Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1529353 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1529353 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1450033 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1450033 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1449385 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1449385 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1449385 : }
44 : static GEN
45 2592183 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2592183 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2592186 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2592186 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2592170 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2591983 : }
53 : static GEN
54 93454 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93454 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93455 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93455 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93433 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93442 : }
62 : static void
63 2592032 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592032 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592026 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592039 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2591832 : }
69 : static void
70 1449385 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1449385 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1449385 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1449385 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 150710 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 150710 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 150710 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 150710 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 150710 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91290 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91290 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91290 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91290 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 150710 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 150710 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 150710 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg */
118 : static GEN
119 1501269 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : {
121 1501269 : switch(typ(x))
122 : {
123 1298892 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
124 202377 : default: return basistoalg(nf, x);
125 : }
126 : }
127 :
128 : /* typ(z) == t_VEC. Is it a point ? */
129 : static int
130 881299 : vecispt(GEN z)
131 : {
132 881299 : long l = lg(z);
133 881299 : return l == 3 || (l == 2 && isintzero(gel(z,1)));
134 : }
135 : int
136 732569 : checkellpt_i(GEN z)
137 732569 : { return typ(z) == t_VEC && vecispt(z); }
138 : void
139 0 : checkellpt(GEN z)
140 0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
141 : void
142 229558 : checkell5(GEN E)
143 : {
144 229558 : long l = lg(E);
145 229558 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
146 229558 : }
147 : void
148 4413893 : checkell(GEN E)
149 4413893 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
150 : void
151 3528 : checkellisog(GEN v)
152 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
153 :
154 : void
155 8239 : checkell_Q(GEN E)
156 : {
157 8239 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
158 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
159 8232 : }
160 :
161 : void
162 0 : checkell_Qp(GEN E)
163 : {
164 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
165 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
166 0 : }
167 :
168 : static int
169 505372 : ell_over_Fq(GEN E)
170 : {
171 505372 : long t = ell_get_type(E);
172 505372 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
173 : }
174 :
175 : void
176 254086 : checkell_Fq(GEN E)
177 : {
178 254086 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
179 254079 : }
180 :
181 : GEN
182 385699 : ellff_get_p(GEN E)
183 : {
184 385699 : GEN fg = ellff_get_field(E);
185 385699 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
186 : }
187 :
188 : int
189 52753 : ell_is_integral(GEN E)
190 : {
191 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
192 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
193 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
194 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
195 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
196 : }
197 :
198 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
199 : GEN
200 247136 : ec_bmodel(GEN e, long v)
201 : {
202 247136 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
203 247136 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
204 247136 : setvarn(P, v); return P;
205 : }
206 :
207 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
208 : GEN
209 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
210 : {
211 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
212 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
213 105 : setvarn(P, v); return P;
214 : }
215 :
216 : static int
217 236388 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
218 :
219 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
220 : static GEN
221 231029 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
222 : {
223 231029 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
224 231029 : long s = ellR_get_sign(e);
225 231029 : if (s > 0)
226 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
227 78796 : R = real_i(R);
228 78796 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
229 78796 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
230 78796 : d3 = subrr(e1,e2);
231 78796 : d1 = subrr(e2,e3);
232 78796 : d2 = subrr(e1,e3);
233 78796 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
234 : } else {
235 152233 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
236 152233 : if (s < 0)
237 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
238 90164 : e1 = real_i(e1);
239 90164 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
240 90164 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
241 : }
242 : else
243 62069 : d1 = gsub(e2,e3);
244 152233 : d3 = gsub(e1,e2);
245 152233 : d2 = gsub(e1,e3);
246 152233 : if (precision(d1) < prec0
247 152220 : || precision(d2) < prec0
248 152233 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
249 : }
250 230993 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
251 : }
252 : static GEN
253 169792 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
254 : {
255 : long p;
256 169828 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
257 36 : {
258 169828 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
259 169828 : if (v) return v;
260 36 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
261 : }
262 : }
263 : static GEN
264 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
265 :
266 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
267 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
268 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
269 : GEN
270 783719 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
271 : {
272 783719 : pari_sp av = avma;
273 : GEN z;
274 783719 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
275 783719 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
276 783719 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
277 783719 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
278 : }
279 :
280 : /* a1 x + a3 */
281 : GEN
282 1177215 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
283 : {
284 1177215 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
285 1177215 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
286 1177215 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
287 : }
288 : static GEN
289 565817 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
290 : {
291 565817 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
292 565817 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
293 565817 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
294 : }
295 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
296 : static GEN
297 129723 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
298 : {
299 129723 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
300 129723 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
301 : }
302 :
303 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
304 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
305 : * which is the derivative of the curve equation
306 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
307 : * wrt x evaluated at Q */
308 : GEN
309 136137 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
310 : {
311 136137 : pari_sp av = avma;
312 136137 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
313 136137 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
314 136137 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
315 136137 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
316 136137 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
317 136137 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
318 : }
319 :
320 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
321 : GEN
322 256056 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
323 : {
324 256056 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
325 256056 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
326 : }
327 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
328 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
329 : * which is the derivative of the curve equation
330 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
331 : * wrt y evaluated at Q */
332 : GEN
333 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
334 : {
335 532 : pari_sp av = avma;
336 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
337 : }
338 :
339 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
340 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
341 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
342 : GEN
343 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
344 : {
345 29715 : pari_sp av = avma;
346 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
347 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
348 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
349 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
350 0 : {
351 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
352 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
353 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
354 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
355 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
356 : }
357 : else
358 : {
359 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
360 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
361 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
362 : }
363 29715 : return gerepileupto(av, t2);
364 : }
365 :
366 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
367 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
368 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
369 : GEN
370 65276 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
371 : {
372 65276 : pari_sp av = avma;
373 65276 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
374 65276 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
375 65276 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
376 65276 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
377 65276 : GEN x2 = gsqr(x);
378 65276 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
379 65276 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
380 65276 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
381 : }
382 :
383 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
384 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
385 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
386 : GEN
387 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
388 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
389 :
390 : GEN
391 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
392 : {
393 707 : pari_sp av = avma;
394 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
395 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
396 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
397 707 : return gerepileupto(av, res);
398 : }
399 :
400 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
401 : GEN
402 9135 : ellbasechar(GEN E)
403 : {
404 9135 : pari_sp av = avma;
405 9135 : GEN D = ell_get_disc(E);
406 9135 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
407 : }
408 :
409 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
410 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
411 : * Also allocate room for n dynamic members. */
412 : static GEN
413 194453 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
414 : {
415 194453 : GEN y = obj_init(15, n);
416 194453 : gel(y,1) = gen_0;
417 194453 : gel(y,2) = gen_0;
418 194453 : gel(y,3) = gen_0;
419 194453 : gel(y,4) = a4;
420 194453 : gel(y,5) = a6;
421 194453 : gel(y,6) = gen_0;
422 194453 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
423 194452 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
424 194453 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
425 194452 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
426 194453 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
427 194453 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
428 194452 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
429 : }
430 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
431 : static GEN
432 944712 : initsmall5(GEN x, long n)
433 : {
434 944712 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
435 944712 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
436 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
437 944712 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
438 795479 : a11= gsqr(a1);
439 795479 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
440 795479 : a13= gmul(a1, a3);
441 795479 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
442 795479 : a33= gsqr(a3);
443 795479 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
444 795479 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
445 795479 : b22= gsqr(b2);
446 795479 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
447 795479 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
448 795479 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
449 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
450 795479 : y = obj_init(15, n);
451 795479 : gel(y,1) = a1;
452 795479 : gel(y,2) = a2;
453 795479 : gel(y,3) = a3;
454 795479 : gel(y,4) = a4;
455 795479 : gel(y,5) = a6;
456 795479 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
457 795479 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
458 795479 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
459 795479 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
460 795479 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
461 795479 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
462 795479 : gel(y,12)= D;
463 795479 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
464 : }
465 :
466 : static GEN
467 981909 : get_j(GEN c4, GEN D)
468 : {
469 : GEN g, d, c;
470 981909 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
471 981573 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
472 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
473 336 : g = RgX_gcd(D, c4);
474 336 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
475 42 : c = RgX_div(c4, g);
476 42 : D = RgX_div(D, g);
477 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
478 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
479 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
480 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
481 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
482 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
483 : }
484 :
485 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
486 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
487 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
488 : * component y[16])*/
489 : static GEN
490 989911 : initsmall(GEN x, long n)
491 : {
492 : GEN y, D;
493 :
494 989911 : switch(lg(x))
495 : {
496 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
497 45220 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
498 944201 : case 6:
499 944201 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
500 0 : default:
501 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
502 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
503 : }
504 989910 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
505 981909 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
506 : }
507 : void
508 0 : ellprint(GEN e)
509 : {
510 0 : pari_sp av = avma;
511 : long vx, vy;
512 : GEN z;
513 0 : checkell5(e);
514 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
515 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
516 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
517 0 : (void)delete_var();
518 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
519 0 : }
520 :
521 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
522 : static GEN
523 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
524 : {
525 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
526 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
527 :
528 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
529 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
530 26733 : b = mulrr(d3,d2);
531 : else
532 32109 : b = cxnorm(d3);
533 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
534 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
535 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
536 58842 : return mkvec2(a, b);
537 : }
538 : GEN
539 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
540 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
541 :
542 : /* q a t_REAL*/
543 : static long
544 84 : real_prec(GEN q)
545 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
546 : /* q a t_PADIC */
547 : static long
548 238 : padic_prec(GEN q)
549 238 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
550 :
551 : /* check whether moduli are consistent */
552 : static void
553 99666 : chk_p(GEN p, GEN p2)
554 99666 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
555 :
556 : static int
557 213423 : fix_nftype(GEN *pp)
558 : {
559 213423 : switch(nftyp(*pp))
560 : {
561 213423 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
562 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
563 0 : default: return 0;
564 : }
565 213423 : return 1;
566 : }
567 : static long
568 994601 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
569 : {
570 994601 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
571 994601 : GEN p = NULL, pol = NULL;
572 994601 : long t = t_FRAC;
573 994601 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
574 : {
575 509495 : case t_INT:
576 509495 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
577 2016 : p = *pp;
578 2016 : t = t_INTMOD;
579 2016 : break;
580 665 : case t_INTMOD:
581 665 : p = gel(*pp, 1);
582 665 : break;
583 28 : case t_REAL:
584 28 : e = real_prec(*pp);
585 28 : p = NULL;
586 28 : break;
587 217 : case t_PADIC:
588 217 : ep = padic_prec(*pp);
589 217 : p = gel(*pp, 2);
590 217 : break;
591 1820 : case t_FFELT:
592 1820 : p = *pp;
593 1820 : break;
594 213423 : case t_VEC:
595 213423 : t = t_VEC; p = *pp;
596 213423 : if (fix_nftype(&p)) break;
597 : default:
598 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
599 0 : return 0;
600 : }
601 994594 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
602 : /* Possible cases:
603 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
604 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
605 : * t = t_INTMOD (p a prime)
606 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
607 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
608 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
609 5683224 : for (i = 1; i < imax; i++)
610 : {
611 4694811 : GEN p2, q = gel(x,i);
612 4694811 : switch(typ(q)) {
613 42 : case t_PADIC:
614 42 : p2 = gel(q,2);
615 : switch(t)
616 : {
617 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
618 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
619 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
620 : }
621 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
622 21 : break;
623 124621 : case t_INTMOD:
624 124621 : p2 = gel(q,1);
625 : switch(t)
626 : {
627 24976 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
628 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
629 99582 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
630 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
631 : }
632 124607 : break;
633 168573 : case t_FFELT:
634 : switch(t)
635 : {
636 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
637 85378 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
638 83188 : case t_FFELT:
639 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
640 83188 : break;
641 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
642 : }
643 168566 : break;
644 :
645 4073940 : case t_INT: case t_FRAC: break;
646 56 : case t_REAL:
647 : switch(t)
648 : {
649 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
650 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
651 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
652 : }
653 56 : break;
654 326326 : case t_POLMOD:
655 326326 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
656 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
657 : case t_COL:
658 : case t_POL:
659 327558 : if (t == t_VEC) break;
660 : default: /* base ring too general */
661 6132 : return t_COMPLEX;
662 : }
663 : }
664 988413 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
665 : }
666 :
667 : /* s = 0 complex, else real;
668 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
669 : static GEN
670 67361 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
671 : {
672 : GEN y;
673 67361 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
674 : {
675 7 : case t_ELL_Rg:
676 7 : case t_ELL_Q: break;
677 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
678 : }
679 67354 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
680 67354 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
681 67354 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
682 67354 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
683 67354 : return y;
684 : }
685 :
686 : static GEN
687 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
688 : {
689 : GEN y;
690 203 : if (lg(x) > 6)
691 : {
692 28 : switch(ell_get_type(x))
693 : { /* sanity checks */
694 21 : case t_ELL_Q: break;
695 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
696 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
697 : }
698 21 : x = vecslice(x,1,5);
699 : }
700 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
701 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
702 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
703 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
704 196 : return y;
705 : }
706 :
707 : static GEN
708 569359 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
709 : {
710 : GEN y;
711 : long s;
712 569359 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
713 569226 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
714 569226 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
715 569226 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
716 569226 : return y;
717 : }
718 :
719 : static GEN
720 567553 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
721 :
722 : static GEN
723 73395 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
724 : {
725 : GEN y, nf;
726 73395 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
727 73395 : nf = checknf(p);
728 73395 : x = nfVtoalg(nf, x);
729 73395 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
730 73395 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
731 73395 : gel(y,15) = mkvec(p);
732 73395 : return y;
733 : }
734 :
735 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
736 : static GEN
737 121029 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
738 : {
739 121029 : x = FF_ellinit(x,fg);
740 121029 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
741 : }
742 :
743 : static GEN
744 1959237 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
745 : static GEN
746 165130 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
747 : {
748 : long i;
749 : GEN y, disc;
750 165130 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
751 : {
752 2429 : case t_ELL_Q: break;
753 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
754 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
755 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
756 : }
757 165123 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
758 165123 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
759 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
760 160181 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
761 150710 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
762 150710 : if (!signe(disc)) return NULL;
763 2109842 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
764 150703 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
765 150703 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
766 150703 : return y;
767 : }
768 :
769 : static GEN
770 114484 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
771 : {
772 : GEN y;
773 114484 : if (lg(x) == 2)
774 : {
775 33418 : GEN j = gel(x,1);
776 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
777 33418 : x = ellfromj(j);
778 : }
779 114484 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
780 111558 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
781 : }
782 :
783 : static GEN
784 137746 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
785 : {
786 137746 : GEN e = vecslice(x,1,5);
787 : GEN p, modP;
788 137746 : if (get_modpr(P))
789 : { /* modpr accept */
790 108724 : modP = P;
791 108724 : p = modpr_get_p(modP);
792 : }
793 : else
794 : { /* pr, initialize modpr */
795 29022 : GEN d = Q_denom(e);
796 29022 : p = pr_get_p(P);
797 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
798 : }
799 137746 : *pp = p;
800 137746 : *pT = modpr_get_T(modP);
801 137746 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
802 : }
803 : static GEN
804 137725 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
805 : {
806 : GEN T,p;
807 137725 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
808 137725 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
809 : }
810 :
811 : static GEN
812 900514 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
813 : {
814 : GEN y;
815 :
816 900514 : switch(typ(x))
817 : {
818 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
819 900507 : case t_VEC:
820 900507 : switch(lg(x))
821 : {
822 900500 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
823 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
824 : }
825 900500 : break;
826 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
827 : }
828 900507 : if (D && get_prid(D))
829 : {
830 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
831 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
832 : }
833 763258 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
834 : {
835 203 : case t_PADIC:
836 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
837 196 : break;
838 27629 : case t_INTMOD:
839 27629 : y = ellinit_Fp(x, D);
840 27622 : break;
841 87072 : case t_FFELT:
842 87072 : y = ellinit_Fq(x, D);
843 87072 : break;
844 569359 : case t_FRAC:
845 569359 : y = ellinit_Q(x, prec);
846 569359 : break;
847 28 : case t_REAL:
848 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
849 21 : break;
850 72779 : case t_VEC:
851 72779 : y = ellinit_nf(x, D);
852 72779 : break;
853 6132 : default:
854 6132 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
855 : }
856 763181 : return y;
857 : }
858 : GEN
859 899485 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
860 : {
861 899485 : pari_sp av = avma;
862 899485 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
863 899401 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
864 891386 : return gerepilecopy(av,y);
865 : }
866 :
867 : /********************************************************************/
868 : /** **/
869 : /** COORDINATE CHANGE **/
870 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
871 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
872 : /** verbatim **/
873 : /** **/
874 : /********************************************************************/
875 : /* [1,0,0,0] */
876 : static GEN
877 2694496 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
878 : /* if fun != NULL, check whether w is a valid change of variables
879 : * (raise type exception in 'fun' if not). Otherwise assume valid.
880 : * Return 1 if trivial change, 0 otherwise */
881 : static int
882 903841 : is_trivial_change(GEN w, char *fun)
883 : {
884 903841 : if (fun)
885 : {
886 378351 : if (isint1(w)) return 1;
887 378344 : if (typ(w) != t_VEC || lg(w) != 5) pari_err_TYPE(fun, w);
888 : }
889 : else
890 525490 : if (typ(w) == t_INT) return 1;
891 1454356 : return isint1(gel(w,1)) && isintzero(gel(w,2))
892 1454356 : && isintzero(gel(w,3)) && isintzero(gel(w,4));
893 : }
894 :
895 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
896 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
897 : static void
898 15743 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
899 : {
900 15743 : GEN v = *vtotal;
901 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
902 :
903 15743 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
904 15715 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
905 15715 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
906 15715 : U2 = NULL;
907 15715 : if (!gequal0(r))
908 : {
909 : GEN rU2;
910 14441 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
911 14441 : R = gadd(R, rU2);
912 14441 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
913 : }
914 15715 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
915 15715 : if (!gequal0(t))
916 : {
917 8939 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
918 8939 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
919 : }
920 15715 : gel(v,1) = gmul(U, u);
921 15715 : gel(v,2) = R;
922 15715 : gel(v,3) = S;
923 15715 : gel(v,4) = T;
924 : }
925 :
926 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
927 : static GEN
928 42 : ellchangeinvert_i(GEN w)
929 : {
930 42 : GEN u = gel(w,1), r = gel(w,2), s = gel(w,3), t = gel(w,4);
931 42 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u2,u);
932 42 : GEN R = gneg(r), S = gneg(s);
933 42 : GEN T = gsub(gmul(r,s), t);
934 42 : retmkvec4(ginv(u),gdiv(R, u2), gdiv(S, u), gdiv(T, u3));
935 : }
936 :
937 : GEN
938 42 : ellchangeinvert(GEN v)
939 : {
940 42 : pari_sp av = avma;
941 42 : if (is_trivial_change(v, "ellchangeinvert")) return gen_1;
942 42 : return gerepileupto(av, ellchangeinvert_i(v));
943 : }
944 :
945 : static GEN
946 7 : ellchangecompose_i(GEN v, GEN w)
947 : {
948 7 : GEN u = gel(v,1), r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
949 7 : GEN uu = gel(w,1), rr = gel(w,2), ss = gel(w,3), tt = gel(w,4);
950 7 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u, u2);
951 7 : GEN R = gmul(rr,u2), S = gmul(ss,u);
952 7 : GEN T = gadd(gmul(tt,u3), gmul(s,R));
953 7 : retmkvec4(gmul(u,uu),gadd(r,R),gadd(s,S),gadd(t,T));
954 : }
955 :
956 : GEN
957 7 : ellchangecompose(GEN v, GEN w)
958 : {
959 7 : pari_sp av = avma;
960 7 : if (is_trivial_change(v, "ellchangecompose"))
961 : {
962 0 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gen_1;
963 0 : return gcopy(w);
964 : }
965 7 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gcopy(v);
966 7 : return gerepileupto(av, ellchangecompose_i(v, w));
967 : }
968 :
969 : static GEN
970 181783 : ell_to_nfell10(GEN e)
971 : {
972 : long i;
973 181783 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
974 181783 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
975 1999613 : for(i=1; i<=10; i++)
976 1817830 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
977 181783 : return y;
978 : }
979 :
980 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
981 : static GEN
982 444010 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
983 : {
984 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
985 : long lx;
986 444010 : if (gequal1(u)) return e;
987 443541 : y = cgetg_copy(e, &lx);
988 443541 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
989 443541 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
990 443541 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
991 443541 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
992 443541 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
993 443541 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
994 443541 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
995 443541 : if (lx == 6) return y;
996 443534 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
997 443534 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
998 443534 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
999 443534 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
1000 443534 : return y;
1001 : }
1002 : /* apply [1,r,0,0] */
1003 : static GEN
1004 499738 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
1005 : {
1006 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1007 : long lx;
1008 499738 : if (gequal0(r)) return e;
1009 420560 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1010 420560 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
1011 420560 : rx3 = gmulsg(3,r);
1012 :
1013 420560 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
1014 : /* A2 = a2 + 3r */
1015 420560 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
1016 : /* A3 = a1 r + a3 */
1017 420560 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
1018 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1019 420560 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
1020 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1021 420560 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
1022 420560 : if (lx == 6) return y;
1023 :
1024 420553 : b4 = ell_get_b4(e);
1025 420553 : b6 = ell_get_b6(e);
1026 : /* B2 = 12r + b2 */
1027 420553 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1028 420553 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
1029 420553 : r2 = nfsqr(nf,r);
1030 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1031 420553 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1032 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1033 420553 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1034 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1035 420553 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1036 420553 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1037 420553 : return y;
1038 : }
1039 :
1040 : static GEN
1041 184637 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1042 : {
1043 : GEN a1, y;
1044 184637 : if (gequal0(s)) return e;
1045 184637 : a1 = ell_get_a1(e);
1046 184637 : y = leafcopy(e);
1047 :
1048 : /* A1 = a1 + 2s */
1049 184637 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1050 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1051 184637 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1052 : /* A4 = a4 - s a3 */
1053 184637 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1054 184637 : return y;
1055 : }
1056 : /* apply [1,0,0,t] */
1057 : static GEN
1058 407287 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1059 : {
1060 : GEN a1, a3, y;
1061 407287 : if (gequal0(t)) return e;
1062 406811 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1063 406811 : y = leafcopy(e);
1064 : /* A3 = 2t + a3 */
1065 406811 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1066 : /* A4 = a4 - a1 t */
1067 406811 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1068 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1069 406811 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1070 406811 : return y;
1071 : }
1072 :
1073 : /* apply [1,0,s,t] */
1074 : static GEN
1075 19378 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1076 : {
1077 : GEN y, a1, a3;
1078 19378 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1079 18902 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1080 18902 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1081 18902 : y = leafcopy(e);
1082 : /* A1 = a1 + 2s */
1083 18902 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1084 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1085 18902 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1086 : /* A3 = 2t + a3 */
1087 18902 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1088 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1089 18902 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1090 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1091 18902 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1092 18902 : return y;
1093 : }
1094 :
1095 : static GEN
1096 301348 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1097 : {
1098 301348 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1099 301348 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1100 : }
1101 :
1102 : /* apply [1,r,s,t] */
1103 : static GEN
1104 476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1105 : {
1106 476 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1107 476 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1108 : }
1109 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1110 : static GEN
1111 476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1112 : {
1113 476 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1114 476 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1115 476 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1116 : }
1117 :
1118 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1119 : static GEN
1120 229670 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1121 : {
1122 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1123 : long lx;
1124 229670 : if (gequal1(u)) return e;
1125 224392 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1126 224392 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1127 224392 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1128 224392 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1129 224392 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1130 224392 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1131 224392 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1132 224392 : if (lx == 6) return y;
1133 224392 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1134 224392 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1135 224392 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1136 224392 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1137 224392 : u12 = gsqr(u6);
1138 224392 : D = ell_get_disc(e);
1139 224392 : c4 = ell_get_c4(e);
1140 224392 : c6 = ell_get_c6(e);
1141 224392 : c4 = gmul(c4, u4);
1142 224392 : c6 = gmul(c6, u6);
1143 224392 : D = gmul(D, u12);
1144 224392 : gel(y,10)= c4;
1145 224392 : gel(y,11)= c6;
1146 224392 : gel(y,12)= D;
1147 224392 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1148 224392 : gel(y,14)= gel(e,14);
1149 224392 : gel(y,15)= gel(e,15);
1150 224392 : gel(y,16)= gel(e,16);
1151 224392 : return y;
1152 : }
1153 : /* apply [1,r,0,0] */
1154 : static GEN
1155 753935 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1156 : {
1157 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1158 753935 : if (gequal0(r)) return e;
1159 650944 : y = leafcopy(e);
1160 650944 : a2 = ell_get_a2(e);
1161 650944 : rx3 = gmulsg(3,r);
1162 :
1163 : /* A2 = a2 + 3r */
1164 650944 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1165 : /* A3 = a1 r + a3 */
1166 650944 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1167 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1168 650944 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1169 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1170 650944 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1171 650944 : if (lg(y) == 6) return y;
1172 :
1173 650937 : b4 = ell_get_b4(e);
1174 650937 : b6 = ell_get_b6(e);
1175 : /* B2 = 12r + b2 */
1176 650937 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1177 650937 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1178 650937 : r2 = gsqr(r);
1179 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1180 650937 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1181 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1182 650937 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1183 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1184 650937 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1185 650937 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1186 650937 : return y;
1187 : }
1188 : /* apply [1,0,s,0] */
1189 : static GEN
1190 119371 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1191 : {
1192 : GEN a1, y;
1193 119371 : if (gequal0(s)) return e;
1194 119371 : a1 = ell_get_a1(e);
1195 119371 : y = leafcopy(e);
1196 :
1197 : /* A1 = a1 + 2s */
1198 119371 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1199 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1200 119371 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1201 : /* A4 = a4 - s a3 */
1202 119371 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1203 119371 : return y;
1204 : }
1205 : /* apply [1,0,0,t] */
1206 : static GEN
1207 353563 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1208 : {
1209 : GEN a1, a3, y;
1210 353563 : if (gequal0(t)) return e;
1211 281022 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1212 281022 : y = leafcopy(e);
1213 : /* A3 = 2t + a3 */
1214 281022 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1215 : /* A4 = a4 - a1 t */
1216 281022 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1217 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1218 281022 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1219 281022 : return y;
1220 : }
1221 : /* apply [1,0,s,t] */
1222 : static GEN
1223 489510 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1224 : {
1225 : GEN y, a1, a3;
1226 489510 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1227 380324 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1228 260953 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1229 260953 : y = leafcopy(e);
1230 : /* A1 = a1 + 2s */
1231 260953 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1232 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1233 260953 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1234 : /* A3 = 2t + a3 */
1235 260953 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1236 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1237 260953 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1238 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1239 260953 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1240 260953 : return y;
1241 : }
1242 : /* apply [1,r,s,t] */
1243 : static GEN
1244 489510 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1245 : {
1246 489510 : e = coordch_r(e, r);
1247 489510 : return coordch_st(e, s, t);
1248 : }
1249 : /* apply valid change of variable w */
1250 : static GEN
1251 213220 : coordch(GEN e, GEN w)
1252 : {
1253 213220 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1254 213220 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1255 213220 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1256 : }
1257 :
1258 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1259 : * (dynamic data) */
1260 : static GEN
1261 21 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1262 : {
1263 21 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1264 21 : long prec = valp(p);
1265 21 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1266 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1267 : {
1268 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1269 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1270 : }
1271 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1272 : {
1273 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1274 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1275 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1276 7 : U = gmul(U, u);
1277 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1278 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1279 : }
1280 21 : return E;
1281 : }
1282 :
1283 : /* common to Q and Rg */
1284 : static GEN
1285 90552 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1286 : {
1287 90552 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1288 90552 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1289 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1290 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1291 21 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1292 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1293 : {
1294 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1295 : long i;
1296 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1297 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1298 : }
1299 90552 : return E;
1300 : }
1301 :
1302 : static GEN
1303 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1304 : {
1305 7 : GEN p = NULL;
1306 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1307 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1308 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1309 : }
1310 :
1311 : /* w valid change of variables */
1312 : static GEN
1313 140637 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1314 : {
1315 140637 : long prec = ellR_get_prec(E);
1316 140637 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1317 140637 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1318 140637 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1319 : {
1320 14 : if (lg(S) == 1)
1321 : { /* model was minimal */
1322 0 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1323 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert(w), e);
1324 : }
1325 14 : else if (lg(S)==3)
1326 : {
1327 14 : GEN v = gel(S,1);
1328 28 : if (gequal(v, w) ||
1329 14 : (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1330 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1331 : else
1332 : {
1333 14 : w = ellchangeinvert(w);
1334 14 : gcomposev(&w, v);
1335 14 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1336 : }
1337 : }
1338 14 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1339 : }
1340 140637 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1341 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1342 140637 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1343 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1344 140637 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1345 69020 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1346 140637 : return E;
1347 : }
1348 :
1349 : /* w valid change of variable */
1350 : static GEN
1351 90552 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1352 : {
1353 90552 : long prec = ellR_get_prec(E);
1354 90552 : GEN S, p = NULL;
1355 90552 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1356 90545 : ch_R(E, e, w);
1357 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1358 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1359 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1360 : {
1361 18865 : if (lg(S) == 2)
1362 : { /* model was minimal */
1363 7 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1364 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1365 : }
1366 : else
1367 : {
1368 18858 : GEN v = gel(S,2);
1369 18858 : if (gequal(v, w)
1370 7 : || (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1371 18851 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1372 : else
1373 : {
1374 7 : w = ellchangeinvert(w);
1375 7 : gcomposev(&w, v);
1376 7 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1377 7 : gel(S,2) = w;
1378 : }
1379 : }
1380 18865 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1381 : }
1382 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1383 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1384 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1385 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1386 90545 : return E;
1387 : }
1388 :
1389 : static void
1390 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1391 : {
1392 : GEN S;
1393 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1394 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1395 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1396 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1397 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1398 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1399 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1400 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1401 126 : }
1402 :
1403 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1404 : static GEN
1405 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1406 : {
1407 7 : long prec = 0;
1408 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1409 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1410 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1411 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1412 : }
1413 : static GEN
1414 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1415 : {
1416 119 : long prec = 0;
1417 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1418 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1419 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1420 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1421 : }
1422 :
1423 : static void
1424 213465 : ell_reset(GEN E)
1425 213465 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1426 :
1427 : GEN
1428 229558 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1429 : {
1430 229558 : pari_sp av = avma;
1431 : GEN E;
1432 229558 : checkell5(e);
1433 229558 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecurve")) return gcopy(e);
1434 212506 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1435 212506 : if (lg(E) != 6)
1436 : {
1437 212499 : ell_reset(E);
1438 212499 : switch(ell_get_type(E))
1439 : {
1440 21 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1441 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1442 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1443 71708 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1444 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1445 140637 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1446 : }
1447 : }
1448 212506 : return gerepilecopy(av, E);
1449 : }
1450 :
1451 : static GEN
1452 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1453 : {
1454 7 : pari_sp av = avma;
1455 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1456 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1457 7 : j = ell_get_j(E);
1458 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1459 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1460 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1461 7 : if (gequal0(j))
1462 : {
1463 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1464 0 : return gc_const(av, gen_0);
1465 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1466 : {
1467 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1468 0 : return gc_const(av, gen_0);
1469 : } else
1470 : {
1471 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1472 0 : return gc_const(av, gen_0);
1473 : }
1474 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1475 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1476 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1477 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1478 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1479 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1480 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1481 : }
1482 :
1483 : static GEN
1484 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1485 : {
1486 7 : pari_sp av = avma;
1487 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1488 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1489 7 : j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
1490 7 : if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
1491 0 : return gc_const(av, gen_0);
1492 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1493 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1494 7 : if (gequal0(j))
1495 : {
1496 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1497 0 : return gc_const(av, gen_0);
1498 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1499 : {
1500 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1501 0 : return gc_const(av, gen_0);
1502 : } else
1503 : {
1504 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1505 0 : return gc_const(av, gen_0);
1506 : }
1507 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1508 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1509 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1510 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1511 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1512 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1513 7 : u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
1514 7 : s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
1515 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1516 : }
1517 :
1518 : GEN
1519 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1520 : {
1521 14 : checkell(E); checkell(F);
1522 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1523 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1524 14 : switch(ell_get_type(E))
1525 : {
1526 7 : case t_ELL_Q:
1527 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1528 7 : case t_ELL_NF:
1529 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1530 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1531 : default: /*FALL THROUGH*/
1532 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1533 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1534 : }
1535 : }
1536 :
1537 : /* v o= [1,r,0,0] */
1538 : static void
1539 479230 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1540 : {
1541 479230 : GEN v = *vtotal;
1542 : GEN U2, R, S, T;
1543 479230 : if (gequal0(r)) return;
1544 197914 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1545 197914 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1546 197914 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1547 197914 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1548 : }
1549 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1550 : static void
1551 184637 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1552 : {
1553 184637 : GEN v = *vtotal;
1554 : GEN U, S;
1555 184637 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1556 184637 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1557 184637 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1558 184637 : }
1559 : /* v o= [1,0,0,t] */
1560 : static void
1561 842954 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1562 : {
1563 842954 : GEN v = *vtotal;
1564 : GEN U3, U, T;
1565 842954 : if (gequal0(t)) return;
1566 105463 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1567 105463 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1568 105463 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1569 : }
1570 : /* v o= [1,r,0,t] */
1571 : static void
1572 593824 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1573 : {
1574 593824 : GEN v = *vtotal;
1575 : GEN U2, U, R, S, T;
1576 593824 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1577 301348 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1578 301348 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1579 301348 : U2 = nfsqr(nf,U);
1580 301348 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1581 301348 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1582 : }
1583 : /* v o= [1,0,s,t] */
1584 : static void
1585 496188 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1586 : {
1587 496188 : GEN v = *vtotal;
1588 : GEN U3, U, S, T;
1589 496188 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1590 203539 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1591 18902 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1592 18902 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1593 18902 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1594 18902 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1595 : }
1596 :
1597 : /* v o= [u,0,0,0] */
1598 : static void
1599 443534 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1600 : {
1601 443534 : GEN v = *vtotal;
1602 443534 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1603 443534 : }
1604 :
1605 : /* raise a type exception in fun unless x is a point or a t_VEC of points */
1606 : static void
1607 148800 : checkellpts(GEN x, char *fun)
1608 : {
1609 : long i, lx;
1610 148800 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE(fun, x);
1611 148772 : if (vecispt(x)) return;
1612 952 : lx = lg(x);
1613 4900 : for (i = 1; i < lx; i++)
1614 3983 : if (!checkellpt_i(gel(x,i))) pari_err_TYPE(fun, gel(x,i));
1615 : }
1616 :
1617 : /* X = (x-r)/u^2
1618 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3; P a point */
1619 : static GEN
1620 116264 : ellchangept(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1621 : {
1622 : GEN a, x, y;
1623 116264 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1624 116250 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1625 116250 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1626 : }
1627 : static GEN
1628 56 : ellchangevecpt(GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1629 126 : { pari_APPLY_same(ellchangept(gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
1630 : GEN
1631 147771 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1632 : {
1633 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1634 147771 : pari_sp av = avma;
1635 :
1636 147771 : checkellpts(x, "ellchangepoint");
1637 147736 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepoint")) return gcopy(x);
1638 116278 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1639 116250 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1640 116250 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1641 116250 : if (typ(gel(x,1)) != t_VEC)
1642 116194 : y = ellchangept(x,v2,v3,r,s,t);
1643 : else
1644 56 : y = ellchangevecpt(x,v2,v3,r,s,t);
1645 116250 : return gerepilecopy(av,y);
1646 : }
1647 :
1648 : /* x = u^2*X + r
1649 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t; P a point */
1650 : static GEN
1651 3346 : ellchangeptinv(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1652 : {
1653 : GEN a, X, Y;
1654 3346 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1655 3346 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1656 3346 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1657 : }
1658 : static GEN
1659 504 : ellchangevecptinv(GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1660 3787 : { pari_APPLY_same(ellchangeptinv(gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
1661 : GEN
1662 1029 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1663 : {
1664 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1665 1029 : pari_sp av = avma;
1666 :
1667 1029 : checkellpts(x, "ellchangepointinv");
1668 1001 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepointinv")) return gcopy(x);
1669 707 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1670 567 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1671 567 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1672 567 : if (typ(gel(x,1)) != t_VEC)
1673 63 : y = ellchangeptinv(x,u2,u3,r,s,t);
1674 : else
1675 504 : y = ellchangevecptinv(x,u2,u3,r,s,t);
1676 567 : return gerepilecopy(av,y);
1677 : }
1678 :
1679 : static GEN
1680 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1681 : GEN
1682 28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
1683 : {
1684 28574 : pari_sp av = avma;
1685 28574 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1686 28574 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1687 :
1688 28574 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1689 28574 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1690 : {
1691 1323 : case t_ELL_Q:
1692 1323 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1693 : }
1694 28574 : if (!P)
1695 : {
1696 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1697 27195 : if (!isell)
1698 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1699 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1700 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1701 : }
1702 27188 : switch (ell_get_type(E))
1703 : {
1704 0 : case t_ELL_Fp:
1705 0 : q = ellff_get_field(E);
1706 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1707 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1708 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1709 27188 : case t_ELL_Fq:
1710 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1711 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1712 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1713 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1714 : }
1715 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1716 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1717 27188 : return gerepilecopy(av, Et);
1718 : }
1719 1379 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1720 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1721 1379 : if (typ(P) == t_INT)
1722 : {
1723 1365 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1724 1008 : P = quadpoly(P);
1725 : }
1726 : else
1727 : {
1728 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1729 14 : if (degpol(P) != 2 )
1730 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1731 : }
1732 1022 : switch(lg(E))
1733 : {
1734 7 : case 3:
1735 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1736 7 : a4 = gel(E,1);
1737 7 : a6 = gel(E,2); break;
1738 1015 : case 6: case 17:
1739 1015 : a1 = ell_get_a1(E);
1740 1015 : a2 = ell_get_a2(E);
1741 1015 : a3 = ell_get_a3(E);
1742 1015 : a4 = ell_get_a4(E);
1743 1015 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1744 0 : default:
1745 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1746 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1747 : }
1748 1022 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1749 1022 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1750 1022 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1751 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1752 : else
1753 : {
1754 259 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1755 259 : V = cgetg(6, t_VEC);
1756 259 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1757 259 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1758 259 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1759 259 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1760 259 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1761 : }
1762 1022 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1763 1022 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1764 1022 : return gerepilecopy(av, E);
1765 : }
1766 :
1767 : /********************************************************************/
1768 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1769 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1770 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1771 : /********************************************************************/
1772 :
1773 : static long
1774 29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1775 29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1776 :
1777 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1778 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1779 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1780 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1781 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1782 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1783 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1784 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1785 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1786 : static long
1787 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1788 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1789 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1790 : long v4, v6, vD;
1791 :
1792 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1793 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1794 :
1795 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1796 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1797 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1798 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1799 :
1800 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1801 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1802 :
1803 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1804 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1805 175 : vD = vali(disc);
1806 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1807 168 : return -8;
1808 : }
1809 :
1810 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1811 : * conductor in Z[1/2] */
1812 : GEN
1813 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1814 : {
1815 665 : pari_sp av = avma;
1816 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1817 : long i, lF;
1818 665 : checkell_Q(e);
1819 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1820 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1821 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1822 665 : disc = ell_get_disc(E);
1823 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1824 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1825 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1826 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1827 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1828 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1829 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1830 : {
1831 1771 : GEN p = gel(F, i);
1832 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1833 1771 : if (vg < 6) continue;
1834 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1835 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1836 1197 : switch(itou_or_0(p))
1837 : {
1838 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1839 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1840 441 : break;
1841 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1842 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1843 364 : break;
1844 392 : case 2:
1845 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1846 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1847 392 : break;
1848 : }
1849 : }
1850 665 : obj_free(E);
1851 665 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1852 : }
1853 :
1854 : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
1855 : * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
1856 : * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
1857 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1858 : GEN
1859 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1860 : {
1861 399 : pari_sp av = avma;
1862 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1863 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1864 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1865 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1866 385 : else if (f==6)
1867 : {
1868 : long s, t;
1869 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1870 : else
1871 : {
1872 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1873 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1874 : }
1875 21 : D = shifti(D, s);
1876 : }
1877 399 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1878 : }
1879 :
1880 : GEN
1881 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1882 : {
1883 448 : switch(flag)
1884 : {
1885 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1886 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1887 : }
1888 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1889 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1890 : }
1891 :
1892 : static long
1893 7 : ellexpo(GEN E)
1894 : {
1895 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1896 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1897 : {
1898 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1899 35 : if (f > e) e = f;
1900 : }
1901 7 : return e;
1902 : }
1903 :
1904 :
1905 : static int
1906 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1907 : {
1908 3855 : pari_sp av = avma;
1909 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1910 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1911 : }
1912 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1913 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1914 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1915 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1916 : int
1917 125945 : oncurve(GEN e, GEN z)
1918 : {
1919 : GEN LHS, RHS, x;
1920 : long pl, pr, ex, expx;
1921 : pari_sp av;
1922 :
1923 125945 : if (!checkellpt_i(z)) return 0;
1924 125945 : if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1925 125868 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1926 125868 : av = avma;
1927 125868 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1928 125868 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1929 125868 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1930 21 : pl = precision(LHS);
1931 21 : pr = precision(RHS);
1932 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1933 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1934 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1935 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1936 7 : expx = gexpo(x);
1937 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
1938 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
1939 7 : return gc_bool(av,pr);
1940 : }
1941 :
1942 : GEN
1943 45899 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1944 : {
1945 45899 : long i, tx = typ(x), lx;
1946 :
1947 45899 : checkell(e);
1948 45899 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1949 45899 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1950 45899 : tx = typ(gel(x,1));
1951 45899 : if (is_vec_t(tx))
1952 : {
1953 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1954 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1955 1687 : return z;
1956 : }
1957 44212 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1958 : }
1959 :
1960 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1961 : static GEN
1962 29184 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1963 : {
1964 : GEN dy,dx;
1965 29184 : if (y1 != y2)
1966 : {
1967 : int eq;
1968 273 : if (precision(y1) || precision(y2))
1969 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1970 : else
1971 266 : eq = gequal(y1,y2);
1972 273 : if (!eq) return NULL;
1973 : }
1974 29177 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1975 29177 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1976 29135 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1977 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1978 29135 : return gdiv(dy,dx);
1979 : }
1980 :
1981 : GEN
1982 57457 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1983 : {
1984 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1985 57457 : pari_sp av = avma;
1986 :
1987 57457 : checkell(e);
1988 57457 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
1989 57457 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
1990 57457 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1991 55049 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1992 :
1993 53397 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1994 53397 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1995 53397 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1996 : {
1997 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1998 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1999 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
2000 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
2001 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
2002 : }
2003 53397 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
2004 : {
2005 29184 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
2006 29184 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
2007 : }
2008 : else
2009 24213 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
2010 53348 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
2011 53348 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
2012 53348 : z = cgetg(3,t_VEC);
2013 53348 : gel(z,1) = gcopy(x);
2014 53348 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
2015 : }
2016 :
2017 : static GEN
2018 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
2019 : {
2020 : GEN x, y;
2021 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2022 70 : x = gel(z,1);
2023 70 : y = gel(z,2);
2024 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2025 : {
2026 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2027 0 : x = nftoalg(nf,x);
2028 0 : y = nftoalg(nf,y);
2029 : }
2030 70 : retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
2031 : }
2032 :
2033 : GEN
2034 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2035 : {
2036 : pari_sp av;
2037 : GEN t, y;
2038 82034 : checkell(e);
2039 82034 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
2040 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2041 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2042 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2043 82034 : av = avma;
2044 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2045 82034 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
2046 82034 : return t;
2047 : }
2048 :
2049 : GEN
2050 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2051 : {
2052 49 : pari_sp av = avma;
2053 49 : checkell(e);
2054 49 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
2055 49 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
2056 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2057 : }
2058 :
2059 : /* E an ell, x a scalar */
2060 : static GEN
2061 3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2062 : {
2063 3010 : pari_sp av = avma;
2064 3010 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2065 :
2066 3010 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2067 : {
2068 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2069 532 : x = nftoalg(nf,x);
2070 : }
2071 3010 : a = ec_f_evalx(E,x);
2072 3010 : b = ec_h_evalx(E,x);
2073 3010 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2074 : /* solve y*(y+b) = a */
2075 3010 : if (gequal0(D)) {
2076 1246 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2077 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2078 1246 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2079 1246 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2080 1246 : return gerepileupto(av,y);
2081 : }
2082 : /* D != 0 */
2083 1764 : switch(ell_get_type(E))
2084 : {
2085 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2086 28 : p = ellff_get_p(E);
2087 28 : D = gel(D,2);
2088 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2089 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2090 7 : break;
2091 217 : case t_ELL_Fq:
2092 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2093 : {
2094 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2095 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2096 28 : return gerepileupto(av, F);
2097 : }
2098 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2099 56 : break;
2100 973 : case t_ELL_Q:
2101 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2102 966 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2103 630 : break;
2104 :
2105 525 : case t_ELL_NF:
2106 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2107 511 : d = nftoalg(nf, d);
2108 511 : break;
2109 :
2110 14 : case t_ELL_Qp:
2111 14 : p = ellQp_get_p(E);
2112 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2113 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2114 14 : d = Qp_sqrt(D);
2115 14 : break;
2116 :
2117 7 : default:
2118 7 : d = gsqrt(D,prec);
2119 : }
2120 1232 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2121 1232 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2122 1232 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2123 1232 : return gerepileupto(av,y);
2124 : }
2125 :
2126 : GEN
2127 3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2128 : {
2129 3010 : checkell(e);
2130 3010 : if (is_matvec_t(typ(x)))
2131 : {
2132 : long i, lx;
2133 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
2134 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
2135 0 : return v;
2136 : }
2137 3010 : return ellordinate_i(e, x, prec);
2138 : }
2139 :
2140 : GEN
2141 245847 : ellrandom(GEN E)
2142 : {
2143 : GEN fg;
2144 245847 : checkell_Fq(E);
2145 245847 : fg = ellff_get_field(E);
2146 245847 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2147 245819 : return FF_ellrandom(E);
2148 : else
2149 : {
2150 28 : pari_sp av = avma;
2151 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2152 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2153 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2154 28 : return gerepileupto(av, P);
2155 : }
2156 : }
2157 :
2158 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2159 : static GEN
2160 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2161 : {
2162 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2163 : long ln, vn;
2164 :
2165 14 : if (typ(N) != t_INT)
2166 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2167 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2168 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2169 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2170 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2171 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2172 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2173 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2174 : do
2175 : {
2176 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2177 : do
2178 : {
2179 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2180 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2181 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2182 : }
2183 28 : while (valser(z2) <= 0);
2184 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2185 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2186 21 : if (!signe(z2)) break;
2187 7 : z2 = ginv(z2);
2188 : }
2189 7 : while (degpol(p1) < vn);
2190 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2191 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2192 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2193 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2194 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2195 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2196 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2197 :
2198 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2199 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2200 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2201 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2202 :
2203 14 : x = gdiv(p1,q1);
2204 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2205 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2206 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2207 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2208 : }
2209 :
2210 : static GEN
2211 1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2212 : static GEN
2213 385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2214 :
2215 : static GEN
2216 250278 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2217 : {
2218 250278 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2219 250278 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2220 249186 : return FF_ellmul(E, P, n);
2221 : else
2222 : {
2223 1092 : pari_sp av = avma;
2224 1092 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2225 1092 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2226 1092 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2227 1036 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2228 1036 : return gerepileupto(av, Q);
2229 : }
2230 : }
2231 : /* [n] z, n integral */
2232 : static GEN
2233 251286 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2234 : {
2235 : long s;
2236 251286 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2237 251286 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2238 1008 : s = signe(n);
2239 1008 : if (!s) return ellinf();
2240 959 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2241 959 : if (is_pm1(n)) return z;
2242 721 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2243 : }
2244 :
2245 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2246 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2247 : static long
2248 42 : myroundr(GEN *px)
2249 : {
2250 42 : GEN x = *px;
2251 : long e;
2252 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2253 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2254 42 : if (e >= -5) return NO;
2255 42 : return OK;
2256 : }
2257 :
2258 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2259 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2260 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2261 : static GEN
2262 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2263 : {
2264 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2265 : long prec;
2266 :
2267 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2268 14 : switch(typ(Q))
2269 : {
2270 0 : case t_COMPLEX:
2271 0 : D = utoineg(4);
2272 0 : v = gel(Q,2);
2273 0 : break;
2274 14 : case t_QUAD:
2275 14 : D = quad_disc(Q);
2276 14 : v = gel(Q,3);
2277 14 : break;
2278 0 : default:
2279 0 : return NULL; /*-Wall*/
2280 : }
2281 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2282 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2283 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2284 14 : prec = precision(tau);
2285 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2286 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2287 : * Compute f*k */
2288 14 : x = gel(tau,1);
2289 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2290 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2291 14 : switch(myroundr(&fk))
2292 : {
2293 0 : case NO: return NULL;
2294 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2295 : }
2296 14 : fk = absi_shallow(fk);
2297 :
2298 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2299 14 : switch(myroundr(&fkb))
2300 : {
2301 0 : case NO: return NULL;
2302 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2303 : }
2304 :
2305 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2306 14 : switch(myroundr(&fkc))
2307 : {
2308 0 : case NO: return NULL;
2309 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2310 : }
2311 :
2312 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2313 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2314 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2315 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2316 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2317 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2318 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2319 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2320 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2321 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2322 : }
2323 :
2324 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2325 : static GEN
2326 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2327 : {
2328 : GEN A, B, q;
2329 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2330 14 : q = CM_factor(e, w);
2331 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2332 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2333 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2334 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2335 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2336 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2337 7 : GEN u = gtrace(w);
2338 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2339 7 : u = shifti(u, -1);
2340 7 : if (signe(u))
2341 : {
2342 0 : w = gsub(w, u);
2343 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2344 : }
2345 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2346 : }
2347 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2348 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2349 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2350 14 : return elladd(e, A, B);
2351 : }
2352 : GEN
2353 251405 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2354 : {
2355 251405 : pari_sp av = avma;
2356 :
2357 251405 : checkell(e);
2358 251398 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
2359 251398 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2360 251286 : switch(typ(n))
2361 : {
2362 251272 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2363 14 : case t_QUAD: {
2364 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2365 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2366 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2367 : }
2368 0 : case t_COMPLEX: {
2369 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2370 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2371 : }
2372 : }
2373 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2374 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2375 : }
2376 :
2377 : /********************************************************************/
2378 : /** **/
2379 : /** Periods **/
2380 : /** **/
2381 : /********************************************************************/
2382 :
2383 : /* References:
2384 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2385 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2386 : */
2387 :
2388 : static GEN
2389 52199 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2390 : {
2391 52199 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2392 52199 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2393 52199 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2394 : }
2395 :
2396 : static GEN
2397 42619 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2398 : {
2399 42619 : pari_sp av = avma;
2400 42619 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
2401 42619 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2402 42619 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2403 42619 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2404 : }
2405 :
2406 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2407 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2408 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2409 : static GEN
2410 52199 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2411 : {
2412 52199 : pari_sp av = avma;
2413 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2414 52199 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2415 9580 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
2416 9580 : d2 = gel(roots,5);
2417 9580 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2418 9580 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2419 9580 : b = gel(z,2);
2420 9580 : c = gabs(z, prec);
2421 9580 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2422 9580 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2423 : }
2424 : static GEN
2425 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2426 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
2427 :
2428 : GEN
2429 92491 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2430 92491 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2431 : GEN
2432 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2433 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2434 : GEN
2435 222881 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2436 222881 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2437 :
2438 : GEN
2439 11816 : ellR_area(GEN E, long prec)
2440 : {
2441 11816 : pari_sp av = avma;
2442 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2443 11816 : w = ellR_omega(E, prec);
2444 11816 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2445 11816 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2446 11816 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2447 : }
2448 :
2449 : /********************************************************************/
2450 : /** **/
2451 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2452 : /** **/
2453 : /********************************************************************/
2454 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2455 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2456 : static GEN
2457 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2458 : {
2459 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2460 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2461 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2462 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2463 14 : GEN z = gel(om,2);
2464 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2465 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2466 : else
2467 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2468 14 : return gmul2n(z, -1);
2469 : }
2470 :
2471 : static GEN
2472 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2473 : {
2474 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2475 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2476 28735 : if (gequal0(y0))
2477 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2478 : else
2479 : {
2480 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2481 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2482 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2483 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2484 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2485 : /* |a+b| < |a-b| */
2486 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2487 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2488 : }
2489 : }
2490 :
2491 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2492 : static GEN
2493 7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2494 : {
2495 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2496 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2497 : else
2498 : {
2499 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2500 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2501 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2502 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2503 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2504 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2505 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2506 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2507 : }
2508 : }
2509 :
2510 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2511 : static GEN
2512 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2513 : {
2514 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2515 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2516 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2517 14 : e1 = gel(R,1);
2518 14 : e2 = gel(R,2);
2519 14 : e3 = gel(R,3);
2520 14 : d2 = gel(R,5);
2521 14 : d3 = gel(R,6);
2522 14 : a = gsqrt(d2,prec);
2523 14 : b = gsqrt(d3,prec);
2524 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2525 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2526 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2527 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2528 : } else {
2529 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2530 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2531 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2532 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2533 : }
2534 : }
2535 :
2536 : static void
2537 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2538 : {
2539 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2540 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2541 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2542 0 : }
2543 : static GEN
2544 189 : get_r0(GEN E, long prec)
2545 : {
2546 189 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2547 189 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2548 : }
2549 : static GEN
2550 140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2551 : {
2552 140 : pari_sp av = avma;
2553 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2554 : long vq, vt, Q, R;
2555 140 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2556 133 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2557 133 : u = ellQp_u(E, prec);
2558 133 : q = ellQp_q(E, prec);
2559 133 : x = gel(P,1);
2560 133 : r0 = get_r0(E, prec);
2561 133 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2562 133 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
2563 14 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2564 119 : r = gsub(a,b);
2565 119 : ar = gmul(a, r);
2566 119 : if (gequal0(c0))
2567 : {
2568 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2569 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2570 : }
2571 : else
2572 : {
2573 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2574 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2575 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2576 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2577 : }
2578 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
2579 112 : if (gequal0(y1))
2580 : {
2581 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
2582 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
2583 : }
2584 : else
2585 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
2586 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2587 :
2588 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2589 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2590 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2591 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
2592 56 : vt = valp(t);
2593 : else
2594 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2595 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
2596 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2597 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2598 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2599 98 : return gerepileupto(av, t);
2600 : }
2601 :
2602 : static GEN
2603 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2604 : {
2605 56 : pari_sp av = avma;
2606 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2607 : long v;
2608 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2609 :
2610 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2611 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2612 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2613 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2614 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2615 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2616 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2617 :
2618 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2619 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2620 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2621 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2622 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2623 : }
2624 :
2625 : static GEN
2626 28770 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2627 : {
2628 : GEN t;
2629 : long s;
2630 28770 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2631 28770 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2632 28770 : s = ellR_get_sign(e);
2633 28770 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2634 35 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2635 : else
2636 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
2637 28763 : return t;
2638 : }
2639 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2640 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2641 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2642 : GEN
2643 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2644 : {
2645 28903 : pari_sp av = avma;
2646 28903 : checkell(E);
2647 28903 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
2648 28903 : switch(ell_get_type(E))
2649 : {
2650 140 : case t_ELL_Qp:
2651 140 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2652 140 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2653 7 : case t_ELL_NF:
2654 : {
2655 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2656 7 : long i, l = lg(Pe);
2657 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2658 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2659 : }
2660 21 : case t_ELL_Q: break;
2661 28735 : case t_ELL_Rg: break;
2662 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2663 : }
2664 28756 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2665 : }
2666 :
2667 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2668 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2669 : typedef struct {
2670 : enum period_type type;
2671 : GEN in; /* original input */
2672 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2673 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2674 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2675 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2676 : GEN x,y; /* t_INT */
2677 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2678 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2679 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2680 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2681 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2682 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2683 : long prec; /* precision(Z) */
2684 : long prec0; /* required precision for result */
2685 : } ellred_t;
2686 :
2687 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2688 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2689 : static void
2690 110796 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2691 : {
2692 110796 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2693 110796 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2694 110796 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2695 110796 : t = t0;
2696 110796 : a = d = gen_1;
2697 110796 : b = c = gen_0;
2698 : for(;;)
2699 37338 : {
2700 148134 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2701 148134 : if (signe(n))
2702 : { /* apply T^n */
2703 47565 : t = gsub(t,n);
2704 47565 : a = subii(a, mulii(n,c));
2705 47565 : b = subii(b, mulii(n,d));
2706 : }
2707 148134 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2708 37338 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2709 37338 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2710 37338 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2711 : }
2712 110796 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
2713 110796 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2714 110796 : }
2715 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2716 : * Set *pU to U. */
2717 : GEN
2718 37863 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2719 : {
2720 : GEN a,b,c,d;
2721 37863 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2722 37863 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2723 37863 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2724 37863 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2725 : }
2726 : GEN
2727 37828 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2728 : {
2729 37828 : pari_sp av = avma;
2730 : GEN czd;
2731 37828 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2732 37828 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
2733 : }
2734 :
2735 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2736 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2737 : static void
2738 72933 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2739 : {
2740 : long s, p;
2741 72933 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2742 72933 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2743 72933 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2744 72933 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2745 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2746 72933 : T->swap = (s < 0);
2747 72933 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2748 72933 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2749 72933 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2750 : /* update lattice */
2751 72933 : p = precision(T->tau);
2752 72933 : if (p)
2753 : {
2754 72555 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2755 72555 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2756 : }
2757 72933 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2758 72933 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2759 72933 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2760 72933 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2761 72933 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2762 72933 : }
2763 : /* is z real or pure imaginary ? */
2764 : static void
2765 82432 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2766 : {
2767 82432 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2768 69573 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2769 62706 : else *real = *imag = 0;
2770 82432 : }
2771 : static void
2772 39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2773 : {
2774 : GEN x, Z;
2775 : long p, e;
2776 39557 : switch(typ(z))
2777 : {
2778 39557 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2779 0 : case t_QUAD:
2780 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2781 0 : break;
2782 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2783 : }
2784 39557 : Z = gdiv(z, T->W2);
2785 39557 : T->z = z;
2786 39557 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
2787 39557 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
2788 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
2789 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
2790 : * at the end */
2791 39557 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
2792 39557 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2793 39557 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
2794 39557 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2795 39557 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2796 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2797 39557 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2798 39557 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2799 : {
2800 : int W2real, W2imag;
2801 31346 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2802 31346 : if (W2real)
2803 4711 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2804 26635 : else if (W2imag)
2805 6748 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2806 : }
2807 39557 : p = precision(Z);
2808 39557 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
2809 39557 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2810 39557 : T->Z = Z;
2811 39557 : }
2812 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2813 : static GEN
2814 37618 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2815 : {
2816 37618 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2817 37618 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2818 37618 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2819 37618 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2820 14108 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2821 : }
2822 : /* e is either
2823 : * - [w1,w2]
2824 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2825 : * - an ellinit structure */
2826 : static void
2827 72933 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2828 : {
2829 : GEN w, e;
2830 72933 : T->q_is_real = 0;
2831 72933 : T->some_q_is_real = 0;
2832 72933 : switch(T->type)
2833 : {
2834 30688 : case t_PER_ELL:
2835 : {
2836 30688 : long pr, p = prec;
2837 30688 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2838 30688 : e = T->in;
2839 30688 : w = ellR_omega(e, p);
2840 30688 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2841 30688 : break;
2842 : }
2843 13363 : case t_PER_W:
2844 13363 : w = T->in; break;
2845 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
2846 28882 : w = gel(T->in,1); break;
2847 : }
2848 72933 : T->w1 = gel(w,1);
2849 72933 : T->w2 = gel(w,2);
2850 72933 : red_modSL2(T, prec);
2851 72933 : if (z) reduce_z(z, T);
2852 72933 : }
2853 : static int
2854 72940 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2855 : {
2856 : GEN w1;
2857 72940 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2858 72940 : T->in = e;
2859 72940 : switch(lg(e))
2860 : {
2861 30695 : case 17:
2862 30695 : T->type = t_PER_ELL;
2863 30695 : break;
2864 42245 : case 3:
2865 42245 : w1 = gel(e,1);
2866 42245 : if (typ(w1) != t_VEC)
2867 13363 : T->type = t_PER_W;
2868 : else
2869 : {
2870 28882 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2871 28882 : T->type = t_PER_WETA;
2872 : }
2873 42245 : break;
2874 0 : default: return 0;
2875 : }
2876 72940 : return 1;
2877 : }
2878 : static int
2879 72856 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2880 : {
2881 72856 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2882 72856 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2883 : }
2884 :
2885 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2886 : static GEN
2887 139314 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2888 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2889 : static GEN
2890 70994 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2891 : {
2892 70994 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2893 70994 : return cxtoreal(z);
2894 : }
2895 :
2896 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2897 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2898 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2899 : GEN
2900 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2901 : {
2902 4459 : pari_sp av = avma;
2903 : GEN y;
2904 : ellred_t T;
2905 :
2906 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2907 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2908 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2909 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2910 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2911 4025 : {
2912 4025 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2913 4025 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2914 : }
2915 434 : else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y, 12);
2916 406 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2917 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2918 : }
2919 :
2920 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2921 : static GEN
2922 66353 : _elleta(ellred_t *T)
2923 : {
2924 66353 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2925 66353 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2926 66353 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2927 66353 : retmkvec2(y1, y2);
2928 : }
2929 :
2930 : /* compute eta1, eta2 */
2931 : GEN
2932 84 : elleta(GEN om, long prec)
2933 : {
2934 84 : pari_sp av = avma;
2935 : GEN y1, y2, E2, pi;
2936 : ellred_t T;
2937 :
2938 84 : if (!check_periods(om, &T))
2939 : {
2940 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
2941 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2942 : }
2943 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2944 :
2945 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2946 77 : prec = T.prec;
2947 77 : pi = mppi(prec);
2948 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2949 77 : if (signe(T.c))
2950 : {
2951 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2952 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2953 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2954 : }
2955 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2956 77 : if (T.swap)
2957 : {
2958 7 : y1 = y2;
2959 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2960 : }
2961 : else
2962 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2963 77 : switch(typ(T.w1))
2964 : {
2965 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2966 49 : y1 = real_i(y1);
2967 : }
2968 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2969 : }
2970 : GEN
2971 28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2972 : {
2973 28749 : pari_sp av = avma;
2974 : ellred_t T;
2975 28749 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2976 28749 : switch(flag)
2977 : {
2978 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2979 28735 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2980 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2981 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2982 : }
2983 : }
2984 :
2985 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2986 : static double
2987 39431 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2988 :
2989 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2990 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2991 : static GEN
2992 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2993 : {
2994 : long toadd;
2995 1911 : pari_sp av = avma, av1;
2996 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2997 : ellred_t T;
2998 : int simple_case;
2999 :
3000 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
3001 1911 : if (!T.Z) return NULL;
3002 1890 : prec = T.prec;
3003 :
3004 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
3005 1890 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3006 1890 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3007 1890 : u1 = gsubsg(1,u);
3008 1890 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
3009 1890 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
3010 1890 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
3011 1890 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
3012 1890 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3013 1890 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
3014 1890 : yp = flall? gen_0: NULL;
3015 1890 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3016 :
3017 1890 : av1 = avma; qn = q;
3018 : for(;;)
3019 24448 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
3020 : /* analogous formula for yp */
3021 26338 : GEN yadd, ypadd = NULL;
3022 26338 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
3023 26338 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
3024 26338 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
3025 26338 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
3026 26338 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
3027 415 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
3028 : else
3029 : {
3030 25923 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
3031 25923 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
3032 25923 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
3033 25923 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3034 : }
3035 26338 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3036 26338 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3037 26338 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3038 :
3039 26338 : qn = gmul(q,qn);
3040 26338 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3041 24448 : if (gc_needed(av1,1))
3042 : {
3043 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3044 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3045 : }
3046 : }
3047 1890 : if (yp)
3048 : {
3049 1827 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
3050 1827 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3051 : }
3052 :
3053 1890 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
3054 1890 : u2 = gsqr(u1);
3055 1890 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3056 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3057 1029 : y = real_i(y);
3058 1890 : if (yp)
3059 : {
3060 1827 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3061 1827 : if (T.some_q_is_real)
3062 : {
3063 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3064 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3065 : }
3066 1827 : y = mkvec2(y, yp);
3067 : }
3068 1890 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3069 : }
3070 : static GEN
3071 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3072 : {
3073 : long i, k, l;
3074 : pari_sp av;
3075 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3076 :
3077 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
3078 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3079 :
3080 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3081 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
3082 301 : switch(PRECDL)
3083 : {
3084 301 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
3085 301 : case 6:
3086 301 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
3087 301 : case 4:
3088 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
3089 301 : case 2:
3090 301 : case 1: P[0] = _1;
3091 : }
3092 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
3093 301 : av = avma;
3094 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
3095 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3096 : {
3097 784 : av = avma;
3098 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3099 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3100 784 : t = gmul2n(t, 1);
3101 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3102 784 : if (k % 3 == 2)
3103 273 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3104 : else /* same value, more efficient */
3105 511 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3106 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3107 : }
3108 301 : return res;
3109 : }
3110 :
3111 : static int
3112 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3113 : {
3114 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3115 : {
3116 203 : case 17:
3117 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
3118 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
3119 203 : return 1;
3120 91 : case 3:
3121 : {
3122 : ellred_t T;
3123 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3124 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3125 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3126 91 : return 1;
3127 : }
3128 : }
3129 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3130 0 : return 0;
3131 : }
3132 :
3133 : GEN
3134 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3135 : {
3136 : GEN c4, c6;
3137 14 : checkell(e);
3138 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3139 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3140 : }
3141 :
3142 : GEN
3143 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3144 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3145 :
3146 : GEN
3147 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3148 : {
3149 182 : pari_sp av = avma;
3150 : GEN y;
3151 :
3152 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3153 182 : if (!z) z = pol_x(0);
3154 182 : y = toser_i(z);
3155 182 : if (y)
3156 : {
3157 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3158 : GEN P, Q, c4,c6;
3159 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3160 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3161 105 : if (gequal0(y)) {
3162 0 : set_avma(av);
3163 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3164 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3165 : }
3166 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3167 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3168 105 : if (!flag)
3169 105 : return gerepileupto(av, Q);
3170 : else
3171 : {
3172 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3173 0 : return gerepilecopy(av, R);
3174 : }
3175 : }
3176 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3177 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3178 70 : return gerepileupto(av, y);
3179 : }
3180 :
3181 : GEN
3182 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3183 : {
3184 : long prec;
3185 161 : pari_sp av = avma;
3186 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
3187 : ellred_t T;
3188 :
3189 161 : if (!z) z = pol_x(0);
3190 161 : y = toser_i(z);
3191 161 : if (y)
3192 : {
3193 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3194 : GEN P, Q, c4,c6;
3195 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3196 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3197 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3198 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3199 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3200 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3201 91 : return gerepileupto(av, Q);
3202 : }
3203 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3204 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3205 70 : prec = T.prec;
3206 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3207 :
3208 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3209 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3210 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3211 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
3212 : { /* else u = -1 and this vanishes */
3213 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3214 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
3215 : pari_sp av1;
3216 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3217 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3218 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3219 70 : y = gadd(y, v);
3220 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
3221 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
3222 70 : av1 = avma;
3223 70 : for (qn = q;;)
3224 : {
3225 863 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
3226 863 : qn = gmul(q,qn);
3227 863 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3228 793 : if (gc_needed(av1,1))
3229 : {
3230 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3231 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
3232 : }
3233 : }
3234 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3235 : }
3236 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3237 70 : if (T.some_q_is_real)
3238 : {
3239 70 : if (T.some_z_is_real)
3240 : {
3241 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
3242 : }
3243 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3244 : {
3245 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
3246 21 : gel(y,1) = gen_0;
3247 : }
3248 : }
3249 70 : if (et) y = gadd(y, et);
3250 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3251 : }
3252 :
3253 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3254 : GEN
3255 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3256 : {
3257 : long toadd, prec, n;
3258 37674 : pari_sp av = avma, av1;
3259 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3260 : ellred_t T;
3261 :
3262 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3263 :
3264 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
3265 37674 : y = toser_i(z);
3266 37674 : if (y)
3267 : {
3268 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3269 : GEN P, Q, c4,c6;
3270 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3271 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3272 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3273 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3274 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3275 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3276 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3277 91 : P = integser(serchop0(P));
3278 91 : P = gexp(P, prec0);
3279 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
3280 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3281 91 : return gerepileupto(av, Q);
3282 : }
3283 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3284 37576 : if (!T.Z)
3285 : {
3286 7 : if (!flag) return gen_0;
3287 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3288 : }
3289 37569 : prec = T.prec;
3290 37569 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3291 37569 : pi = mppi(prec);
3292 :
3293 37569 : urninv = uinv = NULL;
3294 37569 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3295 : {
3296 98 : toadd = 0;
3297 98 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3298 98 : u = gen_1;
3299 : }
3300 : else
3301 : {
3302 37471 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3303 37471 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3304 37471 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3305 37471 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3306 : }
3307 37569 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3308 37569 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3309 37569 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3310 239006 : for(n=0;;n++)
3311 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3312 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3313 239006 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3314 239006 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3315 239006 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
3316 201437 : qn = gmul(q,qn);
3317 201437 : urn = gmul(urn,u);
3318 201437 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3319 201437 : if (gc_needed(av1,1))
3320 : {
3321 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3322 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3323 : }
3324 : }
3325 37569 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3326 37569 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3327 :
3328 37569 : et = _elleta(&T);
3329 37569 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3330 37569 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3331 37569 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3332 37569 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3333 37569 : if (flag)
3334 : {
3335 37499 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3336 37499 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3337 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3338 37499 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3339 273 : y = real_i(y);
3340 : }
3341 : else
3342 : {
3343 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3344 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3345 70 : if (T.some_q_is_real)
3346 : {
3347 : int re, cx;
3348 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3349 70 : if (re) y = real_i(y);
3350 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3351 : }
3352 : }
3353 37569 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3354 : }
3355 :
3356 : GEN
3357 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3358 : {
3359 1890 : pari_sp av = avma;
3360 : GEN v;
3361 :
3362 1890 : checkell(e);
3363 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3364 : {
3365 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3366 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3367 : }
3368 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3369 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3370 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
3371 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3372 1820 : return gerepilecopy(av, v);
3373 : }
3374 :
3375 : /********************************************************************/
3376 : /** **/
3377 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3378 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3379 : /** **/
3380 : /********************************************************************/
3381 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3382 : typedef struct {
3383 : long a1; /*{0,1}*/
3384 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3385 : long a3; /*{0,1}*/
3386 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3387 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3388 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3389 : } ellmin_t;
3390 :
3391 : /* u from [u,r,s,t] */
3392 : static void
3393 566139 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3394 : {
3395 566139 : M->u = u;
3396 566139 : if (is_pm1(u))
3397 470533 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3398 : else
3399 : {
3400 95606 : M->u2 = sqri(u);
3401 95606 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3402 95606 : M->u4 = sqri(M->u2);
3403 95606 : M->u6 = sqri(M->u3);
3404 : }
3405 566139 : }
3406 : /* E = original curve */
3407 : static void
3408 566139 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3409 : {
3410 566139 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3411 566139 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3412 95606 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3413 95606 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3414 : }
3415 566139 : M->c4 = c4;
3416 566139 : M->c6 = c6;
3417 566139 : }
3418 : static void
3419 565831 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3420 : {
3421 565831 : GEN D = ell_get_disc(E);
3422 565831 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3423 565831 : M->D = D;
3424 565831 : }
3425 : static void
3426 565992 : min_set_b(ellmin_t *M)
3427 : {
3428 : long b22, b2;
3429 565992 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3430 565992 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3431 565992 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3432 565992 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3433 565992 : }
3434 : static void
3435 565852 : min_set_a(ellmin_t *M)
3436 : {
3437 565852 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3438 565852 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3439 565852 : if (odd(b2))
3440 : {
3441 286503 : a1 = 1;
3442 286503 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3443 : }
3444 : else
3445 : {
3446 279349 : a1 = 0;
3447 279349 : a2 = b2 >> 2;
3448 : }
3449 565852 : M->a1 = a1;
3450 565852 : M->a2 = a2;
3451 565852 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3452 565852 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3453 565852 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3454 565852 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3455 565852 : }
3456 : static void
3457 565817 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3458 : {
3459 565817 : min_set_u(M, u);
3460 565817 : min_set_c(M, E);
3461 565817 : min_set_D(M, E);
3462 565817 : min_set_b(M);
3463 565817 : min_set_a(M);
3464 565817 : }
3465 : static GEN
3466 552734 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3467 : {
3468 552734 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3469 : long a11, a13;
3470 552734 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3471 552734 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3472 552734 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3473 552734 : gel(y,4) = M->a4;
3474 552734 : gel(y,5) = M->a6;
3475 552734 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3476 552734 : gel(y,7) = M->b4;
3477 552734 : gel(y,8) = M->b6;
3478 552734 : a11 = M->a1;
3479 552734 : a13 = M->a1 & M->a3;
3480 552734 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3481 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3482 552734 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3483 552734 : gel(y,10)= M->c4;
3484 552734 : gel(y,11)= M->c6;
3485 552734 : gel(y,12)= M->D;
3486 552734 : gel(y,13)= gel(E,13);
3487 552734 : gel(y,14)= gel(E,14);
3488 552734 : gel(y,15)= gel(E,15);
3489 552734 : return y;
3490 : }
3491 : static GEN
3492 565817 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3493 : {
3494 : GEN r, s, t;
3495 565817 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3496 565817 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3497 565817 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3498 565817 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3499 : }
3500 :
3501 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3502 : static long
3503 1702543 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3504 : {
3505 1702543 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3506 1702543 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3507 1702543 : if (!signe(c6))
3508 : {
3509 3045 : d = vD / 12;
3510 3045 : if (d)
3511 : {
3512 1127 : if (p == 2)
3513 : {
3514 875 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3515 875 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3516 875 : if (a) d--;
3517 : }
3518 1127 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3519 : }
3520 3045 : v6 = 12; /* +oo */
3521 : }
3522 : else
3523 : {
3524 1699498 : v6 = Z_lval(c6,p);
3525 1699498 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3526 1699498 : if (d) {
3527 181286 : if (p == 2) {
3528 109858 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3529 109858 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3530 109858 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3531 109858 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3532 71428 : } else if (p == 3) {
3533 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3534 : }
3535 181286 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3536 : }
3537 : }
3538 1702543 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3539 : }
3540 : static long
3541 881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3542 : {
3543 : GEN c6;
3544 : long d, v6, vD;
3545 881468 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3546 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3547 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3548 39 : if (!signe(c6))
3549 : {
3550 0 : d = vD / 12;
3551 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3552 0 : v6 = 12; /* +oo */
3553 : }
3554 : else
3555 : {
3556 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3557 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3558 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3559 : }
3560 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3561 : }
3562 :
3563 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3564 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3565 : in the form [f, kod, v, c].
3566 :
3567 : * The integer f is the conductor's exponent.
3568 :
3569 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3570 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3571 : I0 --> 1
3572 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3573 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3574 :
3575 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3576 :
3577 : * c is the Tamagawa number.
3578 :
3579 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3580 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3581 : static GEN
3582 1899226 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3583 : {
3584 1899226 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3585 1899226 : gel(z,1) = stoi(f);
3586 1899226 : gel(z,2) = stoi(kod);
3587 1899226 : gel(z,3) = gcopy(v);
3588 1899226 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3589 : }
3590 : static GEN
3591 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3592 : {
3593 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3594 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3595 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3596 : }
3597 :
3598 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3599 : static long
3600 884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3601 :
3602 : /* p > 3, e integral */
3603 : static GEN
3604 881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
3605 : {
3606 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3607 881468 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3608 :
3609 881468 : c4 = ell_get_c4(e);
3610 881468 : c6 = ell_get_c6(e);
3611 881468 : nuj = j_pval(e, p);
3612 881468 : nuD = Z_pval(D, p);
3613 881468 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3614 881468 : if (!k) v = init_ch();
3615 : else
3616 : { /* model not minimal */
3617 : ellmin_t M;
3618 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3619 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3620 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3621 : }
3622 :
3623 881468 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3624 : {
3625 763021 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3626 763021 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3627 : {
3628 393218 : case 1: c = nuD; break;
3629 369803 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3630 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3631 : }
3632 763021 : break;
3633 45829 : case 6:
3634 : {
3635 45829 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3636 45829 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3637 45829 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3638 45829 : break;
3639 : }
3640 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3641 : }
3642 72618 : else switch(nuD)
3643 : {
3644 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3645 11718 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3646 10346 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3647 5663 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3648 5663 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3649 5663 : break;
3650 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3651 16856 : p2 = sqri(p);
3652 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3653 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3654 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3655 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3656 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3657 16856 : break;
3658 11641 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3659 11641 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3660 11641 : break;
3661 10241 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3662 5614 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3663 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3664 : }
3665 881468 : return localred_result(f, kod, c, v);
3666 : }
3667 :
3668 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3669 : static ulong
3670 891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3671 891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3672 :
3673 : static ulong
3674 1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3675 1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3676 :
3677 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3678 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3679 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3680 : static long
3681 245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3682 : {
3683 245056 : if (p == 2)
3684 : {
3685 141554 : if (odd(c + a * b)) return 3;
3686 122766 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
3687 : }
3688 : /* p = 3 */
3689 103502 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
3690 69286 : *mult = a * b;
3691 69286 : if (b == 2)
3692 23065 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3693 : else
3694 46221 : return c ? 3 : 2;
3695 : }
3696 :
3697 : /* same for aX^2 +bX + c */
3698 : static long
3699 790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3700 : {
3701 790440 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
3702 : /* p = 3 */
3703 302113 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3704 : }
3705 :
3706 : /* p = 2 or 3 */
3707 : static GEN
3708 706853 : localred_23(GEN e, long p)
3709 : {
3710 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3711 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3712 : GEN v;
3713 :
3714 706853 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3715 706853 : if (!k) v = init_ch();
3716 : else
3717 : {
3718 : ellmin_t M;
3719 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3720 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3721 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3722 : }
3723 : /* model is minimal */
3724 706853 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3725 706853 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3726 705362 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3727 322833 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3728 :
3729 705362 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3730 : {
3731 387590 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3732 196819 : c = nuD;
3733 : else
3734 190771 : c = odd(nuD)? 1: 2;
3735 387590 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3736 : }
3737 317772 : if (p == 2)
3738 : {
3739 186494 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3740 186494 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3741 186494 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3742 186494 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3743 : }
3744 : else /* p == 3 */
3745 : {
3746 131278 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3747 131278 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3748 131278 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3749 131278 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3750 : }
3751 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3752 317772 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3753 317772 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3754 22351 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3755 295421 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3756 27748 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3757 267673 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3758 : {
3759 22617 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3760 11578 : c = 3;
3761 : else
3762 11039 : c = 1;
3763 22617 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3764 : }
3765 :
3766 245056 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3767 91511 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3768 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3769 245056 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3770 245056 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3771 245056 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3772 245056 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3773 : {
3774 36078 : case 3:
3775 36078 : c = a63 ? 1: 2;
3776 36078 : if (p == 2)
3777 18788 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3778 : else {
3779 17290 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3780 17290 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3781 : }
3782 36078 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3783 130711 : case 2:
3784 : { /* compute nu */
3785 : GEN pk, pk1, p2k;
3786 : long al, be, ga;
3787 130711 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3788 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3789 130711 : nu = 1;
3790 130711 : pk = utoipos(p2);
3791 130711 : p2k = utoipos(p4);
3792 : for(;;)
3793 : {
3794 388402 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3795 388402 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3796 388402 : al = 1;
3797 388402 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3798 323771 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3799 323771 : pk1 = pk;
3800 323771 : pk = mului(p, pk);
3801 323771 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3802 :
3803 323771 : al = a21;
3804 323771 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3805 323771 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3806 323771 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3807 257691 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3808 257691 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3809 : }
3810 130711 : if (p == 2)
3811 72387 : c = odd(ga)? 2: 4;
3812 : else
3813 58324 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3814 130711 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3815 : }
3816 78267 : case 1:
3817 78267 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3818 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3819 78267 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3820 78267 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3821 78267 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3822 : {
3823 29925 : if (p == 2)
3824 20447 : c = 3 - 2 * a64;
3825 : else
3826 9478 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3827 29925 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3828 : }
3829 48342 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3830 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3831 48342 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3832 29078 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3833 :
3834 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3835 19264 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3836 : }
3837 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3838 : }
3839 :
3840 : /* e is integral */
3841 : static GEN
3842 1587901 : localred(GEN e, GEN p)
3843 : {
3844 1587901 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3845 881468 : return localred_p(e,p);
3846 : else
3847 : {
3848 706433 : long l = itos(p);
3849 706433 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3850 706433 : return localred_23(e, l);
3851 : }
3852 : }
3853 :
3854 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3855 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3856 : static GEN
3857 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3858 : {
3859 140616 : GEN b = z;
3860 : long i;
3861 140616 : if (typ(b) == t_INT)
3862 : {
3863 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3864 140525 : return shifti(negi(b),-1);
3865 : }
3866 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3867 : {
3868 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3869 : }
3870 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3871 : }
3872 :
3873 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3874 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3875 : static GEN
3876 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3877 : {
3878 70308 : GEN b = z;
3879 : long i;
3880 70308 : if (typ(b) == t_INT)
3881 : {
3882 70259 : long s = smodis(b,3);
3883 70259 : if (s)
3884 : {
3885 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3886 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3887 0 : b = subii(b, Jz);
3888 : else
3889 0 : b = addii(b, Jz);
3890 : }
3891 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3892 : }
3893 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3894 : {
3895 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3896 98 : if (!s) continue;
3897 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3898 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3899 : else
3900 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3901 : }
3902 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3903 : }
3904 :
3905 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3906 : static GEN
3907 157913 : get_piinv(GEN P)
3908 : {
3909 157913 : GEN z = pr_get_tau(P);
3910 157913 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3911 157913 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3912 : }
3913 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3914 : static void
3915 310905 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3916 : {
3917 310905 : if (pr_is_inert(P))
3918 : {
3919 153034 : *pi = pr_get_p(P);
3920 153034 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3921 : }
3922 : else
3923 : {
3924 157871 : *pv = get_piinv(P);
3925 157871 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3926 : }
3927 310905 : }
3928 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3929 : static GEN
3930 579397 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3931 : {
3932 579397 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3933 579397 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3934 579397 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3935 : }
3936 :
3937 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3938 : static GEN
3939 1069803 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3940 : {
3941 1069803 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3942 1069803 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3943 1069803 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3944 : }
3945 :
3946 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3947 :
3948 : static GEN
3949 592746 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3950 : {
3951 592746 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3952 592746 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3953 592746 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3954 592746 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3955 : }
3956 :
3957 : static GEN
3958 1626562 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3959 : {
3960 1626562 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3961 1626562 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3962 1626562 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3963 1626562 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3964 1626562 : return Fq_to_nf(r, modP);
3965 : }
3966 :
3967 : static GEN
3968 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3969 : {
3970 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3971 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3972 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3973 27524 : long n = 1;
3974 : while(1)
3975 83881 : {
3976 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3977 : GEN gama;
3978 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3979 : {
3980 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3981 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3982 : }
3983 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3984 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3985 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3986 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3987 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3988 : {
3989 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3990 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3991 : }
3992 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3993 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3994 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3995 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3996 : }
3997 : }
3998 :
3999 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
4000 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
4001 :
4002 : static GEN
4003 181783 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
4004 : {
4005 : GEN T, p, modP;
4006 : long vD;
4007 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
4008 181783 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4009 181783 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
4010 181783 : ch = init_ch();
4011 181783 : vD = nfval(nf,D,P);
4012 181783 : *ap = 0;
4013 : while(1)
4014 : {
4015 625317 : if (vD==0)
4016 31493 : return localred_result(0,1,1,ch);
4017 : else
4018 : {
4019 593824 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4020 593824 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4021 593824 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
4022 593824 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
4023 593824 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
4024 : GEN x0, y0;
4025 593824 : if (absequaliu(p,2))
4026 : {
4027 : GEN x02, y02;
4028 385133 : if (signe(a1))
4029 : {
4030 43589 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
4031 43589 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
4032 43589 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
4033 : }
4034 : else
4035 : {
4036 341544 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4037 341544 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4038 : }
4039 385133 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4040 : }
4041 : else
4042 : {
4043 208691 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4044 208691 : if (signe(a12))
4045 39620 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4046 : else
4047 169071 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4048 208691 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4049 : }
4050 593824 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
4051 593824 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
4052 593824 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
4053 : }
4054 : /* 2 */
4055 : {
4056 593824 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4057 593824 : if (signe(b2) != 0)
4058 : {
4059 83209 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4060 83209 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4061 83209 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4062 41804 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4063 : }
4064 : }
4065 : /* 3 */
4066 : {
4067 510615 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4068 510615 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4069 : }
4070 : /* 4 */
4071 : {
4072 506716 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4073 506716 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4074 : }
4075 : /* 5 */
4076 499583 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
4077 : {
4078 499583 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4079 499583 : if (vb6<=2)
4080 : {
4081 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4082 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4083 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4084 : }
4085 : }
4086 : /* 6 */
4087 : {
4088 496188 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
4089 496188 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
4090 496188 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4091 : GEN po2, E, F, mr;
4092 : long i, lE;
4093 496188 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
4094 496188 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4095 496188 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
4096 : {
4097 123999 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4098 123999 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4099 123999 : lE = lg(E);
4100 123999 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4101 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4102 : long c; /* 1 + number of roots */
4103 9849 : switch(lE)
4104 : {
4105 2534 : case 2: c = 1; break;
4106 6643 : case 3: c = 2; break;
4107 672 : default: c = 4; break;
4108 : }
4109 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4110 : }
4111 : /* 7 */
4112 114150 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4113 114150 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4114 114150 : if (!gequal0(mr))
4115 : { /* not so frequent */
4116 102873 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4117 102873 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
4118 : }
4119 114150 : if (lE == 3)
4120 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4121 : }
4122 : }
4123 458815 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
4124 458815 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4125 : /* 8 */
4126 458815 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4127 : {
4128 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4129 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4130 : }
4131 : /* 9 */
4132 : {
4133 453747 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
4134 453747 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
4135 453747 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4136 7658 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4137 : }
4138 : /* 10 */
4139 446089 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4140 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4141 : /* 11 */
4142 443534 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
4143 443534 : vD -= 12;
4144 : }
4145 : }
4146 :
4147 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4148 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4149 : static GEN
4150 129122 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4151 : {
4152 129122 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4153 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4154 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4155 :
4156 129122 : c4 = ell_get_c4(e);
4157 129122 : c6 = ell_get_c6(e);
4158 129122 : D = ell_get_disc(e);
4159 129122 : vD = nfval(nf,D,P);
4160 129122 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4161 129122 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4162 129122 : m = (vD - nuj)/12;
4163 129122 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4164 :
4165 129122 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4166 : else
4167 : { /* model not minimal */
4168 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4169 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4170 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4171 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4172 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4173 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4174 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4175 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4176 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4177 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4178 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4179 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4180 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4181 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4182 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4183 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4184 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4185 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4186 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4187 : }
4188 :
4189 129122 : kod = 1; c = 1;
4190 : /* minimal at P */
4191 129122 : if (nuj > 0)
4192 : { /* v(j) < 0 */
4193 80423 : if (vD == nuj)
4194 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4195 73150 : f = 1; kod = 4+vD;
4196 73150 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4197 73150 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4198 45367 : c = vD;/* split */
4199 : else
4200 27783 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
4201 : }
4202 : else
4203 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4204 : GEN Du;
4205 7273 : f = 2; kod = 2-vD;
4206 7273 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4207 7273 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4208 7273 : if(odd(vD))
4209 : {
4210 : GEN c6u;
4211 4172 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4212 4172 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4213 4172 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4214 : }
4215 7273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4216 : }
4217 : }
4218 : else
4219 : { /* v(j) >= 0 */
4220 48699 : f = vD? 2: 0;
4221 48699 : switch(vD)
4222 : {
4223 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4224 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
4225 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4226 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4227 1141 : case 4: kod = 4;
4228 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4229 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4230 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4231 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4232 1141 : break;
4233 2632 : case 6: kod = -1;
4234 2632 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4235 2632 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4236 2632 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4237 2632 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4238 2632 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4239 2632 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4240 2632 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4241 2632 : break;
4242 1526 : case 8: kod = -4;
4243 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4244 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4245 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4246 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4247 1526 : break;
4248 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4249 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4250 : }
4251 : }
4252 129122 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4253 : }
4254 : /* E is integral */
4255 : static GEN
4256 261758 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4257 : {
4258 261758 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
4259 : long i;
4260 261758 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4261 : {
4262 : long ap, vu;
4263 132636 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
4264 132636 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
4265 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4266 132636 : vu = nfval(nf, u, pr);
4267 132636 : if (vu > 0)
4268 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4269 119371 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4270 119371 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4271 119371 : if (!equali1(D))
4272 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4273 : GEN a;
4274 567 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4275 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4276 567 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4277 567 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4278 567 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4279 567 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4280 : }
4281 : }
4282 : } else
4283 129122 : q = nflocalred_p(E,pr);
4284 261758 : v = gel(q,3);
4285 1308790 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4286 261758 : return q;
4287 : }
4288 :
4289 : static GEN
4290 3113053 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4291 : {
4292 3113053 : GEN q, E = *pE;
4293 : long tE;
4294 3113053 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4295 3113036 : if (pv) *pv = NULL;
4296 3113036 : if (p) switch(typ(p))
4297 : {
4298 2642237 : case t_INT:
4299 2642237 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4300 2642237 : break;
4301 205772 : case t_VEC:
4302 205772 : q = get_prid(p);
4303 205772 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4304 : {
4305 205772 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4306 205772 : return q;
4307 : }
4308 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4309 : }
4310 2907257 : switch(tE)
4311 : {
4312 385328 : case t_ELL_Fp:
4313 385328 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4314 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4315 2521655 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4316 : default:
4317 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4318 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4319 : }
4320 2907243 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4321 2907208 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4322 2521880 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4323 2907214 : return q;
4324 : }
4325 :
4326 : GEN
4327 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4328 : {
4329 197085 : pari_sp av = avma;
4330 : GEN v, q;
4331 197085 : checkell(E);
4332 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4333 197071 : switch(ell_get_type(E))
4334 : {
4335 99477 : case t_ELL_Qp:
4336 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4337 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4338 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4339 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4340 : }
4341 197071 : if (v)
4342 : { /* compose local change of variables with v */
4343 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4344 28 : if (is_trivial_change(w, NULL))
4345 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4346 : else
4347 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4348 : }
4349 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4350 : }
4351 :
4352 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4353 : static GEN
4354 41216 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4355 : {
4356 41216 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4357 41216 : return c;
4358 : }
4359 : static GEN
4360 16515441 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4361 : {
4362 16515441 : *pd = NULL;
4363 16515441 : switch(typ(c))
4364 : {
4365 16442914 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4366 31311 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4367 41216 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4368 41216 : if (nf)
4369 : {
4370 41216 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4371 41216 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4372 : }
4373 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4374 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4375 : }
4376 : }
4377 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4378 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4379 : GEN
4380 3303171 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4381 : {
4382 : GEN a, t, u, L, nf;
4383 : long i, l, k;
4384 :
4385 3303171 : if (pv) *pv = NULL;
4386 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4387 3303171 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4388 3303160 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4389 19818600 : for (i = 1; i < 6; i++)
4390 : {
4391 : GEN d;
4392 16515427 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4393 16515442 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4394 32333 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4395 : }
4396 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4397 3303173 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4398 16448 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
4399 16450 : l = lg(L);
4400 :
4401 16450 : t = gen_1;
4402 39641 : for (k = 1; k < l; k++)
4403 : {
4404 23191 : GEN p = gel(L,k);
4405 23191 : long n = 0, m;
4406 139146 : for (i = 1; i < 6; i++)
4407 115955 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4408 : {
4409 47467 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4410 47467 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4411 71204 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4412 : }
4413 23191 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4414 : }
4415 16450 : u = ginv(t);
4416 16450 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4417 16450 : return coordch_uinv(e, t);
4418 : }
4419 : GEN
4420 2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4421 : {
4422 2478 : pari_sp av = avma;
4423 2478 : checkell(e);
4424 2478 : switch(ell_get_type(e))
4425 : {
4426 2478 : case t_ELL_Q:
4427 : case t_ELL_Qp:
4428 2478 : case t_ELL_NF: break;
4429 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4430 : }
4431 2478 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4432 2478 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
4433 2457 : e = gerepilecopy(av, e);
4434 2457 : if (pv) *pv = init_ch();
4435 2457 : return e;
4436 : }
4437 :
4438 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4439 : GEN
4440 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4441 : {
4442 0 : pari_sp av = avma;
4443 : GEN f, a1, a3;
4444 :
4445 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4446 0 : a1 = ell_get_a1(f);
4447 0 : a3 = ell_get_a3(f);
4448 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4449 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4450 : else
4451 : {
4452 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4453 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4454 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4455 : }
4456 0 : if (f != e) ell_reset(f);
4457 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4458 : }
4459 :
4460 : static long
4461 5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4462 : {
4463 5159 : long N = 1; /* oo */
4464 5159 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4465 3990 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4466 5159 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4467 3969 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4468 5159 : return N;
4469 : }
4470 : static long
4471 6335 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4472 : {
4473 6335 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4474 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4475 6335 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4476 : }
4477 : static long
4478 5138 : cardmod2(GEN e)
4479 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4480 5138 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4481 5138 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4482 5138 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4483 5138 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4484 5138 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4485 5138 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4486 : }
4487 : static long
4488 6195 : cardmod3(GEN e)
4489 : {
4490 6195 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4491 6195 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4492 6195 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4493 6195 : return F3_card(b2,b4,b6);
4494 : }
4495 :
4496 : static ulong
4497 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4498 :
4499 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4500 : static void
4501 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4502 : {
4503 35 : min_set_u(M, int2n(d));
4504 35 : min_set_c(M, E);
4505 35 : min_set_b(M);
4506 35 : min_set_a(M);
4507 35 : }
4508 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4509 : static void
4510 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4511 : {
4512 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4513 140 : min_set_c(M, E);
4514 140 : min_set_b(M);
4515 140 : }
4516 :
4517 : static long
4518 111167 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4519 : {
4520 111167 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4521 111167 : if (vD) /* bad reduction */
4522 : {
4523 : GEN c6;
4524 : long s;
4525 110859 : *good_red = 0;
4526 110859 : if (vc6) return 0;
4527 81473 : c6 = ell_get_c6(E);
4528 81473 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4529 81473 : s = kroiu(c6,p);
4530 81473 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4531 81473 : return s;
4532 : }
4533 308 : *good_red = 1;
4534 308 : if (p == 2)
4535 : {
4536 : ellmin_t M;
4537 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4538 21 : min_set_2(&M, E, d);
4539 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4540 : }
4541 287 : else if (p == 3)
4542 : {
4543 : ellmin_t M;
4544 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4545 140 : min_set_3(&M, E, d);
4546 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4547 : }
4548 : else
4549 : {
4550 : ellmin_t M;
4551 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4552 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4553 147 : min_set_c(&M, E);
4554 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4555 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4556 : }
4557 : }
4558 :
4559 : static GEN
4560 98567 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4561 : {
4562 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4563 : long vc6, vD, d;
4564 98567 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4565 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4566 0 : D = ell_get_disc(E);
4567 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4568 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4569 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4570 0 : if (vD) /* bad reduction */
4571 : {
4572 : long s;
4573 0 : *good_red = 0;
4574 0 : if (vc6) return gen_0;
4575 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4576 0 : s = kronecker(c6,p);
4577 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4578 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4579 : }
4580 0 : *good_red = 1;
4581 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4582 0 : if (d)
4583 : {
4584 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4585 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4586 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4587 : }
4588 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4589 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4590 : }
4591 :
4592 : static GEN
4593 223425 : doellcard(GEN E)
4594 : {
4595 223425 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4596 223425 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4597 102920 : return FF_ellcard(E);
4598 : else
4599 : {
4600 120505 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4601 120505 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4602 : }
4603 : }
4604 :
4605 : static GEN
4606 191763 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4607 : {
4608 191763 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4609 191761 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4610 191765 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4611 : {
4612 : long ap;
4613 49147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4614 49147 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4615 49147 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4616 476 : *good_red = 1;
4617 476 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4618 476 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4619 476 : card = FF_ellcard(E);
4620 : }
4621 : else
4622 : {
4623 142618 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4624 142616 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4625 142578 : if (vD)
4626 : {
4627 : GEN c6new;
4628 49175 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4629 49175 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4630 49175 : if (vD > 12*d)
4631 : { /* bad reduction */
4632 49133 : *good_red = 0;
4633 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4634 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4635 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4636 : }
4637 42 : if (d)
4638 : { /* model not minimal at P */
4639 42 : GEN piinv = get_piinv(P);
4640 42 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4641 42 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4642 42 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4643 42 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4644 42 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4645 : }
4646 : }
4647 93445 : *good_red = 1;
4648 93445 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4649 93447 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4650 93450 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4651 93441 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4652 93441 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4653 : }
4654 93917 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4655 : }
4656 :
4657 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4658 : * basis */
4659 : static GEN
4660 533561 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4661 : {
4662 : GEN P;
4663 533561 : if (!signe(a))
4664 2569 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4665 530992 : else if (!signe(b))
4666 1526 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4667 : else
4668 : {
4669 529466 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4670 : long k, l;
4671 529466 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4672 412664 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4673 412664 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4674 : /* d = gcd(A,B) */
4675 412664 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4676 412664 : l = lg(P);
4677 979328 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4678 412664 : P = shallowconcat1(P);
4679 412664 : ZV_sort_inplace(P);
4680 : }
4681 416759 : settyp(P, t_VEC); return P;
4682 : }
4683 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4684 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4685 : static GEN
4686 503958 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4687 : {
4688 : pari_sp av;
4689 503958 : GEN D = ell_get_disc(E);
4690 503958 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4691 503958 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4692 : long l, k;
4693 :
4694 503958 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4695 503958 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4696 391363 : DP = coltrunc_init(l);
4697 391363 : av = avma;
4698 391363 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4699 391363 : u = gen_1;
4700 998221 : for (k = 1; k < l; k++)
4701 : {
4702 606858 : GEN p = gel(P, k);
4703 606858 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4704 606858 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4705 : {
4706 89397 : case 2:
4707 : {
4708 : long a, b;
4709 89397 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4710 89397 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4711 89397 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4712 89397 : break;
4713 : }
4714 29022 : case 3:
4715 29022 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4716 29022 : break;
4717 : }
4718 606858 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4719 606858 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4720 : }
4721 391363 : if (pDP) *pDP = DP;
4722 391363 : return gerepileuptoint(av, u);
4723 : }
4724 :
4725 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4726 : static GEN
4727 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4728 : {
4729 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4730 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4731 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4732 :
4733 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
4734 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4735 42 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4736 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4737 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4738 42 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4739 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4740 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4741 42 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4742 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4743 : }
4744 :
4745 : static GEN
4746 60144 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4747 : {
4748 60144 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4749 60144 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4750 : }
4751 : static GEN
4752 29603 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4753 : {
4754 29603 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4755 29603 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4756 29603 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4757 29603 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4758 : }
4759 : static GEN
4760 938 : ellnf_D_primes(GEN E)
4761 : {
4762 938 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4763 938 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4764 938 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4765 938 : long k, l = lg(P);
4766 2478 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4767 938 : if (!is_pm1(DZ))
4768 : {
4769 770 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4770 770 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
4771 : }
4772 938 : return P;
4773 : }
4774 :
4775 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4776 : static GEN
4777 29512 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4778 : {
4779 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4780 29512 : long k, l = lg(P);
4781 29512 : Lr = vectrunc_init(l);
4782 29512 : Ls = vectrunc_init(l);
4783 29512 : Lt = vectrunc_init(l);
4784 29512 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4785 29512 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4786 107429 : for (k = 1; k < l; k++)
4787 : {
4788 77917 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4789 : long vu;
4790 77917 : v = gel(q,3);
4791 77917 : u = gel(v,1);
4792 77917 : vu = nfval(nf, u, pr);
4793 77917 : if (!vu) continue;
4794 64225 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4795 64225 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4796 64225 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4797 64225 : vectrunc_append(L, pr);
4798 64225 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4799 : }
4800 29512 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4801 : }
4802 : /* E integral */
4803 : static GEN
4804 58618 : ellminimalprimes(GEN E)
4805 : {
4806 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4807 : long j, k, l;
4808 :
4809 58618 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4810 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
4811 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4812 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4813 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4814 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4815 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4816 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4817 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4818 : {
4819 74403 : GEN pr = gel(P, k);
4820 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4821 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4822 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4823 74319 : gel(P,j++) = pr;
4824 : }
4825 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4826 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4827 : }
4828 : static GEN
4829 29680 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4830 : {
4831 29680 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4832 : long i, l;
4833 29680 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4834 29680 : S = ellminimalprimes(E);
4835 29680 : L = gel(S,1);
4836 29680 : U = gel(S,2);
4837 29680 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4838 29680 : P = cgetg_copy(L, &l);
4839 94227 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4840 29680 : P = factorback2(P, U);
4841 29680 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4842 29680 : return P;
4843 : }
4844 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
4845 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
4846 : static GEN
4847 63 : bnf_get_v(GEN E)
4848 : {
4849 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4850 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4851 :
4852 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4853 63 : S = ellminimalprimes(E);
4854 63 : L = gel(S,1);
4855 63 : U = gel(S,2);
4856 63 : Lr = gel(S,3);
4857 63 : Ls = gel(S,4);
4858 63 : Lt = gel(S,5);
4859 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4860 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4861 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4862 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4863 42 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4864 42 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4865 42 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4866 42 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4867 42 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4868 : }
4869 :
4870 : GEN
4871 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4872 : {
4873 70 : pari_sp av = avma;
4874 70 : checkell(E);
4875 70 : switch(ell_get_type(E))
4876 : {
4877 7 : case t_ELL_Q:
4878 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4879 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4880 63 : case t_ELL_NF:
4881 : {
4882 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4883 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4884 63 : S = ellminimalprimes(E);
4885 63 : L = gel(S,1);
4886 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4887 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4888 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4889 : }
4890 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4891 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4892 : }
4893 : }
4894 :
4895 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4896 : * ellminimalmodel(E) */
4897 : static GEN
4898 507570 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4899 : {
4900 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4901 : ellmin_t M;
4902 507570 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4903 : {
4904 3626 : if (lg(S) != 2)
4905 : {
4906 70 : E = gel(S,3);
4907 70 : v = gel(S,2);
4908 : }
4909 : else
4910 3556 : v = init_ch();
4911 3626 : if (ptv) *ptv = v;
4912 3626 : if (pS) *pS = S;
4913 3626 : return gcopy(E);
4914 : }
4915 503944 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4916 503944 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4917 503944 : min_set_all(&M, e, u);
4918 503944 : v = min_get_v(&M, e);
4919 503944 : y = min_to_ell(&M, e);
4920 503944 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4921 503944 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4922 : {
4923 470281 : v = init_ch();
4924 470281 : S = mkvec(DP);
4925 : }
4926 : else
4927 33663 : S = mkvec3(DP, v, y);
4928 503944 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4929 503944 : if (pS) *pS = S;
4930 503944 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4931 : }
4932 :
4933 : static GEN
4934 21399 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4935 : {
4936 21399 : pari_sp av = avma;
4937 21399 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4938 21399 : if (!is_trivial_change(v, NULL)) ch_Q(y, E, v);
4939 21399 : DP = gel(S,1);
4940 21399 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4941 21399 : if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
4942 1050 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4943 : }
4944 :
4945 : static GEN
4946 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4947 : {
4948 : GEN S, y, v, v2;
4949 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4950 : {
4951 0 : switch(lg(S))
4952 : {
4953 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4954 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4955 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4956 : }
4957 0 : *ptv = v;
4958 0 : return gcopy(E);
4959 : }
4960 63 : *ptv = NULL;
4961 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4962 63 : v2 = bnf_get_v(y);
4963 63 : if (typ(v2) == t_COL)
4964 : {
4965 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4966 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4967 : }
4968 42 : y = coordch(y, v2);
4969 42 : gcomposev(&v, v2);
4970 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4971 42 : y = coordch(y, v2);
4972 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4973 42 : y = obj_reinit(y);
4974 42 : gcomposev(&v, v2);
4975 42 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4976 : {
4977 7 : v = init_ch();
4978 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4979 : }
4980 : else
4981 : {
4982 35 : v = lift_if_rational(v);
4983 35 : S = mkvec2(v, y);
4984 : }
4985 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4986 42 : *ptv = v; return y;
4987 : }
4988 : static GEN
4989 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4990 : {
4991 63 : pari_sp av = avma;
4992 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4993 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4994 63 : if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
4995 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4996 : }
4997 : GEN
4998 21469 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4999 : {
5000 21469 : checkell(E);
5001 21469 : switch(ell_get_type(E))
5002 : {
5003 21399 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
5004 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
5005 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
5006 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5007 : }
5008 : }
5009 :
5010 : /* return a model minimal among b models */
5011 : GEN
5012 966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
5013 : {
5014 966 : pari_sp av = avma;
5015 : GEN f, a1, a3;
5016 :
5017 966 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
5018 966 : a1 = ell_get_a1(f);
5019 966 : a3 = ell_get_a3(f);
5020 966 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
5021 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
5022 : else
5023 : {
5024 630 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
5025 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
5026 630 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
5027 : }
5028 966 : if (f != e) ell_reset(f);
5029 966 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
5030 : }
5031 :
5032 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
5033 : * update type-dependant components.
5034 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5035 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5036 : * N = arithmetic conductor of E
5037 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5038 : * fa = factorization of N
5039 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5040 : static GEN
5041 456708 : ellQ_globalred(GEN e)
5042 : {
5043 : long k, l, iN;
5044 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5045 :
5046 456708 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
5047 456708 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5048 456708 : D = ell_get_disc(E);
5049 866733 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5050 456708 : if (!is_pm1(D))
5051 : {
5052 438774 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
5053 438774 : ZV_sort_inplace(P);
5054 : }
5055 456708 : l = lg(P); c = gen_1;
5056 456708 : iN = 1;
5057 456708 : NP = cgetg(l, t_COL);
5058 456708 : NE = cgetg(l, t_COL);
5059 456708 : L = cgetg(l, t_VEC);
5060 1945118 : for (k = 1; k < l; k++)
5061 : {
5062 1488410 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5063 1488410 : if (!signe(ex)) continue;
5064 1488410 : gel(NP, iN) = p;
5065 1488410 : gel(NE, iN) = ex;
5066 1488410 : gel(L, iN) = q; iN++;
5067 1488410 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5068 1488410 : c = mulii(c, gel(q,4));
5069 : }
5070 456708 : setlg(L, iN);
5071 456708 : setlg(NP, iN);
5072 456708 : setlg(NE, iN);
5073 456708 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5074 : }
5075 : static GEN
5076 469728 : ellglobalred_i(GEN E)
5077 469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5078 :
5079 : static GEN
5080 938 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
5081 : {
5082 : GEN c, L, NP, NE;
5083 938 : long j, k, l = lg(P);
5084 938 : c = gen_1;
5085 938 : NP = cgetg(l, t_COL);
5086 938 : NE = cgetg(l, t_COL);
5087 938 : L = cgetg(l, t_VEC);
5088 4774 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5089 : {
5090 3836 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
5091 3836 : ex = gel(q,1);
5092 3836 : if (!signe(ex)) continue;
5093 3605 : gel(NP, j) = p;
5094 3605 : gel(NE, j) = ex;
5095 3605 : gel(L, j) = q; j++;
5096 3605 : c = mulii(c, gel(q,4));
5097 : }
5098 938 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
5099 938 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5100 : }
5101 :
5102 : static GEN
5103 938 : ellnfglobalred(GEN E0)
5104 : {
5105 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
5106 : long j, k, l;
5107 :
5108 938 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5109 938 : if (!v) v = init_ch();
5110 938 : nf = ellnf_get_nf(E);
5111 938 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5112 938 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
5113 938 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5114 938 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5115 7322 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5116 : {
5117 6384 : GEN p = gel(P,k);
5118 6384 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
5119 3836 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
5120 3836 : gel(P,j++) = p;
5121 : }
5122 938 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5123 938 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
5124 847 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5125 938 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
5126 : }
5127 :
5128 : GEN
5129 454181 : ellglobalred(GEN E)
5130 : {
5131 454181 : pari_sp av = avma;
5132 : GEN S, gr, v;
5133 454181 : checkell(E);
5134 454181 : switch(ell_get_type(E))
5135 : {
5136 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5137 452949 : case t_ELL_Q:
5138 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
5139 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5140 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5141 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5142 452949 : break;
5143 1232 : case t_ELL_NF:
5144 1232 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5145 1232 : break;
5146 : }
5147 454181 : return gerepilecopy(av, v);
5148 : }
5149 :
5150 : static GEN doellrootno(GEN e);
5151 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5152 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5153 : * and E (shallow insert) */
5154 : GEN
5155 4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5156 : {
5157 4543 : GEN E, S, v = NULL;
5158 4543 : checkell_Q(e);
5159 4543 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5160 : {
5161 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
5162 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5163 : }
5164 4137 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5165 4123 : E = e;
5166 : else
5167 : {
5168 14 : v = gel(S,2);
5169 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5170 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5171 : }
5172 4543 : if (ch) *ch = v;
5173 4543 : S = ellglobalred_i(e);
5174 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5175 4543 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5176 4543 : if (!S)
5177 : {
5178 3248 : S = doellrootno(E);
5179 3248 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5180 : }
5181 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5182 4543 : return E;
5183 : }
5184 :
5185 : static long
5186 9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
5187 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
5188 : * d'une courbe elliptique" */
5189 : GEN
5190 19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
5191 : {
5192 19747 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
5193 19747 : if (s == 1)
5194 10164 : w = gel(w,1);
5195 9583 : else if (nb_real_components(E) == 2)
5196 5334 : w = gneg(gel(w,2));
5197 : else
5198 4249 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
5199 19747 : return w;
5200 : }
5201 :
5202 : static GEN
5203 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5204 : {
5205 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5206 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
5207 : }
5208 :
5209 : static GEN
5210 840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5211 : {
5212 840 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5213 840 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5214 : long r1, r2;
5215 840 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5216 840 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5217 : }
5218 :
5219 : GEN
5220 49 : elltamagawa(GEN E)
5221 : {
5222 49 : pari_sp av = avma;
5223 : GEN v;
5224 49 : checkell(E);
5225 49 : switch(ell_get_type(E))
5226 : {
5227 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5228 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5229 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5230 : }
5231 49 : return gerepileuptoint(av, v);
5232 : }
5233 :
5234 : static GEN
5235 58618 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
5236 : {
5237 58618 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
5238 58618 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
5239 46235 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
5240 29309 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
5241 : }
5242 : /* true nf, use nf prec */
5243 : static GEN
5244 206633 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
5245 : {
5246 : long r1, r2;
5247 : GEN cx;
5248 206633 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
5249 206633 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
5250 206633 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
5251 3108 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
5252 3108 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
5253 3108 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
5254 3108 : return x;
5255 : }
5256 : static long
5257 58618 : nfembed_extraprec(GEN x)
5258 58618 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
5259 : static GEN
5260 29799 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5261 : {
5262 29799 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
5263 : long prec0, r1, r2, n, i;
5264 :
5265 29799 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
5266 29799 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
5267 29799 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
5268 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
5269 29799 : prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
5270 29799 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5271 29799 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
5272 : for(;;)
5273 : {
5274 29799 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5275 178794 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5276 91000 : for (i=1; i<=n; i++)
5277 : {
5278 : GEN Ei, r;
5279 : long j;
5280 367206 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5281 61201 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5282 61201 : if (!Ei) break;
5283 61201 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5284 61201 : if (!r) break;
5285 : }
5286 29799 : if (i > n) return L;
5287 0 : prec = precdbl(prec);
5288 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5289 : }
5290 : }
5291 :
5292 : static GEN
5293 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5294 : {
5295 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5296 : long i, l;
5297 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5298 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
5299 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5300 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5301 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5302 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5303 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5304 28819 : return L;
5305 : }
5306 :
5307 : static void
5308 987 : ellnfembed_free(GEN L)
5309 : {
5310 987 : long i, l = lg(L);
5311 4585 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5312 987 : }
5313 :
5314 : static GEN
5315 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5316 : {
5317 168 : pari_sp av = avma;
5318 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5319 168 : long i, l = lg(V);
5320 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5321 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5322 168 : ellnfembed_free(V);
5323 168 : return gerepilecopy(av, P);
5324 : }
5325 :
5326 : GEN
5327 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5328 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5329 :
5330 : GEN
5331 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5332 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5333 :
5334 : GEN
5335 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5336 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5337 :
5338 : static GEN
5339 812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5340 : {
5341 812 : pari_sp av = avma;
5342 812 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5343 812 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5344 4116 : for(i = 1; i < l; i++)
5345 : {
5346 3304 : GEN e = gel(Eb, i);
5347 3304 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5348 3304 : per = mulrr(per, pi);
5349 : }
5350 812 : ellnfembed_free(Eb);
5351 812 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5352 : }
5353 : static GEN
5354 812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5355 : {
5356 812 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5357 812 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5358 : }
5359 :
5360 : static GEN
5361 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5362 : {
5363 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5364 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5365 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5366 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5367 : }
5368 :
5369 : static GEN
5370 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5371 : {
5372 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5373 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5374 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5375 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5376 28 : if (lg(S) != 2)
5377 : { /* switch to minimal model if needed */
5378 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5379 21 : per = gmul(per,u);
5380 : }
5381 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5382 : }
5383 :
5384 : GEN
5385 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
5386 : {
5387 70 : pari_sp av = avma;
5388 : GEN v;
5389 70 : checkell(E);
5390 70 : switch(ell_get_type(E))
5391 : {
5392 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5393 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5394 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5395 : }
5396 70 : return gerepileupto(av, v);
5397 : }
5398 :
5399 : static GEN
5400 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
5401 : {
5402 33680 : if (ell_is_inf(P))
5403 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5404 : else
5405 : {
5406 33680 : pari_sp av = avma;
5407 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5408 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5409 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5410 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5411 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5412 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5413 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5414 33680 : return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
5415 : }
5416 : }
5417 :
5418 : static GEN
5419 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5420 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5421 :
5422 : static GEN
5423 15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5424 : {
5425 168279 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5426 : }
5427 :
5428 : static GEN
5429 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
5430 : {
5431 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
5432 : GEN B, Q;
5433 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
5434 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
5435 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
5436 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
5437 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
5438 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5439 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
5440 155 : *pQ = Q; return B;
5441 : }
5442 :
5443 : static GEN
5444 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
5445 : {
5446 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
5447 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
5448 : }
5449 :
5450 : static GEN
5451 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
5452 : {
5453 15732 : pari_sp av = avma;
5454 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5455 15732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5456 15732 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5457 : GEN a4a6, a, Hp;
5458 15732 : ulong d = 1;
5459 15732 : if (l != 1)
5460 : {
5461 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
5462 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
5463 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5464 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
5465 648 : if (!d) return NULL;
5466 : }
5467 15322 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5468 15322 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
5469 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5470 15322 : if (d != 1)
5471 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
5472 15322 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5473 15322 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5474 15322 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5475 : }
5476 :
5477 : static GEN
5478 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5479 : {
5480 8741 : pari_sp av = avma;
5481 8741 : long i, n = lg(P)-1;
5482 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5483 : GEN H, T, B, Q;
5484 8741 : if (n == 1)
5485 : {
5486 3284 : ulong p = uel(P,1);
5487 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
5488 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
5489 3260 : *mod = utoi(p);
5490 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
5491 : }
5492 5457 : T = ZV_producttree(P);
5493 5457 : A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
5494 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5495 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
5496 : {
5497 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
5498 12448 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
5499 : }
5500 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
5501 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
5502 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
5503 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
5504 : }
5505 :
5506 : GEN
5507 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
5508 : {
5509 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5510 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
5511 8741 : return V;
5512 : }
5513 :
5514 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
5515 : static long
5516 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
5517 : {
5518 4214 : long i, ei = 0;
5519 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
5520 14109 : if (signe(gel(v,i)))
5521 : {
5522 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
5523 2583 : ei = i;
5524 : }
5525 972 : return ei;
5526 : }
5527 :
5528 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
5529 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
5530 : * torsion */
5531 : static GEN
5532 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
5533 : {
5534 4228 : pari_sp av = avma;
5535 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
5536 : forprime_t S;
5537 4228 : ulong bound = 1;
5538 :
5539 4228 : if (l == 1)
5540 : {
5541 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
5542 4214 : if (i) return gel(A,i);
5543 : }
5544 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
5545 3256 : D = ell_get_disc(E);
5546 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5547 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
5548 3256 : if (l==1)
5549 3242 : init_modular_big(&S);
5550 : else
5551 14 : init_modular_small(&S);
5552 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5553 3564 : {
5554 : GEN amax, r;
5555 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5556 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5557 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5558 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5559 3826 : && oncurve_exact(E,r))
5560 : {
5561 : GEN g;
5562 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
5563 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
5564 3256 : return gerepileupto(av, r);
5565 : }
5566 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
5567 : }
5568 : }
5569 :
5570 : GEN
5571 833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
5572 : {
5573 833 : pari_sp av = avma;
5574 833 : long i, j, l = lg(G);
5575 833 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
5576 :
5577 833 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5578 : while(1)
5579 : {
5580 833 : L = lllgram(M);
5581 833 : if (L) break;
5582 0 : prec = precdbl(prec);
5583 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5584 : }
5585 833 : l = lg(L); /* can decrease */
5586 4914 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5587 : {
5588 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
5589 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
5590 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
5591 : }
5592 833 : setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
5593 : }
5594 :
5595 : static long
5596 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
5597 : {
5598 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
5599 42 : pari_sp av = avma;
5600 : long m;
5601 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
5602 : {
5603 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
5604 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
5605 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5606 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5607 2219 : if (o % l == 0)
5608 : {
5609 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5610 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5611 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
5612 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
5613 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
5614 280 : m++;
5615 : }
5616 : }
5617 28 : return 1;
5618 : }
5619 :
5620 : /* Assume l prime to 210 */
5621 : GEN
5622 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
5623 : {
5624 42 : pari_sp av = avma;
5625 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
5626 : forprime_t S, U;
5627 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5628 : ulong bound;
5629 :
5630 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
5631 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5632 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5633 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
5634 28 : init_modular_small(&S);
5635 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5636 62 : {
5637 : GEN amax, r;
5638 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5639 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5640 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5641 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5642 29 : && oncurve_exact(E,r))
5643 : {
5644 28 : settyp(r,t_VEC);
5645 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
5646 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5647 : }
5648 : }
5649 : }
5650 :
5651 : /********************************************************************/
5652 : /** **/
5653 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5654 : /** **/
5655 : /********************************************************************/
5656 : /* x a t_INT */
5657 : static long
5658 9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5659 : {
5660 : long v;
5661 : GEN z;
5662 9282 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5663 9058 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5664 9058 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5665 : }
5666 : static void
5667 3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5668 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5669 : {
5670 3094 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5671 3094 : pari_sp av = avma;
5672 3094 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5673 3094 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5674 3094 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5675 3094 : }
5676 :
5677 : static long
5678 3094 : kod_23(GEN e, long p)
5679 : {
5680 : GEN S, nv;
5681 3094 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5682 : {
5683 3073 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5684 3073 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5685 : }
5686 : else
5687 21 : nv = localred_23(e, p);
5688 3094 : return itos(gel(nv,2));
5689 : }
5690 :
5691 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5692 : static long
5693 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5694 : {
5695 1673 : if (kod > 4) return 1;
5696 784 : switch(kod)
5697 : {
5698 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5699 49 : case 2:
5700 49 : if (vD==4) return 1;
5701 : else
5702 : {
5703 7 : if (vD==7) return 3;
5704 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5705 : }
5706 112 : case 3:
5707 112 : switch(vD)
5708 : {
5709 70 : case 6: return 3;
5710 0 : case 8: return 4;
5711 14 : case 9: return 5;
5712 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5713 : }
5714 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5715 84 : case -1:
5716 84 : switch(vD)
5717 : {
5718 42 : case 9: return 2;
5719 0 : case 10: return 4;
5720 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5721 : }
5722 56 : case -2:
5723 56 : switch(vD)
5724 : {
5725 7 : case 12: return 2;
5726 0 : case 14: return 3;
5727 49 : default: return 1;
5728 : }
5729 56 : case -3:
5730 56 : switch(vD)
5731 : {
5732 0 : case 12: return 2;
5733 0 : case 14: return 3;
5734 0 : case 15: return 4;
5735 56 : default: return 1;
5736 : }
5737 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5738 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5739 42 : case -6:
5740 42 : switch(vD)
5741 : {
5742 14 : case 12: return 2;
5743 0 : case 13: return 3;
5744 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5745 : }
5746 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5747 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5748 : }
5749 : }
5750 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5751 : static long
5752 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5753 : {
5754 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5755 322 : switch(kod)
5756 : {
5757 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
5758 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
5759 91 : case -4: case 2:
5760 91 : switch (vD%6)
5761 : {
5762 0 : case 4: return 3;
5763 0 : case 5: return 4;
5764 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5765 : }
5766 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
5767 42 : switch (vD%6)
5768 : {
5769 0 : case 0: return 2;
5770 0 : case 1: return 3;
5771 42 : default: return 1;
5772 : }
5773 : }
5774 : }
5775 :
5776 : static long
5777 1673 : ellrootno_2(GEN e)
5778 : {
5779 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5780 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5781 :
5782 1673 : if (!vD) return 1;
5783 1673 : if (d) { /* not minimal */
5784 : ellmin_t M;
5785 14 : min_set_2(&M, e, d);
5786 14 : min_set_D(&M, e);
5787 14 : e = min_to_ell(&M, e);
5788 : }
5789 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5790 1673 : kod = kod_23(e,2);
5791 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5792 1673 : if (kod>=5)
5793 : {
5794 : long a2, a3;
5795 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5796 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5797 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5798 : }
5799 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5800 777 : x1 = u+v+v;
5801 777 : switch(kod)
5802 : {
5803 0 : case 1: return 1;
5804 49 : case 2:
5805 : switch(n2)
5806 : {
5807 42 : case 1:
5808 42 : switch(v4)
5809 : {
5810 14 : case 4: return kross(-1,u);
5811 14 : case 5: return 1;
5812 14 : default: return -1;
5813 : }
5814 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5815 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5816 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5817 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5818 : }
5819 : case 3:
5820 : switch(n2)
5821 : {
5822 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5823 21 : case 2: return -kross(2,v);
5824 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5825 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5826 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5827 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5828 : }
5829 : case -1:
5830 : switch(n2)
5831 : {
5832 42 : case 1: return -kross(2,x1);
5833 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5834 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5835 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5836 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5837 : }
5838 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5839 56 : case -3:
5840 : switch(n2)
5841 : {
5842 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5843 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5844 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5845 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5846 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5847 : }
5848 : case -5:
5849 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5850 7 : else return -kross(2,2*u+v);
5851 42 : case -6:
5852 : switch(n2)
5853 : {
5854 28 : case 1: return 1;
5855 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5856 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5857 : }
5858 : case -7:
5859 35 : if (n2==1) return 1;
5860 : else
5861 : {
5862 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5863 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5864 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5865 : }
5866 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5867 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5868 273 : default: return -1;
5869 : }
5870 : }
5871 :
5872 : static long
5873 1421 : ellrootno_3(GEN e)
5874 : {
5875 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5876 1421 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5877 :
5878 1421 : if (!vD) return 1;
5879 1421 : if (d) { /* not minimal */
5880 : ellmin_t M;
5881 0 : min_set_3(&M, e, d);
5882 0 : min_set_a(&M);
5883 0 : min_set_D(&M, e);
5884 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5885 : }
5886 1421 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5887 1421 : kod = kod_23(e,3);
5888 1421 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5889 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5890 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5891 595 : switch(kod)
5892 : {
5893 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5894 21 : case 2:
5895 : switch(n2)
5896 : {
5897 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5898 0 : case 2: return -K4*K6;
5899 0 : case 3: return 1;
5900 0 : case 4: return -K6;
5901 : }
5902 : case 4:
5903 : switch(n2)
5904 : {
5905 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5906 0 : case 2: return -K4;
5907 0 : case 3: return -K6;
5908 : }
5909 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5910 70 : case -4:
5911 : switch(n2)
5912 : {
5913 63 : case 1:
5914 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5915 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5916 7 : case 2: return -K6;
5917 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5918 0 : case 4: return K6;
5919 : }
5920 322 : default: return -1;
5921 : }
5922 : }
5923 :
5924 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5925 : static long
5926 3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5927 : {
5928 : long nuj, nuD, nu;
5929 3374 : GEN D = ell_get_disc(e);
5930 : long ep, z;
5931 :
5932 3374 : nuD = Q_pval(D, p);
5933 3374 : if (!nuD) return 1;
5934 3374 : nuj = j_pval(e, p);
5935 3374 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5936 3374 : if (nu == 0)
5937 : {
5938 : GEN c6;
5939 : long d, vg;
5940 2919 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5941 : /* p || N */
5942 2919 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5943 2919 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5944 2919 : d = vg / 12;
5945 2919 : if (d)
5946 : {
5947 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5948 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5949 : }
5950 2919 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5951 : /* c6 in minimal model */
5952 2919 : return -kronecker(negi(c6), p);
5953 : }
5954 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5955 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5956 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5957 301 : return krosi(-z, p);
5958 : }
5959 :
5960 : static GEN
5961 3262 : doellrootno(GEN e)
5962 : {
5963 3262 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5964 3262 : long i, l, s = -1;
5965 :
5966 3262 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5967 3262 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5968 3262 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5969 3262 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5970 9702 : for (i = 1; i < l; i++)
5971 : {
5972 6440 : GEN p = gel(P,i);
5973 : long t;
5974 6440 : switch(itou_or_0(p))
5975 : {
5976 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5977 1421 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5978 3367 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5979 : }
5980 6440 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5981 : }
5982 3262 : return mkvec2(stoi(s), V);
5983 : }
5984 :
5985 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5986 : * Global if p==1 or NULL. */
5987 : static long
5988 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5989 : {
5990 91 : pari_sp av = avma;
5991 : GEN S;
5992 : long s;
5993 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5994 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5995 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5996 : {
5997 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5998 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5999 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
6000 0 : return 1;
6001 : }
6002 28 : switch(itou_or_0(p))
6003 : {
6004 21 : case 2:
6005 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6006 21 : s = ellrootno_2(e); break;
6007 0 : case 3:
6008 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6009 0 : s = ellrootno_3(e); break;
6010 7 : default:
6011 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
6012 : }
6013 28 : return gc_long(av, s);
6014 : }
6015 :
6016 : /* global root number over number field
6017 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
6018 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
6019 : */
6020 :
6021 : static GEN
6022 343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
6023 : {
6024 : long i;
6025 343 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
6026 2058 : for(i=1; i<=5; i++)
6027 1715 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
6028 343 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
6029 : }
6030 :
6031 : static GEN
6032 273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
6033 : {
6034 273 : long v = fetch_var_higher();
6035 273 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
6036 273 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
6037 273 : delete_var();
6038 273 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
6039 : }
6040 :
6041 : static GEN
6042 231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
6043 : {
6044 231 : pari_sp av = avma;
6045 231 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6046 231 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
6047 231 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6048 231 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
6049 231 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
6050 231 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
6051 231 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
6052 : }
6053 :
6054 : static long
6055 273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
6056 273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
6057 :
6058 : static long
6059 161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
6060 : {
6061 161 : pari_sp av = avma;
6062 161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6063 161 : long prec = nf_get_prec(nf);
6064 161 : long v, var = fetch_var_higher();
6065 : GEN F;
6066 161 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
6067 161 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
6068 161 : if (lg(F)>1)
6069 : {
6070 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
6071 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6072 42 : obj_free(Et);
6073 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
6074 : } else
6075 : {
6076 119 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
6077 119 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
6078 119 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
6079 119 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
6080 119 : GEN F = nfroots(nf, D);
6081 119 : if (lg(F)>1)
6082 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
6083 : else
6084 : {
6085 112 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
6086 112 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
6087 112 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
6088 112 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
6089 112 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
6090 112 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6091 112 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6092 112 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
6093 112 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
6094 112 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
6095 112 : v = odd(v2+v3);
6096 : }
6097 : }
6098 161 : delete_var();
6099 161 : return gc_long(av, v? -1: 1);
6100 : }
6101 :
6102 : static GEN
6103 161 : doellnfrootno(GEN e)
6104 161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
6105 :
6106 : long
6107 4585 : ellrootno_global(GEN e)
6108 : {
6109 4585 : pari_sp av = avma;
6110 : GEN S;
6111 4585 : switch(ell_get_type(e))
6112 : {
6113 4270 : case t_ELL_Q:
6114 4270 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
6115 4270 : break;
6116 315 : case t_ELL_NF:
6117 315 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
6118 315 : break;
6119 0 : default:
6120 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6121 : }
6122 4585 : return gc_long(av, itos(S));
6123 : }
6124 :
6125 : long
6126 203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
6127 : {
6128 203 : checkell(e);
6129 203 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
6130 203 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
6131 203 : switch(ell_get_type(e))
6132 : {
6133 91 : case t_ELL_Q:
6134 91 : return ellQ_rootno(e, p);
6135 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
6136 112 : case t_ELL_NF:
6137 112 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
6138 112 : return ellrootno_global(e);
6139 : }
6140 : }
6141 :
6142 : /********************************************************************/
6143 : /** **/
6144 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
6145 : /** **/
6146 : /********************************************************************/
6147 :
6148 : /* assume p does not divide disc E */
6149 : long
6150 1135064 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
6151 : {
6152 : ulong a4, a6;
6153 1135064 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
6154 1131669 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
6155 1127091 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6156 1127091 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6157 : }
6158 :
6159 : static void
6160 693 : checkell_int(GEN e)
6161 : {
6162 693 : checkell_Q(e);
6163 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6164 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6165 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6166 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6167 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6168 693 : }
6169 :
6170 : long
6171 20382 : ellQ_get_CM(GEN e)
6172 : {
6173 20382 : GEN j = ell_get_j(e);
6174 20382 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
6175 1226 : if (is_bigint(j))
6176 : {
6177 : #ifndef LONG_IS_64BIT
6178 4 : if (signe(j) < 0)
6179 : {
6180 4 : pari_sp av = avma;
6181 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
6182 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
6183 : }
6184 : #endif
6185 0 : return 0;
6186 : }
6187 1222 : switch(signe(j))
6188 : {
6189 372 : default: return -3; /* j = 0 */
6190 567 : case 1:
6191 567 : switch(j[2])
6192 : {
6193 266 : case 1728: return -4;
6194 28 : case 8000: return -8;
6195 70 : case 54000: return -12;
6196 112 : case 287496: return -16;
6197 70 : case 16581375: return -28;
6198 21 : default: return 0;
6199 : }
6200 283 : case -1:
6201 283 : switch(j[2]) {
6202 84 : case 3375: return -7;
6203 28 : case 32768: return -11;
6204 14 : case 884736: return -19;
6205 77 : case 12288000: return -27;
6206 14 : case 884736000: return -43;
6207 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6208 12 : case 147197952000L: return -67;
6209 12 : case 262537412640768000L: return -163;
6210 : #endif
6211 42 : default: return 0;
6212 : }
6213 : }
6214 : }
6215 :
6216 : static long
6217 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
6218 : {
6219 56 : long av = avma;
6220 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
6221 56 : GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
6222 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
6223 : }
6224 :
6225 : long
6226 154 : elliscm(GEN E)
6227 : {
6228 154 : checkell(E);
6229 154 : switch(ell_get_type(E))
6230 : {
6231 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
6232 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
6233 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
6234 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6235 : }
6236 : }
6237 :
6238 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6239 : static GEN
6240 2422011 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6241 : {
6242 2422011 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6243 2421968 : if (!signe(D))
6244 : {
6245 97986 : pari_sp av = avma;
6246 97986 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6247 97986 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6248 : }
6249 2323982 : *good_red = 1;
6250 2323982 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6251 2322235 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6252 2320605 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6253 2320406 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6254 : }
6255 :
6256 :
6257 : /* bad reduction at p */
6258 : static void
6259 12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6260 : {
6261 : ulong m, N;
6262 12544 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6263 : {
6264 4424 : case -1: /* nonsplit */
6265 4424 : N = n/p;
6266 661801 : for (m=2; m<=N; m++)
6267 657377 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6268 4424 : break;
6269 3794 : case 0: /* additive */
6270 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6271 3794 : break;
6272 4326 : case 1: /* split */
6273 4326 : N = n/p;
6274 386358 : for (m=2; m<=N; m++)
6275 382032 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6276 4326 : break;
6277 : }
6278 12544 : }
6279 : /* good reduction at p */
6280 : static void
6281 1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6282 : {
6283 1069698 : const long ap = an[p];
6284 : ulong m;
6285 1069698 : if (p <= SQRTn) {
6286 32830 : ulong pk, oldpk = 1;
6287 128912 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6288 : {
6289 96082 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6290 12318425 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6291 12222343 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6292 : }
6293 : } else {
6294 6170052 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6295 5133184 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6296 : }
6297 1069698 : }
6298 : static void
6299 1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6300 : {
6301 1082242 : if (good_red)
6302 1069698 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6303 : else
6304 12544 : sievep_bad(p, an, n);
6305 1082242 : }
6306 :
6307 : static long
6308 1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6309 : {
6310 1082242 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
6311 12600 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6312 : else /* good reduction */
6313 : {
6314 1069642 : *good_red = 1;
6315 1069642 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6316 : }
6317 : }
6318 : GEN
6319 6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6320 : {
6321 : pari_sp av;
6322 6699 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6323 : GEN an;
6324 : int CM;
6325 :
6326 6699 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6327 6699 : if (n >= LGBITS)
6328 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6329 6699 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6330 6699 : SQRTn = usqrt(n);
6331 6699 : CM = ellQ_get_CM(e);
6332 :
6333 6699 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6334 6699 : an[1] = 1; av = avma;
6335 9823688 : for (p=2; p<=n; p++)
6336 : {
6337 : int good_red;
6338 9816989 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6339 1082242 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6340 1082242 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6341 : }
6342 6699 : set_avma(av); return an;
6343 : }
6344 :
6345 : static GEN
6346 56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
6347 : {
6348 : int good_red;
6349 56 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
6350 56 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
6351 56 : if (good_red)
6352 56 : return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
6353 0 : if (!signe(ap)) return pol_1(0);
6354 0 : return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
6355 : }
6356 :
6357 : static GEN
6358 329 : ellanQ(GEN e, long N)
6359 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6360 :
6361 : static GEN
6362 83772 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
6363 : {
6364 83772 : pari_sp av = avma;
6365 83772 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6366 83772 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
6367 83782 : long l = lg(LP), i;
6368 167545 : for (i = 1; i < l; i++)
6369 : {
6370 : int goodred;
6371 83766 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6372 83766 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6373 83732 : long f = pr_get_f(P);
6374 83731 : if (goodred)
6375 83549 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6376 : else
6377 : {
6378 182 : if (!signe(ap)) continue;
6379 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6380 : }
6381 83746 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6382 83752 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6383 : }
6384 83779 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
6385 46360 : if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
6386 46346 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
6387 : }
6388 :
6389 : GEN
6390 4963 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
6391 : {
6392 4963 : pari_sp av = avma;
6393 4963 : long i, l = lg(P);
6394 4963 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
6395 88720 : for(i = 1; i < l; i++)
6396 : {
6397 83757 : ulong p = uel(P,i);
6398 83757 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
6399 83761 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
6400 : }
6401 4963 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
6402 : }
6403 :
6404 : static GEN
6405 203 : ellnfan(GEN E, long N)
6406 : {
6407 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
6408 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6409 : }
6410 :
6411 : GEN
6412 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
6413 : {
6414 70 : checkell(E);
6415 70 : switch(ell_get_type(E))
6416 : {
6417 56 : case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
6418 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
6419 0 : default:
6420 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
6421 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6422 : }
6423 : }
6424 :
6425 : GEN
6426 525 : ellan(GEN E, long N)
6427 : {
6428 525 : checkell(E);
6429 525 : switch(ell_get_type(E))
6430 : {
6431 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6432 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6433 0 : default:
6434 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6435 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6436 : }
6437 : }
6438 :
6439 : static GEN
6440 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6441 : {
6442 : GEN u, v, w;
6443 : long j;
6444 735 : if (e == 1) return ap;
6445 112 : u = ap;
6446 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6447 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6448 : {
6449 14 : v = u; u = w;
6450 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6451 : }
6452 112 : return w;
6453 : }
6454 :
6455 : GEN
6456 693 : akell(GEN e, GEN n)
6457 : {
6458 : long i, j, s;
6459 693 : pari_sp av = avma;
6460 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6461 :
6462 693 : checkell_int(e);
6463 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6464 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6465 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6466 693 : D = ell_get_disc(e);
6467 693 : u = Z_ppo(n, D);
6468 693 : y = gen_1;
6469 693 : s = 1;
6470 693 : if (!equalii(u, n))
6471 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6472 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6473 441 : P = gel(fa,1);
6474 441 : E = gel(fa,2);
6475 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6476 : {
6477 581 : GEN p = gel(P,i);
6478 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6479 : int good_red;
6480 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6481 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6482 350 : j = signe(ap);
6483 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
6484 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6485 : }
6486 : }
6487 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6488 693 : fa = Z_factor(u);
6489 693 : P = gel(fa,1);
6490 693 : E = gel(fa,2);
6491 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6492 : { /* good reduction */
6493 504 : GEN p = gel(P,i);
6494 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6495 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6496 : }
6497 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6498 : }
6499 :
6500 : GEN
6501 8057 : ellQ_get_N(GEN e)
6502 8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6503 : void
6504 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6505 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6506 :
6507 : GEN
6508 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6509 : {
6510 14 : pari_sp av = avma, av1;
6511 : ulong l, n;
6512 : long eps, flun;
6513 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6514 :
6515 14 : if (!A) A = gen_1;
6516 : else
6517 : {
6518 7 : if (gsigne(A)<=0)
6519 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6520 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6521 : }
6522 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6523 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6524 14 : checkell_Q(e);
6525 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6526 14 : N = ellQ_get_N(e);
6527 14 : eps = ellrootno_global(e);
6528 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6529 :
6530 14 : gs = ggamma(s, prec);
6531 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6532 14 : cga = gmul(cg, A);
6533 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6534 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6535 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6536 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6537 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6538 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6539 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6540 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6541 14 : z = gen_0;
6542 14 : av1 = avma;
6543 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6544 : {
6545 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6546 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6547 1330 : if (!signe(an)) continue;
6548 :
6549 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6550 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6551 1106 : if (flun)
6552 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6553 : else
6554 : {
6555 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6556 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6557 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6558 : }
6559 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6560 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6561 : {
6562 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6563 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6564 : }
6565 : }
6566 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6567 : }
6568 :
6569 : /********************************************************************/
6570 : /** **/
6571 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6572 : /** **/
6573 : /********************************************************************/
6574 :
6575 : static GEN
6576 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6577 : {
6578 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6579 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6580 56 : GEN r = gen_1;
6581 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6582 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6583 56 : return r;
6584 : }
6585 :
6586 : /* The function follows
6587 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6588 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6589 : */
6590 :
6591 : static GEN
6592 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6593 : {
6594 : GEN h;
6595 : long d;
6596 70 : pari_sp av = avma;
6597 70 : checkell(e);
6598 70 : switch(ell_get_type(e))
6599 : {
6600 14 : case t_ELL_Q:
6601 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6602 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6603 14 : break;
6604 56 : case t_ELL_NF:
6605 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6606 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6607 56 : break;
6608 0 : default:
6609 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6610 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6611 : }
6612 70 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6613 : }
6614 :
6615 : static GEN
6616 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6617 :
6618 : /* one root of X^2 - t X + c */
6619 : static GEN
6620 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6621 : {
6622 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6623 : }
6624 :
6625 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6626 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6627 : static GEN
6628 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6629 : {
6630 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6631 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
6632 :
6633 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6634 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
6635 83056 : a = gel(ab, 1);
6636 83056 : b = gel(ab, 2);
6637 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6638 83056 : x = gsub(x, e1);
6639 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6640 :
6641 83056 : x_a = gsub(x, a);
6642 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6643 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6644 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6645 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6646 83056 : for(n=0;; n++)
6647 442740 : {
6648 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6649 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6650 525796 : r = gsub(a, a0);
6651 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6652 442740 : ab = gmul(a0, b);
6653 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
6654 :
6655 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6656 442740 : p2 = gsqr(a);
6657 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6658 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6659 : }
6660 83056 : if (n) {
6661 83056 : x = gel(V,n);
6662 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6663 : } else
6664 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6665 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6666 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6667 : }
6668 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6669 : static int
6670 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6671 : {
6672 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6673 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6674 : }
6675 :
6676 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6677 : static GEN
6678 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6679 : {
6680 83056 : pari_sp av = avma;
6681 : GEN h;
6682 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6683 : {
6684 27210 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6685 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6686 27210 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6687 : }
6688 : else
6689 55846 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6690 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6691 83056 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6692 : }
6693 : GEN
6694 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6695 :
6696 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6697 : static GEN
6698 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6699 : {
6700 28728 : pari_sp av = avma;
6701 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
6702 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6703 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6704 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6705 28728 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6706 28728 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6707 28728 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6708 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6709 28728 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6710 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6711 28728 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6712 : }
6713 :
6714 : static GEN
6715 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6716 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6717 : static GEN
6718 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6719 : {
6720 35 : pari_sp av = avma;
6721 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6722 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6723 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6724 : }
6725 : GEN
6726 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6727 : {
6728 57659 : if (!a)
6729 : {
6730 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
6731 70 : return ellheightfaltings(e,n);
6732 : }
6733 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
6734 : }
6735 : GEN
6736 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6737 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6738 :
6739 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
6740 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
6741 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
6742 : /* P an affine point on e */
6743 : static GEN
6744 85988 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6745 : {
6746 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
6747 85988 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
6748 85988 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6749 85988 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
6750 :
6751 85988 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
6752 85988 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
6753 85988 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6754 85988 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
6755 85988 : vu = (vQ-vP) >> 1;
6756 85988 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
6757 45605 : v = gen_0;
6758 40383 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6759 : {
6760 27503 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6761 27503 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
6762 : }
6763 : else
6764 : {
6765 12880 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6766 12880 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
6767 : }
6768 85988 : return gsubgs(v,vu);
6769 : }
6770 :
6771 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
6772 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
6773 : * Return sorted list, without duplicates */
6774 : static GEN
6775 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
6776 : {
6777 28812 : if (lg(L) > 1)
6778 : {
6779 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
6780 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
6781 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
6782 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
6783 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
6784 : }
6785 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
6786 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
6787 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
6788 : }
6789 : static GEN
6790 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6791 : {
6792 28833 : pari_sp av = avma;
6793 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
6794 : long i, l, r1;
6795 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
6796 28833 : if (!oncurve(E,P))
6797 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
6798 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
6799 28812 : x = gel(P,1);
6800 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
6801 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
6802 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
6803 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
6804 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6805 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
6806 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
6807 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6808 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
6809 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
6810 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
6811 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6812 57540 : for ( ; i < l; i++)
6813 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6814 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
6815 114800 : for (i = 1; i < l; i++)
6816 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
6817 85988 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6818 85988 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
6819 85988 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
6820 : }
6821 28812 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6822 : }
6823 :
6824 : static GEN
6825 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6826 : {
6827 52410 : long i, lx, newell = 0;
6828 : pari_sp av;
6829 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
6830 : GEN v, S, c4, D;
6831 :
6832 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6833 52403 : if (!oncurve(e,a))
6834 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6835 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6836 52396 : av = avma;
6837 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6838 : { /* switch to minimal model if needed */
6839 23339 : if (lg(S) != 2)
6840 : {
6841 17872 : v = gel(S,2);
6842 17872 : e = gel(S,3);
6843 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
6844 : }
6845 : }
6846 : else
6847 : {
6848 29057 : newell = 1;
6849 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6850 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
6851 : }
6852 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6853 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6854 52396 : x = gel(a,1);
6855 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
6856 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6857 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
6858 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
6859 52396 : D = ell_get_disc(e);
6860 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6861 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6862 52396 : lx = lg(Lp);
6863 223870 : for (i=1; i<lx; i++)
6864 : {
6865 171474 : GEN p = gel(Lp,i);
6866 : long u, v, n, n2;
6867 171474 : if (!dvdii(c4,p))
6868 : { /* p \nmid c4 */
6869 147264 : long N = Z_pval(D,p);
6870 147264 : if (!N) continue;
6871 147264 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6872 147264 : if (n > N) n = N;
6873 147264 : u = n * ((N<<1) - n);
6874 147264 : v = N << 3;
6875 : }
6876 : else
6877 : {
6878 24210 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6879 24210 : n = Z_pval(psi3, p);
6880 24210 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6881 : }
6882 : /* z -= u log(p) / v */
6883 171474 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6884 : }
6885 52396 : if (newell) obj_free(e);
6886 52396 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6887 : }
6888 :
6889 : GEN
6890 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6891 : {
6892 81243 : checkell(e);
6893 81243 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
6894 81243 : switch(ell_get_type(e))
6895 : {
6896 52410 : case t_ELL_Q:
6897 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6898 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6899 28833 : case t_ELL_NF:
6900 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6901 : }
6902 : }
6903 :
6904 : GEN
6905 875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6906 : {
6907 : GEN D, A, B;
6908 875 : long lx = lg(x), i, j;
6909 875 : pari_sp av = avma;
6910 :
6911 875 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6912 875 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6913 875 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6914 875 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6915 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6916 : {
6917 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6918 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6919 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6920 : }
6921 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6922 : {
6923 4249 : GEN h = gel(D,i);
6924 4249 : if (p)
6925 : {
6926 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6927 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6928 : }
6929 : else
6930 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
6931 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6932 : {
6933 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6934 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6935 16149 : if (p)
6936 : {
6937 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6938 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6939 : }
6940 : else
6941 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6942 : }
6943 : }
6944 875 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6945 : }
6946 : GEN
6947 861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6948 861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6949 :
6950 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6951 : static GEN
6952 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6953 : {
6954 : GEN y;
6955 21 : long i, l = lg(P);
6956 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6957 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6958 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6959 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6960 7 : return y;
6961 : }
6962 : GEN
6963 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6964 : {
6965 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6966 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6967 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6968 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6969 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6970 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6971 7 : if (is_matvec_t(t2))
6972 : {
6973 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6974 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6975 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6976 : }
6977 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6978 : }
6979 : /********************************************************************/
6980 : /** **/
6981 : /** Modular Parametrization **/
6982 : /** **/
6983 : /********************************************************************/
6984 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6985 : static GEN
6986 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6987 : {
6988 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6989 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6990 0 : gel(s,2) = t; return s;
6991 : }
6992 :
6993 : GEN
6994 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6995 : {
6996 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6997 : long n, m;
6998 14 : pari_sp av = avma;
6999 :
7000 14 : checkell_Q(e);
7001 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
7002 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
7003 :
7004 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
7005 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7006 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
7007 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
7008 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
7009 7 : c = gsqr(d);
7010 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
7011 : * Take derivative then divide by 2x':
7012 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
7013 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
7014 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
7015 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
7016 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
7017 : * */
7018 7 : C = c+4;
7019 7 : X = x+4;
7020 7 : gel(X,-2) = gen_1;
7021 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
7022 7 : b2 = ell_get_b2(e);
7023 7 : b4 = ell_get_b4(e);
7024 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
7025 : {
7026 105 : pari_sp av2 = avma;
7027 : GEN s1, s2, s3;
7028 105 : if (n != 2)
7029 : {
7030 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
7031 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
7032 98 : s2 = gen_0;
7033 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
7034 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
7035 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
7036 98 : s1 = gen_0;
7037 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
7038 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
7039 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
7040 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
7041 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
7042 : }
7043 : else
7044 : {
7045 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7046 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
7047 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7048 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
7049 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
7050 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
7051 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
7052 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
7053 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
7054 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
7055 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
7056 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
7057 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
7058 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
7059 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
7060 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
7061 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
7062 : }
7063 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
7064 : }
7065 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
7066 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
7067 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
7068 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
7069 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
7070 : }
7071 :
7072 : /********************************************************************/
7073 : /** **/
7074 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
7075 : /** **/
7076 : /********************************************************************/
7077 : static GEN
7078 19292 : doellff_get_o(GEN E)
7079 : {
7080 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
7081 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
7082 : }
7083 : GEN
7084 19845 : ellff_get_o(GEN E)
7085 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
7086 :
7087 : static void
7088 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
7089 : {
7090 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
7091 497 : *a4 = gel(e, 1);
7092 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
7093 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
7094 497 : }
7095 : GEN
7096 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
7097 : {
7098 140 : pari_sp av = avma;
7099 : GEN p;
7100 140 : checkell_Fq(E);
7101 140 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
7102 140 : if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
7103 140 : p = ellff_get_field(E);
7104 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
7105 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
7106 : else
7107 : {
7108 : GEN a4;
7109 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
7110 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
7111 : }
7112 : }
7113 :
7114 : GEN
7115 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7116 : {
7117 : GEN p;
7118 5250 : checkell_Fq(E);
7119 5243 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
7120 5243 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
7121 5243 : p = ellff_get_field(E);
7122 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
7123 : else
7124 : {
7125 245 : pari_sp av = avma;
7126 : GEN w, a4;
7127 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7128 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
7129 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
7130 : }
7131 : }
7132 :
7133 : GEN
7134 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7135 : {
7136 : GEN p;
7137 301 : checkell_Fq(E);
7138 301 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
7139 301 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
7140 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
7141 301 : p = ellff_get_field(E);
7142 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
7143 : else
7144 : {
7145 203 : pari_sp av = avma;
7146 : GEN t, a4;
7147 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7148 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
7149 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
7150 : }
7151 : }
7152 :
7153 : GEN
7154 2584117 : ellap(GEN E, GEN p)
7155 : {
7156 2584117 : pari_sp av = avma;
7157 : GEN q, card;
7158 : int goodred;
7159 2584117 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
7160 2584088 : switch(ell_get_type(E))
7161 : {
7162 112 : case t_ELL_Fp:
7163 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
7164 112 : break;
7165 54474 : case t_ELL_Fq:
7166 54474 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
7167 54474 : break;
7168 2421538 : case t_ELL_Qp:
7169 : case t_ELL_Q:
7170 2421538 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7171 2421403 : break;
7172 107961 : case t_ELL_NF:
7173 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
7174 0 : default:
7175 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7176 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7177 : }
7178 2475989 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7179 : }
7180 :
7181 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7182 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7183 : GEN
7184 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
7185 : {
7186 126 : const ulong minq = 523;
7187 126 : checkell_Fq(E);
7188 126 : switch(ell_get_type(E))
7189 : {
7190 112 : case t_ELL_Fp:
7191 : {
7192 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7193 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7194 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7195 : }
7196 14 : case t_ELL_Fq:
7197 : {
7198 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7199 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7200 0 : return FF_ellcard(E);
7201 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7202 : }
7203 : }
7204 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7205 : }
7206 :
7207 : GEN
7208 269205 : ellff_get_card(GEN E)
7209 269205 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7210 :
7211 : GEN
7212 187032 : ellcard(GEN E, GEN p)
7213 : {
7214 187032 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
7215 187025 : switch(ell_get_type(E))
7216 : {
7217 186570 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7218 186570 : return icopy(ellff_get_card(E));
7219 420 : case t_ELL_Qp:
7220 : case t_ELL_Q:
7221 : {
7222 420 : pari_sp av = avma;
7223 : int goodred;
7224 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7225 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7226 420 : return gerepileuptoint(av, N);
7227 : }
7228 35 : case t_ELL_NF:
7229 : {
7230 35 : pari_sp av = avma;
7231 : int goodred;
7232 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7233 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7234 35 : return gerepileuptoint(av, N);
7235 : }
7236 0 : default:
7237 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7238 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7239 : }
7240 : }
7241 :
7242 : /* assume model is p-minimal */
7243 : static GEN
7244 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
7245 : {
7246 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
7247 120715 : *pm = gen_1;
7248 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
7249 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
7250 120715 : if (absequaliu(p, 3))
7251 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7252 : ulong b2, b4, b6;
7253 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
7254 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7255 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7256 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7257 0 : if (b6) return mkvec(N);
7258 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7259 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7260 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7261 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
7262 0 : return mkvec2s(2, 2);
7263 : } /* Now assume p > 3 */
7264 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7265 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
7266 : }
7267 :
7268 : static GEN
7269 146454 : doellGm(GEN E)
7270 : {
7271 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7272 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
7273 146454 : return mkvec2(G, m);
7274 : }
7275 : static GEN
7276 185997 : ellff_Gm(GEN E)
7277 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
7278 : GEN
7279 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
7280 : GEN
7281 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
7282 : GEN
7283 18690 : ellff_get_D(GEN E)
7284 : {
7285 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
7286 18690 : switch(lg(G))
7287 : {
7288 91 : case 1: return G;
7289 15883 : case 2: return mkvec(o);
7290 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
7291 : }
7292 : }
7293 :
7294 : /* E / Fp */
7295 : static GEN
7296 18690 : doellgens(GEN E)
7297 : {
7298 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7299 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7300 18116 : return FF_ellgens(E);
7301 : else
7302 : {
7303 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7304 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
7305 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
7306 : }
7307 : }
7308 :
7309 : GEN
7310 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
7311 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7312 :
7313 : GEN
7314 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7315 : {
7316 127806 : pari_sp av = avma;
7317 : GEN m, G;
7318 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
7319 127799 : switch(ell_get_type(E))
7320 : {
7321 127365 : case t_ELL_Fp:
7322 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
7323 392 : case t_ELL_Qp:
7324 : case t_ELL_Q:
7325 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
7326 : {
7327 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
7328 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7329 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7330 : }
7331 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
7332 42 : case t_ELL_NF:
7333 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
7334 : {
7335 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
7336 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7337 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7338 : }
7339 28 : E = ellinit(E, p, 0);
7340 28 : G = ellff_get_group(E);
7341 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
7342 0 : default:
7343 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
7344 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7345 : }
7346 127799 : return gerepilecopy(av, G);
7347 : }
7348 :
7349 : GEN
7350 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7351 : {
7352 21490 : pari_sp av = avma;
7353 21490 : long tE, freeE = 0;
7354 : GEN G;
7355 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7356 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7357 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
7358 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
7359 : {
7360 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
7361 : long vu;
7362 1862 : switch(tE)
7363 : {
7364 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
7365 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
7366 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
7367 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
7368 : }
7369 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
7370 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
7371 : {
7372 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
7373 91 : if (typ(p) == t_INT)
7374 : {
7375 : long i;
7376 70 : Ep = obj_init(15, 4);
7377 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
7378 : }
7379 : else
7380 : {
7381 21 : q = pr_norm(p);
7382 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
7383 : }
7384 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
7385 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
7386 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
7387 : }
7388 : else
7389 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
7390 1855 : freeE = 1;
7391 : }
7392 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
7393 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
7394 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
7395 : }
7396 :
7397 : GEN
7398 16849 : ellgenerators(GEN E)
7399 : {
7400 16849 : checkell(E);
7401 16849 : switch(ell_get_type(E))
7402 : {
7403 7 : case t_ELL_Q:
7404 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7405 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7406 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7407 7 : default:
7408 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7409 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7410 : }
7411 : }
7412 :
7413 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7414 : static GEN
7415 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
7416 : {
7417 22715 : pari_sp av = avma;
7418 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7419 22715 : GEN E = zerovec(5);
7420 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7421 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7422 : }
7423 : GEN
7424 34020 : ellfromj(GEN j)
7425 : {
7426 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7427 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7428 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7429 : {
7430 3549 : case 2:
7431 3549 : if (gequal0(j))
7432 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7433 : else
7434 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7435 7651 : case 3:
7436 7651 : if (gequal0(j))
7437 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7438 : else
7439 : {
7440 7630 : GEN E = zerovec(5);
7441 7630 : pari_sp av = avma;
7442 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7443 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7444 7630 : return E;
7445 : }
7446 : }
7447 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7448 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7449 22715 : return ellfromj_simple(j);
7450 : }
7451 :
7452 : /********************************************************************/
7453 : /** **/
7454 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7455 : /** **/
7456 : /********************************************************************/
7457 :
7458 : int
7459 165907 : elljissupersingular(GEN x)
7460 : {
7461 165907 : pari_sp av = avma;
7462 : int res;
7463 :
7464 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7465 504 : GEN p = gel(x, 1);
7466 504 : GEN j = gel(x, 2);
7467 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7468 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7469 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7470 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
7471 165396 : GEN T = FF_mod(x);
7472 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7473 : } else {
7474 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7475 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7476 : }
7477 165900 : set_avma(av);
7478 165900 : return res;
7479 : }
7480 :
7481 : int
7482 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7483 : {
7484 : pari_sp av;
7485 : GEN j;
7486 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7487 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
7488 17003 : j = ell_get_j(E);
7489 17003 : switch(ell_get_type(E))
7490 : {
7491 16807 : case t_ELL_Fp:
7492 : case t_ELL_Fq:
7493 16807 : return elljissupersingular(j);
7494 56 : case t_ELL_Qp:
7495 : case t_ELL_Q:
7496 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7497 21 : av = avma;
7498 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
7499 140 : case t_ELL_NF:
7500 : {
7501 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7502 : int res;
7503 140 : av = avma;
7504 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7505 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7506 : {
7507 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7508 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7509 : }
7510 : else
7511 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7512 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7513 126 : if (typ(j) == t_INT)
7514 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7515 : else
7516 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7517 126 : return gc_bool(av, res);
7518 : }
7519 0 : default:
7520 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7521 : }
7522 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7523 : }
7524 :
7525 : GEN
7526 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
7527 : {
7528 1204 : pari_sp av = avma;
7529 : GEN r, T, p;
7530 : long d;
7531 1204 : switch(typ(a))
7532 : {
7533 1190 : case t_INT:
7534 1190 : p = a;
7535 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
7536 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
7537 1190 : d = 2;
7538 1190 : break;
7539 14 : case t_FFELT:
7540 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
7541 14 : if (!odd(d))
7542 : {
7543 14 : if (d != 2)
7544 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
7545 14 : break;
7546 : }
7547 : default: /* FALL THROUGH */
7548 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
7549 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
7550 : }
7551 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
7552 1204 : if (d != 2)
7553 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
7554 1204 : return gerepilecopy(av, r);
7555 : }
7556 :
7557 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7558 : static GEN
7559 15050 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7560 : {
7561 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7562 15050 : if (n==0) return pol_0(v);
7563 15050 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7564 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7565 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7566 1799 : if (n==3)
7567 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7568 : else
7569 : {
7570 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7571 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7572 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7573 : }
7574 1799 : setvarn(res, v); return res;
7575 : }
7576 :
7577 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7578 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7579 : static GEN
7580 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7581 : {
7582 : GEN ret;
7583 5075 : long m = n/2;
7584 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7585 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7586 882 : else if (odd(n))
7587 : {
7588 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7589 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7590 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7591 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7592 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7593 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7594 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7595 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7596 : }
7597 : else
7598 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7599 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7600 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7601 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7602 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7603 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7604 : }
7605 3150 : gel(t,n) = ret;
7606 3150 : return ret;
7607 : }
7608 :
7609 : GEN
7610 13111 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7611 : {
7612 13111 : pari_sp av = avma;
7613 : GEN f, D, N;
7614 13111 : long n = labs(n0);
7615 :
7616 13111 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7617 13111 : if (v < 0) v = 0;
7618 13111 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7619 13111 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7620 13111 : if (n==1 || n==3)
7621 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7622 : else
7623 : {
7624 12880 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
7625 12880 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7626 12880 : if (n <= 4)
7627 12551 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7628 : else
7629 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7630 12880 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7631 : }
7632 13111 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7633 13090 : return gerepilecopy(av, f);
7634 : }
7635 :
7636 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7637 : GEN
7638 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7639 : {
7640 406 : pari_sp av = avma;
7641 : GEN d2, D, N, A, B;
7642 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7643 406 : if (v==-1) v = 0;
7644 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7645 406 : N = characteristic(D);
7646 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
7647 406 : if (n < 0) n = -n;
7648 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7649 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7650 406 : if (n == 0)
7651 : {
7652 7 : A = pol_0(v);
7653 7 : B = pol_0(v);
7654 : }
7655 399 : else if (n == 1)
7656 : {
7657 7 : A = pol_1(v);
7658 7 : B = pol_x(v);
7659 : }
7660 392 : else if (n == 2)
7661 : {
7662 105 : A = d2;
7663 105 : B = ec_phi2(e, v);
7664 : }
7665 : else
7666 : {
7667 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7668 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7669 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7670 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7671 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7672 287 : if (!odd(n))
7673 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
7674 : else
7675 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7676 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7677 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7678 : }
7679 406 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7680 : }
7681 :
7682 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
7683 : static ulong
7684 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
7685 : {
7686 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
7687 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
7688 : }
7689 :
7690 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
7691 : static void
7692 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7693 : GEN S, long *m)
7694 : {
7695 8631 : long i, n = lg(P)-1;
7696 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
7697 8631 : pari_sp av = avma;
7698 8631 : ulong q = o / l;
7699 :
7700 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
7701 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7702 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
7703 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
7704 : {
7705 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7706 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
7707 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
7708 : }
7709 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
7710 8631 : set_avma(av);
7711 8631 : }
7712 :
7713 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
7714 : static void
7715 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
7716 : ulong p, GEN S, long *m)
7717 : {
7718 2807 : long i, n = lg(P)-1;
7719 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
7720 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
7721 2807 : pari_sp av = avma;
7722 :
7723 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7724 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
7725 2807 : G1 = gel(G,1);
7726 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
7727 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
7728 : {
7729 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7730 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
7731 : {
7732 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
7733 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7734 13279 : if (G2)
7735 : {
7736 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
7737 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7738 : }
7739 : }
7740 : }
7741 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
7742 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
7743 2807 : set_avma(av);
7744 2807 : }
7745 :
7746 : static void
7747 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7748 : GEN S, long *m)
7749 : {
7750 11438 : P = ZM_to_Flm(P, p);
7751 11438 : if (p % l == 1)
7752 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7753 : else
7754 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7755 11438 : }
7756 :
7757 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
7758 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
7759 : static GEN
7760 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
7761 : {
7762 1204 : long m = 1;
7763 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
7764 : forprime_t S;
7765 :
7766 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
7767 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
7768 326459 : while (m <= nb)
7769 : {
7770 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
7771 : long o;
7772 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
7773 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
7774 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
7775 : {
7776 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
7777 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
7778 : }
7779 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
7780 : }
7781 1204 : return M;
7782 : }
7783 :
7784 : INLINE long
7785 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
7786 : {
7787 147 : long i, l = lg(v);
7788 154 : for (i = 1; i < l; i++)
7789 154 : if (v[i]) break;
7790 147 : return i;
7791 : }
7792 :
7793 : /* update M in place */
7794 : static GEN
7795 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
7796 : long vxl, long nb, long prec)
7797 : {
7798 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
7799 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
7800 1204 : pari_sp av = avma;
7801 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
7802 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
7803 :
7804 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
7805 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
7806 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
7807 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
7808 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
7809 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
7810 : {
7811 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
7812 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
7813 :
7814 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
7815 147 : if (f > nH) continue;
7816 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
7817 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
7818 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
7819 147 : if (*xl)
7820 : {
7821 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
7822 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
7823 : }
7824 : else
7825 : {
7826 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
7827 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
7828 : }
7829 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
7830 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
7831 147 : if (!R)
7832 : {
7833 28 : if (lK == 2) break;
7834 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
7835 : }
7836 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
7837 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
7838 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
7839 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
7840 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7841 : }
7842 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7843 : }
7844 :
7845 : static GEN
7846 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7847 : {
7848 : forprime_t S;
7849 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7850 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7851 : hashtable h;
7852 : ulong p;
7853 :
7854 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7855 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7856 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7857 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7858 : {
7859 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7860 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7861 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7862 : while (1)
7863 140 : {
7864 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7865 1204 : if (!Q) break;
7866 140 : nb += lg(P)-1;
7867 140 : P = Q;
7868 : }
7869 : }
7870 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7871 : }
7872 :
7873 : GEN
7874 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7875 : {
7876 49 : pari_sp av = avma;
7877 : GEN urst;
7878 :
7879 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7880 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7881 49 : if (is_trivial_change(urst, NULL)) urst = NULL;
7882 7 : else P = ellchangepoint(P, urst);
7883 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7884 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
7885 49 : obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
7886 : }
7887 :
7888 : static GEN
7889 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7890 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7891 : GEN
7892 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7893 : {
7894 70 : pari_sp av = avma;
7895 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7896 : long v, n, i, j, d;
7897 :
7898 70 : checkell(E);
7899 70 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
7900 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7901 63 : if (!oncurve(E,P))
7902 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7903 : /* More checks */
7904 :
7905 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7906 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7907 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7908 : {
7909 63 : if (T)
7910 : {
7911 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7912 : }
7913 : else
7914 7 : T = gel(yP,1);
7915 63 : yP = gel(yP,2);
7916 : }
7917 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7918 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7919 : /* Trivial cases */
7920 63 : if (n == 1) { return gerepilecopy(av, mkvec2(xP,yP)); }
7921 63 : xP = to_RgX(xP, v);
7922 63 : yP = to_RgX(yP, v);
7923 63 : if (degpol(xP) <= 0)
7924 : {
7925 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7926 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
7927 14 : return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7928 : }
7929 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7930 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7931 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7932 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
7933 35 : gel(LP,2) = xP;
7934 35 : gel(LP,3) = yP;
7935 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
7936 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7937 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7938 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
7939 35 : K = gel(ker(M),1);
7940 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7941 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7942 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7943 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7944 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7945 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7946 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7947 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7948 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7949 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7950 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7951 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7952 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7953 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7954 35 : R = gmul(R, V);
7955 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7956 35 : R = gmul(R, V);
7957 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7958 : /* Discard Galois orbit of P */
7959 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
7960 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7961 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7962 : /* Recover the trace */
7963 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7964 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7965 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7966 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7967 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7968 28 : d = 0;
7969 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7970 28 : return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7971 : }
|
