    1056        4320 :   long i, n = lg(P)-1;
    1057             :   GEN H, T;
    1058        4320 :   if (n == 1)
    1059             :   {
    1060        3578 :     ulong p = uel(P,1), dp = dM ? umodiu(dM, p): 1;
    1061        3578 :     GEN Hp, a = ZM_to_Flm(A, p);
    1062        3578 :     Hp = Flm_charpoly_i(a, p);
    1063        3578 :     if (dp != 1) Hp = Flx_rescale(Hp, Fl_inv(dp, p), p);
    1064        3578 :     Hp = gerepileupto(av, Flx_to_ZX(Hp));
    1065        3578 :     *mod = utoipos(p); return Hp;
    1066             :   }
    1067         742 :   T = ZV_producttree(P);
    1068         742 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    1069         742 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    1070        2899 :   for(i=1; i <= n; i++)
    1071             :   {
    1072        2157 :     ulong p = uel(P,i), dp = dM ? umodiu(dM, p): 1;
    1073        2157 :     gel(H,i) = Flm_charpoly(gel(A, i), p);
    1074        2157 :     if (dp != 1) gel(H,i) = Flx_rescale(gel(H,i), Fl_inv(dp, p), p);
    1075             :   }
    1076         742 :   H = nxV_chinese_center_tree(H, P, T, ZV_chinesetree(P,T));
    1077         742 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    1078             : }
    1079             : 
    1080             : GEN
    1081        4320 : QM_charpoly_ZX_worker(GEN P, GEN M, GEN dM)
    1082             : {
    1083        4320 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    1084        4320 :   gel(V,1) = QM_charpoly_ZX_slice(M, equali1(dM) ? NULL:dM, P, &gel(V,2));
    1085        4320 :   return V;
    1086             : }
    1087             : 
    1088             : /* Assume M a square ZM, dM integer. Return charpoly(M / dM) in Z[X] */
    1089             : static GEN
    1090        4498 : QM_charpoly_ZX_i(GEN M, GEN dM, long bound)
    1091             : {
    1092        4498 :   long n = lg(M)-1;
    1093             :   forprime_t S;
    1094        4498 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_QM_charpoly_ZX_worker"),
    1095             :                            mkvec2(M, dM? dM: gen_1));
    1096        4498 :   if (!n) return pol_1(0);
    1097        4498 :   if (bound < 0)
    1098             :   {
    1099        4232 :     GEN N = ZM_supnorm(M);
    1100        4232 :     if (signe(N) == 0) return monomial(gen_1, n, 0);
    1101        3903 :     bound = charpoly_bound(M, dM, N) + 1;
    1102             :   }
    1103        4169 :   if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("ZM_charpoly: bound 2^%ld\n", bound);
    1104        4169 :   init_modular_big(&S);
    1105        4169 :   return gen_crt("QM_charpoly_ZX", worker, &S, dM, bound, 0, NULL,
    1106             :                  nxV_chinese_center, FpX_center);
    1107             : }
    1108             : 
    1109             : GEN
    1110         266 : QM_charpoly_ZX_bound(GEN M, long bit)
    1111             : {
    1112         266 :   pari_sp av = avma;
    1113         266 :   GEN dM; M = Q_remove_denom(M, &dM);
    1114         266 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, dM, bit));
    1115             : }
    1116             : GEN
    1117        1834 : QM_charpoly_ZX(GEN M)
    1118             : {
    1119        1834 :   pari_sp av = avma;
    1120        1834 :   GEN dM; M = Q_remove_denom(M, &dM);
    1121        1834 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, dM, -1));
    1122             : }
    1123             : GEN
    1124        2398 : ZM_charpoly(GEN M)
    1125             : {
    1126        2398 :   pari_sp av = avma;
    1127        2398 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, NULL, -1));
    1128             : }
    1129             : 
    1130             : /*******************************************************************/
    1131             : /*                                                                 */
    1132             : /*        CHARACTERISTIC POLYNOMIAL (BERKOWITZ'S ALGORITHM)        */
    1133             : /*                                                                 */
    1134             : /*******************************************************************/
    1135             : GEN
    1136        1722 : carberkowitz(GEN x, long v)
    1137             : {
    1138             :   long lx, i, j, k, r;
    1139             :   GEN V, S, C, Q;
    1140             :   pari_sp av0, av;
    1141        1722 :   if ((V = easychar(x,v))) return V;
    1142        1722 :   lx = lg(x); av0 = avma;
    1143        1722 :   V = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1144        1722 :   S = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1145        1722 :   C = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1146        1722 :   Q = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1147        1722 :   av = avma;
    1148        1722 :   gel(C,1) = gen_m1;
    1149        1722 :   gel(V,1) = gen_m1;
    1150       12201 :   for (i=2;i<=lx; i++) gel(C,i) = gel(Q,i) = gel(S,i) = gel(V,i) = gen_0;
    1151        1722 :   gel(V,2) = gcoeff(x,1,1);
    1152       10479 :   for (r = 2; r < lx; r++)
    1153             :   {
    1154             :     pari_sp av2;
    1155             :     GEN t;
    1156             : 
    1157       67858 :     for (i = 1; i < r; i++) gel(S,i) = gcoeff(x,i,r);
    1158        8757 :     gel(C,2) = gcoeff(x,r,r);
    1159       59101 :     for (i = 1; i < r-1; i++)
    1160             :     {
    1161       50344 :       av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,r,1), gel(S,1));
    1162      726068 :       for (j = 2; j < r; j++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,r,j), gel(S,j)));
    1163       50344 :       gel(C,i+2) = gerepileupto(av2, t);
    1164      776412 :       for (j = 1; j < r; j++)
    1165             :       {
    1166      726068 :         av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,j,1), gel(S,1));
    1167    14285362 :         for (k = 2; k < r; k++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,j,k), gel(S,k)));
    1168      726068 :         gel(Q,j) = gerepileupto(av2, t);
    1169             :       }
    1170      776412 :       for (j = 1; j < r; j++) gel(S,j) = gel(Q,j);
    1171             :     }
    1172        8757 :     av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,r,1), gel(S,1));
    1173       59101 :     for (j = 2; j < r; j++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,r,j), gel(S,j)));
    1174        8757 :     gel(C,r+1) = gerepileupto(av2, t);
    1175        8757 :     if (gc_needed(av0,1))
    1176             :     {
    1177           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"carberkowitz");
    1178           0 :       gerepileall(av, 2, &C, &V);
    1179             :     }
    1180       85372 :     for (i = 1; i <= r+1; i++)
    1181             :     {
    1182       76615 :       av2 = avma; t = gmul(gel(C,i), gel(V,1));
    1183      557851 :       for (j = 2; j <= minss(r,i); j++)
    1184      481236 :         t = gadd(t, gmul(gel(C,i+1-j), gel(V,j)));
    1185       76615 :       gel(Q,i) = gerepileupto(av2, t);
    1186             :     }
    1187       85372 :     for (i = 1; i <= r+1; i++) gel(V,i) = gel(Q,i);
    1188             :   }
    1189        1722 :   V = gtopoly(V, fetch_var_higher());
    1190        1722 :   if (!odd(lx)) V = RgX_neg(V);
    1191        1722 :   return fix_pol(av0, V, v);
    1192             : }
    1193             : 
    1194             : /*******************************************************************/
    1195             : /*                                                                 */
    1196             : /*                            NORMS                                */
    1197             : /*                                                                 */
    1198             : /*******************************************************************/
    1199             : GEN
    1200     3542031 : gnorm(GEN x)
    1201             : {
    1202             :   pari_sp av;
    1203     3542031 :   switch(typ(x))
    1204             :   {
    1205       48800 :     case t_INT:  return sqri(x);
    1206      539138 :     case t_REAL: return sqrr(x);
    1207        1393 :     case t_FRAC: return sqrfrac(x);
    1208     2879425 :     case t_COMPLEX: av = avma; return gerepileupto(av, cxnorm(x));
    1209       69055 :     case t_QUAD:    av = avma; return gerepileupto(av, quadnorm(x));
    1210             : 
    1211          14 :     case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: av = avma;
    1212          14 :       return gerepileupto(av, greal(gmul(conj_i(x),x)));
    1213             : 
    1214          28 :     case t_FFELT:
    1215          28 :       retmkintmod(FF_norm(x), FF_p(x));
    1216             : 
    1217        4179 :     case t_POLMOD:
    1218             :     {
    1219        4179 :       GEN T = gel(x,1), a = gel(x,2);
    1220        4179 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T)) return gpowgs(a, degpol(T));
    1221        3997 :       return RgXQ_norm(a, T);
    1222             :     }
    1223           0 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1224           0 :       pari_APPLY_same(gnorm(gel(x,i)));
    1225             :   }
    1226           0 :   pari_err_TYPE("gnorm",x);
    1227             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1228             : }
    1229             : 
    1230             : /* return |q|^2, complex modulus */
    1231             : static GEN
    1232          28 : cxquadnorm(GEN q, long prec)
    1233             : {
    1234          28 :   GEN X = gel(q,1), c = gel(X,2); /* (1-D)/4, -D/4 */
    1235          28 :   if (signe(c) > 0) return quadnorm(q); /* imaginary */
    1236          21 :   if (!prec) pari_err_TYPE("gnorml2", q);
    1237           7 :   return sqrr(quadtofp(q, prec));
    1238             : }
    1239             : 
    1240             : static GEN
    1241    37043596 : gnorml2_i(GEN x, long prec)
    1242             : {
    1243             :   pari_sp av;
    1244             :   long i, lx;
    1245             :   GEN s;
    1246             : 
    1247    37043596 :   switch(typ(x))
    1248             :   {
    1249     1343213 :     case t_INT:  return sqri(x);
    1250    26907561 :     case t_REAL: return sqrr(x);
    1251           7 :     case t_FRAC: return sqrfrac(x);
    1252     4151130 :     case t_COMPLEX: av = avma; return gerepileupto(av, cxnorm(x));
    1253          21 :     case t_QUAD:    av = avma; return gerepileupto(av, cxquadnorm(x,prec));
    1254             : 
    1255       60617 :     case t_POL: lx = lg(x)-1; x++; break;
    1256             : 
    1257     4583669 :     case t_VEC:
    1258             :     case t_COL:
    1259     4583669 :     case t_MAT: lx = lg(x); break;
    1260             : 
    1261           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml2",x);
    1262             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1263             :   }
    1264     4644286 :   if (lx == 1) return gen_0;
    1265     4644286 :   av = avma;
    1266     4644286 :   s = gnorml2(gel(x,1));
    1267    32513483 :   for (i=2; i<lx; i++)
    1268             :   {
    1269    27869906 :     s = gadd(s, gnorml2(gel(x,i)));
    1270    27869266 :     if (gc_needed(av,1))
    1271             :     {
    1272           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gnorml2");
    1273           0 :       s = gerepileupto(av, s);
    1274             :     }
    1275             :   }
    1276     4643577 :   return gerepileupto(av,s);
    1277             : }
    1278             : GEN
    1279    37043074 : gnorml2(GEN x) { return gnorml2_i(x, 0); }
    1280             : 
    1281             : static GEN pnormlp(GEN,GEN,long);
    1282             : static GEN
    1283          63 : pnormlpvec(long i0, GEN x, GEN p, long prec)
    1284             : {
    1285          63 :   pari_sp av = avma;
    1286          63 :   long i, lx = lg(x);
    1287          63 :   GEN s = gen_0;
    1288         224 :   for (i=i0; i<lx; i++)
    1289             :   {
    1290         161 :     s = gadd(s, pnormlp(gel(x,i),p,prec));
    1291         161 :     if (gc_needed(av,1))
    1292             :     {
    1293           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gnormlp, i = %ld", i);
    1294           0 :       s = gerepileupto(av, s);
    1295             :     }
    1296             :   }
    1297          63 :   return s;
    1298             : }
    1299             : /* (||x||_p)^p */
    1300             : static GEN
    1301         196 : pnormlp(GEN x, GEN p, long prec)
    1302             : {
    1303         196 :   switch(typ(x))
    1304             :   {
    1305         119 :     case t_INT: case t_REAL: x = mpabs(x); break;
    1306           0 :     case t_FRAC: x = absfrac(x); break;
    1307          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD: x = gabs(x,prec); break;
    1308           7 :     case t_POL: return pnormlpvec(2, x, p, prec);
    1309          56 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT: return pnormlpvec(1, x, p, prec);
    1310           0 :     default: pari_err_TYPE("gnormlp",x);
    1311             :   }
    1312         133 :   return gpow(x, p, prec);
    1313             : }
    1314             : 
    1315             : GEN
    1316         371 : gnormlp(GEN x, GEN p, long prec)
    1317             : {
    1318         371 :   pari_sp av = avma;
    1319         371 :   if (!p || (typ(p) == t_INFINITY && inf_get_sign(p) > 0))
    1320         210 :     return gsupnorm(x, prec);
    1321         161 :   if (gsigne(p) <= 0) pari_err_DOMAIN("normlp", "p", "<=", gen_0, p);
    1322         154 :   if (is_scalar_t(typ(x))) return gabs(x, prec);
    1323          91 :   if (typ(p) == t_INT)
    1324             :   {
    1325          63 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    1326          63 :     switch(pp)
    1327             :     {
    1328          28 :       case 1: return gnorml1(x, prec);
    1329          28 :       case 2: x = gnorml2_i(x, prec); break;
    1330           7 :       default: x = pnormlp(x, p, prec); break;
    1331             :     }
    1332          35 :     if (pp && typ(x) == t_INT && Z_ispowerall(x, pp, &x))
    1333           7 :       return gerepileuptoleaf(av, x);
    1334          28 :     if (pp == 2) return gerepileupto(av, gsqrt(x, prec));
    1335             :   }
    1336             :   else
    1337          28 :     x = pnormlp(x, p, prec);
    1338          28 :   x = gpow(x, ginv(p), prec);
    1339          28 :   return gerepileupto(av, x);
    1340             : }
    1341             : 
    1342             : GEN
    1343         168 : gnorml1(GEN x,long prec)
    1344             : {
    1345         168 :   pari_sp av = avma;
    1346             :   long lx,i;
    1347             :   GEN s;
    1348         168 :   switch(typ(x))
    1349             :   {
    1350          98 :     case t_INT: case t_REAL: return mpabs(x);
    1351           0 :     case t_FRAC: return absfrac(x);
    1352             : 
    1353          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1354          14 :       return gabs(x,prec);
    1355             : 
    1356           7 :     case t_POL:
    1357           7 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1358          28 :       for (i=2; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1(gel(x,i),prec));
    1359           7 :       break;
    1360             : 
    1361          49 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1362          49 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1363         168 :       for (i=1; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1(gel(x,i),prec));
    1364          49 :       break;
    1365             : 
    1366           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml1",x);
    1367             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1368             :   }
    1369          56 :   return gerepileupto(av, s);
    1370             : }
    1371             : /* As gnorml1, except for t_QUAD and t_COMPLEX: |x + wy| := |x| + |y|
    1372             :  * Still a norm of R-vector spaces, and can be cheaply computed without
    1373             :  * square roots */
    1374             : GEN
    1375      142765 : gnorml1_fake(GEN x)
    1376             : {
    1377      142765 :   pari_sp av = avma;
    1378             :   long lx, i;
    1379             :   GEN s;
    1380      142765 :   switch(typ(x))
    1381             :   {
    1382      126994 :     case t_INT: case t_REAL: return mpabs(x);
    1383           0 :     case t_FRAC: return absfrac(x);
    1384             : 
    1385           0 :     case t_COMPLEX:
    1386           0 :       s = gadd(gnorml1_fake(gel(x,1)), gnorml1_fake(gel(x,2)));
    1387           0 :       break;
    1388           0 :     case t_QUAD:
    1389           0 :       s = gadd(gnorml1_fake(gel(x,2)), gnorml1_fake(gel(x,3)));
    1390           0 :       break;
    1391             : 
    1392       15771 :     case t_POL:
    1393       15771 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1394      102893 :       for (i=2; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1_fake(gel(x,i)));
    1395       15771 :       break;
    1396             : 
    1397           0 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1398           0 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1399           0 :       for (i=1; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1_fake(gel(x,i)));
    1400           0 :       break;
    1401             : 
    1402           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml1_fake",x);
    1403             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1404             :   }
    1405       15771 :   return gerepileupto(av, s);
    1406             : }
    1407             : 
    1408             : static void
    1409    29057227 : store(GEN z, GEN *m) { if (!*m || gcmp(z, *m) > 0) *m = z; }
    1410             : /* compare |x| to *m or |x|^2 to *msq, whichever is easiest, and update
    1411             :  * the pointed value if x is larger */
    1412             : void
    1413    35012891 : gsupnorm_aux(GEN x, GEN *m, GEN *msq, long prec)
    1414             : {
    1415             :   long i, lx;
    1416             :   GEN z;
    1417    35012891 :   switch(typ(x))
    1418             :   {
    1419       92595 :     case t_COMPLEX: z = cxnorm(x); store(z, msq); return;
    1420           7 :     case t_QUAD:  z = cxquadnorm(x,prec); store(z, msq); return;
    1421    28964593 :     case t_INT: case t_REAL: z = mpabs(x); store(z,m); return;
    1422          35 :     case t_FRAC: z = absfrac(x); store(z,m); return;
    1423          14 :     case t_INFINITY: store(mkoo(), m);
    1424             : 
    1425       81322 :     case t_POL: lx = lg(x)-1; x++; break;
    1426             : 
    1427     5874422 :     case t_VEC:
    1428             :     case t_COL:
    1429     5874422 :     case t_MAT: lx = lg(x); break;
    1430             : 
    1431           0 :     default: pari_err_TYPE("gsupnorm",x);
    1432             :       return; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1433             :   }
    1434    39738370 :   for (i=1; i<lx; i++) gsupnorm_aux(gel(x,i), m, msq, prec);
    1435             : }
    1436             : GEN
    1437     1230287 : gsupnorm(GEN x, long prec)
    1438             : {
    1439     1230287 :   GEN m = NULL, msq = NULL;
    1440     1230287 :   pari_sp av = avma;
    1441     1230287 :   gsupnorm_aux(x, &m, &msq, prec);
    1442             :   /* now set m = max (m, sqrt(msq)) */
    1443     1230294 :   if (msq) {
    1444       15138 :     msq = gsqrt(msq, prec);
    1445       15139 :     if (!m || gcmp(m, msq) < 0) m = msq;
    1446     1215156 :   } else if (!m) m = gen_0;
    1447     1230295 :   return gerepilecopy(av, m);
    1448             : }
    1449             : 
    1450             : /*******************************************************************/
    1451             : /*                                                                 */
    1452             : /*                            TRACES                               */
    1453             : /*                                                                 */
    1454             : /*******************************************************************/
    1455             : GEN
    1456          35 : matcompanion(GEN x)
    1457             : {
    1458          35 :   long n = degpol(x), j;
    1459             :   GEN y, c;
    1460             : 
    1461          35 :   if (typ(x)!=t_POL) pari_err_TYPE("matcompanion",x);
    1462          35 :   if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("matcompanion","polynomial","=",gen_0,x);
    1463          28 :   if (n == 0) return cgetg(1, t_MAT);
    1464             : 
    1465          28 :   y = cgetg(n+1,t_MAT);
    1466         105 :   for (j=1; j < n; j++) gel(y,j) = col_ei(n, j+1);
    1467          28 :   c = cgetg(n+1,t_COL); gel(y,n) = c;
    1468          28 :   if (gequal1(gel(x, n+2)))
    1469         112 :     for (j=1; j<=n; j++) gel(c,j) = gneg(gel(x,j+1));
    1470             :   else
    1471             :   { /* not monic. Hardly ever used */
    1472           7 :     pari_sp av = avma;
    1473           7 :     GEN d = gclone(gneg(gel(x,n+2)));
    1474           7 :     set_avma(av);
    1475          21 :     for (j=1; j<=n; j++) gel(c,j) = gdiv(gel(x,j+1), d);
    1476           7 :     gunclone(d);
    1477             :   }
    1478          28 :   return y;
    1479             : }
    1480             : 
    1481             : GEN
    1482      761637 : gtrace(GEN x)
    1483             : {
    1484             :   pari_sp av;
    1485      761637 :   long lx, tx = typ(x);
    1486             :   GEN y, z;
    1487             : 
    1488      761637 :   switch(tx)
    1489             :   {
    1490       23633 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC:
    1491       23633 :       return gmul2n(x,1);
    1492             : 
    1493      735150 :     case t_COMPLEX:
    1494      735150 :       return gmul2n(gel(x,1),1);
    1495             : 
    1496         154 :     case t_QUAD:
    1497         154 :       y = gel(x,1);
    1498         154 :       if (!gequal0(gel(y,3)))
    1499             :       { /* assume quad. polynomial is either x^2 + d or x^2 - x + d */
    1500         154 :         av = avma;
    1501         154 :         return gerepileupto(av, gadd(gel(x,3), gmul2n(gel(x,2),1)));
    1502             :       }
    1503           0 :       return gmul2n(gel(x,2),1);
    1504             : 
    1505           7 :     case t_POL:
    1506          21 :       pari_APPLY_pol(gtrace(gel(x,i)));
    1507          14 :     case t_SER:
    1508          14 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    1509          21 :       pari_APPLY_ser(gtrace(gel(x,i)));
    1510             : 
    1511         784 :     case t_POLMOD:
    1512         784 :       y = gel(x,1); z = gel(x,2);
    1513         784 :       if (typ(z) != t_POL || varn(y) != varn(z)) return gmulsg(degpol(y), z);
    1514         476 :       av = avma;
    1515         476 :       return gerepileupto(av, RgXQ_trace(z, y));
    1516             : 
    1517          28 :     case t_FFELT:
    1518          28 :       retmkintmod(FF_trace(x), FF_p(x));
    1519             : 
    1520           7 :     case t_RFRAC:
    1521           7 :       av = avma; return gerepileupto(av, gadd(x, conj_i(x)));
    1522             : 
    1523           0 :     case t_VEC: case t_COL:
    1524           0 :       pari_APPLY_same(gtrace(gel(x,i)));
    1525             : 
    1526        1862 :     case t_MAT:
    1527        1862 :       lx = lg(x); if (lx == 1) return gen_0;
    1528             :       /*now lx >= 2*/
    1529        1855 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gtrace");
    1530        1848 :       av = avma; return gerepileupto(av, mattrace(x));
    1531             :   }
    1532           0 :   pari_err_TYPE("gtrace",x);
    1533             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1534             : }
    1535             : 
    1536             : /* Cholesky decomposition for positive definite matrix a
    1537             :  * [GTM138, Algo 2.7.6, matrix Q]
    1538             :  * If a is not positive definite return NULL. */
    1539             : GEN
    1540       69905 : qfgaussred_positive(GEN a)
    1541             : {
    1542       69905 :   pari_sp av = avma;
    1543             :   GEN b;
    1544       69905 :   long i,j,k, n = lg(a);
    1545             : 
    1546       69905 :   if (typ(a)!=t_MAT) pari_err_TYPE("qfgaussred_positive",a);
    1547       69905 :   if (n == 1) return cgetg(1, t_MAT);
    1548       69898 :   if (lgcols(a)!=n) pari_err_DIM("qfgaussred_positive");
    1549       69898 :   b = cgetg(n,t_MAT);
    1550      369964 :   for (j=1; j<n; j++)
    1551             :   {
    1552      300066 :     GEN p1=cgetg(n,t_COL), p2=gel(a,j);
    1553             : 
    1554      300066 :     gel(b,j) = p1;
    1555     1514876 :     for (i=1; i<=j; i++) gel(p1,i) = gel(p2,i);
    1556     1214810 :     for (   ; i<n ; i++) gel(p1,i) = gen_0;
    1557             :   }
    1558      364184 :   for (k=1; k<n; k++)
    1559             :   {
    1560      296720 :     GEN bk, p = gcoeff(b,k,k), invp;
    1561      296720 :     if (gsigne(p)<=0) return gc_NULL(av); /* not positive definite */
    1562      294286 :     invp = ginv(p);
    1563      294284 :     bk = row(b, k);
    1564     1194585 :     for (i=k+1; i<n; i++) gcoeff(b,k,i) = gmul(gel(bk,i), invp);
    1565     1194585 :     for (i=k+1; i<n; i++)
    1566             :     {
    1567      900300 :       GEN c = gel(bk, i);
    1568     5560105 :       for (j=i; j<n; j++)
    1569     4659805 :         gcoeff(b,i,j) = gsub(gcoeff(b,i,j), gmul(c,gcoeff(b,k,j)));
    1570             :     }
    1571      294285 :     if (gc_needed(av,1))
    1572             :     {
    1573           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"qfgaussred_positive");
    1574           0 :       b=gerepilecopy(av,b);
    1575             :     }
    1576             :   }
    1577       67464 :   return gerepilecopy(av,b);
    1578             : }
    1579             : 
    1580             : GEN
    1581       68549 : RgM_Cholesky(GEN M, long prec)
    1582             : {
    1583       68549 :   pari_sp av = avma;
    1584       68549 :   long i, j, lM = lg(M);
    1585       68549 :   GEN R, L = qfgaussred_positive(M);
    1586       68549 :   if (!L) return gc_NULL(av);
    1587      339019 :   R = cgetg(lM, t_MAT); for (j = 1; j < lM; j++) gel(R,j) = cgetg(lM, t_COL);
    1588      339016 :   for (i = 1; i < lM; i++)
    1589             :   {
    1590      272904 :     GEN r = gsqrt(gcoeff(L,i,i), prec);
    1591     2029639 :     for (j = 1; j < lM; j++)
    1592     1756738 :       gcoeff(R, i, j) = (i == j) ? r: gmul(r, gcoeff(L, i, j));
    1593             :   }
    1594       66112 :   return gerepileupto(av, R);
    1595             : }
    1596             : 
    1597             : /* Maximal pivot strategy: x is a suitable pivot if it is non zero and either
    1598             :  * - an exact type, or
    1599             :  * - it is maximal among remaining nonzero (t_REAL) pivots */
    1600             : static int
    1601       47429 : suitable(GEN x, long k, GEN *pp, long *pi)
    1602             : {
    1603       47429 :   long t = typ(x);
    1604       47429 :   switch(t)
    1605             :   {
    1606       24785 :     case t_INT: return signe(x) != 0;
    1607       22490 :     case t_FRAC: return 1;
    1608         154 :     case t_REAL: {
    1609         154 :       GEN p = *pp;
    1610         154 :       if (signe(x) && (!p || abscmprr(p, x) < 0)) { *pp = x; *pi = k; }
    1611         154 :       return 0;
    1612             :     }
    1613           0 :     default: return !gequal0(x);
    1614             :   }
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : /* Gauss reduction (arbitrary symmetric matrix, only the part above the
    1618             :  * diagonal is considered). If signature is nonzero, return only the
    1619             :  * signature, in which case gsigne() should be defined for elements of a. */
    1620             : static GEN
    1621       12200 : gaussred(GEN a, long signature)
    1622             : {
    1623             :   GEN r, ak, al;
    1624       12200 :   pari_sp av = avma, av1;
    1625       12200 :   long n = lg(a), i, j, k, l, sp, sn, t;
    1626             : 
    1627       12200 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("gaussred",a);
    1628       12200 :   if (n == 1) return signature? mkvec2(gen_0, gen_0): cgetg(1, t_MAT);
    1629       12200 :   if (lgcols(a) != n) pari_err_DIM("gaussred");
    1630       12200 :   n--;
    1631       12200 :   r = const_vecsmall(n, 1); av1= avma;
    1632       12200 :   a = RgM_shallowcopy(a);
    1633       12200 :   t = n; sp = sn = 0;
    1634       59461 :   while (t)
    1635             :   {
    1636       47261 :     long pind = 0;
    1637       47261 :     GEN invp, p = NULL;
    1638      130579 :     k=1; while (k<=n && (!r[k] || !suitable(gcoeff(a,k,k), k, &p, &pind))) k++;
    1639       47261 :     if (k > n && p) k = pind;
    1640       47261 :     if (k <= n)
    1641             :     {
    1642       47247 :       p = gcoeff(a,k,k); invp = ginv(p); /* != 0 */
    1643       47247 :       if (signature) { /* skip if (!signature): gsigne may fail ! */
    1644       47184 :         if (gsigne(p) > 0) sp++; else sn++;
    1645             :       }
    1646       47247 :       r[k] = 0; t--;
    1647       47247 :       ak = row(a, k);
    1648      260654 :       for (i=1; i<=n; i++)
    1649      213407 :         gcoeff(a,k,i) = r[i]? gmul(gcoeff(a,k,i), invp): gen_0;
    1650             : 
    1651      260654 :       for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1652             :       {
    1653       83052 :         GEN c = gel(ak,i); /* - p * a[k,i] */
    1654       83052 :         if (gequal0(c)) continue;
    1655      462136 :         for (j=1; j<=n; j++) if (r[j])
    1656      244348 :           gcoeff(a,i,j) = gsub(gcoeff(a,i,j), gmul(c,gcoeff(a,k,j)));
    1657             :       }
    1658       47247 :       gcoeff(a,k,k) = p;
    1659       47247 :       if (gc_needed(av1,1))
    1660             :       {
    1661           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gaussred (t = %ld)", t);
    1662           0 :         a = gerepilecopy(av1, a);
    1663             :       }
    1664             :     }
    1665             :     else
    1666             :     { /* all remaining diagonal coeffs are currently 0 */
    1667          14 :       for (k=1; k<=n; k++) if (r[k])
    1668             :       {
    1669          14 :         l=k+1; while (l<=n && (!r[l] || !suitable(gcoeff(a,k,l), l, &p, &pind))) l++;
    1670          14 :         if (l > n && p) l = pind;
    1671          14 :         if (l > n) continue;
    1672             : 
    1673          14 :         p = gcoeff(a,k,l); invp = ginv(p);
    1674          14 :         sp++; sn++;
    1675          14 :         r[k] = r[l] = 0; t -= 2;
    1676          14 :         ak = row(a, k);
    1677          14 :         al = row(a, l);
    1678          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1679             :         {
    1680          28 :           gcoeff(a,k,i) = gmul(gcoeff(a,k,i), invp);
    1681          28 :           gcoeff(a,l,i) = gmul(gcoeff(a,l,i), invp);
    1682             :         } else {
    1683          28 :           gcoeff(a,k,i) = gen_0;
    1684          28 :           gcoeff(a,l,i) = gen_0;
    1685             :         }
    1686             : 
    1687          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1688             :         { /* c = a[k,i] * p, d = a[l,i] * p; */
    1689          28 :           GEN c = gel(ak,i), d = gel(al,i);
    1690         140 :           for (j=1; j<=n; j++) if (r[j])
    1691          56 :             gcoeff(a,i,j) = gsub(gcoeff(a,i,j),
    1692          56 :                                  gadd(gmul(gcoeff(a,l,j), c),
    1693          56 :                                       gmul(gcoeff(a,k,j), d)));
    1694             :         }
    1695          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1696             :         {
    1697          28 :           GEN c = gcoeff(a,k,i), d = gcoeff(a,l,i);
    1698          28 :           gcoeff(a,k,i) = gadd(c, d);
    1699          28 :           gcoeff(a,l,i) = gsub(c, d);
    1700             :         }
    1701          14 :         gcoeff(a,k,l) = gen_1;
    1702          14 :         gcoeff(a,l,k) = gen_m1;
    1703          14 :         gcoeff(a,k,k) = gmul2n(p,-1);
    1704          14 :         gcoeff(a,l,l) = gneg(gcoeff(a,k,k));
    1705          14 :         if (gc_needed(av1,1))
    1706             :         {
    1707           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gaussred");
    1708           0 :           a = gerepilecopy(av1, a);
    1709             :         }
    1710          14 :         break;
    1711             :       }
    1712          14 :       if (k > n) break;
    1713             :     }
    1714             :   }
    1715       12200 :   if (!signature) return gerepilecopy(av, a);
    1716       12179 :   set_avma(av); return mkvec2s(sp, sn);
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : GEN
    1720          21 : qfgaussred(GEN a) { return gaussred(a,0); }
    1721             : 
    1722             : GEN
    1723           7 : qfgaussred2(GEN a)
    1724             : {
    1725           7 :   pari_sp av = avma;
    1726           7 :   GEN M = qfgaussred(a);
    1727           7 :   long i, l = lg(M);
    1728           7 :   GEN D = cgetg(l, t_VEC);
    1729          35 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1730             :   {
    1731          28 :     gel(D,i) = gcoeff(M,i,i);
    1732          28 :     gcoeff(M,i,i) = gen_1;
    1733             :   }
    1734           7 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(M,D));
    1735             : }
    1736             : 
    1737             : GEN
    1738          21 : qfgaussred0(GEN a, long flag)
    1739             : {
    1740          21 :   switch (flag)
    1741             :   {
    1742          14 :     case 0: return qfgaussred(a);
    1743           7 :     case 1: return qfgaussred2(a);
    1744           0 :     default: pari_err_FLAG("qfgaussred");
    1745             :   }
    1746             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1747             : }
    1748             : 
    1749             : GEN
    1750          14 : qfcholesky(GEN a, long prec)
    1751             : {
    1752             :   GEN M;
    1753          14 :   long n = lg(a);
    1754          14 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("qfcholesky",a);
    1755          14 :   if (n == 1) return cgetg(1, t_MAT);
    1756          14 :   if (lgcols(a) != lg(a)) pari_err_DIM("qfcholesky");
    1757          14 :   M =  RgM_Cholesky(a, prec);
    1758          14 :   if (!M) return cgetg(1, t_VEC);
    1759           7 :   return M;
    1760             : }
    1761             : 
    1762             : GEN
    1763       12179 : qfsign(GEN a) { return gaussred(a,1); }
    1764             : 
    1765             : /* x -= s(y+u*x) */
    1766             : /* y += s(x-u*y), simultaneously */
    1767             : static void
    1768       19180 : rot(GEN x, GEN y, GEN s, GEN u) {
    1769       19180 :   GEN x1 = subrr(x, mulrr(s,addrr(y,mulrr(u,x))));
    1770       19180 :   GEN y1 = addrr(y, mulrr(s,subrr(x,mulrr(u,y))));
    1771       19180 :   affrr(x1,x);
    1772       19180 :   affrr(y1,y);
    1773       19180 : }
    1774             : 
    1775             : /* Diagonalization of a REAL symmetric matrix. Return a vector [L, r]:
    1776             :  * L = vector of eigenvalues
    1777             :  * r = matrix of eigenvectors */
    1778             : GEN
    1779          28 : jacobi(GEN a, long prec)
    1780             : {
    1781             :   pari_sp av;
    1782          28 :   long de, e, e1, e2, i, j, p, q, l = lg(a);
    1783             :   GEN c, ja, L, r, L2, r2, unr;
    1784             : 
    1785          28 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("jacobi",a);
    1786          28 :   ja = cgetg(3,t_VEC);
    1787          28 :   L = cgetg(l,t_COL); gel(ja,1) = L;
    1788          28 :   r = cgetg(l,t_MAT); gel(ja,2) = r;
    1789          28 :   if (l == 1) return ja;
    1790          28 :   if (lgcols(a) != l) pari_err_DIM("jacobi");
    1791             : 
    1792          28 :   e1 = HIGHEXPOBIT-1;
    1793         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1794             :   {
    1795         196 :     GEN z = gtofp(gcoeff(a,j,j), prec);
    1796         196 :     gel(L,j) = z;
    1797         196 :     e = expo(z); if (e < e1) e1 = e;
    1798             :   }
    1799         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1800             :   {
    1801         196 :     gel(r,j) = cgetg(l,t_COL);
    1802        1582 :     for (i=1; i<l; i++) gcoeff(r,i,j) = utor(i==j? 1: 0, prec);
    1803             :   }
    1804          28 :   av = avma;
    1805             : 
    1806          28 :   e2 = -(long)HIGHEXPOBIT; p = q = 1;
    1807          28 :   c = cgetg(l,t_MAT);
    1808         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1809             :   {
    1810         196 :     gel(c,j) = cgetg(j,t_COL);
    1811         791 :     for (i=1; i<j; i++)
    1812             :     {
    1813         595 :       GEN z = gtofp(gcoeff(a,i,j), prec);
    1814         595 :       gcoeff(c,i,j) = z;
    1815         595 :       if (!signe(z)) continue;
    1816         308 :       e = expo(z); if (e > e2) { e2 = e; p = i; q = j; }
    1817             :     }
    1818             :   }
    1819          28 :   a = c; unr = real_1(prec);
    1820          28 :   de = prec2nbits(prec);
    1821             : 
    1822             :  /* e1 = min expo(a[i,i])
    1823             :   * e2 = max expo(a[i,j]), i != j */
    1824        1568 :   while (e1-e2 < de)
    1825             :   {
    1826        1540 :     pari_sp av2 = avma;
    1827             :     GEN x, y, t, c, s, u;
    1828             :     /* compute attached rotation in the plane formed by basis vectors number
    1829             :      * p and q */
    1830        1540 :     x = subrr(gel(L,q),gel(L,p));
    1831        1540 :     if (signe(x))
    1832             :     {
    1833        1512 :       x = divrr(x, shiftr(gcoeff(a,p,q),1));
    1834        1512 :       y = sqrtr(addrr(unr, sqrr(x)));
    1835        1512 :       t = invr((signe(x)>0)? addrr(x,y): subrr(x,y));
    1836             :     }
    1837             :     else
    1838          28 :       y = t = unr;
    1839        1540 :     c = sqrtr(addrr(unr,sqrr(t)));
    1840        1540 :     s = divrr(t,c);
    1841        1540 :     u = divrr(t,addrr(unr,c));
    1842             : 
    1843             :     /* compute successive transforms of a and the matrix of accumulated
    1844             :      * rotations (r) */
    1845        4144 :     for (i=1;   i<p; i++) rot(gcoeff(a,i,p), gcoeff(a,i,q), s,u);
    1846        4039 :     for (i=p+1; i<q; i++) rot(gcoeff(a,p,i), gcoeff(a,i,q), s,u);
    1847        4487 :     for (i=q+1; i<l; i++) rot(gcoeff(a,p,i), gcoeff(a,q,i), s,u);
    1848        1540 :     y = gcoeff(a,p,q);
    1849        1540 :     t = mulrr(t, y); shiftr_inplace(y, -de - 1);
    1850        1540 :     x = gel(L,p); subrrz(x,t, x);
    1851        1540 :     y = gel(L,q); addrrz(y,t, y);
    1852       12670 :     for (i=1; i<l; i++) rot(gcoeff(r,i,p), gcoeff(r,i,q), s,u);
    1853             : 
    1854        1540 :     e2 = -(long)HIGHEXPOBIT; p = q = 1;
    1855       12670 :     for (j=1; j<l; j++)
    1856             :     {
    1857       46396 :       for (i=1; i<j; i++)
    1858             :       {
    1859       35266 :         GEN z = gcoeff(a,i,j);
    1860       35266 :         if (!signe(z)) continue;
    1861       31080 :         e = expo(z); if (e > e2) { e2=e; p=i; q=j; }
    1862             :       }
    1863       46396 :       for (i=j+1; i<l; i++)
    1864             :       {
    1865       35266 :         GEN z = gcoeff(a,j,i);
    1866       35266 :         if (!signe(z)) continue;
    1867       31080 :         e = expo(z); if (e > e2) { e2=e; p=j; q=i; }
    1868             :       }
    1869             :     }
    1870        1540 :     set_avma(av2);
    1871             :   }
    1872             :   /* sort eigenvalues from smallest to largest */
    1873          28 :   c = indexsort(L);
    1874         224 :   r2 = vecpermute(r, c); for (i=1; i<l; i++) gel(r,i) = gel(r2,i);
    1875         224 :   L2 = vecpermute(L, c); for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = gel(L2,i);
    1876          28 :   set_avma(av); return ja;
    1877             : }
    1878             : 
    1879             : /*************************************************************************/
    1880             : /**                                                                     **/
    1881             : /**                   Q-vector space -> Z-modules                       **/
    1882             : /**                                                                     **/
    1883             : /*************************************************************************/
    1884             : 
    1885             : GEN
    1886         133 : matrixqz0(GEN x,GEN p)
    1887             : {
    1888         133 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matrixqz",x);
    1889         133 :   if (!p) return QM_minors_coprime(x,NULL);
    1890          98 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("matrixqz",p);
    1891          98 :   if (signe(p)>=0) return QM_minors_coprime(x,p);
    1892          91 :   if (!RgM_is_QM(x)) pari_err_TYPE("matrixqz", x);
    1893          91 :   if (absequaliu(p,1)) return QM_ImZ(x); /* p = -1 */
    1894          63 :   if (absequaliu(p,2)) return QM_ImQ(x); /* p = -2 */
    1895           7 :   pari_err_FLAG("QM_minors_coprime");
    1896             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1897             : }
    1898             : 
    1899             : GEN
    1900          42 : QM_minors_coprime(GEN x, GEN D)
    1901             : {
    1902          42 :   pari_sp av = avma, av1;
    1903             :   long i, j, m, n, lP;
    1904             :   GEN P, y;
    1905             : 
    1906          42 :   n = lg(x)-1; if (!n) return gcopy(x);
    1907          42 :   m = nbrows(x);
    1908          42 :   if (n > m) pari_err_DOMAIN("QM_minors_coprime","n",">",strtoGENstr("m"),x);
    1909          35 :   y = x; x = cgetg(n+1,t_MAT);
    1910         112 :   for (j=1; j<=n; j++)
    1911             :   {
    1912          77 :     gel(x,j) = Q_primpart(gel(y,j));
    1913          77 :     RgV_check_ZV(gel(x,j), "QM_minors_coprime");
    1914             :   }
    1915             :   /* x now a ZM */
    1916          35 :   if (n==m)
    1917             :   {
    1918          21 :     if (gequal0(ZM_det(x)))
    1919          14 :       pari_err_DOMAIN("QM_minors_coprime", "rank(A)", "<",stoi(n),x);
    1920           7 :     set_avma(av); return matid(n);
    1921             :   }
    1922             :   /* m > n */
    1923          14 :   if (!D || gequal0(D))
    1924             :   {
    1925          14 :     pari_sp av2 = avma;
    1926          14 :     D = ZM_detmult(shallowtrans(x));
    1927          14 :     if (is_pm1(D)) { set_avma(av2); return ZM_copy(x); }
    1928             :   }
    1929          14 :   P = gel(Z_factor(D), 1); lP = lg(P);
    1930          14 :   av1 = avma;
    1931          56 :   for (i=1; i < lP; i++)
    1932             :   {
    1933          42 :     GEN p = gel(P,i), pov2 = shifti(p, -1);
    1934             :     for(;;)
    1935          42 :     {
    1936          84 :       GEN N, M = FpM_ker(x, p);
    1937          84 :       long lM = lg(M);
    1938          84 :       if (lM==1) break;
    1939             : 
    1940          42 :       FpM_center_inplace(M, p, pov2);
    1941          42 :       N = ZM_Z_divexact(ZM_mul(x,M), p);
    1942         126 :       for (j=1; j<lM; j++)
    1943             :       {
    1944         147 :         long k = n; while (!signe(gcoeff(M,k,j))) k--;
    1945          84 :         gel(x,k) = gel(N,j);
    1946             :       }
    1947          42 :       if (gc_needed(av1,1))
    1948             :       {
    1949           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"QM_minors_coprime, p = %Ps", p);
    1950           0 :         x = gerepilecopy(av1, x); pov2 = shifti(p, -1);
    1951             :       }
    1952             :     }
    1953             :   }
    1954          14 :   return gerepilecopy(av, x);
    1955             : }
    1956             : 
    1957             : static GEN
    1958        3479 : QM_ImZ_all_i(GEN A, GEN *U, long remove, long hnf, long linindep)
    1959             : {
    1960        3479 :   GEN V = NULL, D;
    1961        3479 :   A = Q_remove_denom(A,&D);
    1962        3479 :   if (D)
    1963             :   {
    1964             :     long l, lA;
    1965        1190 :     V = matkermod(A,D,NULL);
    1966        1190 :     l = lg(V); lA = lg(A);
    1967        1190 :     if (l == 1) V = scalarmat_shallow(D, lA-1);
    1968             :     else
    1969             :     {
    1970        1015 :       if (l < lA) V = hnfmodid(V,D);
    1971        1015 :       A = ZM_Z_divexact(ZM_mul(A, V), D);
    1972             :     }
    1973             :   }
    1974        3479 :   if (!linindep && ZM_rank(A)==lg(A)-1) linindep = 1;
    1975        3479 :   if (hnf || !linindep) A = ZM_hnflll(A, U, remove);
    1976        3479 :   if (U && V)
    1977             :   {
    1978        1057 :     if (hnf)    *U = ZM_mul(V,*U);
    1979           0 :     else        *U = V;
    1980             :   }
    1981        3479 :   return A;
    1982             : }
    1983             : GEN
    1984          28 : QM_ImZ_all(GEN x, GEN *U, long remove, long hnf)
    1985             : {
    1986          28 :   pari_sp av = avma;
    1987          28 :   x = QM_ImZ_all_i(x, U, remove, hnf, 0);
    1988          28 :   return gc_all(av, U?2:1, &x, &U);
    1989             : }
    1990             : GEN
    1991           0 : QM_ImZ_hnfall(GEN x, GEN *U, long remove) { return QM_ImZ_all(x, U, remove, 1); }
    1992             : GEN
    1993           0 : QM_ImZ_hnf(GEN x) { return QM_ImZ_hnfall(x, NULL, 1); }
    1994             : GEN
    1995          28 : QM_ImZ(GEN x) { return QM_ImZ_all(x, NULL, 1, 0); }
    1996             : 
    1997             : GEN
    1998        3458 : QM_ImQ_all(GEN x, GEN *U, long remove, long hnf)
    1999             : {
    2000        3458 :   pari_sp av = avma;
    2001        3458 :   long i, n = lg(x), m;
    2002        3458 :   GEN ir, V, D, c, K = NULL;
    2003             : 
    2004        3458 :   if (U) *U = matid(n-1);
    2005        3458 :   if (n==1) return gcopy(x);
    2006        3451 :   m = lg(gel(x,1));
    2007             : 
    2008        3451 :   x = RgM_shallowcopy(x);
    2009       15029 :   for (i=1; i<n; i++)
    2010             :   {
    2011       11578 :     gel(x,i) = Q_primitive_part(gel(x,i), &c);
    2012       11578 :     if (U && c && signe(c)) gcoeff(*U,i,i) = ginv(c);
    2013             :   }
    2014             : 
    2015        3451 :   ir = ZM_indexrank(x);
    2016        3451 :   if (U)
    2017             :   {
    2018        2219 :     *U = vecpermute(*U, gel(ir,2));
    2019        2219 :     if (remove < 2) K = ZM_ker(x);
    2020             :   }
    2021        3451 :   x = vecpermute(x, gel(ir,2));
    2022             : 
    2023        3451 :   D = absi(ZM_det(rowpermute(x,gel(ir,1))));
    2024        3451 :   x = RgM_Rg_div(x, D);
    2025        3451 :   x = QM_ImZ_all_i(x, U? &V: NULL, remove, hnf, 1);
    2026             : 
    2027        3451 :   if (U)
    2028             :   {
    2029        2219 :     *U = RgM_Rg_div(RgM_mul(*U,V),D);
    2030        2219 :     if (remove < 2) *U = shallowconcat(K,*U);
    2031        2219 :     if (!remove) x = shallowconcat(zeromatcopy(m-1,lg(K)-1), x);
    2032        2219 :     gerepileall(av, 2, &x, U);
    2033             :   }
    2034        1232 :   else x = gerepilecopy(av,x);
    2035        3451 :   return x;
    2036             : }
    2037             : GEN
    2038        3402 : QM_ImQ_hnfall(GEN x, GEN *U, long remove) { return QM_ImQ_all(x, U, remove, 1); }
    2039             : GEN
    2040        1183 : QM_ImQ_hnf(GEN x) { return QM_ImQ_hnfall(x, NULL, 1); }
    2041             : GEN
    2042          56 : QM_ImQ(GEN x) { return QM_ImQ_all(x, NULL, 1, 0); }
    2043             : 
    2044             : GEN
    2045        5691 : intersect(GEN x, GEN y)
    2046             : {
    2047        5691 :   long j, lx = lg(x);
    2048             :   pari_sp av;
    2049             :   GEN z;
    2050             : 
    2051        5691 :   if (typ(x)!=t_MAT) pari_err_TYPE("intersect",x);
    2052        5691 :   if (typ(y)!=t_MAT) pari_err_TYPE("intersect",y);
    2053        5691 :   if (lx==1 || lg(y)==1) return cgetg(1,t_MAT);
    2054             : 
    2055        4207 :   av = avma; z = ker(shallowconcat(x,y));
    2056       18676 :   for (j=lg(z)-1; j; j--) setlg(z[j], lx);
    2057        4207 :   return gerepileupto(av, image(RgM_mul(x,z)));
    2058             : }

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