Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 21348-d75f58f) Lines: 4154 4416 94.1 %
Date: 2017-11-20 06:21:05 Functions: 369 378 97.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      277189 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      277189 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      276818 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      276818 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      276818 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      276818 : }
      37             : static GEN
      38     2741245 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2741245 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2741245 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2741245 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2741245 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2741246 : }
      46             : static GEN
      47       70105 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       70105 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       70105 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       70105 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       70105 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       70105 : }
      55             : static void
      56     2741099 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2741099 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2741099 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2741099 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2741099 : }
      62             : static void
      63      276818 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      276818 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      276818 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      276818 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      276818 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22740 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22740 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22741 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22740 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22740 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         371 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         371 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         371 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         371 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         371 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22740 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22740 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22740 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         371 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         371 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         371 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         371 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      308263 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      308263 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      308257 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      303021 :     case 3: break;
     117        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      308257 : }
     122             : void
     123       72149 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       72149 :   long l = lg(E);
     126       72149 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       72149 : }
     128             : void
     129     4073222 : checkell(GEN E)
     130     4073222 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        3248 : checkellisog(GEN v)
     133        3248 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        3521 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        3521 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        3514 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      553179 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      553179 :   long t = ell_get_type(E);
     153      553179 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      279440 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      279440 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      279433 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      180441 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      180441 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      180441 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         280 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         560 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         245 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         231 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         231 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         511 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72730 : checkcoordch(GEN z)
     182       72730 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        8982 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        8982 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        8982 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193        3258 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196        4208 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199        4208 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201        4229 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202        4229 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204        1086 :     R = real_i(R);
     205        1086 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206        1086 :     e1 = gel(R,1);
     207        1086 :     e2 = gel(R,2);
     208        1086 :     e3 = gel(R,3);
     209        1086 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210        1086 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211        1086 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212        1086 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          21 :       prec = precdbl(prec);
     215          21 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          21 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219        3143 :     e1 = gel(R,1);
     220        3143 :     e2 = gel(R,2);
     221        3143 :     e3 = gel(R,3);
     222        3143 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224        1001 :       e1 = real_i(e1);
     225        1001 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227        3143 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228        3143 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229        3143 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231        4208 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      529466 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      529466 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      529466 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      529466 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      529466 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      529466 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      546973 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      546973 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      546973 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      546973 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1170428 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1170428 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1170428 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1170428 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267       15519 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269       15519 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270       15519 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        2205 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        2205 :   pari_sp av = avma;
     282        2205 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        2205 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        2205 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        2205 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        2205 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        2205 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        6139 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        6139 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        6139 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1687 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1687 :   pari_sp av = avma;
     316        1687 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1687 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1687 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1687 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1687 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1687 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     326             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     327             : GEN
     328          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330          14 :   pari_sp av = avma;
     331          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     334          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     335          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     336          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     337          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     338          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     339             : }
     340             : 
     341             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     342             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     343             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     344             : GEN
     345        1491 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     346             : {
     347        1491 :   pari_sp av = avma;
     348        1491 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     349        1491 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     350        1491 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     351        1491 :   return gerepileupto(av, res);
     352             : }
     353             : 
     354             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     355             : GEN
     356        2450 : ellbasechar(GEN E)
     357             : {
     358        2450 :   pari_sp av = avma;
     359        2450 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     360        2450 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     361             : }
     362             : 
     363             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     364             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     365             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     366             :  * component y[16])*/
     367             : static GEN
     368      681505 : initsmall(GEN x, long n)
     369             : {
     370             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     371      681505 :   GEN y = obj_init(15, n);
     372      681505 :   switch(lg(x))
     373             :   {
     374             :     case 1:
     375             :     case 2:
     376             :     case 4:
     377             :     case 5:
     378           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     379             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     380             :     case 3:
     381       15456 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     382       15456 :       a4 = gel(x,1);
     383       15456 :       a6 = gel(x,2);
     384       15456 :       b2 = gen_0;
     385       15456 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     386       15456 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     387       15456 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     388       15456 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     389       15456 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     390       15456 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     391       15456 :       break;
     392             :     default: /* l > 5 */
     393             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     394      666042 :       a1 = gel(x,1);
     395      666042 :       a2 = gel(x,2);
     396      666042 :       a3 = gel(x,3);
     397      666042 :       a4 = gel(x,4);
     398      666042 :       a6 = gel(x,5);
     399      666042 :       a11= gsqr(a1);
     400      666040 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     401      666040 :       a13= gmul(a1, a3);
     402      666040 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     403      666043 :       a33= gsqr(a3);
     404      666041 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     405      666040 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     406      666040 :       b22= gsqr(b2);
     407      666041 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     408      666043 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     409      666044 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     410             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     411      666042 :       break;
     412             :     }
     413             :   }
     414      681498 :   gel(y,1) = a1;
     415      681498 :   gel(y,2) = a2;
     416      681498 :   gel(y,3) = a3;
     417      681498 :   gel(y,4) = a4;
     418      681498 :   gel(y,5) = a6;
     419      681498 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     420      681498 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     421      681498 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     422      681498 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     423      681498 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     424      681498 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     425      681498 :   gel(y,12)= D;
     426      681498 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     427             : 
     428      673539 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     429         301 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     430         301 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     431         301 :     if (degpol(g) == 0)
     432         259 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     433             :     else
     434             :     {
     435          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     436          42 :       D = RgX_div(D, g);
     437          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     438          42 :       if (degpol(g) == 0)
     439           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     440             :       else
     441             :       {
     442          35 :         D = RgX_div(D, g);
     443          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     444          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     445          35 :         if (degpol(g))
     446             :         {
     447          21 :           D = RgX_div(D, g);
     448          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     449             :         }
     450          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     451             :       }
     452             :     }
     453             :   }
     454             :   else
     455      673238 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     456      673540 :   gel(y,13) = j;
     457      673540 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     458             : }
     459             : 
     460             : void
     461           0 : ellprint(GEN e)
     462             : {
     463           0 :   pari_sp av = avma;
     464             :   long vx, vy;
     465             :   GEN z;
     466           0 :   checkell5(e);
     467           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     468           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     469           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     470           0 :   (void)delete_var();
     471           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     472           0 : }
     473             : 
     474             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     475             : static GEN
     476         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     477             : {
     478         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     479         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     480             : 
     481         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     482         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     483         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     484             :   else
     485          98 :     b = cxnorm(d3);
     486         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     487         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     488         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     489         203 :   return mkvec2(a, b);
     490             : }
     491             : GEN
     492        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     493        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     494             : 
     495             : /* a1, b1 are t_PADICs, a1/b1 = 1 (mod p) if p odd, (mod 2^4) otherwise.
     496             :  * Let (A_n, B_n) be defined by A_1 = a1/p^v, B_1 = b1/p^v, v=v(a1)=v(a2);
     497             :  *   A_{n+1} = (A_n + B_n + 2 B_{n+1}) / 4
     498             :  *   B_{n+1} = B_n sqrt(A_n / B_n) = square root of A_n B_n congruent to B_n
     499             :  *   R_n = p^v( A_n - B_n ) = r_{n+1}
     500             :  * Return [An,Bn,Rn]. N.B. lim An = M2(a1,b1) = M(sqrt(a1),sqrt(b1))^2 */
     501             : static GEN
     502         210 : Qp_agm2_sequence(GEN a1, GEN b1)
     503             : {
     504         210 :   GEN bp, pmod, p = gel(a1,2), q = gel(a1,3), An, Bn, Rn;
     505         210 :   long pp = precp(a1), v = valp(a1), i;
     506         210 :   int pis2 = absequaliu(p,2);
     507         210 :   a1 = gel(a1,4);
     508         210 :   b1 = gel(b1,4);
     509         210 :   if (pis2)
     510         154 :     pmod = utoipos(8);
     511             :   else
     512          56 :     pmod = p;
     513         210 :   bp = modii(b1, pmod);
     514         210 :   An = cgetg(pp+1, t_VEC); /* overestimate: rather log_2(pp) */
     515         210 :   Bn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     516         210 :   Rn = cgetg(pp+1, t_VEC);
     517         714 :   for(i = 1;; i++)
     518             :   {
     519         714 :     GEN a = a1, b = b1, r;
     520             :     long vr;
     521         714 :     gel(An, i) = a;
     522         714 :     gel(Bn, i) = b;
     523         714 :     r = subii(a,b);
     524         924 :     if (!signe(r)) break;
     525         532 :     vr = Z_pvalrem(r,p,&r);
     526         532 :     if (vr >= pp) break;
     527         504 :     r = cvtop(r, p, pp - vr); setvalp(r, vr+v);
     528         504 :     gel(Rn, i) = r;
     529             : 
     530         504 :     b1 = Zp_sqrt(Fp_mul(a,b,q), p, pp);
     531         504 :     if (!b1) pari_err_PREC("p-adic AGM");
     532         504 :     if (!equalii(modii(b1,pmod), bp)) b1 = Fp_neg(b1, q);
     533             :     /* a1 = (a+b+2sqrt(ab))/4 */
     534         504 :     if (pis2)
     535             :     {
     536         343 :       b1 = remi2n(b1, pp-1);
     537         343 :       a1 = shifti(addii(addii(a,b), shifti(b1,1)),-2);
     538         343 :       a1 = remi2n(a1, pp-2);
     539         343 :       pp -= 2;
     540             :     }
     541             :     else
     542         161 :       a1 = modii(Fp_halve(addii(Fp_halve(addii(a,b),q), b1), q), q);
     543         504 :   }
     544         210 :   setlg(An,i+1);
     545         210 :   setlg(Bn,i+1);
     546         210 :   setlg(Rn,i); return mkvec4(An, Bn, Rn, stoi(v));
     547             : }
     548             : static void
     549         301 : Qp_descending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     550             : {
     551         301 :   GEN R = gel(AB,3);
     552         301 :   long i, n = lg(R)-1;
     553         301 :   GEN x = *ptx;
     554         301 :   if (isintzero(x))
     555             :   {
     556         210 :     i = 2;
     557         210 :     x = gmul2n(gel(R,1),-2);
     558         210 :     if (pty)
     559             :     {
     560           0 :       GEN A = gel(AB,1);
     561           0 :       if (n == 1)
     562           0 :         *pty = gmul(x, Qp_sqrt(gadd(x,gel(A,2))));
     563             :       else
     564           0 :         *pty = Qp_sqrt(gmul(gmul(x, gadd(x,gel(A,2))), gadd(x,gel(R,2))));
     565           0 :       if (!*pty) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     566             :     }
     567             :   }
     568             :   else
     569          91 :     i = 1;
     570         833 :   for (; i <= n; i++)
     571             :   {
     572         532 :     GEN r = gel(R,i), t;
     573         532 :     if (gequal0(x)) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     574         532 :     t = Qp_sqrt(gaddsg(1, gdiv(r,x))); /* = 1 (mod p) */
     575         532 :     if (!t) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     576         532 :     if (i == n)
     577             :     {
     578         259 :       GEN p = gel(r,2);
     579         259 :       long v, vx = valp(x), vr = valp(r);
     580         259 :       if (vx >= vr) pari_err_PREC("Qp_descending_Landen");
     581             :       /* last loop, take into account loss of accuracy from multiplication
     582             :        * by \prod_{j > n} sqrt(1+r_j/x_j); since vx < vr, j = n+1 is enough */
     583         259 :       v = 2*vr - vx;
     584             :       /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| + 1 bit for sqrt loss */
     585         259 :       if (absequaliu(p,2)) v -= 4;
     586             :       /* tail is 1 + O(p^v) */
     587         259 :       if (v < precp(x)) x = cvtop(x,p,v);
     588             :     }
     589             :     /* x_{n+1} = x_n  ((1 + sqrt(1 + r_n/x_n)) / 2)^2 */
     590         532 :     x = gmul(x, gsqr(gmul2n(gaddsg(1,t),-1)));
     591             :     /* y_{n+1} = y_n / (1 - (r_n/4x_{n+1})^2) */
     592         532 :     if (pty) *pty = gdiv(*pty, gsubsg(1, gsqr(gdiv(r,gmul2n(x,2)))));
     593             :   }
     594         301 :   *ptx = x;
     595         301 : }
     596             : static void
     597          56 : Qp_ascending_Landen(GEN AB, GEN *ptx, GEN *pty)
     598             : {
     599          56 :   GEN A = gel(AB,1), R = gel(AB,3), x = *ptx, p, r;
     600          56 :   long n = lg(R)-1, va = itos(gel(AB,4)), v, i;
     601             : 
     602          56 :   r = gel(R,n);
     603          56 :   v = 2*valp(r) + va;
     604          56 :   if (typ(x) == t_PADIC)
     605          35 :     v -= 2*valp(x);
     606             :   else
     607          21 :     v -= valp(gnorm(x)); /* v(x) = v(Nx) / (e*f), here ef = 2 */
     608          56 :   p = gel(r,2);
     609          56 :   if (absequaliu(p,2)) v -= 3; /* |r_{n+1}| <= |(r_n)^2 / 8| */
     610             :   /* v = v(A[n+1] R[n+1] / x_{n+1}^2) */
     611          56 :   if (v <= 0) pari_err_PREC("Qp_ascending_Landen");
     612             :   /* v > 0 => v = v(x_oo) = ... = v(x_{n+1}) */
     613          56 :   x = gsub(x, gmul2n(r,-1));
     614          56 :   if (padicprec_relative(x) > v) x = gcvtop(x, p, v);
     615             :   /* x = x_n */
     616         154 :   for (i = n; i > 1; i--)
     617             :   {
     618          98 :     GEN ar = gmul(gel(A,i),gel(R,i)), xp;
     619          98 :     setvalp(ar, valp(ar)+va); /* A_i = A[i] * p^va */
     620             :     /* x_{i-1} = x_i + a_i r_i / x_i - r_{i-1}/2 */
     621          98 :     xp = gsub(gadd(x, gdiv(ar, x)), gmul2n(gel(R,i-1),-1));
     622             :     /* y_{i-1} = y_i (1 - a_i r_i / x^2) */
     623          98 :     if (pty) *pty = gmul(*pty, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x))));
     624          98 :     x = xp;
     625             :   }
     626          56 :   *ptx = x;
     627          56 : }
     628             : 
     629             : /* q a t_REAL*/
     630             : static long
     631          77 : real_prec(GEN q)
     632          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     633             : /* q a t_PADIC */
     634             : static long
     635         119 : padic_prec(GEN q)
     636         119 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     637             : 
     638             : /* check whether moduli are consistent */
     639             : static void
     640       99676 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     641       99676 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     642             : 
     643             : static int
     644       36337 : fix_nftype(GEN *pp)
     645             : {
     646       36337 :   switch(nftyp(*pp))
     647             :   {
     648       36337 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     649           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     650           0 :     default: return 0;
     651             :   }
     652       36337 :   return 1;
     653             : }
     654             : static long
     655      711388 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     656             : {
     657      711388 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     658      711389 :   GEN p = NULL;
     659      711389 :   long t = t_FRAC;
     660      711389 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     661             :   {
     662             :     case t_INT:
     663      490546 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     664        1925 :       p = *pp;
     665        1925 :       t = t_INTMOD;
     666        1925 :       break;
     667             :     case t_INTMOD:
     668           7 :       p = gel(*pp, 1);
     669           7 :       break;
     670             :     case t_REAL:
     671          21 :       e = real_prec(*pp);
     672          21 :       p = NULL;
     673          21 :       break;
     674             :     case t_PADIC:
     675          91 :       ep = padic_prec(*pp);
     676          91 :       p = gel(*pp, 2);
     677          91 :       break;
     678             :     case t_FFELT:
     679       16912 :       p = *pp;
     680       16912 :       break;
     681             :     case t_VEC:
     682       36337 :       t = t_VEC; p = *pp;
     683       36337 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     684             :     default:
     685           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     686           0 :       return 0;
     687             :   }
     688             :   /* Possible cases:
     689             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     690             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     691             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     692             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     693             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     694             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     695     4216186 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     696             :   {
     697     3507428 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     698     3507428 :     switch(typ(q)) {
     699             :       case t_PADIC:
     700          49 :         p2 = gel(q,2);
     701          49 :         switch(t)
     702             :         {
     703          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     704          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     705          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     706             :         }
     707          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     708          28 :         break;
     709             :       case t_INTMOD:
     710      124621 :         p2 = gel(q,1);
     711      124621 :         switch(t)
     712             :         {
     713       24959 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     714          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     715       99599 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     716          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     717             :         }
     718      124607 :         break;
     719             :       case t_FFELT:
     720      256096 :         switch(t)
     721             :         {
     722          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     723       96035 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     724             :           case t_FFELT:
     725      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     726      160055 :             break;
     727           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     728             :         }
     729      256090 :         break;
     730             : 
     731     3122924 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     732             :       case t_REAL:
     733          56 :         switch(t)
     734             :         {
     735          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     736          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     737           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     738             :         }
     739          56 :         break;
     740             :       case t_COL:
     741             :       case t_POL:
     742             :       case t_POLMOD:
     743        3668 :         if (t == t_VEC) break;
     744             :       default: /* base ring too general */
     745        2583 :         return t_COMPLEX;
     746             :     }
     747             :   }
     748      708758 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     749             : }
     750             : 
     751             : static GEN
     752        5894 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     753             : {
     754             :   GEN y;
     755             :   long s;
     756        5894 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     757        5894 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     758        5894 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     759        5894 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     760        5894 :   return y;
     761             : }
     762             : 
     763             : static GEN
     764          91 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     765             : {
     766             :   GEN y;
     767          91 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     768          91 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     769          91 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     770          91 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     771          91 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     772          91 :   return y;
     773             : }
     774             : 
     775             : static GEN
     776      495712 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     777             : {
     778             :   GEN y;
     779             :   long s;
     780      495712 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     781      495579 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     782      495579 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     783      495579 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     784      495579 :   return y;
     785             : }
     786             : 
     787             : /* shallow basistoalg */
     788             : static GEN
     789      386904 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     790             : {
     791      386904 :   switch(typ(x))
     792             :   {
     793      383558 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     794        3346 :     default: return basistoalg(nf, x);
     795             :   }
     796             : }
     797             : static GEN
     798       36925 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     799             : {
     800             :   long i, l;
     801       36925 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     802       36925 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     803       36925 :   return y;
     804             : }
     805             : 
     806             : static GEN
     807       36911 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     808             : {
     809             :   GEN y, nf;
     810       36911 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     811       36911 :   nf = checknf(p);
     812       36911 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     813       36911 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     814       36911 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     815       36911 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     816       36911 :   return y;
     817             : }
     818             : 
     819             : static GEN
     820       29881 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     821             : {
     822             :   long i;
     823             :   GEN y, disc;
     824       29881 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     825       24938 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     826        2723 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     827       22215 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     828       22221 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     829      310912 :   for(i=1;i<=13;i++)
     830      288697 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     831       22215 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     832       22216 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     833       22216 :   return y;
     834             : }
     835             : 
     836             : static GEN
     837      113016 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     838             : {
     839             :   GEN y;
     840      113016 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     841      110127 :   return FF_ellinit(y,fg);
     842             : }
     843             : 
     844             : static GEN
     845        3024 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     846             : {
     847        3024 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     848             :   GEN p, modP;
     849        3024 :   if (get_modpr(P))
     850             :   { /* modpr accept */
     851        2877 :     modP = P;
     852        2877 :     p = modpr_get_p(modP);
     853             :   }
     854             :   else
     855             :   { /* pr, initialize modpr */
     856         147 :     GEN d = Q_denom(e);
     857         147 :     p = pr_get_p(P);
     858         147 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     859             :   }
     860        3024 :   *pp = p;
     861        3024 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     862        3024 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     863             : }
     864             : static GEN
     865        3024 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     866             : {
     867             :   GEN T,p;
     868        3024 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     869        3024 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     870             : }
     871             : 
     872             : GEN
     873      677060 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     874             : {
     875      677060 :   pari_sp av = avma;
     876             :   GEN y;
     877      677060 :   switch(typ(x))
     878             :   {
     879           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     880             :     case t_VEC:
     881      677053 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     882      677055 :       break;
     883           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     884             :   }
     885      677061 :   if (D && get_prid(D))
     886             :   {
     887        2604 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     888        2604 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     889        2604 :     goto END;
     890             :   }
     891      674457 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     892             :   {
     893             :   case t_PADIC:
     894          91 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     895          91 :     break;
     896             :   case t_INTMOD:
     897       26864 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     898       26863 :     break;
     899             :   case t_FFELT:
     900      112820 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     901      112821 :     break;
     902             :   case t_FRAC:
     903      495712 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     904      495705 :     break;
     905             :   case t_REAL:
     906          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     907          21 :     break;
     908             :   case t_VEC:
     909       36337 :     y = ellinit_nf(x, D);
     910       36337 :     break;
     911             :   default:
     912        2562 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     913             :   }
     914             : END:
     915      677005 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     916      669032 :   return gerepilecopy(av,y);
     917             : }
     918             : 
     919             : /********************************************************************/
     920             : /**                                                                **/
     921             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     922             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     923             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     924             : /**  verbatim                                                      **/
     925             : /**                                                                **/
     926             : /********************************************************************/
     927             : /* [1,0,0,0] */
     928             : static GEN
     929     3267376 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     930             : static int
     931      456141 : is_trivial_change(GEN v)
     932             : {
     933             :   GEN u, r, s, t;
     934      456141 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     935      456141 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     936      456141 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     937             : }
     938             : 
     939             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     940             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     941             : static void
     942         476 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     943             : {
     944         476 :   GEN v = *vtotal;
     945             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     946             : 
     947         952 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     948         455 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     949         455 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     950         455 :   U2 = gsqr(U);
     951         455 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     952         455 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     953         455 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     954         455 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     955             : }
     956             : 
     957             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     958             : GEN
     959          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     960             : {
     961             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     962          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     963          21 :   u = gel(w,1);
     964          21 :   r = gel(w,2);
     965          21 :   s = gel(w,3);
     966          21 :   t = gel(w,4);
     967          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     968          21 :   U = ginv(u);
     969          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     970          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     971          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     972          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     973             : }
     974             : 
     975             : static GEN
     976       99218 : ell_to_nfell10(GEN e)
     977             : {
     978             :   long i;
     979       99218 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     980       99218 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     981     1091398 :   for(i=1; i<=10; i++)
     982      992180 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     983       99218 :   return y;
     984             : }
     985             : 
     986             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     987             : static GEN
     988      153363 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     989             : {
     990             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     991             :   long lx;
     992      153363 :   if (gequal1(u)) return e;
     993      152950 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     994      152950 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     995      152950 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     996      152950 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     997      152950 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     998      152950 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     999      152950 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
    1000      152950 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
    1001      152950 :   if (lx == 6) return y;
    1002      152943 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
    1003      152943 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
    1004      152943 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
    1005      152943 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
    1006      152943 :   return y;
    1007             : }
    1008             : /* apply [1,r,0,0] */
    1009             : static GEN
    1010      267162 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
    1011             : {
    1012             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1013             :   long lx;
    1014      267162 :   if (gequal0(r)) return e;
    1015      238840 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1016      238840 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
    1017      238840 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1018             : 
    1019      238840 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
    1020             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1021      238840 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
    1022             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1023      238840 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
    1024             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1025      238840 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
    1026             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1027      238840 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
    1028      238840 :   if (lx == 6) return y;
    1029             : 
    1030      238833 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1031      238833 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1032             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1033      238833 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1034      238833 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
    1035      238833 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1036             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1037      238833 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1038             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1039      238833 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1040             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1041      238833 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1042      238833 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1043      238833 :   return y;
    1044             : }
    1045             : 
    1046             : static GEN
    1047      109550 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1048             : {
    1049             :   GEN a1, y;
    1050      109550 :   if (gequal0(s)) return e;
    1051      109550 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1052      109550 :   y = leafcopy(e);
    1053             : 
    1054             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1055      109550 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1056             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1057      109550 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1058             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1059      109550 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1060      109550 :   return y;
    1061             : }
    1062             : /* apply [1,0,0,t] */
    1063             : static GEN
    1064      251783 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1065             : {
    1066             :   GEN a1, a3, y;
    1067      251783 :   if (gequal0(t)) return e;
    1068      251363 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1069      251363 :   y = leafcopy(e);
    1070             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1071      251363 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1072             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1073      251363 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1074             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1075      251363 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1076      251363 :   return y;
    1077             : }
    1078             : 
    1079             : /* apply [1,0,s,t] */
    1080             : static GEN
    1081       12901 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1082             : {
    1083             :   GEN y, a1, a3;
    1084       12901 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1085       12481 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1086       12481 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1087       12481 :   y = leafcopy(e);
    1088             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1089       12481 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1090             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1091       12481 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1092             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1093       12481 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1094             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1095       12481 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1096             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1097       12481 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1098       12481 :   return y;
    1099             : }
    1100             : 
    1101             : static GEN
    1102      171059 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1103             : {
    1104      171059 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1105      171059 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1106             : }
    1107             : 
    1108             : /* apply [1,r,s,t] */
    1109             : static GEN
    1110         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1111             : {
    1112         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1113         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1114             : }
    1115             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1116             : static GEN
    1117         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1118             : {
    1119         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1120         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1121         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1122             : }
    1123             : 
    1124             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1125             : static GEN
    1126       73052 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1127             : {
    1128             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1129             :   long lx;
    1130       73052 :   if (gequal1(u)) return e;
    1131       72751 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1132       72751 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1133       72751 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1134       72751 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1135       72751 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1136       72751 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1137       72751 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1138       72751 :   if (lx == 6) return y;
    1139       72751 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1140       72751 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1141       72751 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1142       72751 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1143       72751 :   u12 = gsqr(u6);
    1144       72751 :   D = ell_get_disc(e);
    1145       72751 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1146       72751 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1147       72751 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1148       72751 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1149       72751 :   D = gmul(D, u12);
    1150       72751 :   gel(y,10)= c4;
    1151       72751 :   gel(y,11)= c6;
    1152       72751 :   gel(y,12)= D;
    1153       72751 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1154       72751 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1155       72751 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1156       72751 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1157       72751 :   return y;
    1158             : }
    1159             : /* apply [1,r,0,0] */
    1160             : static GEN
    1161      611149 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1162             : {
    1163             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1164      611149 :   if (gequal0(r)) return e;
    1165      511805 :   y = leafcopy(e);
    1166      511805 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1167      511805 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1168             : 
    1169             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1170      511805 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1171             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1172      511805 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1173             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1174      511805 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1175             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1176      511805 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1177      511805 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1178             : 
    1179      511798 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1180      511798 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1181             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1182      511798 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1183      511798 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1184      511798 :   r2 = gsqr(r);
    1185             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1186      511798 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1187             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1188      511798 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1189             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1190      511798 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1191      511798 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1192      511798 :   return y;
    1193             : }
    1194             : /* apply [1,0,s,0] */
    1195             : static GEN
    1196      117992 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1197             : {
    1198             :   GEN a1, y;
    1199      117992 :   if (gequal0(s)) return e;
    1200      117992 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1201      117992 :   y = leafcopy(e);
    1202             : 
    1203             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1204      117992 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1205             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1206      117992 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1207             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1208      117992 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1209      117992 :   return y;
    1210             : }
    1211             : /* apply [1,0,0,t] */
    1212             : static GEN
    1213      344925 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1214             : {
    1215             :   GEN a1, a3, y;
    1216      344925 :   if (gequal0(t)) return e;
    1217      275016 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1218      275016 :   y = leafcopy(e);
    1219             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1220      275016 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1221             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1222      275016 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1223             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1224      275016 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1225      275016 :   return y;
    1226             : }
    1227             : /* apply [1,0,s,t] */
    1228             : static GEN
    1229      347452 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1230             : {
    1231             :   GEN y, a1, a3;
    1232      347452 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1233      245980 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1234      127988 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1235      127988 :   y = leafcopy(e);
    1236             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1237      127988 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1238             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1239      127988 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1240             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1241      127988 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1242             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1243      127988 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1244             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1245      127988 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1246      127988 :   return y;
    1247             : }
    1248             : /* apply [1,r,s,t] */
    1249             : static GEN
    1250      347452 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1251             : {
    1252      347452 :   e = coordch_r(e, r);
    1253      347452 :   return coordch_st(e, s, t);
    1254             : }
    1255             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1256             : static GEN
    1257       72198 : coordch(GEN e, GEN w)
    1258             : {
    1259       72198 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1260       72198 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1261       72198 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1262             : }
    1263             : 
    1264             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1265             :  * (dynamic data) */
    1266             : static GEN
    1267           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1268             : {
    1269           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1270           7 :   long prec = valp(p);
    1271           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1272           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1273             :   {
    1274           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1275           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1276             :   }
    1277           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1278             :   {
    1279           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1280           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1281           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1282           7 :     U = gmul(U, u);
    1283           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1284           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1285             :   }
    1286           7 :   return E;
    1287             : }
    1288             : 
    1289             : /* common to Q and Rg */
    1290             : static GEN
    1291       36771 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1292             : {
    1293       36771 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1294       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1295          28 :     obj_insert(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1296       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1297          28 :     obj_insert(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1298       36771 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1299             :   {
    1300          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1301             :     long i;
    1302          28 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1303          28 :     obj_insert(E, R_ROOTS, ro);
    1304             :   }
    1305       36771 :   return E;
    1306             : }
    1307             : 
    1308             : static GEN
    1309          28 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1310             : {
    1311          28 :   GEN p = NULL;
    1312          28 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1313          28 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1314           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1315             : }
    1316             : 
    1317             : static GEN
    1318       36771 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1319             : {
    1320       36771 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1321       36771 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1322       36771 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1323       36764 :   ch_R(E, e, w);
    1324       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1325           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1326       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1327             :   {
    1328         882 :     if (lg(S) == 2)
    1329             :     { /* model was minimal */
    1330           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1331           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1332           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1333             :     }
    1334             :     else
    1335             :     {
    1336         875 :       v = gel(S,2);
    1337         875 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1338         861 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1339             :       else
    1340             :       {
    1341          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1342          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1343          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1344          14 :         gel(S,2) = v;
    1345             :       }
    1346         875 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1347             :     }
    1348             :   }
    1349       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1350          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1351       36764 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1352           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1353       36764 :   return E;
    1354             : }
    1355             : 
    1356             : static void
    1357         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1358             : {
    1359             :   GEN S;
    1360         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1361          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1362         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1363          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1364         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1365          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1366         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1367          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1368         126 : }
    1369             : 
    1370             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1371             : static GEN
    1372           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1373             : {
    1374           7 :   long prec = 0;
    1375           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1376           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1377           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1378           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1379             : }
    1380             : static GEN
    1381         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1382             : {
    1383         119 :   long prec = 0;
    1384         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1385         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1386         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1387         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1388             : }
    1389             : 
    1390             : static void
    1391       72128 : ell_reset(GEN E)
    1392       72128 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1393             : 
    1394             : GEN
    1395       72149 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1396             : {
    1397       72149 :   pari_sp av = avma;
    1398             :   GEN E;
    1399       72149 :   checkell5(e);
    1400       72149 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1401       72142 :   checkcoordch(w);
    1402       72142 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1403       72142 :   if (lg(E) != 6)
    1404             :   {
    1405       72128 :     ell_reset(E);
    1406       72128 :     switch(ell_get_type(E))
    1407             :     {
    1408           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1409           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1410         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1411       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1412           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1413             :     }
    1414             :   }
    1415       72142 :   return gerepilecopy(av, E);
    1416             : }
    1417             : 
    1418             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1419             : static void
    1420      164045 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1421             : {
    1422      164045 :   GEN v = *vtotal;
    1423             :   GEN U2, R, S, T;
    1424      328090 :   if (gequal0(r)) return;
    1425       95683 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1426       95683 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1427       95683 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1428       95683 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1429             : }
    1430             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1431             : static void
    1432      109550 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1433             : {
    1434      109550 :   GEN v = *vtotal;
    1435             :   GEN U, S;
    1436      109550 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1437      109550 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1438      109550 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1439      109550 : }
    1440             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1441             : static void
    1442      253610 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1443             : {
    1444      253610 :   GEN v = *vtotal;
    1445             :   GEN U3, U, T;
    1446      507220 :   if (gequal0(t)) return;
    1447       80304 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1448       80304 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1449       80304 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1450             : }
    1451             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1452             : static void
    1453      251538 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1454             : {
    1455      251538 :   GEN v = *vtotal;
    1456             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1457      503076 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1458      171059 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1459      171059 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1460      171059 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1461      171059 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1462      171059 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1463             : }
    1464             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1465             : static void
    1466      184114 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1467             : {
    1468      184114 :   GEN v = *vtotal;
    1469             :   GEN U3, U, S, T;
    1470      184114 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1471      122031 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1472       12481 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1473       12481 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1474       12481 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1475       12481 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1476             : }
    1477             : 
    1478             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1479             : static void
    1480      152943 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1481             : {
    1482      152943 :   GEN v = *vtotal;
    1483      152943 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1484      152943 : }
    1485             : 
    1486             : /* X = (x-r)/u^2
    1487             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1488             : static GEN
    1489         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1490             : {
    1491             :   GEN a, x, y;
    1492         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1493         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1494         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1495             : }
    1496             : 
    1497             : GEN
    1498         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1499             : {
    1500             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1501         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1502         525 :   pari_sp av = avma;
    1503             : 
    1504         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1505         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1506         525 :   checkcoordch(ch);
    1507         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1508         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1509         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1510         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1511         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1512             :   {
    1513          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1514          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1515          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1516             :   }
    1517             :   else
    1518         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1519         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1520             : }
    1521             : 
    1522             : /* x = u^2*X + r
    1523             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1524             : static GEN
    1525          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1526             : {
    1527             :   GEN a, X, Y;
    1528          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1529          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1530          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1531             : }
    1532             : GEN
    1533          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1534             : {
    1535             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1536          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1537          63 :   pari_sp av = avma;
    1538             : 
    1539          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1540          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1541          63 :   checkcoordch(ch);
    1542          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1543          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1544          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1545          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1546          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1547             :   {
    1548           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1549          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1550           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1551             :   }
    1552             :   else
    1553          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1554          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1555             : }
    1556             : 
    1557             : GEN
    1558       28385 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1559             : {
    1560       28385 :   pari_sp av = avma;
    1561             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1562             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1563             :   GEN V;
    1564       28385 :   checkell(E);
    1565       28385 :   if (!P)
    1566             :   {
    1567             :     GEN a4, a6;
    1568       27188 :     checkell_Fq(E);
    1569       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1570             :     {
    1571             :       case t_ELL_Fp:
    1572             :         {
    1573           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1574           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1575       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1576             :         }
    1577             :       case t_ELL_Fq:
    1578       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1579             :     }
    1580             :   }
    1581        1197 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1582        1197 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1583        1197 :   if (typ(P) == t_INT)
    1584             :   {
    1585        1183 :     if (equali1(P))
    1586         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1587        1001 :     P = quadpoly(P);
    1588             :   } else
    1589             :   {
    1590          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1591          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1592           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1593             :   }
    1594        1015 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1595        1015 :   ac = gmul(a, c);
    1596        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1597        1015 :   D2 = gsqr(D);
    1598        1015 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1599        1015 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1600        1015 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1601        1015 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1602        1015 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1603        1015 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1604        1015 :   return gerepilecopy(av, V);
    1605             : }
    1606             : 
    1607             : /********************************************************************/
    1608             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1609             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1610             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1611             : /********************************************************************/
    1612             : 
    1613             : static long
    1614        2583 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1615        2583 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1616             : 
    1617             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1618             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1619             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1620             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1621             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1622             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1623             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1624             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1625             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1626             : static long
    1627         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1628             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1629             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1630             :   long v4, v6, vD;
    1631             : 
    1632         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1633          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1634             : 
    1635             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1636         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1637             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1638         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1639             : 
    1640             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1641         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1642             : 
    1643             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1644         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1645         168 :   vD = vali(disc);
    1646         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1647         161 :   return -8;
    1648             : }
    1649             : 
    1650             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1651             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1652             : */
    1653             : GEN
    1654         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1655             : {
    1656         497 :   pari_sp av = avma;
    1657         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1658             :   long i, lF;
    1659         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1660         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1661         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1662         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1663         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1664         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1665         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1666             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1667             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1668             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1669        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1670             :   {
    1671        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1672        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1673        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1674             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1675        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1676             :     {
    1677             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1678         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1679         434 :         break;
    1680             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1681         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1682         294 :         break;
    1683             :       case 2:
    1684         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1685         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1686         364 :         break;
    1687             :     }
    1688             :   }
    1689         497 :   obj_free(E);
    1690         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1691             : }
    1692             : 
    1693             : /*
    1694             : Reference:
    1695             : William A. Stein and Mark Watkins
    1696             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1697             : ANTS 5
    1698             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1699             : */
    1700             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1701             : GEN
    1702         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1703             : {
    1704         231 :   pari_sp av = avma;
    1705         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1706         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1707         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1708         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1709         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1710         217 :   else if (f==6)
    1711             :   {
    1712          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1713             :     else
    1714             :     {
    1715           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1716           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1717             :     }
    1718             :   }
    1719         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1720             : }
    1721             : 
    1722             : GEN
    1723         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1724             : {
    1725         441 :   switch(flag)
    1726             :   {
    1727             :     case 0:
    1728         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1729             :     case 1:
    1730         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1731             :   }
    1732           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1733             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1734             : }
    1735             : 
    1736             : static long
    1737           7 : ellexpo(GEN E)
    1738             : {
    1739           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1740          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1741             :   {
    1742          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1743          35 :     if (f > e) e = f;
    1744             :   }
    1745           7 :   return e;
    1746             : }
    1747             : 
    1748             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1749             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1750             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1751             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1752             : int
    1753       15596 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1754             : {
    1755             :   GEN LHS, RHS, x;
    1756             :   long pl, pr, ex, expx;
    1757             :   pari_sp av;
    1758             : 
    1759       15596 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1760       15519 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1761       15519 :   av = avma;
    1762       15519 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1763       15519 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1764       15519 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1765          21 :   pl = precision(LHS);
    1766          21 :   pr = precision(RHS);
    1767          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1768             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1769           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1770           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1771           7 :   expx = gexpo(x);
    1772          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1773           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1774           7 :   avma = av; return pr;
    1775             : }
    1776             : 
    1777             : GEN
    1778       16730 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1779             : {
    1780       16730 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1781             : 
    1782       16730 :   checkell(e);
    1783       16730 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1784       16730 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1785       16730 :   tx = typ(gel(x,1));
    1786       16730 :   if (is_vec_t(tx))
    1787             :   {
    1788        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1789        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1790        1687 :     return z;
    1791             :   }
    1792       15043 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1793             : }
    1794             : 
    1795             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1796             : static GEN
    1797        1848 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1798             : {
    1799             :   GEN dy,dx;
    1800        1848 :   if (y1 != y2)
    1801             :   {
    1802             :     int eq;
    1803         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1804           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1805             :     else
    1806         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1807         245 :     if (!eq) return NULL;
    1808             :   }
    1809        1841 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1810        1841 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1811        1806 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1812             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1813        1806 :   return gdiv(dy,dx);
    1814             : }
    1815             : 
    1816             : GEN
    1817       13524 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1818             : {
    1819             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1820       13524 :   pari_sp av = avma;
    1821             : 
    1822       13524 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1823       13524 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1824       11123 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1825             : 
    1826        9471 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1827        9471 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1828        9471 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1829             :   {
    1830         476 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1831         476 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1832         476 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1833         476 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1834         476 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1835             :   }
    1836        9471 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1837             :   {
    1838        1848 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1839        1848 :     if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1840             :   }
    1841             :   else
    1842        7623 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1843        9429 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1844        9429 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1845        9429 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1846        9429 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1847        9429 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1848             : }
    1849             : 
    1850             : static GEN
    1851          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1852             : {
    1853             :   GEN t, x, y;
    1854          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1855          49 :   x = gel(z,1);
    1856          49 :   y = gel(z,2);
    1857          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1858             :   {
    1859           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1860           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1861           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1862             :   }
    1863          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1864          49 :   gel(t,1) = x;
    1865          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1866          49 :   return t;
    1867             : }
    1868             : 
    1869             : GEN
    1870         826 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1871             : {
    1872             :   pari_sp av;
    1873             :   GEN t, y;
    1874         826 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1875         826 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1876         826 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1877         826 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1878         826 :   av = avma;
    1879         826 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1880         826 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1881         826 :   return t;
    1882             : }
    1883             : 
    1884             : GEN
    1885          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1886             : {
    1887          49 :   pari_sp av = avma;
    1888          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1889          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1890             : }
    1891             : 
    1892             : /* E an ell, x a scalar */
    1893             : static GEN
    1894        2100 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1895             : {
    1896        2100 :   pari_sp av = avma;
    1897        2100 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1898             : 
    1899        2100 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1900             :   {
    1901         518 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1902         518 :     x = nftoalg(nf,x);
    1903             :   }
    1904        2100 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1905        2100 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1906        2100 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1907             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1908        2100 :   if (gequal0(D)) {
    1909         574 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1910           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1911         574 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1912         574 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1913         574 :     return gerepileupto(av,y);
    1914             :   }
    1915             :   /* D != 0 */
    1916        1526 :   switch(ell_get_type(E))
    1917             :   {
    1918             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1919          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1920          28 :       D = gel(D,2);
    1921          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1922           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1923           7 :       break;
    1924             :     case t_ELL_Fq:
    1925         210 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1926             :       {
    1927          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1928          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1929          42 :         return gerepileupto(av, F);
    1930             :       }
    1931         133 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1932          63 :       break;
    1933             :     case t_ELL_Q:
    1934         756 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1935         749 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1936         462 :       break;
    1937             : 
    1938             :     case t_ELL_NF:
    1939             :     {
    1940         511 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1941         511 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1942         511 :       d = nfroots(nf, T);
    1943         511 :       delete_var();
    1944         511 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1945         497 :       d = gel(d,1);
    1946         497 :       break;
    1947             :     }
    1948             : 
    1949             :     case t_ELL_Qp:
    1950          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1951          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1952          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1953          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1954          14 :       break;
    1955             : 
    1956             :     default:
    1957           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1958             :   }
    1959        1057 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1960        1057 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1961        1057 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1962        1057 :   return gerepileupto(av,y);
    1963             : }
    1964             : 
    1965             : GEN
    1966        2100 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1967             : {
    1968        2100 :   checkell(e);
    1969        2100 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1970             :   {
    1971             :     long i, lx;
    1972           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1973           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1974           0 :     return v;
    1975             :   }
    1976        2100 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1977             : }
    1978             : 
    1979             : GEN
    1980      244062 : ellrandom(GEN E)
    1981             : {
    1982             :   GEN fg;
    1983      244062 :   checkell_Fq(E);
    1984      244062 :   fg = ellff_get_field(E);
    1985      244062 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1986      244034 :     return FF_ellrandom(E);
    1987             :   else
    1988             :   {
    1989          28 :     pari_sp av = avma;
    1990          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1991          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1992          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1993          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1994             :   }
    1995             : }
    1996             : 
    1997             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1998             : static GEN
    1999          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2000             : {
    2001          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2002             :   long ln, vn;
    2003             : 
    2004          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2005           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2006          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2007          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2008          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2009          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2010          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2011          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2012          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2013             :   do
    2014             :   {
    2015          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2016             :     do
    2017             :     {
    2018          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    2019          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2020          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2021             :     }
    2022          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    2023          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2024          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2025          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2026           7 :     z2 = ginv(z2);
    2027             :   }
    2028           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2029          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2030           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2031          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2032          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    2033          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2034          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2035          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2036             : 
    2037          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2038          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2039          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2040          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2041             : 
    2042          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2043          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2044          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2045          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2046          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2047             : }
    2048             : 
    2049             : static GEN
    2050         616 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2051             : static GEN
    2052         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2053             : 
    2054             : static GEN
    2055      248518 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2056             : {
    2057      248518 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2058      248519 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2059      247450 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2060             :   else
    2061             :   {
    2062        1069 :     pari_sp av = avma;
    2063        1069 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2064        1069 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2065        1069 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2066        1013 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2067        1013 :     return gerepileupto(av, Q);
    2068             :   }
    2069             : }
    2070             : /* [n] z, n integral */
    2071             : static GEN
    2072      249028 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2073             : {
    2074             :   long s;
    2075      249028 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2076      249029 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2077         511 :   s = signe(n);
    2078         511 :   if (!s) return ellinf();
    2079         462 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2080         462 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2081         378 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2082             : }
    2083             : 
    2084             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2085             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2086             : static long
    2087          42 : myroundr(GEN *px)
    2088             : {
    2089          42 :   GEN x = *px;
    2090             :   long e;
    2091          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2092          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2093          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2094          42 :   return OK;
    2095             : }
    2096             : 
    2097             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2098             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2099             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2100             : static GEN
    2101          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2102             : {
    2103             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2104             :   long prec;
    2105             : 
    2106          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2107          14 :   switch(typ(Q))
    2108             :   {
    2109             :     case t_COMPLEX:
    2110           0 :       D = utoineg(4);
    2111           0 :       v = gel(Q,2);
    2112           0 :       break;
    2113             :     case t_QUAD:
    2114          14 :       D = quad_disc(Q);
    2115          14 :       v = gel(Q,3);
    2116          14 :       break;
    2117             :     default:
    2118           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2119             :   }
    2120             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2121          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2122          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2123          14 :   prec = precision(tau);
    2124             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2125             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2126             :    * Compute f*k */
    2127          14 :   x = gel(tau,1);
    2128          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2129          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2130          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2131             :   {
    2132           0 :     case NO: return NULL;
    2133           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2134             :   }
    2135          14 :   fk = absi(fk);
    2136             : 
    2137          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2138          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2139             :   {
    2140           0 :     case NO: return NULL;
    2141           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2142             :   }
    2143             : 
    2144          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2145          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2146             :   {
    2147           0 :     case NO: return NULL;
    2148           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2149             :   }
    2150             : 
    2151             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2152          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2153          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2154          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2155          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2156             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2157          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2158          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2159          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2160             : }
    2161             : 
    2162             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2163             : static GEN
    2164          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2165             : {
    2166             :   GEN A, B, q;
    2167          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2168          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2169          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2170          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2171             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2172          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2173             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2174             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2175           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2176           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2177           7 :     u = shifti(u, -1);
    2178           7 :     if (signe(u))
    2179             :     {
    2180           0 :       w = gsub(w, u);
    2181           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2182             :     }
    2183             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2184             :   }
    2185          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2186          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2187          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2188          14 :   return elladd(e, A, B);
    2189             : }
    2190             : GEN
    2191      249085 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2192             : {
    2193      249085 :   pari_sp av = avma;
    2194             : 
    2195      249085 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2196      249079 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2197      249021 :   switch(typ(n))
    2198             :   {
    2199      249007 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2200             :     case t_QUAD: {
    2201          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2202          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2203          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2204             :     }
    2205             :     case t_COMPLEX: {
    2206           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2207           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2208             :     }
    2209             :   }
    2210           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2211             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2212             : }
    2213             : 
    2214             : /********************************************************************/
    2215             : /**                                                                **/
    2216             : /**                       Periods                                  **/
    2217             : /**                                                                **/
    2218             : /********************************************************************/
    2219             : 
    2220             : /* References:
    2221             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2222             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2223             : */
    2224             : 
    2225             : static GEN
    2226        3809 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2227             : {
    2228        3809 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2229        3809 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2230        3809 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2231             : }
    2232             : 
    2233             : static GEN
    2234        2990 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2235             : {
    2236        2990 :   pari_sp av = avma;
    2237        2990 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2238        2990 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2239        2990 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2240        2990 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2241             : }
    2242             : 
    2243             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2244             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2245             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2246             : static GEN
    2247        3809 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2248             : {
    2249        3809 :   pari_sp av = avma;
    2250             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2251        3809 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2252         819 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2253         819 :   d2 = gel(roots,5);
    2254         819 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2255         819 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2256         819 :   b = gel(z,2);
    2257         819 :   c = gabs(z, prec);
    2258         819 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2259         819 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2260             : }
    2261             : static GEN
    2262          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2263          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2264             : 
    2265             : GEN
    2266        4872 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2267        4872 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2268             : GEN
    2269          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2270          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2271             : GEN
    2272        5181 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2273        5181 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2274             : 
    2275             : GEN
    2276        2114 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2277             : {
    2278        2114 :   pari_sp av = avma;
    2279             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2280        2114 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2281        2114 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2282        2114 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2283        2114 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2284             : }
    2285             : 
    2286             : /********************************************************************/
    2287             : /**                                                                **/
    2288             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2289             : /**                                                                **/
    2290             : /********************************************************************/
    2291             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2292             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2293             : static GEN
    2294           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2295             : {
    2296           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2297           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2298           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2299           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2300           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2301           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2302           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2303             :   else
    2304           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2305           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2306             : }
    2307             : 
    2308             : static GEN
    2309          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2310             : {
    2311          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2312          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2313          35 :   if (gequal0(y0))
    2314           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2315             :   else
    2316             :   {
    2317          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2318          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2319          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2320          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2321          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2322             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2323          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2324          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2325             :   }
    2326             : }
    2327             : 
    2328             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2329             : static GEN
    2330           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2331             : {
    2332           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2333           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2334             :   else
    2335             :   {
    2336           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2337           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2338           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2339           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2340           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2341           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2342           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2343           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2344             :   }
    2345             : }
    2346             : 
    2347             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2348             : static GEN
    2349           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2350             : {
    2351           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2352           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2353           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2354           7 :   e1 = gel(R,1);
    2355           7 :   e2 = gel(R,2);
    2356           7 :   e3 = gel(R,3);
    2357           7 :   d2 = gel(R,5);
    2358           7 :   d3 = gel(R,6);
    2359           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2360           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2361           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2362           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2363           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2364           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2365             :   } else {
    2366           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2367           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2368           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2369           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2370             :   }
    2371             : }
    2372             : 
    2373             : /* Let T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6, where T has a unique p-adic root 'a'.
    2374             :  * Return a lift of a to padic accuracy prec. We have
    2375             :  * 216 T = 864 X^3 - 18 c4X - c6, where X = x + b2/12 */
    2376             : static GEN
    2377         224 : doellQp_root(GEN E, long prec)
    2378             : {
    2379         224 :   GEN c4=ell_get_c4(E), c6=ell_get_c6(E), j=ell_get_j(E), p=ellQp_get_p(E);
    2380             :   GEN c6p, T, a;
    2381             :   long alpha;
    2382         224 :   int pis2 = absequaliu(p, 2);
    2383         224 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".root", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2384             :   /* v(j) < 0 => v(c4^3) = v(c6^2) = 2 alpha */
    2385         224 :   alpha = Q_pvalrem(ell_get_c4(E), p, &c4) >> 1;
    2386         224 :   if (alpha) (void)Q_pvalrem(ell_get_c6(E), p, &c6);
    2387             :   /* Renormalized so that v(c4) = v(c6) = 0; multiply by p^alpha at the end */
    2388         224 :   if (prec < 4 && pis2) prec = 4;
    2389         224 :   c6p = modii(c6,p);
    2390         224 :   if (pis2)
    2391             :   { /* Use 432T(X/4) = 27X^3 - 9c4 X - 2c6 to have integral root; a=0 mod 2 */
    2392         140 :     T = mkpoln(4, utoipos(27), gen_0, mulis(c4,-9), mulis(c6, -2));
    2393             :     /* v_2(root a) = 1, i.e. will lose one bit of accuracy: prec+1 */
    2394         140 :     a = ZpX_liftroot(T, gen_0, p, prec+1);
    2395         140 :     alpha -= 2;
    2396             :   }
    2397          84 :   else if (absequaliu(p, 3))
    2398             :   { /* Use 216T(X/3) = 32X^3 - 6c4 X - c6 to have integral root; a=-c6 mod 3 */
    2399          56 :     a = Fp_neg(c6p, p);
    2400          56 :     T = mkpoln(4, utoipos(32), gen_0, mulis(c4, -6), negi(c6));
    2401          56 :     a = ZX_Zp_root(T, a, p, prec);
    2402          56 :     switch(lg(a)-1)
    2403             :     {
    2404             :       case 1: /* single root */
    2405          28 :         a = gel(a,1); break;
    2406             :       case 3: /* three roots, e.g. "15a1", choose the right one */
    2407             :       {
    2408          28 :         GEN a1 = gel(a,1), a2 = gel(a,2), a3 = gel(a,3);
    2409          28 :         long v1 = Z_lval(subii(a2, a3), 3);
    2410          28 :         long v2 = Z_lval(subii(a1, a3), 3);
    2411          28 :         long v3 = Z_lval(subii(a1, a2), 3);
    2412          28 :         if      (v1 == v2) a = a3;
    2413           0 :         else if (v1 == v3) a = a2;
    2414           0 :         else a = a1;
    2415             :       }
    2416          28 :       break;
    2417             :     }
    2418          56 :     alpha--;
    2419             :   }
    2420             :   else
    2421             :   { /* p != 2,3: T = 4(x-a)(x-b)^2 = 4x^3 - 3a^2 x - a^3 when b = -a/2
    2422             :      * (so that the trace coefficient vanishes) => a = c6/6c4 (mod p)*/
    2423          28 :     GEN c4p = modii(c4,p);
    2424          28 :     a = Fp_div(c6p, Fp_mulu(c4p, 6, p), p);
    2425          28 :     T = mkpoln(4, utoipos(864), gen_0, mulis(c4, -18), negi(c6));
    2426          28 :     a = ZpX_liftroot(T, a, p, prec);
    2427             :   }
    2428         224 :   a = cvtop(a, p, prec);
    2429         224 :   if (alpha) setvalp(a, valp(a)+alpha);
    2430         224 :   return gsub(a, gdivgs(ell_get_b2(E), 12));
    2431             : }
    2432             : GEN
    2433         455 : ellQp_root(GEN E, long prec)
    2434         455 : { return obj_checkbuild_padicprec(E, Qp_ROOT, &doellQp_root, prec); }
    2435             : 
    2436             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x+a-b) ~ E */
    2437             : static void
    2438         273 : doellQp_ab(GEN E, GEN *pta, GEN *ptb, long prec)
    2439             : {
    2440         273 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), b4 = ell_get_b4(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2441         273 :   GEN w, u, t = gadd(gdivgs(b2,4), gmulsg(3,e1)), p = ellQp_get_p(E);
    2442         273 :   w = Qp_sqrt(gmul2n(gadd(b4,gmul(e1,gadd(b2,gmulsg(6,e1)))),1));
    2443         273 :   u = gadd(t,w);
    2444             :   /* Decide between w and -w: we want v(a-b) > v(b) */
    2445         273 :   if (absequaliu(p,2))
    2446         203 :   { if (valp(u)-1 <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2447             :   else
    2448          70 :   { if (valp(u) <= valp(w)) w = gneg_i(w); }
    2449             : 
    2450             :   /* w^2 = 2b4 + 2b2 e1 + 12 e1^2 = 4(e1-e2)(e1-e3) */
    2451         273 :   *pta = gmul2n(gsub(w,t),-2);
    2452         273 :   *ptb = gmul2n(w,-1);
    2453         273 : }
    2454             : 
    2455             : static GEN
    2456          91 : doellQp_Tate(GEN E, long prec0)
    2457             : {
    2458          91 :   GEN p = ellQp_get_p(E), j = ell_get_j(E);
    2459             :   GEN L, u, u2, q, x1, a, b, d, s, t, AB, A, M2;
    2460          91 :   long v, n, pp, prec = prec0+3;
    2461          91 :   int split = -1; /* unknown */
    2462          91 :   int pis2 = equaliu(p,2);
    2463             : 
    2464          91 :   if (Q_pval(j, p) >= 0) pari_err_DOMAIN(".tate", "v_p(j)", ">=", gen_0, j);
    2465             : START:
    2466         273 :   doellQp_ab(E, &a, &b, prec);
    2467         273 :   d = gsub(a,b);
    2468         273 :   v = prec0 - precp(d);
    2469         273 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2470         210 :   AB = Qp_agm2_sequence(a,b);
    2471         210 :   A = gel(AB,1);
    2472         210 :   n = lg(A)-1; /* AGM iterations */
    2473         210 :   pp = minss(precp(a),precp(b));
    2474         210 :   M2 = cvtop(gel(A,n), p, pis2? pp-2*n: pp);
    2475         210 :   setvalp(M2, valp(a));
    2476         210 :   u2 = ginv(gmul2n(M2, 2));
    2477         210 :   if (split < 0) split = issquare(u2);
    2478         210 :   x1 = gen_0;
    2479         210 :   Qp_descending_Landen(AB,&x1,NULL);
    2480             : 
    2481         210 :   t = gaddsg(1, ginv(gmul2n(gmul(u2,x1),1)));
    2482         210 :   s = Qp_sqrt(gsubgs(gsqr(t), 1));
    2483         210 :   q = gadd(t,s);
    2484         210 :   if (gequal0(q)) q = gsub(t,s);
    2485         210 :   v = prec0 - precp(q);
    2486         210 :   if (split)
    2487             :   { /* we want log q at precision prec0 */
    2488          63 :     GEN q0 = leafcopy(q); setvalp(q0, 0);
    2489          63 :     v +=  valp(gsubgs(q0,1));
    2490             :   }
    2491         210 :   if (v > 0) { prec += v; goto START; }
    2492          91 :   if (valp(q) < 0) q = ginv(q);
    2493          91 :   if (split)
    2494             :   {
    2495          35 :     u = Qp_sqrt(u2);
    2496          35 :     L = gdivgs(Qp_log(q), valp(q));
    2497             :   }
    2498             :   else
    2499             :   {
    2500          56 :     GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(u2));
    2501          56 :     u = mkpolmod(pol_x(0), T);
    2502          56 :     L = gen_1;
    2503             :   }
    2504          91 :   return mkvecn(6, u2, u, q, mkvec2(a, b), L, AB);
    2505             : }
    2506             : static long
    2507         581 : Tate_prec(GEN T) { return padicprec_relative(gel(T,3)); }
    2508             : GEN
    2509         665 : ellQp_Tate_uniformization(GEN E, long prec)
    2510         665 : { return obj_checkbuild_prec(E,Qp_TATE,&doellQp_Tate, &Tate_prec,prec); }
    2511             : GEN
    2512         168 : ellQp_u(GEN E, long prec)
    2513         168 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,2); }
    2514             : GEN
    2515          56 : ellQp_u2(GEN E, long prec)
    2516          56 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,1); }
    2517             : GEN
    2518         105 : ellQp_q(GEN E, long prec)
    2519         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,3); }
    2520             : GEN
    2521         105 : ellQp_ab(GEN E, long prec)
    2522         105 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,4); }
    2523             : GEN
    2524           0 : ellQp_L(GEN E, long prec)
    2525           0 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,5); }
    2526             : GEN
    2527         147 : ellQp_AGM(GEN E, long prec)
    2528         147 : { GEN T = ellQp_Tate_uniformization(E, prec); return gel(T,6); }
    2529             : 
    2530             : static void
    2531           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2532             : {
    2533           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2534           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2535           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2536           0 : }
    2537             : static GEN
    2538         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2539             : {
    2540         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2541         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2542             : }
    2543             : static GEN
    2544         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2545             : {
    2546         112 :   pari_sp av = avma;
    2547             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2548             :   long vq, vt, Q, R;
    2549         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2550         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec);
    2551         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2552         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2553         105 :   a = gel(ab,1);
    2554         105 :   b = gel(ab,2);
    2555         105 :   x = gel(P,1);
    2556         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2557         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2558         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2559          98 :   r = gsub(a,b);
    2560          98 :   ar = gmul(a, r);
    2561          98 :   if (gequal0(c0))
    2562             :   {
    2563           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2564           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2565             :   }
    2566             :   else
    2567             :   {
    2568          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2569          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2570          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2571          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2572             :   }
    2573          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2574          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2575             : 
    2576          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2577          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2578             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2579          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2580          56 :     vt = valp(t);
    2581             :   else
    2582          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2583          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2584          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2585          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2586          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2587          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2588             : }
    2589             : 
    2590             : static GEN
    2591          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2592             : {
    2593          56 :   pari_sp av = avma;
    2594             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2595             :   long v;
    2596          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2597             : 
    2598          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2599          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2600          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2601          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2602          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2603          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2604          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2605             : 
    2606          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2607          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2608          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2609          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2610          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2611             : }
    2612             : 
    2613             : /* t to w := -1/y */
    2614             : GEN
    2615         574 : ellformalw(GEN e, long n, long v)
    2616             : {
    2617         574 :   pari_sp av = avma, av2;
    2618             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, a63;
    2619         574 :   GEN w = cgetg(3, t_SER), t, U, V, W, U2;
    2620         574 :   ulong mask, nold = 1;
    2621         574 :   if (v < 0) v = 0;
    2622         574 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("ellformalw","precision","<=",gen_0,stoi(n));
    2623         560 :   mask = quadratic_prec_mask(n);
    2624         560 :   t = pol_x(v);
    2625         560 :   checkell(e);
    2626         560 :   a1 = ell_get_a1(e); a2 = ell_get_a2(e); a3 = ell_get_a3(e);
    2627         560 :   a4 = ell_get_a4(e); a6 = ell_get_a6(e); a63 = gmulgs(a6,3);
    2628         560 :   w[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(3);
    2629         560 :   gel(w,2) = gen_1; /* t^3 + O(t^4) */
    2630             :   /* use Newton iteration, doubling accuracy at each step
    2631             :    *
    2632             :    *            w^3 a6 + w^2(a4 t + a3) + w (a2 t^2 + a1 t - 1) + t^3
    2633             :    * w  <-  w - -----------------------------------------------------
    2634             :    *              w^2 (3a6) + w (2a4 t + 2a3) + (a2 t^2 + a1 t - 1)
    2635             :    *
    2636             :    *              w^3 a6 + w^2 U + w V + W
    2637             :    *      =: w -  -----------------------
    2638             :    *                w^2 (3a6) + 2w U + V
    2639             :    */
    2640         560 :   U = gadd(gmul(a4,t), a3);
    2641         560 :   U2 = gmul2n(U,1);
    2642         560 :   V = gsubgs(gadd(gmul(a2,gsqr(t)), gmul(a1,t)), 1);
    2643         560 :   W = gpowgs(t,3);
    2644         560 :   av2 = avma;
    2645        3115 :   while (mask > 1)
    2646             :   { /* nold correct terms in w */
    2647        1995 :     ulong i, nnew = nold << 1;
    2648             :     GEN num, den, wnew, w2, w3;
    2649        1995 :     if (mask & 1) nnew--;
    2650        1995 :     mask >>= 1;
    2651        1995 :     wnew = cgetg(nnew+2, t_SER);
    2652        1995 :     wnew[1] = w[1];
    2653        1995 :     for (i = 2; i < nold+2; i++) gel(wnew,i) = gel(w,i);
    2654        1995 :     for (     ; i < nnew+2; i++) gel(wnew,i) = gen_0;
    2655        1995 :     w = wnew;
    2656        1995 :     w2 = gsqr(w); w3 = gmul(w2,w);
    2657        1995 :     num = gadd(gmul(a6,w3), gadd(gmul(U,w2), gadd(gmul(V,w), W)));
    2658        1995 :     den = gadd(gmul(a63,w2), gadd(gmul(w,U2), V));
    2659             : 
    2660        1995 :     w = gerepileupto(av2, gsub(w, gdiv(num, den)));
    2661        1995 :     nold = nnew;
    2662             :   }
    2663         560 :   return gerepilecopy(av, w);
    2664             : }
    2665             : 
    2666             : static GEN
    2667         343 : ellformalpoint_i(GEN w, GEN wi)
    2668         343 : { return mkvec2(gmul(pol_x(varn(w)),wi), gneg(wi)); }
    2669             : 
    2670             : /* t to [x,y] */
    2671             : GEN
    2672          70 : ellformalpoint(GEN e, long n, long v)
    2673             : {
    2674          70 :   pari_sp av = avma;
    2675          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w);
    2676          70 :   return gerepilecopy(av, ellformalpoint_i(w, wi));
    2677             : }
    2678             : 
    2679             : static GEN
    2680         420 : ellformaldifferential_i(GEN e, GEN w, GEN wi, GEN *px)
    2681             : {
    2682             :   GEN x, w1;
    2683         420 :   if (gequal0(ell_get_a1(e)) && gequal0(ell_get_a3(e)))
    2684             :   { /* dx/2y = dx * -w/2, avoid division */
    2685         147 :     x = gmul(pol_x(varn(w)), wi);
    2686         147 :     w1 = gmul(derivser(x), gneg(gmul2n(w,-1)));
    2687             :   }
    2688             :   else
    2689             :   {
    2690         273 :     GEN P = ellformalpoint_i(w, wi);
    2691         273 :     x = gel(P,1);
    2692         273 :     w1 = gdiv(derivser(x), ec_dmFdy_evalQ(e, P));
    2693             :   }
    2694         420 :   *px = x; return w1;
    2695             : }
    2696             : /* t to [ dx / (2y + a1 x + a3), x * ... ]*/
    2697             : GEN
    2698          70 : ellformaldifferential(GEN e, long n, long v)
    2699             : {
    2700          70 :   pari_sp av = avma;
    2701          70 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2702          70 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2703          70 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(w1,gmul(x,w1)));
    2704             : }
    2705             : 
    2706             : /* t to z, dz = w1 dt */
    2707             : GEN
    2708         147 : ellformallog(GEN e, long n, long v)
    2709             : {
    2710         147 :   pari_sp av = avma;
    2711         147 :   GEN w = ellformalw(e, n, v), wi = ser_inv(w), x;
    2712         147 :   GEN w1 = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2713         147 :   return gerepileupto(av, integser(w1));
    2714             : }
    2715             : /* z to t */
    2716             : GEN
    2717          70 : ellformalexp(GEN e, long n, long v)
    2718             : {
    2719          70 :   pari_sp av = avma;
    2720          70 :   return gerepileupto(av, serreverse(ellformallog(e,n,v)));
    2721             : }
    2722             : /* [log_p (sigma(t) / t), log_E t], as power series, d (log_E t) := w1 dt;
    2723             :  * As a fonction of z: odd, = e.b2/12 * z + O(z^3).
    2724             :  *   sigma(z) = ellsigma(e) exp(e.b2/24*z^2)
    2725             :  * log_p(sigma(t)/t)=log(subst(sigma(z), x, ellformallog(e))/x) */
    2726             : static GEN
    2727         203 : ellformallogsigma_t(GEN e, long n)
    2728             : {
    2729         203 :   pari_sp av = avma;
    2730         203 :   GEN w = ellformalw(e, n, 0), wi = ser_inv(w), t = pol_x(0);
    2731         203 :   GEN x, s = ellformaldifferential_i(e, w, wi, &x);
    2732         203 :   GEN f = gmul(s, gadd(integser(gmul(x,s)), gmul2n(ell_get_a1(e),-1)));
    2733         203 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(integser( gsub(ginv(gneg(t)), f) ),
    2734             :                                  integser(s)));
    2735             : }
    2736             : 
    2737             : /* P = rational point of exact denominator d. Is Q singular on E(Fp) ? */
    2738             : static int
    2739         252 : FpE_issingular(GEN E, GEN P, GEN d, GEN p)
    2740             : {
    2741         252 :   pari_sp av = avma;
    2742             :   GEN t, x, y, a1, a2, a3, a4;
    2743         252 :   if (ell_is_inf(E) || !signe(remii(d,p))) return 0; /* 0_E is smooth */
    2744         245 :   P = Q_muli_to_int(P,d);
    2745         245 :   x = gel(P,1);
    2746         245 :   y = gel(P,2);
    2747         245 :   a1 = ell_get_a1(E);
    2748         245 :   a3 = ell_get_a3(E);
    2749         245 :   t = addii(shifti(y,1), addii(mulii(a1,x), mulii(a3,d)));
    2750         245 :   if (signe(remii(t,p))) { avma = av; return 0; }
    2751          28 :   a2 = ell_get_a2(E);
    2752          28 :   a4 = ell_get_a4(E);
    2753          28 :   d = Fp_inv(d, p);
    2754          28 :   x = Fp_mul(x,d,p);
    2755          28 :   y = Fp_mul(y,d,p);
    2756          28 :   t = subii(mulii(a1,y), addii(a4, mulii(x, addii(gmul2n(a2,1), muliu(x,3)))));
    2757          28 :   avma = av; return signe(remii(t,p))? 0: 1;
    2758             : }
    2759             : 
    2760             : /* E/Q, P on E(Q). Let g > 0 minimal such that the image of R = [g]P in a
    2761             :  * minimal model is everywhere non-singular. return [R,g] */
    2762             : GEN
    2763         217 : ellnonsingularmultiple(GEN e, GEN P)
    2764             : {
    2765         217 :   pari_sp av = avma;
    2766         217 :   GEN ch, E = ellanal_globalred(e, &ch), NP, L, S, d, g = gen_1;
    2767             :   long i, l;
    2768         217 :   checkellpt(P);
    2769         217 :   if (ell_is_inf(P)) retmkvec2(gcopy(P), gen_1);
    2770         217 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    2771         217 :   S = obj_check(E, Q_GLOBALRED);
    2772         217 :   NP = gmael(S,3,1);
    2773         217 :   L = gel(S,4);
    2774         217 :   l = lg(NP);
    2775         217 :   d = Q_denom(P);
    2776         462 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2777             :   {
    2778         245 :     GEN c,kod, G = gel(L,i), p = gel(NP,i);/* prime of bad reduction */
    2779         245 :     if (!FpE_issingular(E, P, d, p)) continue;
    2780          21 :     c = gel(G, 4); /* Tamagawa number at p */
    2781          21 :     kod = gel(G, 2); /* Kodaira type */
    2782          21 :     if (cmpis(kod, 5) >= 0) /* I_nu */
    2783             :     {
    2784           7 :       long nu = itos(kod) - 4;
    2785           7 :       long n = minss(Q_pval(ec_dmFdy_evalQ(E,P), p), nu/2);
    2786           7 :       nu /= ugcd(nu, n);
    2787           7 :       g = muliu(g, nu);
    2788           7 :       P = ellmul_Z(E, P, utoipos(nu));
    2789           7 :       d = Q_denom(P);
    2790          14 :     } else if (cmpis(kod, -5) <= 0) /* I^*_nu */
    2791             :     { /* either 2 or 4 */
    2792           7 :       long nu = - itos(kod) - 4;
    2793           7 :       P = elladd(E, P,P);
    2794           7 :       d = Q_denom(P);
    2795           7 :       g = shifti(g,1);
    2796           7 :       if (odd(nu) && FpE_issingular(E, P, d, p))
    2797             :       { /* it's 4 */
    2798           7 :         P = elladd(E, P,P);
    2799           7 :         d = Q_denom(P);
    2800           7 :         g = shifti(g,1);
    2801             :       }
    2802             :     } else {
    2803           7 :       if (absequaliu(c, 4)) c = gen_2;
    2804           7 :       P = ellmul(E, P, c);
    2805           7 :       d = Q_denom(P);
    2806           7 :       g = mulii(g, c);
    2807             :     }
    2808             :   }
    2809         217 :   if (E != e) P = ellchangepointinv(P, ch);
    2810         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,g));
    2811             : }
    2812             : 
    2813             : /* m >= 0, T = b6^2, g4 = b6^2 - b4 b8, return g_m(xP) mod N, in Mazur-Tate's
    2814             :  * notation (Duke 1991)*/
    2815             : static GEN
    2816        7434 : rellg(hashtable *H, GEN m, GEN T, GEN g4, GEN b8, GEN N)
    2817             : {
    2818             :   hashentry *h;
    2819             :   GEN n, z, np2, np1, nm2, nm1, fp2, fp1, fm2, fm1, f;
    2820             :   ulong m4;
    2821        7434 :   if (abscmpiu(m, 4) <= 0) switch(itou(m))
    2822             :   {
    2823         322 :     case 0: return gen_0;
    2824         882 :     case 1: return gen_1;
    2825        1064 :     case 2: return subiu(N,1);
    2826        1330 :     case 3: return b8;
    2827        1386 :     case 4: return g4;
    2828             :   }
    2829        2450 :   if ((h = hash_search(H, (void*)m))) return (GEN)h->val;
    2830        1260 :   m4 = mod4(m);
    2831        1260 :   n = shifti(m, -1); f   = rellg(H,n,T,g4,b8,N);
    2832        1260 :   np2 = addiu(n, 2); fp2 = rellg(H,np2,T,g4,b8,N);
    2833        1260 :   np1 = addiu(n, 1); fp1 = rellg(H,np1,T,g4,b8,N);
    2834        1260 :   nm2 = subiu(n, 2); fm2 = rellg(H,nm2,T,g4,b8,N);
    2835        1260 :   nm1 = subiu(n, 1); fm1 = rellg(H,nm1,T,g4,b8,N);
    2836        1260 :   if (odd(m4))
    2837             :   {
    2838         770 :     GEN t1 = Fp_mul(fp2, Fp_powu(f,3,N), N);
    2839         770 :     GEN t2 = Fp_mul(fm1, Fp_powu(fp1,3,N), N);
    2840         770 :     if (mpodd(n))
    2841         322 :       z = Fp_sub(t1, Fp_mul(T,t2,N), N);
    2842             :     else
    2843         448 :       z = Fp_sub(Fp_mul(T,t1,N), t2, N);
    2844             :   }
    2845             :   else
    2846             :   {
    2847         490 :     GEN t1 = Fp_mul(fm2, Fp_sqr(fp1,N), N);
    2848         490 :     GEN t2 = Fp_mul(fp2, Fp_sqr(fm1,N), N);
    2849         490 :     z = Fp_mul(f, Fp_sub(t1, t2, N), N);
    2850             :   }
    2851        1260 :   hash_insert(H, (void*)m, (void*)z);
    2852        1260 :   return z;
    2853             : }
    2854             : 
    2855             : static GEN
    2856        1134 : addii3(GEN x, GEN y, GEN z) { return addii(x,addii(y,z)); }
    2857             : static GEN
    2858         756 : addii4(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t) { return addii(x,addii3(y,z,t)); }
    2859             : static GEN
    2860         378 : addii5(GEN x, GEN y, GEN z, GEN t, GEN u) { return addii(x,addii4(y,z,t,u)); }
    2861             : 
    2862             : /* xP = [n,d] (corr. to n/d, coprime), such that the reduction of the point
    2863             :  * P = [xP,yP] is non singular at all places. Return x([m] P) mod N as
    2864             :  * [num,den] (coprime) */
    2865             : static GEN
    2866         378 : xmP(GEN e, GEN xP, GEN m, GEN N)
    2867             : {
    2868         378 :   pari_sp av = avma;
    2869         378 :   ulong k = expi(m);
    2870         378 :   hashtable *H = hash_create((5+k)*k, (ulong(*)(void*))&hash_GEN,
    2871             :                                       (int(*)(void*,void*))&gidentical, 1);
    2872         378 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b4 = ell_get_b4(e), n = gel(xP,1), d = gel(xP,2);
    2873         378 :   GEN b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
    2874             :   GEN B4, B6, B8, T, g4;
    2875         378 :   GEN d2 = Fp_sqr(d,N), d3 = Fp_mul(d2,d,N), d4 = Fp_sqr(d2,N);
    2876         378 :   GEN n2 = Fp_sqr(n,N), n3 = Fp_mul(n2,n,N), n4 = Fp_sqr(n2,N);
    2877         378 :   GEN nd = Fp_mul(n,d,N), n2d2 = Fp_sqr(nd,N);
    2878         378 :   GEN b2nd = Fp_mul(b2,nd, N), b2n2d = Fp_mul(b2nd,n,N);
    2879         378 :   GEN b6d3 = Fp_mul(b6,d3,N), g,gp1,gm1, C,D;
    2880         378 :   B8 = addii5(muliu(n4,3), mulii(b2n2d,n), mulii(muliu(b4,3), n2d2),
    2881             :               mulii(muliu(b6d3,3), n), mulii(b8,d4));
    2882         378 :   B6 = addii4(muliu(n3,4), mulii(b2nd,n),
    2883             :               shifti(mulii(b4,Fp_mul(n,d2,N)), 1),
    2884             :               b6d3);
    2885         378 :   B4 = addii3(muliu(n2,6), b2nd,  mulii(b4,d2));
    2886             : 
    2887         378 :   B4 = modii(B4,N);
    2888         378 :   B6 = modii(B6,N);
    2889         378 :   B8 = modii(B8,N);
    2890             : 
    2891         378 :   g4 = Fp_sub(sqri(B6), mulii(B4,B8), N);
    2892         378 :   T = Fp_sqr(B6,N);
    2893             : 
    2894         378 :   g = rellg(H, m, T,g4,B8, N);
    2895         378 :   gp1 = rellg(H, addiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2896         378 :   gm1 = rellg(H, subiu(m,1), T,g4,B8, N);
    2897         378 :   C = Fp_sqr(g, N);
    2898         378 :   D = Fp_mul(gp1,gm1, N);
    2899             : 
    2900         378 :   if(mpodd(m))
    2901             :   {
    2902         168 :     n = Fp_sub(mulii(C,n), mulii(D,B6), N);
    2903         168 :     d = Fp_mul(C,d, N);
    2904             :   }
    2905             :   else
    2906             :   {
    2907         210 :     n = Fp_sub(Fp_mul(Fp_mul(B6,C,N), n, N), D, N);
    2908         210 :     d = Fp_mul(Fp_mul(C,d,N), B6, N);
    2909             :   }
    2910         378 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(n,d));
    2911             : }
    2912             : /* given [n,d2], x = n/d2 (coprime, d2 = d^2), p | den,
    2913             :  * return t = -x/y + O(p^v) */
    2914             : static GEN
    2915         203 : tfromx(GEN e, GEN x, GEN p, long v, GEN N, GEN *pd)
    2916             : {
    2917         203 :   GEN n = gel(x,1), d2 = gel(x,2), d;
    2918             :   GEN a1, a3, b2, b4, b6, B, C, d4, d6, Y;
    2919         203 :   if (!signe(n)) { *pd = gen_1; return zeropadic(p, v); }
    2920         203 :   a1 = ell_get_a1(e);
    2921         203 :   b2 = ell_get_b2(e);
    2922         203 :   a3 = ell_get_a3(e);
    2923         203 :   b4 = ell_get_b4(e);
    2924         203 :   b6 = ell_get_b6(e);
    2925         203 :   d = Qp_sqrt(cvtop(d2, p, v - Z_pval(d2,p)));
    2926         203 :   if (!d) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2927             :   /* Solve Y^2 = 4n^3 + b2 n^2 d2+ 2b4 n d2^2 + b6 d2^3,
    2928             :    * Y = 2y + a1 n d + a3 d^3 */
    2929         203 :   d4 = Fp_sqr(d2, N);
    2930         203 :   d6 = Fp_mul(d4, d2, N);
    2931         203 :   B = gmul(d, Fp_add(mulii(a1,n), mulii(a3,d2), N));
    2932         203 :   C = mkpoln(4, utoipos(4), Fp_mul(b2, d2, N),
    2933             :                 Fp_mul(shifti(b4,1), d4, N),
    2934             :                 Fp_mul(b6,d6,N));
    2935         203 :   C = FpX_eval(C, n, N);
    2936         203 :   if (!signe(C))
    2937           0 :     Y = zeropadic(p, v >> 1);
    2938             :   else
    2939         203 :     Y = Qp_sqrt(cvtop(C, p, v - Z_pval(C,p)));
    2940         203 :   if (!Y) pari_err_BUG("ellpadicheight");
    2941         203 :   *pd = d;
    2942         203 :   return gdiv(gmulgs(gmul(n,d), -2), gsub(Y,B));
    2943             : }
    2944             : 
    2945             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) - log_p(j-1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2946             : static long
    2947         203 : logsigma_prec(GEN p, long v, long t)
    2948             : {
    2949         203 :   double log2p = dbllog2(p);
    2950         203 :   long j, i = ceil((v - t) / (t - 2*LOG2/(3*log2p)) + 0.01);
    2951         203 :   if (absequaliu(p,2) && i < 5) i = 5;
    2952             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2953         252 :   for (j = i-1; j >= 2; j--)
    2954             :   {
    2955         252 :     if (- u_pval(j+1,p) - log2(j-1)/log2p + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2956          49 :     i = j;
    2957             :   }
    2958         203 :   if (j == 1)
    2959             :   {
    2960           0 :     if (- absequaliu(p,2) + 2*t + 0.01 >= v) i = 1;
    2961             :   }
    2962         203 :   return i;
    2963             : }
    2964             : /* return minimal i s.t. -v_p(j+1) + (j+1)*t >= v for all j>=i */
    2965             : static long
    2966           7 : log_prec(GEN p, long v, long t)
    2967             : {
    2968           7 :   double log2p = dbllog2(p);
    2969           7 :   long j, i = ceil(v / (t - LOG2/(2*log2p)) + 0.01);
    2970             :   /* guaranteed to work, now optimize */
    2971          28 :   for (j = i-1; j >= 1; j--)
    2972             :   {
    2973          28 :     if (- u_pval(j+1,p) + (j+1)*t + 0.01 < v) break;
    2974          21 :     i = j;
    2975             :   }
    2976           7 :   return i;
    2977             : }
    2978             : 
    2979             : static GEN
    2980         210 : parse_p(GEN p, GEN *ab)
    2981             : {
    2982         210 :   *ab = NULL;
    2983         210 :   switch(typ(p))
    2984             :   {
    2985         105 :     case t_INT: break;
    2986             :     case t_VEC:
    2987         105 :       if (lg(p) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2988         105 :       *ab = gel(p,2);
    2989         105 :       if (typ(*ab) != t_VEC || lg(*ab) != 3) pari_err_TYPE("ellpadicheight",p);
    2990         105 :       p = gel(p,1);
    2991             :   }
    2992         210 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadicheight",p);
    2993         210 :   return p;
    2994             : }
    2995             : 
    2996             : static GEN
    2997         301 : precp_fix(GEN h, long v)
    2998         301 : { return (precp(h) > v)? cvtop(h,gel(h,2),v): h; }
    2999             : 
    3000             : GEN
    3001         217 : ellpadicheight(GEN e, GEN p, long v0, GEN P)
    3002             : {
    3003         217 :   pari_sp av = avma;
    3004             :   GEN N, H, h, t, ch, g, E, x, n, d, D, ls, lt, S, a,b, ab;
    3005             :   long v, vd;
    3006             :   int is2;
    3007         217 :   checkellpt(P);
    3008         217 :   if (v0<=0) pari_err_DOMAIN("ellpadicheight","precision","<=",gen_0,stoi(v0));
    3009         210 :   checkell_Q(e);
    3010         210 :   p = parse_p(p, &ab);
    3011         210 :   if (ellorder_Q(e,P)) return ab? gen_0: mkvec2(gen_0,gen_0);
    3012         203 :   E = ellanal_globalred(e, &ch);
    3013         203 :   if (E != e) P = ellchangepoint(P, ch);
    3014         203 :   S = ellnonsingularmultiple(E, P);
    3015         203 :   P = gel(S,1);
    3016         203 :   g = gel(S,2);
    3017         203 :   v = v0 + 2*Z_pval(g, p);
    3018         203 :   is2 = absequaliu(p,2);
    3019         203 :   if (is2) v += 2;
    3020         203 :   x = gel(P,1);
    3021         203 :   n = numer(x);
    3022         203 :   d = denom(x);
    3023         203 :   x = mkvec2(n, d);
    3024         203 :   vd = Z_pval(d, p);
    3025         203 :   if (!vd)
    3026             :   { /* P not in kernel of reduction mod p */
    3027         189 :     GEN m, X, Pp, Ep = ellinit_Fp(E, p);
    3028         189 :     long w = v+2;
    3029         189 :     Pp = RgV_to_FpV(P, p);
    3030         189 :     if (Ep)
    3031         189 :       m = ellorder(Ep, Pp, NULL);
    3032             :     else
    3033             :     {
    3034           0 :       m = ellcard(E, p); /* E has bad reduction at p */
    3035           0 :       if (equalii(m, p)) pari_err_TYPE("ellpadicheight: additive reduction", E);
    3036             :     }
    3037         189 :     g = mulii(g,m);
    3038             :     for(;;)
    3039             :     {
    3040         378 :       N = powiu(p, w);
    3041         378 :       X = xmP(E, x, m, N);
    3042         378 :       d = gel(X,2);
    3043         378 :       if (!signe(d))
    3044           0 :         w <<= 1;
    3045             :       else
    3046             :       {
    3047         378 :         vd = Z_pval(d, p);
    3048         378 :         if (w >= v+2*vd + is2) break;
    3049         189 :         w = v+2*vd + is2;
    3050             :       }
    3051         189 :     }
    3052         189 :     x = X;
    3053             :   }
    3054             :   /* we will want t mod p^(v+vd) because of t/D in H later, and
    3055             :    * we lose p^vd in tfromx because of sqrt(d) (p^(vd+1) if p=2)*/
    3056         203 :   v += 2*vd + is2;
    3057         203 :   N = powiu(p,v);
    3058         203 :   t = tfromx(E, x, p, v, N, &D); /* D^2=denom(x)=x[2] */
    3059         203 :   S = ellformallogsigma_t(E, logsigma_prec(p, v-vd, valp(t)) + 1);
    3060         203 :   ls = ser2rfrac_i(gel(S,1)); /* log_p (sigma(T)/T) */
    3061         203 :   lt = ser2rfrac_i(gel(S,2)); /* log_E (T) */
    3062             :   /* evaluate our formal power series at t */
    3063         203 :   H = gadd(poleval(ls, t), glog(gdiv(t, D), 0));
    3064         203 :   h = gsqr(poleval(lt, t));
    3065         203 :   g = sqri(g);
    3066         203 :   a = gdiv(gmulgs(H,-2), g);
    3067         203 :   b = gdiv(gneg(h), g);
    3068         203 :   if (E != e)
    3069             :   {
    3070          21 :     GEN u = gel(ch,1), r = gel(ch,2);
    3071          21 :     a = gdiv(gadd(a, gmul(r,b)), u);
    3072          21 :     b = gmul(u,b);
    3073             :   }
    3074         203 :   H = mkvec2(a,b);
    3075         203 :   if (ab)
    3076             :   {
    3077         105 :     H = RgV_dotproduct(H, ab);
    3078         105 :     H = precp_fix(H,v0);
    3079             :   }
    3080             :   else
    3081             :   {
    3082          98 :     gel(H,1) = precp_fix(gel(H,1),v0);
    3083          98 :     gel(H,2) = precp_fix(gel(H,2),v0);
    3084             :   }
    3085         203 :   return gerepilecopy(av, H);
    3086             : }
    3087             : 
    3088             : GEN
    3089          14 : ellpadiclog(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    3090             : {
    3091          14 :   pari_sp av = avma;
    3092             :   long vt;
    3093             :   GEN t, x, y, L;
    3094          14 :   checkellpt(P);
    3095          14 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_0;
    3096          14 :   x = gel(P,1);
    3097          14 :   y = gel(P,2); t = gneg(gdiv(x,y));
    3098          14 :   vt = gvaluation(t, p); /* can be a t_INT, t_FRAC or t_PADIC */
    3099          14 :   if (vt <= 0)
    3100           7 :     pari_err_DOMAIN("ellpadiclog","P","not in the kernel of reduction at",p,P);
    3101           7 :   L = ser2rfrac_i(ellformallog(E, log_prec(p, n, vt) + 1, 0));
    3102           7 :   return gerepileupto(av, poleval(L, cvtop(t, p, n)));
    3103             : }
    3104             : 
    3105             : /* s2 = (b_2-E_2)/12 */
    3106             : GEN
    3107          21 : ellpadics2(GEN E, GEN p, long n)
    3108             : {
    3109          21 :   pari_sp av = avma;
    3110             :   GEN sqrtD, D, l, F, a,b,d, ap;
    3111             :   ulong pp;
    3112          21 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellpadics2",p);
    3113          21 :   if (cmpis(p,2) < 0) pari_err_PRIME("ellpadics2",p);
    3114          21 :   pp = itou_or_0(p);
    3115          21 :   F = ellpadicfrobenius(E, itou(p), n);
    3116          21 :   a = gcoeff(F,1,1);
    3117          21 :   b = gcoeff(F,1,2);
    3118          21 :   d = gcoeff(F,2,2); ap = gadd(a,d);
    3119          21 :   if(valp(ap) > 0) pari_err_DOMAIN("ellpadics2","E","is supersingular at", p,E);
    3120          21 :   if (pp == 2 || (pp <= 13 && n == 1)) /* 2sqrt(p) > p/2: ambiguity */
    3121           0 :     ap = ellap(E,p);
    3122             :   else
    3123             :   { /* either 2sqrt(p) < p/2 or n > 1 and 2sqrt(p) < p^2/2 (since p!=2) */
    3124          21 :     GEN q = abscmpiu(p,13) <= 0? sqri(p): p;
    3125          21 :     ap = padic_to_Fp(ap, q);
    3126          21 :     ap = Fp_center(ap,q,shifti(q,-1));
    3127             :   }
    3128          21 :   D = subii(sqri(ap), shifti(p,2));
    3129          21 :   if (absequaliu(p,2)) n++;
    3130          21 :   sqrtD = Zp_sqrtlift(D, ap, p, n); /* congruent to ap mod p */
    3131          21 :   l = gmul2n(gadd(ap, cvtop(sqrtD,p,n)), -1); /*unit eigenvalue of F*/
    3132          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(b, gsub(l, a))); /* slope of eigenvector */
    3133             : }
    3134             : 
    3135             : GEN
    3136         154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    3137             : {
    3138         154 :   pari_sp av = avma;
    3139             :   GEN t;
    3140             :   long s;
    3141             : 
    3142         154 :   checkell(e); checkellpt(z);
    3143         154 :   switch(ell_get_type(e))
    3144             :   {
    3145             :     case t_ELL_Qp:
    3146         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3147         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    3148           7 :     case t_ELL_Q: break;
    3149          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    3150           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    3151             :   }
    3152          42 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    3153          42 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    3154          42 :   s = ellR_get_sign(e);
    3155          42 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    3156           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    3157             :   else
    3158          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    3159          42 :   return gerepileupto(av,t);
    3160             : }
    3161             : 
    3162             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    3163             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    3164             : typedef struct {
    3165             :   enum period_type type;
    3166             :   GEN in; /* original input */
    3167             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    3168             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    3169             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    3170             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    3171             :   GEN x,y; /* t_INT */
    3172             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    3173             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    3174             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    3175             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    3176             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    3177             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    3178             :   long prec; /* precision(Z) */
    3179             : } ellred_t;
    3180             : 
    3181             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    3182             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    3183             : static void
    3184       23562 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    3185             : {
    3186       23562 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    3187       23562 :   pari_sp av = avma;
    3188             : 
    3189       23562 :   a = d = gen_1;
    3190       23562 :   b = c = gen_0;
    3191             :   for(;;)
    3192             :   {
    3193       45416 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    3194       45416 :     if (signe(n))
    3195             :     { /* apply T^n */
    3196       27572 :       t = gsub(t,n);
    3197       27572 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    3198       27572 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    3199             :     }
    3200       45416 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    3201       21854 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    3202       21854 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    3203       21854 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    3204       21854 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    3205           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
    3206           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    3207             :     }
    3208       21854 :   }
    3209       23562 :   *pa = a;
    3210       23562 :   *pb = b;
    3211       23562 :   *pc = c;
    3212       23562 :   *pd = d;
    3213       23562 : }
    3214             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    3215             :  * Set *pU to U. */
    3216             : GEN
    3217        8995 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    3218             : {
    3219        8995 :   pari_sp av = avma;
    3220             :   GEN U, a,b,c,d;
    3221        8995 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    3222        8995 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    3223        8995 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
    3224        8995 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    3225        8995 :   *pU = U; return t;
    3226             : }
    3227             : 
    3228             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    3229             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    3230             : static void
    3231       14567 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    3232             : {
    3233             :   long s, p;
    3234       14567 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    3235       14567 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    3236       14567 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    3237       14567 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    3238             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    3239       14567 :   T->swap = (s < 0);
    3240       14567 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    3241       14567 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    3242             :   /* update lattice */
    3243       14567 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    3244       14567 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    3245       14567 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    3246       14567 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3247       14567 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    3248       14567 :   T->prec = p;
    3249       14567 : }
    3250             : /* is z real or pure imaginary ? */
    3251             : static void
    3252       15561 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    3253             : {
    3254       15561 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    3255       10220 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    3256       15561 : }
    3257             : static void
    3258        9919 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    3259             : {
    3260             :   long p;
    3261             :   GEN Z;
    3262        9919 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    3263        9919 :   T->some_z_is_real = 0;
    3264        9919 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    3265        9919 :   switch(typ(z))
    3266             :   {
    3267        9919 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    3268             :     case t_QUAD:
    3269           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    3270           0 :       break;
    3271           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    3272             :   }
    3273        9919 :   T->z = z;
    3274        9919 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    3275        9919 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    3276        9919 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    3277        9919 :   T->y = ground(real_i(Z));
    3278        9919 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    3279        9919 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    3280             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    3281        9919 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3282        9919 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    3283             :   {
    3284        4858 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    3285        4858 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    3286        4858 :     if (W2real)
    3287         378 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    3288        4480 :     else if (W2imag)
    3289         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    3290             :   }
    3291        9919 :   p = precision(Z);
    3292        9919 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    3293          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    3294        9919 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    3295        9919 :   T->Z = Z;
    3296        9919 : }
    3297             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    3298             : static GEN
    3299        8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    3300             : {
    3301        8890 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    3302        8890 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    3303        8890 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    3304        8890 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    3305        4242 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    3306             : }
    3307             : /* e is either
    3308             :  * - [w1,w2]
    3309             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    3310             :  * - an ellinit structure */
    3311             : static void
    3312       14567 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    3313             : {
    3314             :   GEN w, e;
    3315       14567 :   T->q_is_real = 0;
    3316       14567 :   T->some_q_is_real = 0;
    3317       14567 :   switch(T->type)
    3318             :   {
    3319             :     case t_PER_ELL:
    3320             :     {
    3321        1057 :       long pr, p = prec;
    3322        1057 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    3323        1057 :       e = T->in;
    3324        1057 :       w = ellR_omega(e, p);
    3325        1057 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    3326        1057 :       break;
    3327             :     }
    3328             :     case t_PER_W:
    3329       13328 :       w = T->in; break;
    3330             :     default: /*t_PER_WETA*/
    3331         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    3332             :   }
    3333       14567 :   T->w1 = gel(w,1);
    3334       14567 :   T->w2 = gel(w,2);
    3335       14567 :   red_modSL2(T, prec);
    3336       14567 :   if (z) reduce_z(z, T);
    3337       14567 : }
    3338             : static int
    3339       14574 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    3340             : {
    3341             :   GEN w1;
    3342       14574 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    3343       14574 :   T->in = e;
    3344       14574 :   switch(lg(e))
    3345             :   {
    3346             :     case 17:
    3347        1064 :       T->type = t_PER_ELL;
    3348        1064 :       break;
    3349             :     case 3:
    3350       13510 :       w1 = gel(e,1);
    3351       13510 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    3352       13328 :         T->type = t_PER_W;
    3353             :       else
    3354             :       {
    3355         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    3356         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    3357             :       }
    3358       13510 :       break;
    3359           0 :     default: return 0;
    3360             :   }
    3361       14574 :   return 1;
    3362             : }
    3363             : static int
    3364       14490 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    3365             : {
    3366       14490 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    3367       14490 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    3368             : }
    3369             : 
    3370             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    3371             : static GEN
    3372        9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    3373             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    3374             : GEN
    3375       33600 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    3376             : 
    3377             : static GEN
    3378       13790 : check_real(GEN q)
    3379       13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    3380             : 
    3381             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    3382             : static GEN
    3383       13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    3384             : {
    3385             :   pari_sp av;
    3386             :   GEN p1, q, y, qn;
    3387       13545 :   long n = 1;
    3388             : 
    3389       13545 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    3390         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    3391         245 :   q = check_real(q);
    3392         245 :   y = gen_0;
    3393         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    3394        2164 :   for(;; n++)
    3395             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    3396        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    3397        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    3398        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3399        2164 :     y = gadd(y, p1);
    3400        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    3401             :     {
    3402           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    3403           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    3404             :     }
    3405        2164 :   }
    3406         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    3407             : }
    3408             : 
    3409             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    3410             : static GEN
    3411       13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    3412             : {
    3413       13545 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    3414       13545 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    3415       13545 :   return check_real(y);
    3416             : }
    3417             : 
    3418             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    3419             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    3420             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    3421             : GEN
    3422        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    3423             : {
    3424        4438 :   pari_sp av = avma;
    3425             :   GEN y;
    3426             :   ellred_t T;
    3427             : 
    3428        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    3429        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    3430        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    3431        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    3432        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    3433        4011 :   {
    3434        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    3435        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    3436             :   }
    3437         427 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    3438         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    3439        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    3440             : }
    3441             : 
    3442             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    3443             : static GEN
    3444        8925 : _elleta(ellred_t *T)
    3445             : {
    3446        8925 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    3447        8925 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    3448        8925 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    3449        8925 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    3450             : }
    3451             : 
    3452             : /* compute eta1, eta2 */
    3453             : GEN
    3454          84 : elleta(GEN om, long prec)
    3455             : {
    3456          84 :   pari_sp av = avma;
    3457             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    3458             :   ellred_t T;
    3459             : 
    3460          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    3461          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    3462             : 
    3463          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    3464          77 :   prec = T.prec;
    3465          77 :   pi = mppi(prec);
    3466          77 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    3467          77 :   if (signe(T.c))
    3468             :   {
    3469          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    3470             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    3471          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    3472             :   }
    3473          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    3474          77 :   if (T.swap)
    3475             :   {
    3476           7 :     y1 = y2;
    3477           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    3478             :   }
    3479             :   else
    3480          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    3481          77 :   switch(typ(T.w1))
    3482             :   {
    3483             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    3484          49 :       y1 = real_i(y1);
    3485             :   }
    3486          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    3487             : }
    3488             : GEN
    3489          42 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    3490             : {
    3491          42 :   pari_sp av = avma;
    3492             :   ellred_t T;
    3493          42 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    3494          42 :   switch(flag)
    3495             :   {
    3496           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    3497          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    3498           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    3499             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    3500             :   }
    3501             : }
    3502             : 
    3503             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    3504             : static double
    3505        9891 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    3506             : 
    3507             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    3508             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    3509             : static GEN
    3510         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    3511             : {
    3512             :   long toadd;
    3513         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    3514             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    3515             :   ellred_t T;
    3516             :   int simple_case;
    3517             : 
    3518         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    3519         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    3520         966 :   prec = T.prec;
    3521             : 
    3522             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    3523         966 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3524         966 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3525         966 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3526         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    3527         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    3528         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    3529         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    3530         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    3531         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    3532         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    3533         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    3534         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3535             : 
    3536         966 :   av1 = avma; qn = q;
    3537             :   for(;;)
    3538             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    3539             :     /* analogous formula for yp */
    3540       12560 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    3541       12560 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    3542       12560 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    3543       12560 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    3544       12560 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    3545       12560 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    3546         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    3547             :     else
    3548             :     {
    3549       12172 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    3550       12172 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    3551       12172 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    3552       12172 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3553             :     }
    3554       12560 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3555       12560 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3556       12560 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3557             : 
    3558       12560 :     qn = gmul(q,qn);
    3559       12560 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3560       11594 :     if (gc_needed(av1,1))
    3561             :     {
    3562           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3563           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3564             :     }
    3565       11594 :   }
    3566         966 :   if (yp)
    3567             :   {
    3568         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    3569         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3570             :   }
    3571             : 
    3572         966 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    3573         966 :   u2 = gsqr(u1);
    3574         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3575         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3576         567 :     y = real_i(y);
    3577         966 :   if (yp)
    3578             :   {
    3579         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3580         903 :     if (T.some_q_is_real)
    3581             :     {
    3582         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3583         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3584             :     }
    3585         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    3586             :   }
    3587         966 :   return gerepilecopy(av, y);
    3588             : }
    3589             : static GEN
    3590         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3591             : {
    3592             :   long i, k, l;
    3593             :   pari_sp av;
    3594         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3595             : 
    3596         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    3597         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3598             : 
    3599         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3600         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    3601         301 :   switch(PRECDL)
    3602             :   {
    3603         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    3604             :     case 6:
    3605         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    3606             :     case 4:
    3607         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    3608             :     case 2:
    3609         301 :     case 1: P[0] = _1;
    3610             :   }
    3611         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3612         301 :   av = avma;
    3613         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    3614        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3615             :   {
    3616         784 :     av = avma;
    3617         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3618         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3619         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    3620         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3621         784 :     if (k % 3 == 2)
    3622         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3623             :     else /* same value, more efficient */
    3624         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3625         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3626             :   }
    3627         301 :   return res;
    3628             : }
    3629             : 
    3630             : static int
    3631         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3632             : {
    3633         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3634             :   {
    3635             :     case 17:
    3636         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3637         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3638         203 :       return 1;
    3639             :     case 3:
    3640             :     {
    3641             :       ellred_t T;
    3642          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3643          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3644          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3645          91 :       return 1;
    3646             :     }
    3647             :   }
    3648           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3649           0 :   return 0;
    3650             : }
    3651             : 
    3652             : GEN
    3653          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3654             : {
    3655             :   GEN c4, c6;
    3656          14 :   checkell(e);
    3657          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3658          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3659             : }
    3660             : 
    3661             : GEN
    3662           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3663           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3664             : 
    3665             : GEN
    3666         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3667             : {
    3668         182 :   pari_sp av = avma;
    3669             :   GEN y;
    3670             : 
    3671         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3672         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3673         182 :   y = toser_i(z);
    3674         182 :   if (y)
    3675             :   {
    3676         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3677             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3678         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3679         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3680         105 :     if (gequal0(y)) {
    3681           0 :       avma = av;
    3682           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3683           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3684             :     }
    3685         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3686         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3687         105 :     if (!flag)
    3688         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3689             :     else
    3690             :     {
    3691           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3692           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3693             :     }
    3694             :   }
    3695          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3696          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3697          70 :   return gerepileupto(av, y);
    3698             : }
    3699             : 
    3700             : GEN
    3701         154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3702             : {
    3703             :   long prec;
    3704         154 :   pari_sp av = avma;
    3705         154 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    3706             :   ellred_t T;
    3707             : 
    3708         154 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3709         154 :   y = toser_i(z);
    3710         154 :   if (y)
    3711             :   {
    3712          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3713             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3714          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3715          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3716          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3717          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3718          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3719          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3720          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3721             :   }
    3722          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3723          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3724          63 :   prec = T.prec;
    3725          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3726             : 
    3727          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3728          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    3729             : 
    3730          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3731          63 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    3732             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    3733          63 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3734          63 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    3735             :     pari_sp av1;
    3736          63 :     u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    3737          63 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3738          63 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3739          63 :     y = gadd(y, v);
    3740             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    3741             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    3742          63 :     av1 = avma;
    3743          63 :     for (qn = q;;)
    3744             :     {
    3745         581 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    3746         581 :       qn = gmul(q,qn);
    3747         581 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3748         518 :       if (gc_needed(av1,1))
    3749             :       {
    3750           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3751           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    3752             :       }
    3753         518 :     }
    3754          63 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3755             :   }
    3756          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3757          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    3758          63 :   if (T.some_q_is_real)
    3759             :   {
    3760          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3761          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3762             :   }
    3763          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    3764             : }
    3765             : 
    3766             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3767             : GEN
    3768        8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3769             : {
    3770             :   long toadd, prec, n;
    3771        8967 :   pari_sp av = avma, av1;
    3772             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3773             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    3774             :   ellred_t T;
    3775             : 
    3776        8967 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3777             : 
    3778        8967 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3779        8967 :   y = toser_i(z);
    3780        8967 :   if (y)
    3781             :   {
    3782          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3783             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3784          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3785          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3786          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3787          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    3788          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3789          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3790             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3791          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3792          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3793          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3794          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3795          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3796             :   }
    3797        8869 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3798        8869 :   if (!T.Z)
    3799             :   {
    3800           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3801           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3802             :   }
    3803        8862 :   prec = T.prec;
    3804        8862 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3805        8862 :   pi  = mppi(prec);
    3806             : 
    3807        8862 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3808        8862 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3809        8862 :   u = gsqr(uhalf);
    3810        8862 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    3811        8862 :   q = gpowgs(q8,8);
    3812        8862 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    3813        8862 :   y = gen_0;
    3814        8862 :   av1 = avma;
    3815        8862 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3816        8862 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3817       58100 :   for(n=0;;n++)
    3818             :   {
    3819       58100 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3820       58100 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3821       58100 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3822       49238 :     qn  = gmul(q,qn);
    3823       49238 :     urn = gmul(urn,u);
    3824       49238 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3825       49238 :     if (gc_needed(av1,1))
    3826             :     {
    3827           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3828           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3829             :     }
    3830       49238 :   }
    3831        8862 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3832             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3833             : 
    3834        8862 :   et = _elleta(&T);
    3835        8862 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3836        8862 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3837        8862 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3838             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3839        8862 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3840        8862 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3841        8862 :   if (flag)
    3842             :   {
    3843        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3844        8799 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3845             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3846          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3847             :     }
    3848             :   }
    3849             :   else
    3850             :   {
    3851          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3852          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3853             :     {
    3854          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3855          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3856             :     }
    3857             :   }
    3858        8862 :   return gerepilecopy(av, y);
    3859             : }
    3860             : 
    3861             : GEN
    3862         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3863             : {
    3864         966 :   pari_sp av = avma;
    3865             :   GEN v;
    3866             : 
    3867         966 :   checkell(e);
    3868         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3869             :   {
    3870          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3871          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3872             :   }
    3873         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3874         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3875         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3876         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3877         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3878             : }
    3879             : 
    3880             : /********************************************************************/
    3881             : /**                                                                **/
    3882             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3883             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3884             : /**                                                                **/
    3885             : /********************************************************************/
    3886             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3887             : typedef struct {
    3888             :   long a1; /*{0,1}*/
    3889             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3890             :   long a3; /*{0,1}*/
    3891             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3892             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3893             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3894             : } ellmin_t;
    3895             : 
    3896             : /* u from [u,r,s,t] */
    3897             : static void
    3898     1170743 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3899             : {
    3900     1170743 :   M->u = u;
    3901     1170743 :   if (is_pm1(u))
    3902     1107806 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3903             :   else
    3904             :   {
    3905       62937 :     M->u2 = sqri(u);
    3906       62937 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3907       62937 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3908       62937 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3909             :   }
    3910     1170743 : }
    3911             : /* E = original curve */
    3912             : static void
    3913     1170743 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3914             : {
    3915     1170743 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3916     1170743 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3917       62937 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3918       62937 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3919             :   }
    3920     1170743 :   M->c4 = c4;
    3921     1170743 :   M->c6 = c6;
    3922     1170743 : }
    3923             : static void
    3924     1170435 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3925             : {
    3926     1170435 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3927     1170435 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3928     1170435 :   M->D = D;
    3929     1170435 : }
    3930             : static void
    3931     1170596 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3932             : {
    3933             :   long b22, b2;
    3934     1170596 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3935     1170596 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3936     1170596 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3937     1170596 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3938     1170596 : }
    3939             : static void
    3940     1170456 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3941             : {
    3942     1170456 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3943     1170456 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3944     1170456 :   if (odd(b2))
    3945             :   {
    3946      600411 :     a1 = 1;
    3947      600411 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3948             :   }
    3949             :   else
    3950             :   {
    3951      570045 :     a1 = 0;
    3952      570045 :     a2 = b2 >> 2;
    3953             :   }
    3954     1170456 :   M->a1 = a1;
    3955     1170456 :   M->a2 = a2;
    3956     1170456 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3957     1170456 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3958     1170456 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3959     1170456 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3960     1170456 : }
    3961             : static void
    3962     1170428 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3963             : {
    3964     1170428 :   min_set_u(M, u);
    3965     1170428 :   min_set_c(M, E);
    3966     1170428 :   min_set_D(M, E);
    3967     1170428 :   min_set_b(M);
    3968     1170428 :   min_set_a(M);
    3969     1170428 : }
    3970             : static GEN
    3971     1157345 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3972             : {
    3973     1157345 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3974             :   long a11, a13;
    3975     1157345 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3976     1157345 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3977     1157345 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3978     1157345 :   gel(y,4) = M->a4;
    3979     1157345 :   gel(y,5) = M->a6;
    3980     1157345 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3981     1157345 :   gel(y,7) = M->b4;
    3982     1157345 :   gel(y,8) = M->b6;
    3983     1157345 :   a11 = M->a1;
    3984     1157345 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3985     1157345 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3986             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3987     1157345 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3988     1157345 :   gel(y,10)= M->c4;
    3989     1157345 :   gel(y,11)= M->c6;
    3990     1157345 :   gel(y,12)= M->D;
    3991     1157345 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3992     1157345 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3993     1157345 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3994     1157345 :   return y;
    3995             : }
    3996             : static GEN
    3997     1170428 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3998             : {
    3999             :   GEN r, s, t;
    4000     1170428 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    4001     1170428 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    4002     1170428 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    4003     1170428 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    4004             : }
    4005             : 
    4006             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    4007             : static long
    4008     1682800 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    4009             : {
    4010     1682800 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    4011     1682800 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    4012     1682800 :   if (!signe(c6))
    4013             :   {
    4014        2870 :     d = vD / 12;
    4015        2870 :     if (d)
    4016             :     {
    4017        1071 :       if (p == 2)
    4018             :       {
    4019         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4020         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4021         819 :         if (a) d--;
    4022             :       }
    4023        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    4024             :     }
    4025        2870 :     v6 = 12; /* +oo */
    4026             :   }
    4027             :   else
    4028             :   {
    4029     1679930 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    4030     1679930 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    4031     1679930 :     if (d) {
    4032      181146 :       if (p == 2) {
    4033      109732 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4034      109732 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4035      109732 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4036      109732 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    4037       71414 :       } else if (p == 3) {
    4038       45192 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    4039             :       }
    4040      181146 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4041             :     }
    4042             :   }
    4043     1682800 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    4044             : }
    4045             : static long
    4046      878514 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    4047             : {
    4048             :   GEN c6;
    4049             :   long d, v6, vD;
    4050      878514 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    4051           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4052           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    4053           7 :   if (!signe(c6))
    4054             :   {
    4055           0 :     d = vD / 12;
    4056           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    4057           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    4058             :   }
    4059             :   else
    4060             :   {
    4061           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    4062           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    4063           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4064             :   }
    4065           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    4066             : }
    4067             : 
    4068             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    4069             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    4070             :   in the form [f, kod, v, c].
    4071             : 
    4072             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    4073             : 
    4074             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    4075             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    4076             :     I0  -->  1
    4077             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    4078             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    4079             : 
    4080             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    4081             : 
    4082             :   * c is the Tamagawa number.
    4083             : 
    4084             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    4085             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    4086             : static GEN
    4087     1731331 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    4088             : {
    4089     1731331 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    4090     1731331 :   gel(z,1) = stoi(f);
    4091     1731331 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    4092     1731331 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    4093     1731331 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    4094             : }
    4095             : static GEN
    4096           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    4097             : {
    4098           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    4099           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    4100             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4101             : }
    4102             : 
    4103             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    4104             : static long
    4105      879375 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    4106             : 
    4107             : /* p > 3, e integral */
    4108             : static GEN
    4109      878514 : localred_p(GEN e, GEN p)
    4110             : {
    4111             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    4112      878514 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    4113             : 
    4114      878514 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4115      878514 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4116      878514 :   nuj = j_pval(e, p);
    4117      878514 :   nuD = Z_pval(D, p);
    4118      878514 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    4119      878514 :   if (!k) v = init_ch();
    4120             :   else
    4121             :   { /* model not minimal */
    4122             :     ellmin_t M;
    4123       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    4124       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    4125       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    4126             :   }
    4127             : 
    4128      878514 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    4129             :   {
    4130      760816 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    4131      760816 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    4132             :       {
    4133      392224 :         case  1: c = nuD; break;
    4134      368592 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    4135           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    4136             :       }
    4137      760816 :       break;
    4138             :     case 6:
    4139             :     {
    4140       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    4141       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    4142       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    4143       45703 :       break;
    4144             :     }
    4145           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    4146             :   }
    4147       71995 :   else switch(nuD)
    4148             :   {
    4149          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    4150       11676 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    4151       10339 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    4152        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    4153        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    4154        5635 :       break;
    4155       16898 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    4156       16898 :       p2 = sqri(p);
    4157             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    4158       16898 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    4159             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    4160             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    4161       16898 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    4162       16898 :       break;
    4163       11613 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    4164       11613 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    4165       11613 :       break;
    4166       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    4167        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    4168           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    4169             :   }
    4170      878514 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    4171             : }
    4172             : 
    4173             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    4174             : static ulong
    4175      888699 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    4176      888699 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    4177             : 
    4178             : static ulong
    4179     1421994 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    4180             : {
    4181     1421994 :   pari_sp av = avma;
    4182     1421994 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    4183     1421994 :   avma = av; return res;
    4184             : }
    4185             : 
    4186             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    4187             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    4188             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    4189             : static long
    4190      244307 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4191             : {
    4192      244307 :   if (p == 2)
    4193             :   {
    4194      141099 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    4195      122367 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    4196             :   }
    4197             :   /* p = 3 */
    4198      103208 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    4199       69062 :   *mult = a * b;
    4200       69062 :   if (b == 2)
    4201       22995 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    4202             :   else
    4203       46067 :     return c ? 3 : 2;
    4204             : }
    4205             : 
    4206             : /* same for aX^2 +bX + c */
    4207             : static long
    4208      788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    4209             : {
    4210      788886 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    4211             :   /* p = 3 */
    4212      301077 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    4213             : }
    4214             : 
    4215             : /* p = 2 or 3 */
    4216             : static GEN
    4217      702695 : localred_23(GEN e, long p)
    4218             : {
    4219             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    4220             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    4221             :   GEN v;
    4222             : 
    4223      702695 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    4224      702695 :   if (!k) v = init_ch();
    4225             :   {
    4226             :     ellmin_t M;
    4227      702695 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    4228      702695 :     v = min_get_v(&M, e);
    4229      702695 :     e = min_to_ell(&M, e);
    4230             :   }
    4231             :   /* model is minimal */
    4232      702695 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    4233      702695 :   v = init_ch();
    4234      702695 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    4235      321650 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    4236             : 
    4237      702695 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    4238      702576 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    4239             :   {
    4240      385903 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    4241      195937 :       c = nuD;
    4242             :     else
    4243      189966 :       c = 2 - (nuD & 1);
    4244      385903 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    4245             :   }
    4246      316673 :   if (p == 2)
    4247             :   {
    4248      185787 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    4249      185787 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    4250      185787 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    4251      185787 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    4252             :   }
    4253             :   else /* p == 3 */
    4254             :   {
    4255      130886 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    4256      130886 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    4257      130886 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    4258      130886 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    4259             :   }
    4260             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    4261      316673 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    4262      316673 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    4263       22281 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    4264      294392 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    4265       27608 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    4266      266784 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    4267             :   {
    4268       22477 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    4269       11522 :       c = 3;
    4270             :     else
    4271       10955 :       c = 1;
    4272       22477 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    4273             :   }
    4274             : 
    4275      244307 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    4276       91021 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    4277             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    4278      244307 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    4279      244307 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    4280      244307 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    4281      244307 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    4282             :   {
    4283             :     case 3:
    4284       36071 :       c = a63 ? 1: 2;
    4285       36071 :       if (p == 2)
    4286       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    4287             :       else {
    4288       17339 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    4289       17339 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    4290             :       }
    4291       36071 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    4292             :     case 2:
    4293             :     { /* compute nu */
    4294             :       GEN pk, pk1, p2k;
    4295             :       long al, be, ga;
    4296      130347 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    4297             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4298      130347 :       nu = 1;
    4299      130347 :       pk  = utoipos(p2);
    4300      130347 :       p2k = utoipos(p4);
    4301             :       for(;;)
    4302             :       {
    4303      387716 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    4304      387716 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4305      387716 :         al = 1;
    4306      387716 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4307      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    4308      323281 :         pk1 = pk;
    4309      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    4310      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4311             : 
    4312      323281 :         al = a21;
    4313      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    4314      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    4315      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    4316      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    4317      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    4318      257369 :       }
    4319      130347 :       if (p == 2)
    4320       72261 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    4321             :       else
    4322       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    4323      130347 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    4324             :     }
    4325             :     case 1:
    4326       77889 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    4327             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    4328       77889 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    4329       77889 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    4330       77889 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    4331             :       {
    4332       29743 :         if (p == 2)
    4333       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    4334             :         else
    4335        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    4336       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    4337             :       }
    4338       48146 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    4339             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    4340       48146 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    4341       28959 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    4342             : 
    4343             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    4344       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    4345             :   }
    4346             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4347             : }
    4348             : 
    4349             : static GEN
    4350     1580964 : localred(GEN e, GEN p)
    4351             : {
    4352     1580964 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    4353      878514 :     return localred_p(e,p);
    4354             :   else
    4355             :   {
    4356      702450 :     long l = itos(p);
    4357      702450 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    4358      702450 :     return localred_23(e, l);
    4359             :   }
    4360             : }
    4361             : 
    4362             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    4363             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    4364             : static GEN
    4365       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    4366             : {
    4367       26306 :   GEN b = z;
    4368             :   long i;
    4369       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    4370             :   {
    4371       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    4372       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    4373             :   }
    4374         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4375             :   {
    4376         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4377             :   }
    4378          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    4379             : }
    4380             : 
    4381             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    4382             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    4383             : static GEN
    4384       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    4385             : {
    4386       13153 :   GEN b = z;
    4387             :   long i;
    4388       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    4389             :   {
    4390       13104 :     long s = smodis(b,3);
    4391       13104 :     if (s)
    4392             :     {
    4393           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    4394           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    4395           0 :         b = subii(b, Jz);
    4396             :       else
    4397           0 :         b = addii(b, Jz);
    4398             :     }
    4399       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    4400             :   }
    4401         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    4402             :   {
    4403          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    4404          98 :     if (!s) continue;
    4405          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    4406          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    4407             :     else
    4408          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    4409             :   }
    4410          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    4411             : }
    4412             : 
    4413             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    4414             : static GEN
    4415        3556 : get_piinv(GEN P)
    4416             : {
    4417        3556 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    4418        3556 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    4419        3556 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    4420             : }
    4421             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    4422             : static void
    4423      150122 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    4424             : {
    4425      150122 :   if (pr_is_inert(P))
    4426             :   {
    4427      146615 :     *pi = pr_get_p(P);
    4428      146615 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    4429             :   }
    4430             :   else
    4431             :   {
    4432        3507 :     *pv = get_piinv(P);
    4433        3507 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    4434             :   }
    4435      150122 : }
    4436             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    4437             : static GEN
    4438      241787 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    4439             : {
    4440      241787 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4441      241787 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4442      241787 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    4443             : }
    4444             : 
    4445             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    4446             : static GEN
    4447      391531 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    4448             : {
    4449      391531 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    4450      391531 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4451      391531 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    4452             : }
    4453             : 
    4454             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    4455             : 
    4456             : static GEN
    4457      216216 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    4458             : {
    4459      216216 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    4460      216216 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    4461      216216 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    4462      216216 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    4463             : }
    4464             : 
    4465             : static GEN
    4466      584423 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    4467             : {
    4468      584423 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4469      584423 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    4470      584423 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    4471      584423 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    4472      584423 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    4473             : }
    4474             : 
    4475             : static GEN
    4476       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    4477             : {
    4478       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    4479       15498 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    4480       15498 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    4481       15498 :   long n = 1;
    4482             :   while(1)
    4483             :   {
    4484       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    4485             :     GEN gama;
    4486       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4487             :     {
    4488        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4489        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4490             :     }
    4491       32102 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    4492       32102 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    4493       32102 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    4494       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    4495       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    4496             :     {
    4497        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4498        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    4499             :     }
    4500       24668 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    4501       24668 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    4502       24668 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    4503       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    4504       24668 :   }
    4505             : }
    4506             : 
    4507             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    4508             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    4509             : 
    4510             : static GEN
    4511       99218 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    4512             : {
    4513             :   GEN T, p, modP;
    4514             :   long vD;
    4515             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    4516       99218 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4517       99218 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    4518       99218 :   ch = init_ch();
    4519       99218 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4520       99218 :   *ap = 0;
    4521             :   while(1)
    4522             :   {
    4523      252161 :     if (vD==0)
    4524         623 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    4525             :     else
    4526             :     {
    4527      251538 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    4528      251538 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    4529      251538 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    4530      251538 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    4531      251538 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    4532             :       GEN x0, y0;
    4533      251538 :       if (absequaliu(p,2))
    4534             :       {
    4535             :         GEN x02, y02;
    4536      164234 :         if (signe(a1))
    4537             :         {
    4538       30163 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    4539       30163 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    4540       30163 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    4541             :         }
    4542             :         else
    4543             :         {
    4544      134071 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4545      134071 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4546             :         }
    4547      164234 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4548             :       }
    4549             :       else
    4550             :       {
    4551       87304 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4552       87304 :         if (signe(a12))
    4553       27510 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4554             :         else
    4555       59794 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4556       87304 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4557             :       }
    4558      251538 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    4559      251538 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    4560      251538 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    4561             :     }
    4562             :     /* 2 */
    4563             :     {
    4564      251538 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4565      251538 :       if (signe(b2) != 0)
    4566             :       {
    4567       57673 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4568       57673 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4569       57673 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4570       27867 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4571             :       }
    4572             :     }
    4573             :     /* 3 */
    4574             :     {
    4575      193865 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4576      193865 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4577             :     }
    4578             :     /* 4 */
    4579             :     {
    4580      191177 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4581      191177 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4582             :     }
    4583             :     /* 5 */
    4584      187481 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    4585             :     {
    4586      187481 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4587      187481 :       if (vb6<=2)
    4588             :       {
    4589        3367 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4590        3367 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4591        3367 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4592             :       }
    4593             :     }
    4594             :     /* 6 */
    4595             :     {
    4596      184114 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    4597      184114 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4598      184114 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4599             :       GEN po2, E, F, mr;
    4600             :       long i, lE;
    4601      184114 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    4602      184114 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4603      184114 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    4604             :       {
    4605       69678 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4606       69678 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4607       69678 :         lE = lg(E);
    4608       69678 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4609             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4610             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4611        4732 :           switch(lE)
    4612             :           {
    4613        1764 :             case 2: c = 1; break;
    4614        2618 :             case 3: c = 2; break;
    4615         350 :             default: c = 4; break;
    4616             :           }
    4617        4732 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4618             :         }
    4619             :       /* 7 */
    4620       64946 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4621       64946 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4622       64946 :         if (!gequal0(mr))
    4623             :         { /* not so frequent */
    4624       58898 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4625       58898 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    4626             :         }
    4627       64946 :         if (lE == 3)
    4628       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4629             :       }
    4630             :     }
    4631      163884 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    4632      163884 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4633             :     /*  8 */
    4634      163884 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4635             :     {
    4636        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4637        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4638             :     }
    4639             :     /*  9 */
    4640             :     {
    4641      159425 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    4642      159425 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    4643      159425 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4644        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4645             :     }
    4646             :     /* 10 */
    4647      155477 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4648        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4649             :     /* 11 */
    4650      152943 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    4651      152943 :     vD -= 12;
    4652      152943 :   }
    4653             : }
    4654             : 
    4655             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4656             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4657             : static GEN
    4658       50904 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4659             : {
    4660       50904 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4661             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4662             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4663             : 
    4664       50904 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4665       50904 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4666       50904 :   D = ell_get_disc(e);
    4667       50904 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4668       50904 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4669       50904 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4670       50904 :   m = (vD - nuj)/12;
    4671       50904 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4672             : 
    4673       50904 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4674             :   else
    4675             :   { /* model not minimal */
    4676             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4677       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4678       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4679       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4680       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4681       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4682       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4683       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4684       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4685       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4686       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4687       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4688       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4689       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4690       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4691       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4692       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4693       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4694       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4695             :   }
    4696             : 
    4697       50904 :   kod = 0; c = 1;
    4698             :   /* minimal at P */
    4699       50904 :   if (nuj > 0)
    4700             :   { /* v(j) < 0 */
    4701       47306 :     if (vD == nuj)
    4702             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4703       45213 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4704       45213 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4705       45213 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4706       24059 :         c = vD;/* split */
    4707             :       else
    4708       21154 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    4709             :     }
    4710             :     else
    4711             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4712             :       GEN Du;
    4713        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4714        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4715        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4716        2093 :       if(odd(vD))
    4717             :       {
    4718             :         GEN c6u;
    4719        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4720        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4721        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4722             :       }
    4723        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4724             :     }
    4725             :   }
    4726             :   else
    4727             :   { /* v(j) >= 0 */
    4728        3598 :     f = vD? 2: 0;
    4729        3598 :     switch(vD)
    4730             :     {
    4731             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4732          77 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    4733         609 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4734         490 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4735         273 :       case 4: kod = 4;
    4736         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4737         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4738         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4739         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4740         273 :         break;
    4741         791 :       case 6: kod = -1;
    4742         791 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4743         791 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4744         791 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4745         791 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4746         791 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4747         791 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4748         791 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4749         791 :         break;
    4750         609 :       case 8: kod = -4;
    4751         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4752         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4753         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4754         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4755         609 :         break;
    4756         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4757         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4758             :     }
    4759             :   }
    4760       50904 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4761             : }
    4762             : static GEN
    4763      101052 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4764             : {
    4765      101052 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4766      101052 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4767             :   {
    4768             :     long i, ap, vu;
    4769       50148 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4770       50148 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4771       50148 :     gel(q,3) = v;
    4772             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4773       50148 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4774       50148 :     if (vu > 0)
    4775             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4776       49231 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4777       49231 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4778       49231 :       if (!equali1(D))
    4779             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4780             :         GEN a;
    4781         399 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4782             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4783         399 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4784         399 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4785         399 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4786         399 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4787             :       }
    4788             :     }
    4789       50148 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4790       50148 :     return q;
    4791             :   }
    4792       50904 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4793             : }
    4794             : 
    4795             : GEN
    4796      195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    4797             : {
    4798      195153 :   pari_sp av = avma;
    4799      195153 :   checkell(e);
    4800      195153 :   switch(ell_get_type(e))
    4801             :   {
    4802             :     case t_ELL_Q:
    4803       97587 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    4804           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    4805       97587 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    4806       97587 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    4807       97587 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    4808           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    4809             :     case t_ELL_NF:
    4810       97566 :       checkprid(p);
    4811       97566 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    4812             :   }
    4813             : }
    4814             : 
    4815             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4816             : static GEN
    4817        5222 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4818             : {
    4819        5222 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4820        5222 :   return c;
    4821             : }
    4822             : static GEN
    4823     2295335 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4824             : {
    4825     2295335 :   *pd = NULL;
    4826     2295335 :   switch(typ(c))
    4827             :   {
    4828     2289273 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4829         840 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4830             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4831        5222 :       if (nf)
    4832             :       {
    4833        5222 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4834        5222 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4835             :       }
    4836           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4837           0 :       return NULL;
    4838             :   }
    4839             : }
    4840             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4841             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4842             : GEN
    4843      459067 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4844             : {
    4845      459067 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4846             :   long i, l, k;
    4847             : 
    4848      459067 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4849      459067 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4850     2754402 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4851             :   {
    4852             :     GEN d;
    4853     2295335 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4854     2295335 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4855        1736 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4856             :   }
    4857             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4858      459067 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4859         854 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4860         854 :   l = lg(L);
    4861             : 
    4862         854 :   t = gen_1;
    4863        1904 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4864             :   {
    4865        1050 :     GEN p = gel(L,k);
    4866        1050 :     long n = 0, m;
    4867        6300 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4868        5250 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4869             :       {
    4870        3276 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4871        3276 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4872        3276 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4873             :       }
    4874        1050 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4875             :   }
    4876         854 :   u = ginv(t);
    4877         854 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4878         854 :   return coordch_uinv(e, t);
    4879             : }
    4880             : GEN
    4881         196 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4882             : {
    4883         196 :   pari_sp av = avma;
    4884             :   long t;
    4885         196 :   checkell(e);
    4886         196 :   t = ell_get_type(e);
    4887         196 :   if (t != t_ELL_Q && t != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4888         196 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4889         196 :   if (!pv || !*pv)
    4890             :   {
    4891         182 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4892         182 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4893             :   }
    4894             :   else
    4895          14 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4896         196 :   return e;
    4897             : }
    4898             : 
    4899             : static long
    4900        1568 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4901             : {
    4902        1568 :   long N = 1; /* oo */
    4903        1568 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4904        1400 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4905        1568 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4906        1274 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4907        1568 :   return N;
    4908             : }
    4909             : static long
    4910        3143 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4911             : {
    4912        3143 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4913             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4914        3143 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4915             : }
    4916             : static long
    4917        1547 : cardmod2(GEN e)
    4918             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4919        1547 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4920        1547 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4921        1547 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4922        1547 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4923        1547 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4924        1547 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4925             : }
    4926             : static long
    4927        3003 : cardmod3(GEN e)
    4928             : {
    4929        3003 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4930        3003 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4931        3003 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4932        3003 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4933             : }
    4934             : 
    4935             : static ulong
    4936         112 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4937             : 
    4938             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4939             : static void
    4940          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4941             : {
    4942          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4943          28 :   min_set_c(M, E);
    4944          28 :   min_set_b(M);
    4945          28 :   min_set_a(M);
    4946          28 : }
    4947             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4948             : static void
    4949         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4950             : {
    4951         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4952         140 :   min_set_c(M, E);
    4953         140 :   min_set_b(M);
    4954         140 : }
    4955             : 
    4956             : static long
    4957      101206 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4958             : {
    4959      101206 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4960      101206 :   if (vD) /* bad reduction */
    4961             :   {
    4962             :     GEN c6;
    4963             :     long s;
    4964      100898 :     *good_red = 0;
    4965      100898 :     if (vc6) return 0;
    4966       73871 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4967       73871 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4968       73871 :     s = kroiu(c6,p);
    4969       73871 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4970       73871 :     return s;
    4971             :   }
    4972         308 :   *good_red = 1;
    4973         308 :   if (p == 2)
    4974             :   {
    4975             :     ellmin_t M;
    4976          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4977          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4978          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4979             :   }
    4980         287 :   else if (p == 3)
    4981             :   {
    4982             :     ellmin_t M;
    4983         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4984         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4985         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4986             :   }
    4987             :   else
    4988             :   {
    4989             :     ellmin_t M;
    4990         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4991         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4992         147 :     min_set_c(&M, E);
    4993         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4994         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4995             :   }
    4996             : }
    4997             : 
    4998             : static GEN
    4999       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    5000             : {
    5001             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    5002             :   long vc6, vD, d;
    5003       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    5004           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    5005           0 :   D = ell_get_disc(E);
    5006           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    5007           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    5008           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    5009           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    5010             :   {
    5011             :     long s;
    5012           0 :     *good_red = 0;
    5013           0 :     if (vc6) return gen_0;
    5014           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    5015           0 :     s = kronecker(c6,p);
    5016           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    5017           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    5018             :   }
    5019           0 :   *good_red = 1;
    5020           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    5021           0 :   if (d)
    5022             :   {
    5023           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    5024           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    5025           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    5026             :   }
    5027           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    5028           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    5029             : }
    5030             : 
    5031             : static GEN
    5032      115033 : doellcard(GEN E)
    5033             : {
    5034      115033 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    5035      115033 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    5036       94124 :     return FF_ellcard(E);
    5037             :   else
    5038             :   {
    5039       20909 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    5040       20909 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    5041             :   }
    5042             : }
    5043             : 
    5044             : static GEN
    5045      168294 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    5046             : {
    5047      168294 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    5048      168294 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    5049      168294 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    5050             :   {
    5051             :     long ap;
    5052       49070 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    5053       49070 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    5054       49070 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    5055         420 :     *good_red = 1;
    5056         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    5057         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    5058         420 :     card = FF_ellcard(E);
    5059             :   }
    5060             :   else
    5061             :   {
    5062      119224 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    5063      119224 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    5064      119224 :     if (vD)
    5065             :     {
    5066             :       GEN c6new;
    5067       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    5068       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    5069       49168 :       if (vD > 12*d)
    5070             :       { /* bad reduction */
    5071       49119 :         *good_red = 0;
    5072       98238 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    5073       43764 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    5074       43764 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    5075             :       }
    5076          49 :       if (d)
    5077             :       { /* model not minimal at P */
    5078          49 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    5079          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    5080          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    5081          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    5082          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    5083          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    5084             :       }
    5085             :     }
    5086       70105 :     *good_red = 1;
    5087       70105 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    5088       70105 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    5089       70105 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    5090      141960 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    5091       71855 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    5092             :   }
    5093       70525 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    5094             : }
    5095             : 
    5096             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    5097             :  * basis */
    5098             : static GEN
    5099      455490 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    5100             : {
    5101             :   GEN P;
    5102      455490 :   if (!signe(a))
    5103        1652 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    5104      453838 :   else if (!signe(b))
    5105         945 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    5106             :   else
    5107             :   {
    5108      452893 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    5109             :     long k, l;
    5110      452893 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    5111      344596 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    5112      344596 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    5113             :     /* d = gcd(A,B) */
    5114      344596 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    5115      344596 :     l = lg(P);
    5116      344596 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    5117      344596 :     P = shallowconcat1(P);
    5118      344596 :     P = ZV_sort(P);
    5119             :   }
    5120      347193 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    5121             : }
    5122             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    5123             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    5124             : static GEN
    5125      454643 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    5126             : {
    5127             :   pari_sp av;
    5128      454643 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5129      454643 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5130      454643 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    5131             :   long l, k;
    5132             : 
    5133      454643 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    5134      454643 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    5135      346486 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    5136      346486 :   av = avma;
    5137      346486 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    5138      346486 :   u = gen_1;
    5139      852362 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5140             :   {
    5141      505876 :     GEN p = gel(P, k);
    5142      505876 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    5143      505876 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    5144             :     {
    5145             :       case 2:
    5146             :       {
    5147             :         long a, b;
    5148       56854 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    5149       56854 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    5150       56854 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    5151       56854 :         break;
    5152             :       }
    5153             :       case 3:
    5154        2289 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    5155        2289 :         break;
    5156             :     }
    5157      505876 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    5158      505876 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    5159             :   }
    5160      346486 :   *pDP = DP;
    5161      346486 :   return gerepileuptoint(av, u);
    5162             : }
    5163             : 
    5164             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    5165             : static GEN
    5166          28 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    5167             : {
    5168          28 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    5169          28 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    5170          28 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    5171             : 
    5172          28 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    5173          28 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    5174          28 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    5175          28 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    5176          28 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    5177          28 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    5178          28 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    5179          28 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    5180          28 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    5181          28 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    5182             : }
    5183             : 
    5184             : static GEN
    5185        2478 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    5186             : {
    5187        2478 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    5188        2478 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    5189             : }
    5190             : static GEN
    5191         847 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    5192             : {
    5193         847 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5194         847 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    5195         847 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    5196         847 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    5197             : }
    5198             : static GEN
    5199         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    5200             : {
    5201         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5202         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    5203         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    5204         784 :   long k, l = lg(P);
    5205         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    5206         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    5207             :   {
    5208         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    5209         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    5210             :   }
    5211         784 :   return P;
    5212             : }
    5213             : 
    5214             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    5215             : static GEN
    5216         833 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    5217             : {
    5218             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    5219         833 :   long k, l = lg(P);
    5220         833 :   Lr = vectrunc_init(l);
    5221         833 :   Ls = vectrunc_init(l);
    5222         833 :   Lt = vectrunc_init(l);
    5223         833 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    5224         833 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    5225        4032 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5226             :   {
    5227        3199 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    5228             :     long vu;
    5229        3199 :     v = gel(q,3);
    5230        3199 :     u = gel(v,1);
    5231        3199 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    5232        3199 :     if (!vu) continue;
    5233         714 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    5234         714 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    5235         714 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    5236         714 :     vectrunc_append(L, pr);
    5237         714 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    5238             :   }
    5239         833 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    5240             : }
    5241             : static GEN
    5242         819 : ellminimalprimes(GEN E0)
    5243             : {
    5244             :   GEN E, S, nf, c4, c6, P, Q;
    5245             :   long j, k, l;
    5246             : 
    5247         819 :   if ((S = obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    5248          63 :   E = ellintegralmodel_i(E0, NULL);
    5249          63 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5250          63 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    5251          63 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    5252          63 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    5253          63 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    5254          63 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    5255          63 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    5256         217 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5257             :   {
    5258         154 :     GEN pr = gel(P, k);
    5259         154 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    5260         147 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    5261         147 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    5262         147 :     gel(P,j++) = pr;
    5263             :   }
    5264          63 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    5265          63 :   return obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    5266             : }
    5267             : static GEN
    5268         756 : ellminimalnormu(GEN E0)
    5269             : {
    5270         756 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    5271             :   long i, l;
    5272         756 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    5273         756 :   S = ellminimalprimes(E);
    5274         756 :   L = gel(S,1);
    5275         756 :   U = gel(S,2);
    5276         756 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    5277         756 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    5278         756 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    5279         756 :   P = factorback2(P, U);
    5280         756 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    5281         756 :   return P;
    5282             : }
    5283             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    5284             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL), set DP = primes where the
    5285             :  * model is not locally minimal */
    5286             : static GEN
    5287          49 : bnf_get_v(GEN E)
    5288             : {
    5289          49 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    5290             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    5291             : 
    5292          49 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    5293          49 :   S = ellminimalprimes(E);
    5294          49 :   L = gel(S,1);
    5295          49 :   U = gel(S,2);
    5296          49 :   Lr = gel(S,3);
    5297          49 :   Ls = gel(S,4);
    5298          49 :   Lt = gel(S,5);
    5299          49 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    5300          49 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    5301          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    5302          28 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    5303          28 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    5304          28 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    5305          28 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    5306          28 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    5307          28 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    5308             : }
    5309             : 
    5310             : GEN
    5311          21 : ellminimaldisc(GEN E)
    5312             : {
    5313          21 :   pari_sp av = avma;
    5314          21 :   checkell(E);
    5315          21 :   switch(ell_get_type(E))
    5316             :   {
    5317             :     case t_ELL_Q:
    5318           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    5319           7 :       return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
    5320             :     case t_ELL_NF:
    5321             :     {
    5322          14 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5323          14 :       GEN S = ellminimalprimes(E), L, U, D;
    5324          14 :       L = gel(S,1);
    5325          14 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    5326          14 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    5327          14 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    5328             :     }
    5329           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    5330             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5331             :   }
    5332             : }
    5333             : 
    5334             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    5335             :  * ellminimalmodel(E) */
    5336             : static GEN
    5337      456183 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5338             : {
    5339             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    5340             :   ellmin_t M;
    5341      456183 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    5342             :   {
    5343        1540 :     if (lg(S) != 2)
    5344             :     {
    5345         196 :       E = gel(S,3);
    5346         196 :       v = gel(S,2);
    5347             :     }
    5348             :     else
    5349        1344 :       v = init_ch();
    5350        1540 :     if (ptv) *ptv = v;
    5351        1540 :     return gcopy(E);
    5352             :   }
    5353      454643 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    5354      454643 :   u = get_u(e, &DP);
    5355      454643 :   min_set_all(&M, e, u);
    5356      454643 :   v = min_get_v(&M, e);
    5357      454643 :   y = min_to_ell(&M, e);
    5358      454643 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    5359      454643 :   if (is_trivial_change(v))
    5360             :   {
    5361      453530 :     v = init_ch();
    5362      453530 :     S = mkvec(DP);
    5363             :   }
    5364             :   else
    5365        1113 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    5366      454643 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    5367      454643 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    5368             : }
    5369             : 
    5370             : static GEN
    5371        1421 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5372             : {
    5373        1421 :   pari_sp av = avma;
    5374        1421 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    5375        1421 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    5376        1421 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5377        1421 :   DP = gel(S,1);
    5378        1421 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    5379        1421 :   if (!ptv)
    5380        1386 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5381             :   else
    5382          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5383        1421 :   return y;
    5384             : }
    5385             : 
    5386             : static GEN
    5387          49 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    5388             : {
    5389             :   GEN S, y, v, v2;
    5390          49 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    5391             :   {
    5392           0 :     switch(lg(S))
    5393             :     {
    5394           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    5395           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    5396           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    5397             :     }
    5398           0 :     *ptv = v;
    5399           0 :     return gcopy(E);
    5400             :   }
    5401          49 :   *ptv = NULL;
    5402          49 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    5403          49 :   v2 = bnf_get_v(y);
    5404          49 :   if (typ(v2) == t_COL)
    5405             :   {
    5406          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    5407          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    5408             :   }
    5409          28 :   y = coordch(y, v2);
    5410          28 :   gcomposev(&v, v2);
    5411          28 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    5412          28 :   y = coordch(y, v2);
    5413             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    5414          28 :   y = obj_reinit(y);
    5415          28 :   gcomposev(&v, v2);
    5416          28 :   if (is_trivial_change(v))
    5417             :   {
    5418           7 :     v = init_ch();
    5419           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    5420             :   }
    5421             :   else
    5422             :   {
    5423          21 :     v = lift_if_rational(v);
    5424          21 :     S = mkvec2(v, y);
    5425             :   }
    5426          28 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    5427          28 :   *ptv = v; return y;
    5428             : }
    5429             : static GEN
    5430          49 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5431             : {
    5432          49 :   pari_sp av = avma;
    5433          49 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    5434          49 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    5435             :   {
    5436          28 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    5437          28 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    5438             :   }
    5439          49 :   if (!v || !ptv)
    5440          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    5441             :   else
    5442          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    5443          49 :   return y;
    5444             : }
    5445             : GEN
    5446        1477 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    5447             : {
    5448        1477 :   checkell(E);
    5449        1477 :   switch(ell_get_type(E))
    5450             :   {
    5451        1421 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    5452          49 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    5453           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    5454             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5455             :   }
    5456             : }
    5457             : 
    5458             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    5459             :  * update type-dependant components.
    5460             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5461             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5462             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5463             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5464             :  *   fa = factorization of N
    5465             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5466             : static GEN
    5467      454279 : ellQ_globalred(GEN e)
    5468             : {
    5469             :   long k, l, iN;
    5470             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5471             : 
    5472      454279 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    5473      454279 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5474      454279 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5475      454279 :   D  = ell_get_disc(E);
    5476      454279 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5477      454279 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    5478      454279 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5479      454279 :   iN = 1;
    5480      454279 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5481      454279 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5482      454279 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5483     1937656 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5484             :   {
    5485     1483377 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5486     1483377 :     if (!signe(ex)) continue;
    5487     1483377 :     gel(NP, iN) = p;
    5488     1483377 :     gel(NE, iN) = ex;
    5489     1483377 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5490     1483377 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5491     1483377 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5492             :   }
    5493      454279 :   setlg(L, iN);
    5494      454279 :   setlg(NP, iN);
    5495      454279 :   setlg(NE, iN);
    5496      454279 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5497             : }
    5498             : static GEN
    5499      464331 : ellglobalred_i(GEN E)
    5500      464331 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5501             : 
    5502             : static GEN
    5503         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    5504             : {
    5505             :   GEN c, L, NP, NE;
    5506         784 :   long j, k, l = lg(P);
    5507         784 :   c = gen_1;
    5508         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5509         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5510         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5511        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5512             :   {
    5513        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    5514        3094 :     ex = gel(q,1);
    5515        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    5516        2891 :     gel(NP, j) = p;
    5517        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    5518        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    5519        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5520             :   }
    5521         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    5522         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5523             : }
    5524             : 
    5525             : static GEN
    5526         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    5527             : {
    5528             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    5529             :   long j, k, l;
    5530             : 
    5531         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    5532         784 :   if (!v) v = init_ch();
    5533         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5534         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5535         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    5536         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5537         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    5538        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5539             :   {
    5540        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    5541        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    5542        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    5543        3094 :     gel(P,j++) = p;
    5544             :   }
    5545         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    5546         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    5547         770 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    5548         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    5549             : }
    5550             : 
    5551             : GEN
    5552      453971 : ellglobalred(GEN E)
    5553             : {
    5554      453971 :   pari_sp av = avma;
    5555             :   GEN S, gr, v;
    5556      453971 :   checkell(E);
    5557      453971 :   switch(ell_get_type(E))
    5558             :   {
    5559           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5560             :     case t_ELL_Q:
    5561      452942 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5562      452942 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5563      452942 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5564      452942 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5565      452942 :       break;
    5566             :     case t_ELL_NF:
    5567        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5568        1029 :       break;
    5569             :   }
    5570      453971 :   return gerepilecopy(av, v);
    5571             : }
    5572             : 
    5573             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5574             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5575             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5576             :  * and E (shallow insert) */
    5577             : GEN
    5578        2100 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5579             : {
    5580        2100 :   GEN E, S, v = NULL;
    5581        2100 :   checkell_Q(e);
    5582        2100 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5583             :   {
    5584         455 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5585         455 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5586         455 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5587             :   }
    5588        1645 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5589        1631 :     E = e;
    5590             :   else
    5591             :   {
    5592          14 :     v = gel(S,2);
    5593          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5594          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5595             :   }
    5596        2100 :   if (ch) *ch = v;
    5597        2100 :   S = ellglobalred_i(e);
    5598        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5599        2100 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5600        2100 :   if (!S)
    5601             :   {
    5602         672 :     S = doellrootno(E);
    5603         672 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5604             :   }
    5605        2100 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5606        2100 :   return E;
    5607             : }
    5608             : 
    5609             : static GEN
    5610          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5611             : {
    5612          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5613          35 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    5614             : }
    5615             : 
    5616             : static GEN
    5617         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5618             : {
    5619         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5620         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5621             :   long r1, r2;
    5622         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5623         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5624             : }
    5625             : 
    5626             : GEN
    5627          42 : elltamagawa(GEN E)
    5628             : {
    5629          42 :   pari_sp av = avma;
    5630             :   GEN v;
    5631          42 :   checkell(E);
    5632          42 :   switch(ell_get_type(E))
    5633             :   {
    5634           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5635          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5636          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5637             :   }
    5638          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5639             : }
    5640             : 
    5641             : static GEN
    5642         931 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5643             : {
    5644         931 :   pari_sp av = avma;
    5645         931 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5646         931 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    5647             :   GEN Eb, e, L;
    5648             :   long i,j;
    5649         931 :   Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5650        5586 :   for(i=1;i<=5; i++)
    5651        4655 :     gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
    5652         931 :   e = cgetg(6, t_VEC);
    5653         931 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5654        4242 :   for(i=1; i<=n; i++)
    5655             :   {
    5656        3311 :     for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5657        3311 :     gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
    5658             :   }
    5659         931 :   return gerepilecopy(av, L);
    5660             : }
    5661             : 
    5662             : static GEN
    5663          91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P)
    5664             : {
    5665          91 :   pari_sp av = avma;
    5666          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5667          91 :   GEN Px = nfeltembed(nf, gel(P,1), NULL);
    5668          91 :   GEN Py = nfeltembed(nf, gel(P,2), NULL);
    5669          91 :   long i, l = lg(Px);
    5670          91 :   GEN L =  cgetg(l, t_VEC);
    5671          91 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5672          91 :   return gerepilecopy(av, L);
    5673             : }
    5674             : 
    5675             : static void
    5676         840 : ellnfembed_free(GEN L)
    5677             : {
    5678         840 :   long i, l = lg(L);
    5679         840 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5680         840 : }
    5681             : 
    5682             : static GEN
    5683          84 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5684             : {
    5685          84 :   pari_sp av = avma;
    5686          84 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5687          84 :   long i, l = lg(V);
    5688          84 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5689          84 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5690          84 :   ellnfembed_free(V);
    5691          84 :   return gerepilecopy(av, P);
    5692             : }
    5693             : 
    5694             : GEN
    5695          28 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5696          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5697             : 
    5698             : GEN
    5699          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5700          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5701             : 
    5702             : GEN
    5703          28 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5704          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5705             : 
    5706             : static GEN
    5707         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5708             : {
    5709         756 :   pari_sp av = avma;
    5710         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
    5711         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5712        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5713             :   {
    5714        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5715        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5716        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5717             :   }
    5718         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5719         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5720             : }
    5721             : static GEN
    5722         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5723             : {
    5724         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5725         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5726             : }
    5727             : 
    5728             : static GEN
    5729          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5730             : {
    5731          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5732          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5733          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5734          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5735             : }
    5736             : 
    5737             : static GEN
    5738          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5739             : {
    5740          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5741          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5742          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5743          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5744          21 :   if (lg(S) != 2)
    5745             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5746          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5747          14 :     per = gmul(per,u);
    5748             :   }
    5749          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5750             : }
    5751             : 
    5752             : GEN
    5753          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5754             : {
    5755          63 :   pari_sp av = avma;
    5756             :   GEN v;
    5757          63 :   checkell(E);
    5758          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5759             :   {
    5760           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5761          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5762          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5763             :   }
    5764          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5765             : }
    5766             : 
    5767             : /********************************************************************/
    5768             : /**                                                                **/
    5769             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5770             : /**                                                                **/
    5771             : /********************************************************************/
    5772             : /* x a t_INT */
    5773             : static long
    5774        1176 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5775             : {
    5776             :   long v;
    5777             :   GEN z;
    5778        1176 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5779        1022 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5780        1022 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5781             : }
    5782             : static void
    5783         392 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5784             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5785             : {
    5786         392 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5787         392 :   pari_sp av = avma;
    5788         392 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5789         392 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5790         392 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    5791         392 : }
    5792             : 
    5793             : static long
    5794         392 : kod_23(GEN e, long p)
    5795             : {
    5796             :   GEN S, nv;
    5797         392 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5798             :   {
    5799         378 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5800         378 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5801             :   }
    5802             :   else
    5803          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5804         392 :   return itos(gel(nv,2));
    5805             : }
    5806             : 
    5807             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5808             : static long
    5809         168 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5810             : {
    5811         168 :   if (kod > 4) return 1;
    5812         133 :   switch(kod)
    5813             :   {
    5814           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5815             :     case 2:
    5816           7 :       if (vD==4) return 1;
    5817             :       else
    5818             :       {
    5819           0 :         if (vD==7) return 3;
    5820           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5821             :       }
    5822             :     case 3:
    5823          63 :       switch(vD)
    5824             :       {
    5825          42 :         case 6: return 3;
    5826           0 :         case 8: return 4;
    5827          14 :         case 9: return 5;
    5828           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5829             :       }
    5830          35 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5831             :     case -1:
    5832           0 :       switch(vD)
    5833             :       {
    5834           0 :         case 9: return 2;
    5835           0 :         case 10: return 4;
    5836           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5837             :       }
    5838             :     case -2:
    5839           7 :       switch(vD)
    5840             :       {
    5841           7 :         case 12: return 2;
    5842           0 :         case 14: return 3;
    5843           0 :         default: return 1;
    5844             :       }
    5845             :     case -3:
    5846           0 :       switch(vD)
    5847             :       {
    5848           0 :         case 12: return 2;
    5849           0 :         case 14: return 3;
    5850           0 :         case 15: return 4;
    5851           0 :         default: return 1;
    5852             :       }
    5853           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5854          14 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5855             :     case -6:
    5856           0 :       switch(vD)
    5857             :       {
    5858           0 :         case 12: return 2;
    5859           0 :         case 13: return 3;
    5860           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5861             :       }
    5862           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5863           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5864             :   }
    5865             : }
    5866             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5867             : static long
    5868         182 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5869             : {
    5870         182 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5871         161 :   switch(kod)
    5872             :   {
    5873          98 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5874          21 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5875             :     case -4: case 2:
    5876          35 :       switch (vD%6)
    5877             :       {
    5878           0 :         case 4: return 3;
    5879           0 :         case 5: return 4;
    5880          35 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5881             :       }
    5882             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5883           7 :       switch (vD%6)
    5884             :       {
    5885           0 :         case 0: return 2;
    5886           0 :         case 1: return 3;
    5887           7 :         default: return 1;
    5888             :       }
    5889             :   }
    5890             : }
    5891             : 
    5892             : static long
    5893         168 : ellrootno_2(GEN e)
    5894             : {
    5895             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5896         168 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5897             : 
    5898         168 :   if (!vD) return 1;
    5899         168 :   if (d) { /* not minimal */
    5900             :     ellmin_t M;
    5901           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5902           7 :     min_set_D(&M, e);
    5903           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5904             :   }
    5905         168 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5906         168 :   kod = kod_23(e,2);
    5907         168 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5908         168 :   if (kod>=5)
    5909             :   {
    5910             :     long a2, a3;
    5911          35 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5912          35 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5913          35 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5914             :   }
    5915         133 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5916         133 :   x1 = u+v+v;
    5917         133 :   switch(kod)
    5918             :   {
    5919           0 :     case 1: return 1;
    5920             :     case 2:
    5921           7 :       switch(n2)
    5922             :       {
    5923             :         case 1:
    5924           7 :           switch(v4)
    5925             :           {
    5926           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5927           0 :             case 5: return 1;
    5928           0 :             default: return -1;
    5929             :           }
    5930           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5931           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5932           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5933           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5934             :       }
    5935             :     case 3:
    5936          63 :       switch(n2)
    5937             :       {
    5938           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5939           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5940          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5941          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5942           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5943          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5944             :       }
    5945             :     case -1:
    5946           0 :       switch(n2)
    5947             :       {
    5948           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5949           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5950           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5951           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5952           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5953             :       }
    5954           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5955             :     case -3:
    5956           0 :       switch(n2)
    5957             :       {
    5958           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5959           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5960           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5961           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5962           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5963             :       }
    5964             :     case -5:
    5965          14 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5966           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5967             :     case -6:
    5968           0 :       switch(n2)
    5969             :       {
    5970           0 :         case 1: return 1;
    5971           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5972           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5973             :       }
    5974             :     case -7:
    5975           0 :       if (n2==1) return 1;
    5976             :       else
    5977             :       {
    5978           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5979           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5980           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5981             :       }
    5982           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5983           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5984          42 :     default: return -1;
    5985             :   }
    5986             : }
    5987             : 
    5988             : static long
    5989         224 : ellrootno_3(GEN e)
    5990             : {
    5991             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5992         224 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5993             : 
    5994         224 :   if (!vD) return 1;
    5995         224 :   if (d) { /* not minimal */
    5996             :     ellmin_t M;
    5997           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5998           0 :     min_set_a(&M);
    5999           0 :     min_set_D(&M, e);
    6000           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    6001             :   }
    6002         224 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    6003         224 :   kod = kod_23(e,3);
    6004         224 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    6005         182 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    6006         182 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    6007         182 :   switch(kod)
    6008             :   {
    6009          21 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    6010             :     case 2:
    6011           7 :       switch(n2)
    6012             :       {
    6013           7 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    6014           0 :         case 2: return -K4*K6;
    6015           0 :         case 3: return 1;
    6016           0 :         case 4: return -K6;
    6017             :       }
    6018             :     case 4:
    6019           7 :       switch(n2)
    6020             :       {
    6021           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    6022           0 :         case 2: return -K4;
    6023           0 :         case 3: return -K6;
    6024             :       }
    6025           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    6026             :     case -4:
    6027          28 :       switch(n2)
    6028             :       {
    6029             :         case 1:
    6030          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    6031          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    6032           0 :         case 2: return -K6;
    6033           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    6034           0 :         case 4: return K6;
    6035             :       }
    6036         119 :     default: return -1;
    6037             :   }
    6038             : }
    6039             : 
    6040             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    6041             : static long
    6042         861 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    6043             : {
    6044             :   long nuj, nuD, nu;
    6045         861 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    6046             :   long ep, z;
    6047             : 
    6048         861 :   nuD = Q_pval(D, p);
    6049         861 :   if (!nuD) return 1;
    6050         861 :   nuj = j_pval(e, p);
    6051         861 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    6052         861 :   if (nu == 0)
    6053             :   {
    6054             :     GEN c6;
    6055             :     long d, vg;
    6056         609 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    6057             :    /* p || N */
    6058         609 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    6059         609 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    6060         609 :     d = vg / 12;
    6061         609 :     if (d)
    6062             :     {
    6063           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    6064           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    6065             :     }
    6066         609 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    6067             :     /* c6 in minimal model */
    6068         609 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    6069             :   }
    6070         252 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    6071         224 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    6072         224 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    6073         224 :   return krosi(-z, p);
    6074             : }
    6075             : 
    6076             : static GEN
    6077         686 : doellrootno(GEN e)
    6078             : {
    6079         686 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    6080         686 :   long i, l, s = -1;
    6081             : 
    6082         686 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    6083         686 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    6084         686 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    6085         686 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    6086        1918 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6087             :   {
    6088        1232 :     GEN p = gel(P,i);
    6089             :     long t;
    6090        1232 :     switch(itou_or_0(p))
    6091             :     {
    6092         154 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    6093         224 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    6094         854 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    6095             :     }
    6096        1232 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    6097             :   }
    6098         686 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    6099             : }
    6100             : 
    6101             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    6102             :  * Global if p==1 or NULL. */
    6103             : static long
    6104          42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    6105             : {
    6106          42 :   pari_sp av = avma;
    6107             :   GEN S;
    6108             :   long s;
    6109          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    6110          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    6111          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    6112             :   {
    6113           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    6114           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    6115           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    6116           0 :     return 1;
    6117             :   }
    6118          21 :   switch(itou_or_0(p))
    6119             :   {
    6120             :     case 2:
    6121          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    6122          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    6123             :     case 3:
    6124           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    6125           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    6126             :     default:
    6127           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    6128             :   }
    6129          21 :   avma = av; return s;
    6130             : }
    6131             : 
    6132             : /* global root number over number field
    6133             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    6134             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    6135             :  */
    6136             : 
    6137             : static GEN
    6138         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    6139             : {
    6140             :   long i;
    6141         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    6142        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    6143        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    6144         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    6145             : }
    6146             : 
    6147             : static GEN
    6148         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    6149             : {
    6150         252 :   long v = fetch_var_higher();
    6151         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    6152         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    6153         252 :   delete_var();
    6154         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    6155             : }
    6156             : 
    6157             : static GEN
    6158         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    6159             : {
    6160         217 :   pari_sp av = avma;
    6161         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6162         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    6163         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6164         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    6165         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    6166         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    6167         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    6168             : }
    6169             : 
    6170             : static long
    6171         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    6172         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    6173             : 
    6174             : static long
    6175         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    6176             : {
    6177         147 :   pari_sp av = avma;
    6178         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6179         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    6180             :   long v;
    6181             :   GEN F;
    6182         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    6183         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
    6184         147 :   if (lg(F)>1)
    6185             :   {
    6186          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    6187          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6188          35 :     obj_free(Et);
    6189          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    6190             :   } else
    6191             :   {
    6192         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
    6193         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
    6194         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
    6195         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    6196         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    6197         112 :     if (lg(F)>1)
    6198           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    6199             :     else
    6200             :     {
    6201         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    6202         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    6203         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    6204         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    6205         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    6206         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6207         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6208         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    6209         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    6210         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    6211         105 :       v = odd(v2+v3);
    6212             :     }
    6213             :   }
    6214         147 :   avma = av; return v ? -1: 1;
    6215             : }
    6216             : 
    6217             : static GEN
    6218         147 : doellnfrootno(GEN e)
    6219         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    6220             : 
    6221             : long
    6222        2030 : ellrootno_global(GEN e)
    6223             : {
    6224        2030 :   pari_sp av = avma;
    6225             :   GEN S;
    6226        2030 :   switch(ell_get_type(e))
    6227             :   {
    6228             :     case t_ELL_Q:
    6229        1764 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    6230        1764 :       break;
    6231             :     case t_ELL_NF:
    6232         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    6233         266 :       break;
    6234             :     default:
    6235             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6236             :   }
    6237        2030 :   avma = av; return itos(S);
    6238             : }
    6239             : 
    6240             : long
    6241         140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    6242             : {
    6243         140 :   checkell(e);
    6244         140 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    6245         140 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    6246         140 :   switch(ell_get_type(e))
    6247             :   {
    6248             :     case t_ELL_Q:
    6249          42 :       return ellQ_rootno(e, p);
    6250           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    6251             :     case t_ELL_NF:
    6252          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    6253          98 :       return ellrootno_global(e);
    6254             :   }
    6255             : }
    6256             : 
    6257             : /********************************************************************/
    6258             : /**                                                                **/
    6259             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    6260             : /**                                                                **/
    6261             : /********************************************************************/
    6262             : 
    6263             : /* assume p does not divide disc E */
    6264             : long
    6265      279485 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    6266             : {
    6267             :   ulong a4, a6;
    6268      279485 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    6269      278386 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    6270      276818 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    6271      276818 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    6272             : }
    6273             : 
    6274             : static void
    6275         693 : checkell_int(GEN e)
    6276             : {
    6277         693 :   checkell_Q(e);
    6278        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    6279        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    6280        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    6281        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    6282         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    6283         693 : }
    6284             : 
    6285             : long
    6286        2359 : ellQ_get_CM(GEN e)
    6287             : {
    6288        2359 :   GEN j = ell_get_j(e);
    6289        2359 :   long CM = 0;
    6290        2359 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    6291             :   {
    6292             :     case 0:
    6293         135 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    6294         135 :       break;
    6295         119 :     case 1728: CM = -4; break;
    6296          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    6297          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    6298          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    6299          35 :     case -32768: CM = -11; break;
    6300          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    6301           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    6302          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    6303          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    6304           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    6305             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6306           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    6307           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    6308             : #endif
    6309             :   }
    6310        2359 :   return CM;
    6311             : }
    6312             : 
    6313             : /* bad reduction at p */
    6314             : static void
    6315        2576 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6316             : {
    6317             :   ulong m, N;
    6318        2576 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6319             :   {
    6320             :     case -1: /* non-split */
    6321         567 :       N = n/p;
    6322      408407 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6323      407840 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6324         567 :       break;
    6325             :     case 0: /* additive */
    6326        1274 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6327        1274 :       break;
    6328             :     case 1: /* split */
    6329         735 :       N = n/p;
    6330       92221 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6331       91486 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6332         735 :       break;
    6333             :   }
    6334        2576 : }
    6335             : /* good reduction at p */
    6336             : static void
    6337      273549 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6338             : {
    6339      273549 :   const long ap = an[p];
    6340             :   ulong m;
    6341      273549 :   if (p <= SQRTn) {
    6342        8447 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6343       33643 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6344             :     {
    6345       25196 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6346     4269210 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6347     4244014 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6348             :     }
    6349             :   } else {
    6350     1520692 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6351     1255590 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6352             :   }
    6353      273549 : }
    6354             : static void
    6355      276125 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6356             : {
    6357      276125 :   if (good_red)
    6358      273549 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6359             :   else
    6360        2576 :     sievep_bad(p, an, n);
    6361      276125 : }
    6362             : 
    6363             : static long
    6364      276125 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6365             : {
    6366      276125 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    6367        2632 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6368             :   else /* good reduction */
    6369             :   {
    6370      273493 :     *good_red = 1;
    6371      273493 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6372             :   }
    6373             : }
    6374             : GEN
    6375        1596 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6376             : {
    6377             :   pari_sp av;
    6378        1596 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6379             :   GEN an;
    6380             :   int CM;
    6381             : 
    6382        1596 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6383        1596 :   if (n >= LGBITS)
    6384           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6385        1596 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6386        1596 :   SQRTn = usqrt(n);
    6387        1596 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6388             : 
    6389        1596 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6390        1596 :   an[1] = 1; av = avma;
    6391     2426719 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6392             :   {
    6393             :     int good_red;
    6394     2425123 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6395      276125 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6396      276125 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6397             :   }
    6398        1596 :   avma = av; return an;
    6399             : }
    6400             : 
    6401             : static GEN
    6402         938 : ellanQ(GEN e, long N)
    6403         938 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6404             : 
    6405             : static GEN
    6406       69405 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
    6407             : {
    6408       69405 :   pari_sp av = avma;
    6409       69405 :   GEN E = (GEN)S;
    6410       69405 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    6411       69405 :   long l = lg(LP), i;
    6412      138831 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6413             :   {
    6414             :     int goodred;
    6415       69426 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6416       69426 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6417       69426 :     long f = pr_get_f(P);
    6418       69426 :     if (goodred)
    6419       69244 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6420             :     else
    6421             :     {
    6422         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6423         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6424             :     }
    6425       69412 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6426       69412 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6427             :   }
    6428       69405 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    6429       37912 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv(T, n));
    6430             : }
    6431             : 
    6432             : static GEN
    6433         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    6434             : {
    6435         189 :   return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6436             : }
    6437             : GEN
    6438        1120 : ellan(GEN E, long N)
    6439             : {
    6440        1120 :   checkell(E);
    6441        1120 :   switch(ell_get_type(E))
    6442             :   {
    6443         931 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6444         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6445             :     default:
    6446           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6447             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6448             :   }
    6449             : }
    6450             : 
    6451             : static GEN
    6452         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6453             : {
    6454             :   GEN u, v, w;
    6455             :   long j;
    6456         735 :   if (e == 1) return ap;
    6457         112 :   u = ap;
    6458         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6459         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6460             :   {
    6461          14 :     v = u; u = w;
    6462          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6463             :   }
    6464         112 :   return w;
    6465             : }
    6466             : 
    6467             : GEN
    6468         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6469             : {
    6470             :   long i, j, s;
    6471         693 :   pari_sp av = avma;
    6472             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6473             : 
    6474         693 :   checkell_int(e);
    6475         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6476         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6477         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6478         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6479         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6480         693 :   y = gen_1;
    6481         693 :   s = 1;
    6482         693 :   if (!equalii(u, n))
    6483             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6484         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6485         441 :     P = gel(fa,1);
    6486         441 :     E = gel(fa,2);
    6487        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6488             :     {
    6489         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6490         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6491             :       int good_red;
    6492         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6493         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6494         350 :       j = signe(ap);
    6495         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    6496         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6497             :     }
    6498             :   }
    6499         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6500         693 :   fa = Z_factor(u);
    6501         693 :   P = gel(fa,1);
    6502         693 :   E = gel(fa,2);
    6503        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6504             :   { /* good reduction */
    6505         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6506         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6507         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6508             :   }
    6509         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6510             : }
    6511             : 
    6512             : GEN
    6513        8015 : ellQ_get_N(GEN e)
    6514        8015 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6515             : void
    6516         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6517         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6518             : 
    6519             : GEN
    6520          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6521             : {
    6522          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6523             :   ulong l, n;
    6524             :   long eps, flun;
    6525             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6526             : 
    6527          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6528             :   else
    6529             :   {
    6530           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6531           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6532           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6533             :   }
    6534          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    6535          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6536          14 :   checkell_Q(e);
    6537          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6538          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6539          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6540          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    6541             : 
    6542          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6543          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6544          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6545          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6546          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    6547          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6548          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6549          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6550          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6551          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6552          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6553          14 :   z = gen_0;
    6554          14 :   av1 = avma;
    6555        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6556             :   {
    6557        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6558        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6559        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6560             : 
    6561        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6562        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6563        1106 :     if (flun)
    6564           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6565             :     else
    6566             :     {
    6567        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6568        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6569        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6570             :     }
    6571        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6572        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6573             :     {
    6574           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6575           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6576             :     }
    6577             :   }
    6578          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6579             : }
    6580             : 
    6581             : /********************************************************************/
    6582             : /**                                                                **/
    6583             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6584             : /**                                                                **/
    6585             : /********************************************************************/
    6586             : 
    6587             : static GEN
    6588         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6589             : 
    6590             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6591             : static GEN
    6592        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6593             : {
    6594        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6595             : }
    6596             : 
    6597             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6598             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6599             : static GEN
    6600        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6601             : {
    6602        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6603        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6604             : 
    6605        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6606        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6607        1106 :   a = gel(ab, 1);
    6608        1106 :   b = gel(ab, 2);
    6609        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6610        1106 :   x = gsub(x, e1);
    6611        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6612             : 
    6613        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    6614        1106 :   if (gsigne(a) > 0)
    6615             :   {
    6616         161 :     GEN a0 = a;
    6617         161 :     x = gsub(x, b);
    6618         161 :     a = gneg(b);
    6619         161 :     b = gsub(a0, b);
    6620             :   }
    6621        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6622        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6623             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6624        6049 :   for(n=0; ; n++)
    6625             :   {
    6626        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6627        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6628        6049 :     r = gsub(a, a0);
    6629        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6630        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    6631        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6632             : 
    6633        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6634        4943 :     p2 = gsqr(a);
    6635        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6636        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6637        4943 :   }
    6638        1106 :   if (n) {
    6639        1106 :     x = gel(V,n);
    6640        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6641             :   } else {
    6642           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6643             :   }
    6644             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6645        1757 :   return flag? gsqr( gdiv(gsqr(x), x_a) )
    6646        1757 :              : gdiv(x, sqrtr( mpabs(x_a) ));
    6647             : }
    6648             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6649             : static int
    6650        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6651             : {
    6652        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6653        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6654             : }
    6655             : 
    6656             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6657             : static GEN
    6658        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6659             : {
    6660        1106 :   pari_sp av = avma;
    6661             :   GEN h;
    6662        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6663             :   {
    6664         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6665             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6666         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6667             :   }
    6668             :   else
    6669         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6670        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6671        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6672             : }
    6673             : GEN
    6674        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6675             : 
    6676             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6677             : 
    6678             : static GEN
    6679          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6680             : {
    6681          28 :   pari_sp av = avma;
    6682          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6683          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6684          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
    6685          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6686          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
    6687          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6688          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6689          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6690          28 :   GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
    6691          28 :   GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6692          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6693             : }
    6694             : 
    6695             : static GEN
    6696         217 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6697         217 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6698             : static GEN
    6699          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6700             : {
    6701          35 :   pari_sp av = avma;
    6702          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6703          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6704          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6705             : }
    6706             : GEN
    6707         126 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6708         126 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    6709             : GEN
    6710          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6711          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6712             : 
    6713             : static GEN
    6714         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6715             : {
    6716             :   long v1, v2, vD, vu;
    6717         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6718         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6719         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6720         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6721         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6722             :   GEN v;
    6723         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6724         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6725         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6726         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6727         245 :   if (v1<0)
    6728           7 :     vu = 0;
    6729         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6730         210 :     v = gen_0;
    6731          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6732             :   {
    6733          21 :     GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
    6734          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
    6735             :   }
    6736             :   else
    6737             :   {
    6738          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6739          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
    6740          14 :                                     gdivgs(stoi(v3),-8);
    6741             :   }
    6742         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6743             : }
    6744             : 
    6745             : static GEN
    6746          91 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6747             : {
    6748          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), disc = ell_get_disc(E);
    6749          91 :   GEN d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, gel(P,1)), 2));
    6750          91 :   GEN F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6751          91 :   GEN Ee = ellnfembed(E, prec);
    6752          91 :   GEN Pe = ellpointnfembed(E, P);
    6753          91 :   long i, n = lg(Ee), l = lg(F), r1 = nf_get_r1(nf);
    6754          91 :   GEN s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6755         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6756         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6757         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6758          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6759         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6760             :   {
    6761         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6762         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6763         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6764         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6765             :   }
    6766          91 :   return gmul2n(s, 1);
    6767             : }
    6768             : 
    6769             : static GEN
    6770         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6771             : {
    6772             :   long i, lx;
    6773         133 :   pari_sp av = avma;
    6774             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6775             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6776             : 
    6777         133 :   checkell_Q(e);
    6778         133 :   checkellpt(a);
    6779         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6780         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6781         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6782             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6783          98 :     if (lg(S) != 2)
    6784             :     {
    6785           7 :       v = gel(S,2);
    6786           7 :       e = gel(S,3);
    6787           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6788             :     }
    6789             :   }
    6790             :   else
    6791             :   {
    6792          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6793          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6794             :   }
    6795         126 :   if (!oncurve(e,a))
    6796           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6797         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6798         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    6799         105 :   x = gel(a,1);
    6800         105 :   y = gel(a,2);
    6801         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6802         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6803         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6804         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6805         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6806             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6807             :   );
    6808         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    6809         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6810         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6811         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6812         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6813             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6814             :   );
    6815         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6816         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6817         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6818         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6819         105 :   lx = lg(Lp);
    6820         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6821             :   {
    6822         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6823             :     long u, v, n, n2;
    6824         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6825             :     { /* p \nmid c4 */
    6826          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6827          35 :       if (!N) continue;
    6828          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6829          35 :       if (n > N) n = N;
    6830          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6831          35 :       v = N << 3;
    6832             :     }
    6833             :     else
    6834             :     {
    6835          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6836          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6837          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6838             :     }
    6839             :     /* z -= u log(p) / v */
    6840         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6841             :   }
    6842         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6843             : }
    6844             : 
    6845             : GEN
    6846         224 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6847             : {
    6848         224 :   checkell(e);
    6849         224 :   checkellpt(a);
    6850         224 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6851         224 :   switch(ell_get_type(e))
    6852             :   {
    6853             :     case t_ELL_Q:
    6854         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6855           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6856             :     case t_ELL_NF:
    6857          91 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6858             :   }
    6859             : }
    6860             : 
    6861             : GEN
    6862          28 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6863             : {
    6864             :   GEN y, D;
    6865          28 :   long lx = lg(x), i, j;
    6866          28 :   pari_sp av = avma;
    6867             : 
    6868          28 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6869          28 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6870          28 :   y = cgetg(lx,t_MAT);
    6871         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6872             :   {
    6873          77 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6874          77 :     gel(y,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6875             :   }
    6876         105 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6877             :   {
    6878          77 :     gcoeff(y,i,i) = gel(D,i);
    6879         147 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6880             :     {
    6881          70 :       GEN h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6882          70 :       h = gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j)));
    6883          70 :       gcoeff(y,j,i) = gcoeff(y,i,j) = gmul2n(h, -1);
    6884             :     }
    6885             :   }
    6886          28 :   return gerepilecopy(av,y);
    6887             : }
    6888             : GEN
    6889           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6890           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6891             : 
    6892             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6893             : static GEN
    6894          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6895             : {
    6896          21 :   long l = lg(P);
    6897          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6898          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheightpairing(E,p,n,P,Q);
    6899             :   else
    6900             :   {
    6901           7 :     GEN y = cgetg(l, typ(P));
    6902             :     long i;
    6903           7 :     for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,p,n);
    6904           7 :     return y;
    6905             :   }
    6906             : }
    6907             : static GEN
    6908           7 : ellpadicbil(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN p, long n)
    6909             : {
    6910           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6911           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6912           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6913           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6914           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6915           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6916           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6917             :   {
    6918           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6919           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6920           0 :     return bilhell_i(E,Q,P, p,n);
    6921             :   }
    6922           7 :   return bilhell_i(E,P,Q, p,n);
    6923             : }
    6924             : GEN
    6925           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6926           7 : { return ellpadicbil(E,P,Q, NULL, n); }
    6927             : /********************************************************************/
    6928             : /**                                                                **/
    6929             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6930             : /**                                                                **/
    6931             : /********************************************************************/
    6932             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6933             : static GEN
    6934           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6935             : {
    6936           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6937           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6938           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6939             : }
    6940             : 
    6941             : GEN
    6942          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6943             : {
    6944             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6945             :   long n, m;
    6946          14 :   pari_sp av = avma;
    6947             : 
    6948          14 :   checkell_Q(e);
    6949          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6950           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6951             : 
    6952           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6953           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6954           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6955             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6956             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6957           7 :   c = gsqr(d);
    6958             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6959             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6960             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6961             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6962             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6963             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6964             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6965             :    * */
    6966           7 :   C = c+4;
    6967           7 :   X = x+4;
    6968           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6969           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6970           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6971           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6972         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6973             :   {
    6974         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6975             :     GEN s1, s2, s3;
    6976         105 :     if (n != 2)
    6977             :     {
    6978          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6979          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6980          98 :       s2 = gen_0;
    6981        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6982         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6983          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6984          98 :       s1 = gen_0;
    6985          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6986          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6987          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6988             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6989          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6990             :     }
    6991             :     else
    6992             :     {
    6993           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6994           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6995           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6996           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6997           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6998           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6999           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    7000           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    7001           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    7002           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    7003             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    7004           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    7005             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    7006           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    7007             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    7008           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    7009           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    7010             :     }
    7011         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    7012             :   }
    7013           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    7014           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    7015           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    7016           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    7017           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    7018             : }
    7019             : 
    7020             : /********************************************************************/
    7021             : /**                                                                **/
    7022             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    7023             : /**                                                                **/
    7024             : /********************************************************************/
    7025             : static GEN
    7026         917 : doellff_get_o(GEN E)
    7027             : {
    7028         917 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    7029         917 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    7030             : }
    7031             : GEN
    7032        1218 : ellff_get_o(GEN E)
    7033        1218 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    7034             : 
    7035             : GEN
    7036         133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    7037             : {
    7038         133 :   pari_sp av = avma;
    7039             :   GEN fg, r;
    7040         133 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    7041         133 :   fg = ellff_get_field(E);
    7042         133 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    7043         133 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7044          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    7045             :   else
    7046             :   {
    7047          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7048          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    7049          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    7050          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    7051             :   }
    7052         133 :   return gerepileuptoint(av, r);
    7053             : }
    7054             : 
    7055             : GEN
    7056        5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7057             : {
    7058             :   GEN fg;
    7059        5236 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7060        5229 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    7061        5229 :   fg = ellff_get_field(E);
    7062        5229 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7063        4984 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    7064             :   else
    7065             :   {
    7066         245 :     pari_sp av = avma;
    7067         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7068         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    7069         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    7070         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    7071             :   }
    7072             : }
    7073             : 
    7074             : GEN
    7075         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7076             : {
    7077             :   GEN fg;
    7078         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7079         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    7080         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    7081         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7082          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    7083             :   else
    7084             :   {
    7085         203 :     pari_sp av = avma;
    7086         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7087         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    7088         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    7089         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    7090             :   }
    7091             : }
    7092             : 
    7093             : /* E/Q, return cardinality including the (possible) ramified point */
    7094             : static GEN
    7095     2796570 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    7096             : {
    7097     2796570 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    7098     2796570 :   if (!signe(D))
    7099             :   {
    7100       97993 :     pari_sp av = avma;
    7101       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    7102       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    7103             :   }
    7104     2698577 :   *good_red = 1;
    7105     2698577 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    7106     2698129 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    7107     2696694 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    7108     2696694 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    7109             : }
    7110             : 
    7111             : static GEN
    7112     3077867 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    7113             : {
    7114             :   GEN q;
    7115     3077867 :   if (p) switch(typ(p))
    7116             :   {
    7117             :     case t_INT:
    7118     2819621 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    7119     2819614 :       break;
    7120             :     case t_VEC:
    7121       99008 :       q = get_prid(p);
    7122       99008 :       if (q) { p = q; break; }
    7123           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    7124             :   }
    7125     3077853 :   checkell(E);
    7126     3077854 :   switch(ell_get_type(E))
    7127             :   {
    7128             :     case t_ELL_Qp:
    7129          14 :       q = ellQp_get_p(E);
    7130          14 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    7131          14 :       return q;
    7132             : 
    7133             :     case t_ELL_Fp:
    7134             :     case t_ELL_Fq:
    7135      180071 :       q = ellff_get_p(E);
    7136      180071 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    7137      180070 :       return q;
    7138             :     case t_ELL_NF:
    7139             :     case t_ELL_Q:
    7140     2897769 :       if (p) return p;
    7141             :     default:
    7142          13 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    7143             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7144             :   }
    7145             : }
    7146             : 
    7147             : GEN
    7148     2947672 : ellap(GEN E, GEN p)
    7149             : {
    7150     2947672 :   pari_sp av = avma;
    7151             :   GEN q, card;
    7152             :   int goodred;
    7153     2947672 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    7154     2947651 :   switch(ell_get_type(E))
    7155             :   {
    7156             :   case t_ELL_Fp:
    7157          91 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    7158          91 :     break;
    7159             :   case t_ELL_Fq:
    7160       54460 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    7161       54460 :     break;
    7162             :   case t_ELL_Q:
    7163     2794253 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7164     2794253 :     break;
    7165             :   case t_ELL_NF:
    7166       98847 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    7167             :   default:
    7168           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    7169             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7170             :   }
    7171     2848804 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    7172             : }
    7173             : 
    7174             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    7175             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    7176             : GEN
    7177          35 : ellsea(GEN E, ulong smallfact)
    7178             : {
    7179          35 :   const ulong minq = 523;
    7180          35 :   checkell_Fq(E);
    7181          35 :   switch(ell_get_type(E))
    7182             :   {
    7183             :   case t_ELL_Fp:
    7184             :     {
    7185          21 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    7186          21 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    7187          14 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    7188             :     }
    7189             :   case t_ELL_Fq:
    7190             :     {
    7191          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    7192          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    7193           0 :         return FF_ellcard(E);
    7194          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    7195             :     }
    7196             :   }
    7197             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7198             : }
    7199             : 
    7200             : GEN
    7201      158867 : ellff_get_card(GEN E)
    7202      158867 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    7203             : 
    7204             : GEN
    7205       88503 : ellcard(GEN E, GEN p)
    7206             : {
    7207       88503 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    7208       88503 :   switch(ell_get_type(E))
    7209             :   {
    7210             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7211       86158 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    7212             :   case t_ELL_Q:
    7213             :     {
    7214        2317 :       pari_sp av = avma;
    7215             :       int goodred;
    7216        2317 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7217        2317 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    7218        2317 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7219             :     }
    7220             :   case t_ELL_NF:
    7221             :     {
    7222          21 :       pari_sp av = avma;
    7223             :       int goodred;
    7224          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    7225          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    7226          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7227             :     }
    7228             :   default:
    7229           7 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    7230             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7231             :   }
    7232             : }
    7233             : 
    7234             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    7235             :  * d_r | ... | d_1 */
    7236             : static GEN
    7237        1764 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    7238             : {
    7239        1764 :   pari_sp av = avma;
    7240        1764 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    7241             :   {
    7242        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    7243        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    7244        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    7245        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    7246        1169 :     if (l==2)
    7247             :     {
    7248          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    7249          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    7250          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    7251          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    7252             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    7253             :         case 18: case 29:
    7254           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    7255             :         case 19: case 24: case 26:
    7256           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    7257             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    7258          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    7259             :         default:
    7260          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    7261             :       }
    7262             :     } else
    7263             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    7264        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    7265        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    7266        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    7267        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    7268             :       long x,y;
    7269        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    7270          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    7271             :       /* cyclic, order d_1 */
    7272        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    7273        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    7274             :       {
    7275         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    7276         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    7277             :       }
    7278             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    7279             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    7280         819 :         if (y == 1)
    7281         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    7282             :         else
    7283         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    7284             :       }
    7285        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    7286             :     }
    7287             :   }
    7288             :   else
    7289             :   {
    7290         518 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    7291         518 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    7292             :   }
    7293             : }
    7294             : 
    7295             : static GEN
    7296       22918 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    7297             : {
    7298       22918 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    7299       22911 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    7300       22834 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    7301       22736 :   if (absequaliu(p, 3))
    7302             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    7303             :     ulong b2, b4, b6;
    7304        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    7305             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    7306             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    7307         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    7308         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    7309             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    7310         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    7311         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    7312         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    7313          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    7314             :   } /* Now assume p > 3 */
    7315       21665 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    7316       21665 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    7317             : END:
    7318       22911 :   return mkvec2(G, m);
    7319             : }
    7320             : 
    7321             : static GEN
    7322       38850 : doellgroup(GEN E)
    7323             : {
    7324       38850 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7325       38850 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    7326             : }
    7327             : 
    7328             : GEN
    7329       39389 : ellff_get_group(GEN E)
    7330       39389 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    7331             : 
    7332             : /* E / Fp */
    7333             : static GEN
    7334       16828 : doellgens(GEN E)
    7335             : {
    7336       16828 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7337       16828 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7338       16772 :     return FF_ellgens(E);
    7339             :   else
    7340             :   {
    7341          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    7342          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    7343          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    7344          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    7345          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7346             :   }
    7347             : }
    7348             : 
    7349             : GEN
    7350       16905 : ellff_get_gens(GEN E)
    7351       16905 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7352             : 
    7353             : GEN
    7354       22862 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7355             : {
    7356       22862 :   pari_sp av = avma;
    7357             :   GEN G;
    7358       22862 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    7359       22862 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    7360         378 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    7361       22862 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    7362             : }
    7363             : 
    7364             : GEN
    7365       21329 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7366             : {
    7367       21329 :   pari_sp av = avma;
    7368             :   GEN V;
    7369       21329 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7370        1855 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7371        1855 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    7372        1848 :   if (!ell_over_Fq(E))
    7373             :   { /* t_ELL_Q */
    7374        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    7375        1764 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    7376        1764 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    7377             :   }
    7378          77 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    7379          77 :   return gerepilecopy(av, V);
    7380             : }
    7381             : 
    7382             : GEN
    7383       16842 : ellgenerators(GEN E)
    7384             : {
    7385       16842 :   checkell(E);
    7386       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    7387             :   {
    7388             :     case t_ELL_Q:
    7389           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7390             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7391       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7392             :     default:
    7393           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7394             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7395             :   }
    7396             : }
    7397             : 
    7398             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7399             : static GEN
    7400       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    7401             : {
    7402       22540 :   pari_sp av = avma;
    7403       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7404       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    7405       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7406       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7407             : }
    7408             : GEN
    7409       33817 : ellfromj(GEN j)
    7410             : {
    7411       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7412             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7413       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7414             :   {
    7415             :     case 2:
    7416        3549 :       if (gequal0(j))
    7417           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7418             :       else
    7419        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7420             :     case 3:
    7421        7637 :       if (gequal0(j))
    7422           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7423             :       else
    7424             :       {
    7425        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7426        7630 :         pari_sp av = avma;
    7427        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7428        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7429        7630 :         return E;
    7430             :       }
    7431             :   }
    7432       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7433       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7434       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    7435             : }
    7436             : 
    7437             : /********************************************************************/
    7438             : /**                                                                **/
    7439             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7440             : /**                                                                **/
    7441             : /********************************************************************/
    7442             : 
    7443             : int
    7444      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    7445             : {
    7446      164703 :   pari_sp av = avma;
    7447             :   int res;
    7448             : 
    7449      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7450         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    7451         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    7452         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7453      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7454      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7455      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7456      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    7457      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7458             :   } else {
    7459           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7460             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7461             :   }
    7462      164696 :   avma = av;
    7463      164696 :   return res;
    7464             : }
    7465             : 
    7466             : int
    7467      164878 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7468             : {
    7469             :   pari_sp av;
    7470             :   GEN j;
    7471             :   int res;
    7472      164878 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7473       16975 :   j = ell_get_j(E);
    7474       16975 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    7475       16975 :   switch(ell_get_type(E))
    7476             :   {
    7477             :   case t_ELL_Fp:
    7478             :   case t_ELL_Fq:
    7479       16800 :     return elljissupersingular(j);
    7480             :   case t_ELL_Q:
    7481          35 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7482          14 :     av = avma;
    7483          14 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    7484          14 :     avma = av; return res;
    7485             :   case t_ELL_NF:
    7486             :     {
    7487         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7488         140 :       av = avma;
    7489         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7490         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7491             :       {
    7492          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7493           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7494             :       }
    7495             :       else
    7496         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7497         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7498         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7499          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7500             :       else
    7501          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7502         126 :       avma = av; return res;
    7503             :     }
    7504             :   default:
    7505           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7506             :   }
    7507             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7508             : }
    7509             : 
    7510             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7511             : static GEN
    7512        5439 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7513             : {
    7514             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7515        5439 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7516        5439 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7517        1484 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7518        1484 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7519        1484 :   if (n==3)
    7520         756 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7521             :   else
    7522             :   {
    7523         728 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7524         728 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7525         728 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7526             :   }
    7527        1484 :   setvarn(res, v); return res;
    7528             : }
    7529             : 
    7530             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7531             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7532             : static GEN
    7533        4585 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7534             : {
    7535             :   GEN ret;
    7536        4585 :   long m = n/2;
    7537        4585 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7538        2800 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7539         812 :   else if (odd(n))
    7540             :   {
    7541         511 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7542             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7543         511 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7544             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7545         511 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7546         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7547             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7548         406 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7549             :   }
    7550             :   else
    7551             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7552         301 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7553             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7554         301 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7555             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7556         301 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7557             :   }
    7558        2800 :   gel(t,n) = ret;
    7559        2800 :   return ret;
    7560             : }
    7561             : 
    7562             : GEN
    7563        3731 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    7564             : {
    7565        3731 :   pari_sp av = avma;
    7566             :   GEN f, D, N;
    7567        3731 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7568        3731 :   if (v==-1) v = 0;
    7569        3731 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7570        3731 :   N = characteristic(D);
    7571        3731 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7572        3731 :   if (n<0) n = -n;
    7573        3731 :   if (n==1 || n==3)
    7574         231 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7575             :   else
    7576             :   {
    7577        3500 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7578        3500 :     setvarn(d2,v);
    7579        3500 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7580        3500 :     if (n <= 4)
    7581        3220 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7582             :     else
    7583         280 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7584        3500 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7585             :   }
    7586        3731 :   return gerepilecopy(av, f);
    7587             : }
    7588             : 
    7589             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7590             : GEN
    7591         392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7592             : {
    7593         392 :   pari_sp av = avma;
    7594             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7595         392 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7596         392 :   if (v==-1) v = 0;
    7597         392 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7598         392 :   N = characteristic(D);
    7599         392 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7600         392 :   if (n < 0) n = -n;
    7601         392 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7602         392 :   setvarn(d2,v);
    7603         392 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7604         392 :   if (n == 0)
    7605             :   {
    7606          21 :     A = pol_0(v);
    7607          21 :     B = pol_0(v);
    7608             :   }
    7609         371 :   else if (n == 1)
    7610             :   {
    7611           7 :     A = pol_1(v);
    7612           7 :     B = pol_x(v);
    7613             :   }
    7614         364 :   else if (n == 2)
    7615             :   {
    7616         112 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7617         112 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7618         112 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7619         112 :     A = d2;
    7620             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7621         112 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7622         112 :     setvarn(B,v);
    7623             :   }
    7624             :   else
    7625             :   {
    7626         252 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7627         252 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7628         252 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7629         252 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7630         252 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7631         252 :     if (!odd(n))
    7632           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7633             :     else
    7634         245 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7635             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7636         252 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7637             :   }
    7638         392 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7639             : }
    7640             : 
    7641             : GEN
    7642         175 : ellpadicfrobenius(GEN E, ulong p, long n)
    7643             : {
    7644         175 :   checkell_Q(E);
    7645         175 :   return hyperellpadicfrobenius(ec_bmodel(E), p, n);
    7646             : }

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