Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 21739-44c3c17) Lines: 3656 3907 93.6 %
Date: 2018-01-20 06:18:48 Functions: 330 338 97.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      303306 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      303306 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      303012 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      303012 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      303012 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      303012 : }
      37             : static GEN
      38     2740597 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2740597 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2740597 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2740597 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2740598 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2740598 : }
      46             : static GEN
      47       70105 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       70105 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       70105 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       70105 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       70105 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       70105 : }
      55             : static void
      56     2740450 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2740450 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2740451 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2740451 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2740450 : }
      62             : static void
      63      303012 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      303012 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      303012 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      303012 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      303012 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       22112 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       22112 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       22112 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       22112 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       22112 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         294 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         294 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         294 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         294 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         294 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       22112 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       22112 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       22111 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         294 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         294 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         294 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         294 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : void
     111      306858 : checkellpt(GEN z)
     112             : {
     113      306858 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     114      306852 :   switch(lg(z))
     115             :   {
     116      301616 :     case 3: break;
     117        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     118             :     /* fall through */
     119           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     120             :   }
     121      306852 : }
     122             : void
     123       72149 : checkell5(GEN E)
     124             : {
     125       72149 :   long l = lg(E);
     126       72149 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     127       72149 : }
     128             : void
     129     4071809 : checkell(GEN E)
     130     4071809 : { if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     131             : void
     132        3248 : checkellisog(GEN v)
     133        3248 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     134             : 
     135             : void
     136        2737 : checkell_Q(GEN E)
     137             : {
     138        2737 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     139           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     140        2730 : }
     141             : 
     142             : void
     143           0 : checkell_Qp(GEN E)
     144             : {
     145           0 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     146           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     147           0 : }
     148             : 
     149             : static int
     150      552431 : ell_over_Fq(GEN E)
     151             : {
     152      552431 :   long t = ell_get_type(E);
     153      552432 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     154             : }
     155             : 
     156             : void
     157      279391 : checkell_Fq(GEN E)
     158             : {
     159      279391 :   if (typ(E)!=t_VEC || lg(E) != 17 || !ell_over_Fq(E))
     160           7 :   pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     161      279384 : }
     162             : 
     163             : GEN
     164      179999 : ellff_get_p(GEN E)
     165             : {
     166      179999 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     167      179999 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     168             : }
     169             : 
     170             : int
     171         203 : ell_is_integral(GEN E)
     172             : {
     173         406 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     174         168 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     175         154 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     176         154 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     177         357 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     178             : }
     179             : 
     180             : static void
     181       72730 : checkcoordch(GEN z)
     182       72730 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     183             : 
     184             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     185             : GEN
     186        8681 : ec_bmodel(GEN e)
     187             : {
     188        8681 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     189        8681 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     190             : }
     191             : 
     192             : static int
     193        3342 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     194             : 
     195             : static GEN
     196        4222 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     197             : {
     198             :   GEN R, d1, d2, d3, e1, e2, e3;
     199        4222 :   long s = ellR_get_sign(e), prec = prec0;
     200             : START:
     201        4243 :   R = roots(ec_bmodel(e), prec);
     202        4243 :   if (s > 0)
     203             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     204        1114 :     R = real_i(R);
     205        1114 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     206        1114 :     e1 = gel(R,1);
     207        1114 :     e2 = gel(R,2);
     208        1114 :     e3 = gel(R,3);
     209        1114 :     d3 = subrr(e1,e2);
     210        1114 :     d1 = subrr(e2,e3);
     211        1114 :     d2 = subrr(e1,e3);
     212        1114 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0)
     213             :     {
     214          21 :       prec = precdbl(prec);
     215          21 :       if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", prec);
     216          21 :       goto START;
     217             :     }
     218             :   } else {
     219        3129 :     e1 = gel(R,1);
     220        3129 :     e2 = gel(R,2);
     221        3129 :     e3 = gel(R,3);
     222        3129 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224         987 :       e1 = real_i(e1);
     225         987 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226             :     }
     227        3129 :     d3 = gsub(e1,e2);
     228        3129 :     d1 = gsub(e2,e3);
     229        3129 :     d2 = gsub(e1,e3);
     230             :   }
     231        4222 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     232             : }
     233             : static GEN
     234        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     235             : 
     236             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     237             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     238             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     239             : GEN
     240      528759 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     241             : {
     242      528759 :   pari_sp av = avma;
     243             :   GEN z;
     244      528759 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     245      528759 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     246      528759 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     247      528759 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     248             : }
     249             : 
     250             : /* a1 x + a3 */
     251             : GEN
     252      545517 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     253             : {
     254      545517 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     255      545517 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     256      545517 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     257             : }
     258             : static GEN
     259     1170358 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     260             : {
     261     1170358 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     262     1170358 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     263     1170358 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     264             : }
     265             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     266             : static GEN
     267       15470 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     268             : {
     269       15470 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     270       15470 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     271             : }
     272             : 
     273             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     274             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     275             :  * which is the derivative of the curve equation
     276             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     277             :  * wrt x evaluated at Q */
     278             : GEN
     279        2247 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     280             : {
     281        2247 :   pari_sp av = avma;
     282        2247 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     283        2247 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     284        2247 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     285        2247 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     286        2247 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     287        2247 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     288             : }
     289             : 
     290             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     291             : GEN
     292        5684 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     293             : {
     294        5684 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     295        5684 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     296             : }
     297             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     298             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     299             :  * which is the derivative of the curve equation
     300             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     301             :  * wrt y evaluated at Q */
     302             : GEN
     303         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     304             : {
     305         532 :   pari_sp av = avma;
     306         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     307             : }
     308             : 
     309             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     310             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     311             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     312             : GEN
     313        1687 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     314             : {
     315        1687 :   pari_sp av = avma;
     316        1687 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     317        1687 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     318        1687 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     319        1687 :   GEN t1 = gmul(gadd(gmulsg(4L, x), b2), x);
     320        1687 :   GEN t2 = gadd(t1, gmulsg(2L, b4));
     321        1687 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t2, x), b6));
     322             : }
     323             : 
     324             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     325             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     326             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     327             : GEN
     328          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     329             : {
     330          14 :   pari_sp av = avma;
     331          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     332          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     333          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     334          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     335          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     336          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     337          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     338          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     339             : }
     340             : 
     341             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     342             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     343             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     344             : GEN
     345        1491 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     346             : {
     347        1491 :   pari_sp av = avma;
     348        1491 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     349        1491 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     350        1491 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     351        1491 :   return gerepileupto(av, res);
     352             : }
     353             : 
     354             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     355             : GEN
     356        2492 : ellbasechar(GEN E)
     357             : {
     358        2492 :   pari_sp av = avma;
     359        2492 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     360        2492 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     361             : }
     362             : 
     363             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     364             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     365             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     366             :  * component y[16])*/
     367             : static GEN
     368      680723 : initsmall(GEN x, long n)
     369             : {
     370             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D, j;
     371      680723 :   GEN y = obj_init(15, n);
     372      680723 :   switch(lg(x))
     373             :   {
     374             :     case 1:
     375             :     case 2:
     376             :     case 4:
     377             :     case 5:
     378           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     379             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     380             :     case 3:
     381       15638 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     382       15638 :       a4 = gel(x,1);
     383       15638 :       a6 = gel(x,2);
     384       15638 :       b2 = gen_0;
     385       15638 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     386       15638 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     387       15638 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     388       15638 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     389       15638 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     390       15638 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     391       15638 :       break;
     392             :     default: /* l > 5 */
     393             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     394      665078 :       a1 = gel(x,1);
     395      665078 :       a2 = gel(x,2);
     396      665078 :       a3 = gel(x,3);
     397      665078 :       a4 = gel(x,4);
     398      665078 :       a6 = gel(x,5);
     399      665078 :       a11= gsqr(a1);
     400      665077 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     401      665078 :       a13= gmul(a1, a3);
     402      665078 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     403      665077 :       a33= gsqr(a3);
     404      665075 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     405      665076 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     406      665078 :       b22= gsqr(b2);
     407      665076 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     408      665076 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     409      665077 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     410             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     411      665077 :       break;
     412             :     }
     413             :   }
     414      680715 :   gel(y,1) = a1;
     415      680715 :   gel(y,2) = a2;
     416      680715 :   gel(y,3) = a3;
     417      680715 :   gel(y,4) = a4;
     418      680715 :   gel(y,5) = a6;
     419      680715 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     420      680715 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     421      680715 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     422      680715 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     423      680715 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     424      680715 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     425      680715 :   gel(y,12)= D;
     426      680715 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     427             : 
     428      672756 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     429         301 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     430         301 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     431         301 :     if (degpol(g) == 0)
     432         259 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     433             :     else
     434             :     {
     435          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     436          42 :       D = RgX_div(D, g);
     437          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     438          42 :       if (degpol(g) == 0)
     439           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     440             :       else
     441             :       {
     442          35 :         D = RgX_div(D, g);
     443          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     444          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     445          35 :         if (degpol(g))
     446             :         {
     447          21 :           D = RgX_div(D, g);
     448          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     449             :         }
     450          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     451             :       }
     452             :     }
     453             :   }
     454             :   else
     455      672455 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     456      672757 :   gel(y,13) = j;
     457      672757 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     458             : }
     459             : 
     460             : void
     461           0 : ellprint(GEN e)
     462             : {
     463           0 :   pari_sp av = avma;
     464             :   long vx, vy;
     465             :   GEN z;
     466           0 :   checkell5(e);
     467           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     468           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     469           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     470           0 :   (void)delete_var();
     471           0 :   (void)delete_var(); avma = av;
     472           0 : }
     473             : 
     474             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     475             : static GEN
     476         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     477             : {
     478         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     479         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     480             : 
     481         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     482         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     483         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     484             :   else
     485          98 :     b = cxnorm(d3);
     486         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     487         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     488         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     489         203 :   return mkvec2(a, b);
     490             : }
     491             : GEN
     492        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     493        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     494             : 
     495             : /* q a t_REAL*/
     496             : static long
     497          77 : real_prec(GEN q)
     498          77 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     499             : /* q a t_PADIC */
     500             : static long
     501         154 : padic_prec(GEN q)
     502         154 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     503             : 
     504             : /* check whether moduli are consistent */
     505             : static void
     506       97304 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     507       97304 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     508             : 
     509             : static int
     510       36337 : fix_nftype(GEN *pp)
     511             : {
     512       36337 :   switch(nftyp(*pp))
     513             :   {
     514       36337 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     515           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     516           0 :     default: return 0;
     517             :   }
     518       36337 :   return 1;
     519             : }
     520             : static long
     521      710963 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     522             : {
     523      710963 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     524      710966 :   GEN p = NULL;
     525      710966 :   long t = t_FRAC;
     526      710966 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     527             :   {
     528             :     case t_INT:
     529      490686 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     530        1974 :       p = *pp;
     531        1974 :       t = t_INTMOD;
     532        1974 :       break;
     533             :     case t_INTMOD:
     534         119 :       p = gel(*pp, 1);
     535         119 :       break;
     536             :     case t_REAL:
     537          21 :       e = real_prec(*pp);
     538          21 :       p = NULL;
     539          21 :       break;
     540             :     case t_PADIC:
     541         126 :       ep = padic_prec(*pp);
     542         126 :       p = gel(*pp, 2);
     543         126 :       break;
     544             :     case t_FFELT:
     545       16912 :       p = *pp;
     546       16912 :       break;
     547             :     case t_VEC:
     548       36337 :       t = t_VEC; p = *pp;
     549       36337 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     550             :     default:
     551           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     552           0 :       return 0;
     553             :   }
     554             :   /* Possible cases:
     555             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     556             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     557             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     558             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     559             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     560             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     561     4213085 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     562             :   {
     563     3504754 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     564     3504754 :     switch(typ(q)) {
     565             :       case t_PADIC:
     566          49 :         p2 = gel(q,2);
     567          49 :         switch(t)
     568             :         {
     569          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     570          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     571          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     572             :         }
     573          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     574          28 :         break;
     575             :       case t_INTMOD:
     576      121657 :         p2 = gel(q,1);
     577      121657 :         switch(t)
     578             :         {
     579       24367 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     580          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     581       97227 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     582          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     583             :         }
     584      121639 :         break;
     585             :       case t_FFELT:
     586      255801 :         switch(t)
     587             :         {
     588          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     589       95740 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     590             :           case t_FFELT:
     591      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     592      160055 :             break;
     593           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     594             :         }
     595      255795 :         break;
     596             : 
     597     3123509 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     598             :       case t_REAL:
     599          56 :         switch(t)
     600             :         {
     601          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     602          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     603           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     604             :         }
     605          56 :         break;
     606             :       case t_COL:
     607             :       case t_POL:
     608             :       case t_POLMOD:
     609        3668 :         if (t == t_VEC) break;
     610             :       default: /* base ring too general */
     611        2583 :         return t_COMPLEX;
     612             :     }
     613             :   }
     614      708331 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     615             : }
     616             : 
     617             : static GEN
     618        5894 : ellinit_Rg(GEN x, int real, long prec)
     619             : {
     620             :   GEN y;
     621             :   long s;
     622        5894 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     623        5894 :   s = real? gsigne( ell_get_disc(y) ): 0;
     624        5894 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     625        5894 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     626        5894 :   return y;
     627             : }
     628             : 
     629             : static GEN
     630         126 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     631             : {
     632             :   GEN y;
     633         126 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     634         126 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     635         126 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     636         126 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     637         126 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     638         126 :   return y;
     639             : }
     640             : 
     641             : static GEN
     642      495810 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     643             : {
     644             :   GEN y;
     645             :   long s;
     646      495810 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     647      495677 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     648      495677 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     649      495677 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     650      495677 :   return y;
     651             : }
     652             : 
     653             : /* shallow basistoalg */
     654             : static GEN
     655      386904 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     656             : {
     657      386904 :   switch(typ(x))
     658             :   {
     659      383558 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     660        3346 :     default: return basistoalg(nf, x);
     661             :   }
     662             : }
     663             : static GEN
     664       36925 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     665             : {
     666             :   long i, l;
     667       36925 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     668       36925 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     669       36925 :   return y;
     670             : }
     671             : 
     672             : static GEN
     673       36911 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     674             : {
     675             :   GEN y, nf;
     676       36911 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     677       36911 :   nf = checknf(p);
     678       36911 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     679       36911 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     680       36911 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     681       36911 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     682       36911 :   return y;
     683             : }
     684             : 
     685             : static GEN
     686       29260 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     687             : {
     688             :   long i;
     689             :   GEN y, disc;
     690       29260 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     691       24318 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     692        2730 :     return FF_ellinit(y,p_to_FF(p,0));
     693       21588 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     694       21596 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     695      302055 :   for(i=1;i<=13;i++)
     696      280476 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     697       21579 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     698       21580 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     699       21580 :   return y;
     700             : }
     701             : 
     702             : static GEN
     703      112722 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     704             : {
     705             :   GEN y;
     706      112722 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     707      109831 :   return FF_ellinit(y,fg);
     708             : }
     709             : 
     710             : static GEN
     711        3024 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     712             : {
     713        3024 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     714             :   GEN p, modP;
     715        3024 :   if (get_modpr(P))
     716             :   { /* modpr accept */
     717        2877 :     modP = P;
     718        2877 :     p = modpr_get_p(modP);
     719             :   }
     720             :   else
     721             :   { /* pr, initialize modpr */
     722         147 :     GEN d = Q_denom(e);
     723         147 :     p = pr_get_p(P);
     724         147 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     725             :   }
     726        3024 :   *pp = p;
     727        3024 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     728        3024 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     729             : }
     730             : static GEN
     731        3024 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     732             : {
     733             :   GEN T,p;
     734        3024 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     735        3024 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     736             : }
     737             : 
     738             : GEN
     739      676467 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     740             : {
     741      676467 :   pari_sp av = avma;
     742             :   GEN y;
     743      676467 :   switch(typ(x))
     744             :   {
     745           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     746             :     case t_VEC:
     747      676460 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     748      676460 :       break;
     749           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     750             :   }
     751      676467 :   if (D && get_prid(D))
     752             :   {
     753        2604 :     if (ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     754        2604 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     755        2604 :     goto END;
     756             :   }
     757      673863 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     758             :   {
     759             :   case t_PADIC:
     760         126 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     761         126 :     break;
     762             :   case t_INTMOD:
     763       26432 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     764       26431 :     break;
     765             :   case t_FFELT:
     766      112526 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     767      112526 :     break;
     768             :   case t_FRAC:
     769      495810 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     770      495803 :     break;
     771             :   case t_REAL:
     772          21 :     y = ellinit_Rg(x, 1, prec);
     773          21 :     break;
     774             :   case t_VEC:
     775       36337 :     y = ellinit_nf(x, D);
     776       36337 :     break;
     777             :   default:
     778        2562 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     779             :   }
     780             : END:
     781      676410 :   if (!y) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
     782      668430 :   return gerepilecopy(av,y);
     783             : }
     784             : 
     785             : /********************************************************************/
     786             : /**                                                                **/
     787             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     788             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     789             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     790             : /**  verbatim                                                      **/
     791             : /**                                                                **/
     792             : /********************************************************************/
     793             : /* [1,0,0,0] */
     794             : static GEN
     795     3267187 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     796             : static int
     797      456442 : is_trivial_change(GEN v)
     798             : {
     799             :   GEN u, r, s, t;
     800      456442 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     801      456442 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     802      456442 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     803             : }
     804             : 
     805             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     806             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     807             : static void
     808         560 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     809             : {
     810         560 :   GEN v = *vtotal;
     811             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     812             : 
     813        1120 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     814         539 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     815         539 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     816         539 :   U2 = gsqr(U);
     817         539 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     818         539 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     819         539 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     820         539 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     821             : }
     822             : 
     823             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     824             : GEN
     825          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     826             : {
     827             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     828          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     829          21 :   u = gel(w,1);
     830          21 :   r = gel(w,2);
     831          21 :   s = gel(w,3);
     832          21 :   t = gel(w,4);
     833          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     834          21 :   U = ginv(u);
     835          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     836          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     837          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     838          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     839             : }
     840             : 
     841             : static GEN
     842       99218 : ell_to_nfell10(GEN e)
     843             : {
     844             :   long i;
     845       99218 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     846       99218 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     847     1091398 :   for(i=1; i<=10; i++)
     848      992180 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     849       99218 :   return y;
     850             : }
     851             : 
     852             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     853             : static GEN
     854      153363 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     855             : {
     856             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     857             :   long lx;
     858      153363 :   if (gequal1(u)) return e;
     859      152950 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     860      152950 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     861      152950 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     862      152950 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     863      152950 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     864      152950 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     865      152950 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     866      152950 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     867      152950 :   if (lx == 6) return y;
     868      152943 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     869      152943 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     870      152943 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     871      152943 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     872      152943 :   return y;
     873             : }
     874             : /* apply [1,r,0,0] */
     875             : static GEN
     876      267162 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     877             : {
     878             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     879             :   long lx;
     880      267162 :   if (gequal0(r)) return e;
     881      238840 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     882      238840 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     883      238840 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     884             : 
     885      238840 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     886             :   /* A2 = a2 + 3r */
     887      238840 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     888             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     889      238840 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     890             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     891      238840 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     892             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     893      238840 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     894      238840 :   if (lx == 6) return y;
     895             : 
     896      238833 :   b4 = ell_get_b4(e);
     897      238833 :   b6 = ell_get_b6(e);
     898             :   /* B2 = 12r + b2 */
     899      238833 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     900      238833 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     901      238833 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     902             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     903      238833 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     904             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     905      238833 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
     906             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     907      238833 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
     908      238833 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
     909      238833 :   return y;
     910             : }
     911             : 
     912             : static GEN
     913      109550 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
     914             : {
     915             :   GEN a1, y;
     916      109550 :   if (gequal0(s)) return e;
     917      109550 :   a1 = ell_get_a1(e);
     918      109550 :   y = leafcopy(e);
     919             : 
     920             :   /* A1 = a1 + 2s */
     921      109550 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     922             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     923      109550 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     924             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     925      109550 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
     926      109550 :   return y;
     927             : }
     928             : /* apply [1,0,0,t] */
     929             : static GEN
     930      251783 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
     931             : {
     932             :   GEN a1, a3, y;
     933      251783 :   if (gequal0(t)) return e;
     934      251363 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     935      251363 :   y = leafcopy(e);
     936             :   /* A3 = 2t + a3 */
     937      251363 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
     938             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     939      251363 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
     940             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     941      251363 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
     942      251363 :   return y;
     943             : }
     944             : 
     945             : /* apply [1,0,s,t] */
     946             : static GEN
     947       12901 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
     948             : {
     949             :   GEN y, a1, a3;
     950       12901 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
     951       12481 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
     952       12481 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     953       12481 :   y = leafcopy(e);
     954             :   /* A1 = a1 + 2s */
     955       12481 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     956             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     957       12481 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     958             :   /* A3 = 2t + a3 */
     959       12481 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
     960             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
     961       12481 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
     962             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     963       12481 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
     964       12481 :   return y;
     965             : }
     966             : 
     967             : static GEN
     968      171059 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
     969             : {
     970      171059 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
     971      171059 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
     972             : }
     973             : 
     974             : /* apply [1,r,s,t] */
     975             : static GEN
     976         420 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
     977             : {
     978         420 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
     979         420 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
     980             : }
     981             : /* apply w = [u,r,s,t] */
     982             : static GEN
     983         420 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
     984             : {
     985         420 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
     986         420 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
     987         420 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
     988             : }
     989             : 
     990             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     991             : static GEN
     992       73143 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
     993             : {
     994             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
     995             :   long lx;
     996       73143 :   if (gequal1(u)) return e;
     997       72842 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     998       72842 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
     999       72842 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1000       72842 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1001       72842 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1002       72842 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1003       72842 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1004       72842 :   if (lx == 6) return y;
    1005       72842 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1006       72842 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1007       72842 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1008       72842 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1009       72842 :   u12 = gsqr(u6);
    1010       72842 :   D = ell_get_disc(e);
    1011       72842 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1012       72842 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1013       72842 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1014       72842 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1015       72842 :   D = gmul(D, u12);
    1016       72842 :   gel(y,10)= c4;
    1017       72842 :   gel(y,11)= c6;
    1018       72842 :   gel(y,12)= D;
    1019       72842 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1020       72842 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1021       72842 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1022       72842 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1023       72842 :   return y;
    1024             : }
    1025             : /* apply [1,r,0,0] */
    1026             : static GEN
    1027      611114 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1028             : {
    1029             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1030      611114 :   if (gequal0(r)) return e;
    1031      511777 :   y = leafcopy(e);
    1032      511777 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1033      511777 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1034             : 
    1035             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1036      511777 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1037             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1038      511777 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1039             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1040      511777 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1041             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1042      511777 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1043      511777 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1044             : 
    1045      511770 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1046      511770 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1047             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1048      511770 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1049      511770 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1050      511770 :   r2 = gsqr(r);
    1051             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1052      511770 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1053             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1054      511770 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1055             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1056      511770 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1057      511770 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1058      511770 :   return y;
    1059             : }
    1060             : /* apply [1,0,s,0] */
    1061             : static GEN
    1062      117999 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1063             : {
    1064             :   GEN a1, y;
    1065      117999 :   if (gequal0(s)) return e;
    1066      117999 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1067      117999 :   y = leafcopy(e);
    1068             : 
    1069             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1070      117999 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1071             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1072      117999 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1073             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1074      117999 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1075      117999 :   return y;
    1076             : }
    1077             : /* apply [1,0,0,t] */
    1078             : static GEN
    1079      344876 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1080             : {
    1081             :   GEN a1, a3, y;
    1082      344876 :   if (gequal0(t)) return e;
    1083      274967 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1084      274967 :   y = leafcopy(e);
    1085             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1086      274967 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1087             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1088      274967 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1089             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1090      274967 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1091      274967 :   return y;
    1092             : }
    1093             : /* apply [1,0,s,t] */
    1094             : static GEN
    1095      347403 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1096             : {
    1097             :   GEN y, a1, a3;
    1098      347403 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1099      245973 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1100      127974 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1101      127974 :   y = leafcopy(e);
    1102             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1103      127974 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1104             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1105      127974 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1106             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1107      127974 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1108             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1109      127974 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1110             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1111      127974 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1112      127974 :   return y;
    1113             : }
    1114             : /* apply [1,r,s,t] */
    1115             : static GEN
    1116      347403 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1117             : {
    1118      347403 :   e = coordch_r(e, r);
    1119      347403 :   return coordch_st(e, s, t);
    1120             : }
    1121             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1122             : static GEN
    1123       72198 : coordch(GEN e, GEN w)
    1124             : {
    1125       72198 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1126       72198 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1127       72198 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1128             : }
    1129             : 
    1130             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1131             :  * (dynamic data) */
    1132             : static GEN
    1133           7 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1134             : {
    1135           7 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1136           7 :   long prec = valp(p);
    1137           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1138           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1139             :   {
    1140           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1141           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1142             :   }
    1143           7 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1144             :   {
    1145           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1146           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1147           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1148           7 :     U = gmul(U, u);
    1149           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1150           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1151             :   }
    1152           7 :   return E;
    1153             : }
    1154             : 
    1155             : /* common to Q and Rg */
    1156             : static GEN
    1157       36939 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1158             : {
    1159       36939 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1160       36939 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1161         196 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1162       36939 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1163          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1164       36939 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1165             :   {
    1166         196 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1167             :     long i;
    1168         196 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1169         196 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1170             :   }
    1171       36939 :   return E;
    1172             : }
    1173             : 
    1174             : static GEN
    1175          28 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1176             : {
    1177          28 :   GEN p = NULL;
    1178          28 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1179          28 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1180           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1181             : }
    1182             : 
    1183             : static GEN
    1184       36939 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1185             : {
    1186       36939 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1187       36939 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1188       36939 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1189       36932 :   ch_R(E, e, w);
    1190       36932 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1191           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1192       36932 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1193             :   {
    1194        1050 :     if (lg(S) == 2)
    1195             :     { /* model was minimal */
    1196           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1197           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1198           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1199             :     }
    1200             :     else
    1201             :     {
    1202        1043 :       v = gel(S,2);
    1203        1043 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1204        1029 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1205             :       else
    1206             :       {
    1207          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1208          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1209          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1210          14 :         gel(S,2) = v;
    1211             :       }
    1212        1043 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1213             :     }
    1214             :   }
    1215       36932 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1216          56 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1217       36932 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1218           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1219       36932 :   return E;
    1220             : }
    1221             : 
    1222             : static void
    1223         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1224             : {
    1225             :   GEN S;
    1226         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1227          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1228         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1229          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1230         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1231          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1232         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1233          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1234         126 : }
    1235             : 
    1236             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1237             : static GEN
    1238           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1239             : {
    1240           7 :   long prec = 0;
    1241           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1242           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1243           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1244           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1245             : }
    1246             : static GEN
    1247         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1248             : {
    1249         119 :   long prec = 0;
    1250         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1251         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1252         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1253         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1254             : }
    1255             : 
    1256             : static void
    1257       72128 : ell_reset(GEN E)
    1258       72128 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1259             : 
    1260             : GEN
    1261       72149 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1262             : {
    1263       72149 :   pari_sp av = avma;
    1264             :   GEN E;
    1265       72149 :   checkell5(e);
    1266       72149 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1267       72142 :   checkcoordch(w);
    1268       72142 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1269       72142 :   if (lg(E) != 6)
    1270             :   {
    1271       72128 :     ell_reset(E);
    1272       72128 :     switch(ell_get_type(E))
    1273             :     {
    1274           7 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1275           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1276         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1277       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1278           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1279             :     }
    1280             :   }
    1281       72142 :   return gerepilecopy(av, E);
    1282             : }
    1283             : 
    1284             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1285             : static void
    1286      164045 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1287             : {
    1288      164045 :   GEN v = *vtotal;
    1289             :   GEN U2, R, S, T;
    1290      328090 :   if (gequal0(r)) return;
    1291       95683 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1292       95683 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1293       95683 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1294       95683 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1295             : }
    1296             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1297             : static void
    1298      109550 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1299             : {
    1300      109550 :   GEN v = *vtotal;
    1301             :   GEN U, S;
    1302      109550 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1303      109550 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1304      109550 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1305      109550 : }
    1306             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1307             : static void
    1308      253610 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1309             : {
    1310      253610 :   GEN v = *vtotal;
    1311             :   GEN U3, U, T;
    1312      507220 :   if (gequal0(t)) return;
    1313       80304 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1314       80304 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1315       80304 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1316             : }
    1317             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1318             : static void
    1319      251538 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1320             : {
    1321      251538 :   GEN v = *vtotal;
    1322             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1323      503076 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1324      171059 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1325      171059 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1326      171059 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1327      171059 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1328      171059 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1329             : }
    1330             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1331             : static void
    1332      184114 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1333             : {
    1334      184114 :   GEN v = *vtotal;
    1335             :   GEN U3, U, S, T;
    1336      184114 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1337      122031 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1338       12481 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1339       12481 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1340       12481 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1341       12481 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1342             : }
    1343             : 
    1344             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1345             : static void
    1346      152943 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1347             : {
    1348      152943 :   GEN v = *vtotal;
    1349      152943 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1350      152943 : }
    1351             : 
    1352             : /* X = (x-r)/u^2
    1353             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1354             : static GEN
    1355         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1356             : {
    1357             :   GEN a, x, y;
    1358         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1359         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1360         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1361             : }
    1362             : 
    1363             : GEN
    1364         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1365             : {
    1366             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1367         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1368         525 :   pari_sp av = avma;
    1369             : 
    1370         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1371         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1372         525 :   checkcoordch(ch);
    1373         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1374         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1375         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1376         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1377         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1378             :   {
    1379          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1380          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1381          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1382             :   }
    1383             :   else
    1384         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1385         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1386             : }
    1387             : 
    1388             : /* x = u^2*X + r
    1389             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1390             : static GEN
    1391          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1392             : {
    1393             :   GEN a, X, Y;
    1394          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1395          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1396          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1397             : }
    1398             : GEN
    1399          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1400             : {
    1401             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1402          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1403          63 :   pari_sp av = avma;
    1404             : 
    1405          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1406          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1407          63 :   checkcoordch(ch);
    1408          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1409          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1410          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1411          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1412          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1413             :   {
    1414           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1415          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1416           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1417             :   }
    1418             :   else
    1419          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1420          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1421             : }
    1422             : 
    1423             : GEN
    1424       28231 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1425             : {
    1426       28231 :   pari_sp av = avma;
    1427             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1428             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1429             :   GEN V;
    1430       28231 :   checkell(E);
    1431       28231 :   if (!P)
    1432             :   {
    1433             :     GEN a4, a6;
    1434       27188 :     checkell_Fq(E);
    1435       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1436             :     {
    1437             :       case t_ELL_Fp:
    1438             :         {
    1439           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1440           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1441       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1442             :         }
    1443             :       case t_ELL_Fq:
    1444       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1445             :     }
    1446             :   }
    1447        1043 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1448        1043 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1449        1043 :   if (typ(P) == t_INT)
    1450             :   {
    1451        1029 :     if (equali1(P))
    1452         182 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1453         847 :     P = quadpoly(P);
    1454             :   } else
    1455             :   {
    1456          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1457          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1458           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1459             :   }
    1460         861 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1461         861 :   ac = gmul(a, c);
    1462         861 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1463         861 :   D2 = gsqr(D);
    1464         861 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1465         861 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1466         861 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1467         861 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1468         861 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1469         861 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1470         861 :   return gerepilecopy(av, V);
    1471             : }
    1472             : 
    1473             : /********************************************************************/
    1474             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1475             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1476             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1477             : /********************************************************************/
    1478             : 
    1479             : static long
    1480        2618 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1481        2618 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1482             : 
    1483             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1484             :  * ellminimalmodel / get_u; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1485             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1486             :  * Good case if reduction in get_u i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1487             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1488             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1489             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1490             :  * After rescaling in get_u (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1491             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1492             : static long
    1493         364 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1494             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1495             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1496             :   long v4, v6, vD;
    1497             : 
    1498         364 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1499          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1500             : 
    1501             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1502         308 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1503             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1504         301 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1505             : 
    1506             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1507         301 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1508             : 
    1509             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1510         238 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1511         168 :   vD = vali(disc);
    1512         168 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1513         161 :   return -8;
    1514             : }
    1515             : 
    1516             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1517             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1518             : */
    1519             : GEN
    1520         497 : ellminimaltwist(GEN e)
    1521             : {
    1522         497 :   pari_sp av = avma;
    1523         497 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1524             :   long i, lF;
    1525         497 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1526         497 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1527         497 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1528         497 :   disc = ell_get_disc(E);
    1529         497 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1530         497 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1531         497 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1532             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1533             :    * then apply get_u(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3 and
    1534             :    * v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1535        1995 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1536             :   {
    1537        1498 :     GEN p = gel(F, i);
    1538        1498 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1539        1498 :     if (vg < 6) continue;
    1540             :     /* twist by fund. discriminant d2; in get_u, we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1541        1092 :     switch(itou_or_0(p))
    1542             :     {
    1543             :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1544         434 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1545         434 :         break;
    1546             :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1547         294 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1548         294 :         break;
    1549             :       case 2:
    1550         364 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1551         364 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1552         364 :         break;
    1553             :     }
    1554             :   }
    1555         497 :   obj_free(E);
    1556         497 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1557             : }
    1558             : 
    1559             : /*
    1560             : Reference:
    1561             : William A. Stein and Mark Watkins
    1562             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1563             : ANTS 5
    1564             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1565             : */
    1566             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1567             : GEN
    1568         231 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1569             : {
    1570         231 :   pari_sp av = avma;
    1571         231 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1572         231 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1573         231 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1574         231 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1575         231 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1576         217 :   else if (f==6)
    1577             :   {
    1578          14 :     if (v < 3) D = shifti(D, v==0? 3: 1);
    1579             :     else
    1580             :     {
    1581           7 :       long si = (mod32(D)>>3)==1? 1: -1;
    1582           7 :       D = shifti(D, signe(D)==si ? -3: -1);
    1583             :     }
    1584             :   }
    1585         231 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1586             : }
    1587             : 
    1588             : GEN
    1589         441 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1590             : {
    1591         441 :   switch(flag)
    1592             :   {
    1593             :     case 0:
    1594         266 :       return ellminimaltwist(e);
    1595             :     case 1:
    1596         175 :       return ellminimaltwistcond(e);
    1597             :   }
    1598           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1599             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1600             : }
    1601             : 
    1602             : static long
    1603           7 : ellexpo(GEN E)
    1604             : {
    1605           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1606          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1607             :   {
    1608          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1609          35 :     if (f > e) e = f;
    1610             :   }
    1611           7 :   return e;
    1612             : }
    1613             : 
    1614             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1615             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1616             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1617             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1618             : int
    1619       15547 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1620             : {
    1621             :   GEN LHS, RHS, x;
    1622             :   long pl, pr, ex, expx;
    1623             :   pari_sp av;
    1624             : 
    1625       15547 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1626       15470 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1627       15470 :   av = avma;
    1628       15470 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1629       15470 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1630       15470 :   if (gequal0(x)) { avma = av; return 1; }
    1631          21 :   pl = precision(LHS);
    1632          21 :   pr = precision(RHS);
    1633          21 :   if (!pl && !pr) { avma = av; return 0; } /* both of LHS, RHS are exact */
    1634             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1635           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1636           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1637           7 :   expx = gexpo(x);
    1638          13 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1639           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1640           7 :   avma = av; return pr;
    1641             : }
    1642             : 
    1643             : GEN
    1644       16681 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1645             : {
    1646       16681 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1647             : 
    1648       16681 :   checkell(e);
    1649       16681 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1650       16681 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1651       16681 :   tx = typ(gel(x,1));
    1652       16681 :   if (is_vec_t(tx))
    1653             :   {
    1654        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1655        1687 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1656        1687 :     return z;
    1657             :   }
    1658       14994 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1659             : }
    1660             : 
    1661             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1662             : static GEN
    1663        1743 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1664             : {
    1665             :   GEN dy,dx;
    1666        1743 :   if (y1 != y2)
    1667             :   {
    1668             :     int eq;
    1669         245 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1670           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1671             :     else
    1672         238 :       eq = gequal(y1,y2);
    1673         245 :     if (!eq) return NULL;
    1674             :   }
    1675        1736 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1676        1736 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1677        1701 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1678             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1679        1701 :   return gdiv(dy,dx);
    1680             : }
    1681             : 
    1682             : GEN
    1683       13321 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1684             : {
    1685             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1686       13321 :   pari_sp av = avma;
    1687             : 
    1688       13321 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1689       13321 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1690       10920 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1691             : 
    1692        9268 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1693        9268 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1694        9268 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1695             :   {
    1696         476 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1697         476 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1698         476 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1699         476 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1700         476 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1701             :   }
    1702        9268 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1703             :   {
    1704        1743 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1705        1743 :     if (!s) { avma = av; return ellinf(); }
    1706             :   }
    1707             :   else
    1708        7525 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1709        9226 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1710        9226 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1711        9226 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1712        9226 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1713        9226 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1714             : }
    1715             : 
    1716             : static GEN
    1717          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1718             : {
    1719             :   GEN t, x, y;
    1720          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1721          49 :   x = gel(z,1);
    1722          49 :   y = gel(z,2);
    1723          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1724             :   {
    1725           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1726           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1727           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1728             :   }
    1729          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1730          49 :   gel(t,1) = x;
    1731          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1732          49 :   return t;
    1733             : }
    1734             : 
    1735             : GEN
    1736         735 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1737             : {
    1738             :   pari_sp av;
    1739             :   GEN t, y;
    1740         735 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1741         735 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1742         735 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1743         735 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1744         735 :   av = avma;
    1745         735 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1746         735 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1747         735 :   return t;
    1748             : }
    1749             : 
    1750             : GEN
    1751          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1752             : {
    1753          49 :   pari_sp av = avma;
    1754          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1755          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1756             : }
    1757             : 
    1758             : /* E an ell, x a scalar */
    1759             : static GEN
    1760        1470 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1761             : {
    1762        1470 :   pari_sp av = avma;
    1763        1470 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1764             : 
    1765        1470 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1766             :   {
    1767         518 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1768         518 :     x = nftoalg(nf,x);
    1769             :   }
    1770        1470 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1771        1470 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1772        1470 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1773             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1774        1470 :   if (gequal0(D)) {
    1775         336 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1776           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1777         336 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1778         336 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1779         336 :     return gerepileupto(av,y);
    1780             :   }
    1781             :   /* D != 0 */
    1782        1134 :   switch(ell_get_type(E))
    1783             :   {
    1784             :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1785          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1786          28 :       D = gel(D,2);
    1787          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1788           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1789           7 :       break;
    1790             :     case t_ELL_Fq:
    1791         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1792             :       {
    1793          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1794          77 :         if (lg(F) == 1) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1795          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1796             :       }
    1797         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1798          56 :       break;
    1799             :     case t_ELL_Q:
    1800         357 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1801         350 :       if (!issquareall(D,&d)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1802         266 :       break;
    1803             : 
    1804             :     case t_ELL_NF:
    1805             :     {
    1806         511 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1807         511 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1808         511 :       d = nfroots(nf, T);
    1809         511 :       delete_var();
    1810         511 :       if (lg(d) == 1) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    1811         497 :       d = gel(d,1);
    1812         497 :       break;
    1813             :     }
    1814             : 
    1815             :     case t_ELL_Qp:
    1816          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1817          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1818          14 :       if (!issquare(D)) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    1819          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1820          14 :       break;
    1821             : 
    1822             :     default:
    1823           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1824             :   }
    1825         854 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1826         854 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1827         854 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1828         854 :   return gerepileupto(av,y);
    1829             : }
    1830             : 
    1831             : GEN
    1832        1470 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1833             : {
    1834        1470 :   checkell(e);
    1835        1470 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1836             :   {
    1837             :     long i, lx;
    1838           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1839           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1840           0 :     return v;
    1841             :   }
    1842        1470 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1843             : }
    1844             : 
    1845             : GEN
    1846      244062 : ellrandom(GEN E)
    1847             : {
    1848             :   GEN fg;
    1849      244062 :   checkell_Fq(E);
    1850      244062 :   fg = ellff_get_field(E);
    1851      244062 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1852      244034 :     return FF_ellrandom(E);
    1853             :   else
    1854             :   {
    1855          28 :     pari_sp av = avma;
    1856          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1857          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1858          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1859          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1860             :   }
    1861             : }
    1862             : 
    1863             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1864             : static GEN
    1865          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1866             : {
    1867          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1868             :   long ln, vn;
    1869             : 
    1870          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1871           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1872          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1873          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1874          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1875          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1876          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1877          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1878          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1879             :   do
    1880             :   {
    1881          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1882             :     do
    1883             :     {
    1884          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1885          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1886          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1887             :     }
    1888          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1889          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1890          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1891          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1892           7 :     z2 = ginv(z2);
    1893             :   }
    1894           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1895          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1896           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1897          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1898          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1899          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1900          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1901          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1902             : 
    1903          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1904          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1905          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1906          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1907             : 
    1908          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1909          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1910          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1911          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1912          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1913             : }
    1914             : 
    1915             : static GEN
    1916         602 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1917             : static GEN
    1918         175 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1919             : 
    1920             : static GEN
    1921      247925 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1922             : {
    1923      247925 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1924      247925 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1925      247450 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1926             :   else
    1927             :   {
    1928         475 :     pari_sp av = avma;
    1929         475 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1930         474 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1931         475 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1932         428 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1933         428 :     return gerepileupto(av, Q);
    1934             :   }
    1935             : }
    1936             : /* [n] z, n integral */
    1937             : static GEN
    1938      248401 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1939             : {
    1940             :   long s;
    1941      248401 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    1942      248401 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    1943         476 :   s = signe(n);
    1944         476 :   if (!s) return ellinf();
    1945         427 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    1946         427 :   if (is_pm1(n)) return z;
    1947         364 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    1948             : }
    1949             : 
    1950             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    1951             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    1952             : static long
    1953          42 : myroundr(GEN *px)
    1954             : {
    1955          42 :   GEN x = *px;
    1956             :   long e;
    1957          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    1958          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    1959          42 :   if (e >= -5) return NO;
    1960          42 :   return OK;
    1961             : }
    1962             : 
    1963             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    1964             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    1965             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    1966             : static GEN
    1967          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    1968             : {
    1969             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    1970             :   long prec;
    1971             : 
    1972          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    1973          14 :   switch(typ(Q))
    1974             :   {
    1975             :     case t_COMPLEX:
    1976           0 :       D = utoineg(4);
    1977           0 :       v = gel(Q,2);
    1978           0 :       break;
    1979             :     case t_QUAD:
    1980          14 :       D = quad_disc(Q);
    1981          14 :       v = gel(Q,3);
    1982          14 :       break;
    1983             :     default:
    1984           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    1985             :   }
    1986             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    1987          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    1988          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    1989          14 :   prec = precision(tau);
    1990             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    1991             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    1992             :    * Compute f*k */
    1993          14 :   x = gel(tau,1);
    1994          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    1995          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    1996          14 :   switch(myroundr(&fk))
    1997             :   {
    1998           0 :     case NO: return NULL;
    1999           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2000             :   }
    2001          14 :   fk = absi(fk);
    2002             : 
    2003          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2004          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2005             :   {
    2006           0 :     case NO: return NULL;
    2007           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2008             :   }
    2009             : 
    2010          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2011          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2012             :   {
    2013           0 :     case NO: return NULL;
    2014           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2015             :   }
    2016             : 
    2017             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2018          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2019          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2020          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2021          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2022             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2023          14 :   v = dvmdii(absi(v), q, &r);
    2024          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2025          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2026             : }
    2027             : 
    2028             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2029             : static GEN
    2030          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2031             : {
    2032             :   GEN A, B, q;
    2033          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2034          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2035          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2036          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2037             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2038          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2039             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2040             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2041           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2042           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2043           7 :     u = shifti(u, -1);
    2044           7 :     if (signe(u))
    2045             :     {
    2046           0 :       w = gsub(w, u);
    2047           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2048             :     }
    2049             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2050             :   }
    2051          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2052          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2053          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2054          14 :   return elladd(e, A, B);
    2055             : }
    2056             : GEN
    2057      248464 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2058             : {
    2059      248464 :   pari_sp av = avma;
    2060             : 
    2061      248464 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2062      248458 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2063      248401 :   switch(typ(n))
    2064             :   {
    2065      248387 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2066             :     case t_QUAD: {
    2067          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2068          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2069          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2070             :     }
    2071             :     case t_COMPLEX: {
    2072           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2073           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2074             :     }
    2075             :   }
    2076           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2077             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2078             : }
    2079             : 
    2080             : /********************************************************************/
    2081             : /**                                                                **/
    2082             : /**                       Periods                                  **/
    2083             : /**                                                                **/
    2084             : /********************************************************************/
    2085             : 
    2086             : /* References:
    2087             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2088             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2089             : */
    2090             : 
    2091             : static GEN
    2092        3823 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2093             : {
    2094        3823 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2095        3823 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2096        3823 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2097             : }
    2098             : 
    2099             : static GEN
    2100        3018 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2101             : {
    2102        3018 :   pari_sp av = avma;
    2103        3018 :   GEN roots = ellR_roots(E,prec);
    2104        3018 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2105        3018 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2106        3018 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2107             : }
    2108             : 
    2109             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2110             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2111             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2112             : static GEN
    2113        3823 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2114             : {
    2115        3823 :   pari_sp av = avma;
    2116             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2117        3823 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2118         805 :   roots = ellR_roots(E,prec);
    2119         805 :   d2 = gel(roots,5);
    2120         805 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2121         805 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2122         805 :   b = gel(z,2);
    2123         805 :   c = gabs(z, prec);
    2124         805 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2125         805 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2126             : }
    2127             : static GEN
    2128          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2129          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec); return elleta(w, prec); }
    2130             : 
    2131             : GEN
    2132        5096 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2133        5096 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2134             : GEN
    2135          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2136          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2137             : GEN
    2138        5195 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2139        5195 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2140             : 
    2141             : GEN
    2142        2114 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2143             : {
    2144        2114 :   pari_sp av = avma;
    2145             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2146        2114 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2147        2114 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2148        2114 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2149        2114 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2150             : }
    2151             : 
    2152             : /********************************************************************/
    2153             : /**                                                                **/
    2154             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2155             : /**                                                                **/
    2156             : /********************************************************************/
    2157             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2158             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2159             : static GEN
    2160           0 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2161             : {
    2162           0 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2163           0 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2164           0 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2165           0 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2166           0 :   GEN z = gel(om,2);
    2167           0 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2168           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2169             :   else
    2170           0 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2171           0 :   return gmul2n(z, -1);
    2172             : }
    2173             : 
    2174             : static GEN
    2175          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2176             : {
    2177          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2178          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2179          35 :   if (gequal0(y0))
    2180           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2181             :   else
    2182             :   {
    2183          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2184          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2185          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2186          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2187          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2188             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2189          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2190          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2191             :   }
    2192             : }
    2193             : 
    2194             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2195             : static GEN
    2196           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2197             : {
    2198           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2199           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2200             :   else
    2201             :   {
    2202           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2203           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2204           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2205           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2206           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2207           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2208           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2209           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2210             :   }
    2211             : }
    2212             : 
    2213             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2214             : static GEN
    2215           7 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2216             : {
    2217           7 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2218           7 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2219           7 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2220           7 :   e1 = gel(R,1);
    2221           7 :   e2 = gel(R,2);
    2222           7 :   e3 = gel(R,3);
    2223           7 :   d2 = gel(R,5);
    2224           7 :   d3 = gel(R,6);
    2225           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2226           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2227           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2228           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2229           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2230           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2231             :   } else {
    2232           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2233           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2234           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2235           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2236             :   }
    2237             : }
    2238             : 
    2239             : static void
    2240           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2241             : {
    2242           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2243           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2244           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2245           0 : }
    2246             : static GEN
    2247         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2248             : {
    2249         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2250         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2251             : }
    2252             : static GEN
    2253         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2254             : {
    2255         112 :   pari_sp av = avma;
    2256             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2257             :   long vq, vt, Q, R;
    2258         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2259         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2260         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2261         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2262         105 :   x = gel(P,1);
    2263         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2264         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2265         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2266          98 :   r = gsub(a,b);
    2267          98 :   ar = gmul(a, r);
    2268          98 :   if (gequal0(c0))
    2269             :   {
    2270           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2271           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2272             :   }
    2273             :   else
    2274             :   {
    2275          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2276          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2277          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2278          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2279             :   }
    2280          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2281          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2282             : 
    2283          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2284          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2285             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2286          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2287          56 :     vt = valp(t);
    2288             :   else
    2289          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2290          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2291          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2292          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2293          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2294          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2295             : }
    2296             : 
    2297             : static GEN
    2298          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2299             : {
    2300          56 :   pari_sp av = avma;
    2301             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2302             :   long v;
    2303          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2304             : 
    2305          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2306          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2307          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2308          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2309          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2310          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2311          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2312             : 
    2313          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2314          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2315          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2316          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2317          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2318             : }
    2319             : 
    2320             : GEN
    2321         154 : zell(GEN e, GEN z, long prec)
    2322             : {
    2323         154 :   pari_sp av = avma;
    2324             :   GEN t;
    2325             :   long s;
    2326             : 
    2327         154 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2328         154 :   switch(ell_get_type(e))
    2329             :   {
    2330             :     case t_ELL_Qp:
    2331         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    2332         112 :       return ellQp_P2t(e, z, prec);
    2333           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2334          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2335           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", e);
    2336             :   }
    2337          42 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2338          42 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2339          42 :   s = ellR_get_sign(e);
    2340          42 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2341           7 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2342             :   else
    2343          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2344          42 :   return gerepileupto(av,t);
    2345             : }
    2346             : 
    2347             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2348             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2349             : typedef struct {
    2350             :   enum period_type type;
    2351             :   GEN in; /* original input */
    2352             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2353             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2354             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2355             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2356             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2357             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2358             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2359             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2360             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2361             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2362             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2363             :   long prec; /* precision(Z) */
    2364             : } ellred_t;
    2365             : 
    2366             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2367             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2368             : static void
    2369       23569 : set_gamma(GEN t, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2370             : {
    2371       23569 :   GEN a, b, c, d, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2372       23569 :   pari_sp av = avma;
    2373             : 
    2374       23569 :   a = d = gen_1;
    2375       23569 :   b = c = gen_0;
    2376             :   for(;;)
    2377             :   {
    2378       45423 :     GEN m, n = ground(real_i(t));
    2379       45423 :     if (signe(n))
    2380             :     { /* apply T^n */
    2381       27572 :       t = gsub(t,n);
    2382       27572 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2383       27572 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2384             :     }
    2385       45423 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2386       21854 :     t = gneg_i(gdiv(gconj(t), m)); /* apply S */
    2387       21854 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2388       21854 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2389       21854 :     if (gc_needed(av, 1)) {
    2390           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "cxredsl2");
    2391           0 :       gerepileall(av, 5, &t, &a,&b,&c,&d);
    2392             :     }
    2393       21854 :   }
    2394       23569 :   *pa = a;
    2395       23569 :   *pb = b;
    2396       23569 :   *pc = c;
    2397       23569 :   *pd = d;
    2398       23569 : }
    2399             : /* Im t > 0. Return U.t in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2400             :  * Set *pU to U. */
    2401             : GEN
    2402        9002 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2403             : {
    2404        9002 :   pari_sp av = avma;
    2405             :   GEN U, a,b,c,d;
    2406        9002 :   set_gamma(t, &a, &b, &c, &d);
    2407        9002 :   U = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2408        9002 :   t = gdiv(gadd(gmul(a,t), b), gadd(gmul(c,t), d));
    2409        9002 :   gerepileall(av, 2, &t, &U);
    2410        9002 :   *pU = U; return t;
    2411             : }
    2412             : 
    2413             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2414             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2415             : static void
    2416       14567 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2417             : {
    2418             :   long s, p;
    2419       14567 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2420       14567 :   if (isexactzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2421       14567 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2422       14567 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2423             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2424       14567 :   T->swap = (s < 0);
    2425       14567 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2426       14567 :   set_gamma(T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2427             :   /* update lattice */
    2428       14567 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2429       14567 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2430       14567 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2431       14567 :   if (isexactzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2432       14567 :   p = precision(T->Tau); if (!p) p = prec;
    2433       14567 :   T->prec = p;
    2434       14567 : }
    2435             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2436             : static void
    2437       15561 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2438             : {
    2439       15561 :   if (typ(z) != t_COMPLEX) *real = 1;
    2440       10220 :   else if (isexactzero(gel(z,1))) *imag = 1;
    2441       15561 : }
    2442             : static void
    2443        9919 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2444             : {
    2445             :   long p;
    2446             :   GEN Z;
    2447        9919 :   T->abs_u_is_1 = 0;
    2448        9919 :   T->some_z_is_real = 0;
    2449        9919 :   T->some_z_is_pure_imag = 0;
    2450        9919 :   switch(typ(z))
    2451             :   {
    2452        9919 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2453             :     case t_QUAD:
    2454           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2455           0 :       break;
    2456           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2457             :   }
    2458        9919 :   T->z = z;
    2459        9919 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2460        9919 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2461        9919 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2462        9919 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2463        9919 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2464        9919 :   if (typ(Z) != t_COMPLEX) T->abs_u_is_1 = 1;
    2465             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2466        9919 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2467        9919 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2468             :   {
    2469        4858 :     int W2real = 0, W2imag = 0;
    2470        4858 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2471        4858 :     if (W2real)
    2472         378 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2473        4480 :     else if (W2imag)
    2474         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2475             :   }
    2476        9919 :   p = precision(Z);
    2477        9919 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2478          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2479        9919 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2480        9919 :   T->Z = Z;
    2481        9919 : }
    2482             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2483             : static GEN
    2484        8890 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2485             : {
    2486        8890 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2487        8890 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2488        8890 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2489        8890 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2490        4242 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2491             : }
    2492             : /* e is either
    2493             :  * - [w1,w2]
    2494             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2495             :  * - an ellinit structure */
    2496             : static void
    2497       14567 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2498             : {
    2499             :   GEN w, e;
    2500       14567 :   T->q_is_real = 0;
    2501       14567 :   T->some_q_is_real = 0;
    2502       14567 :   switch(T->type)
    2503             :   {
    2504             :     case t_PER_ELL:
    2505             :     {
    2506        1057 :       long pr, p = prec;
    2507        1057 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2508        1057 :       e = T->in;
    2509        1057 :       w = ellR_omega(e, p);
    2510        1057 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2511        1057 :       break;
    2512             :     }
    2513             :     case t_PER_W:
    2514       13328 :       w = T->in; break;
    2515             :     default: /*t_PER_WETA*/
    2516         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2517             :   }
    2518       14567 :   T->w1 = gel(w,1);
    2519       14567 :   T->w2 = gel(w,2);
    2520       14567 :   red_modSL2(T, prec);
    2521       14567 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2522       14567 : }
    2523             : static int
    2524       14574 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2525             : {
    2526             :   GEN w1;
    2527       14574 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2528       14574 :   T->in = e;
    2529       14574 :   switch(lg(e))
    2530             :   {
    2531             :     case 17:
    2532        1064 :       T->type = t_PER_ELL;
    2533        1064 :       break;
    2534             :     case 3:
    2535       13510 :       w1 = gel(e,1);
    2536       13510 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2537       13328 :         T->type = t_PER_W;
    2538             :       else
    2539             :       {
    2540         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2541         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2542             :       }
    2543       13510 :       break;
    2544           0 :     default: return 0;
    2545             :   }
    2546       14574 :   return 1;
    2547             : }
    2548             : static int
    2549       14490 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2550             : {
    2551       14490 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2552       14490 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2553             : }
    2554             : 
    2555             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2556             : static GEN
    2557        9002 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2558             : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
    2559             : GEN
    2560       33600 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
    2561             : 
    2562             : static GEN
    2563       13790 : check_real(GEN q)
    2564       13790 : { return (typ(q) == t_COMPLEX && gequal0(gel(q,2)))? gel(q,1): q; }
    2565             : 
    2566             : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
    2567             : static GEN
    2568       13545 : trueE(GEN tau, long k, long prec)
    2569             : {
    2570             :   pari_sp av;
    2571             :   GEN p1, q, y, qn;
    2572       13545 :   long n = 1;
    2573             : 
    2574       13545 :   if (k == 2) return trueE2(tau, prec);
    2575         245 :   q = expIxy(Pi2n(1, prec), tau, prec);
    2576         245 :   q = check_real(q);
    2577         245 :   y = gen_0;
    2578         245 :   av = avma; qn = gen_1;
    2579        2164 :   for(;; n++)
    2580             :   { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) q^n / (1-q^n) */
    2581        2409 :     qn = gmul(q,qn);
    2582        2409 :     p1 = gdiv(gmul(powuu(n,k-1),qn), gsubsg(1,qn));
    2583        2409 :     if (gequal0(p1) || gexpo(p1) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    2584        2164 :     y = gadd(y, p1);
    2585        2164 :     if (gc_needed(av,2))
    2586             :     {
    2587           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
    2588           0 :       gerepileall(av, 2, &y,&qn);
    2589             :     }
    2590        2164 :   }
    2591         245 :   return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
    2592             : }
    2593             : 
    2594             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2595             : static GEN
    2596       13545 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2597             : {
    2598       13545 :   GEN y = trueE(T->Tau, k, T->prec);
    2599       13545 :   y = gmul(y, gpowgs(mulcxI(gdiv(Pi2n(1,T->prec), T->W2)),k));
    2600       13545 :   return check_real(y);
    2601             : }
    2602             : 
    2603             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2604             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2605             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2606             : GEN
    2607        4438 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2608             : {
    2609        4438 :   pari_sp av = avma;
    2610             :   GEN y;
    2611             :   ellred_t T;
    2612             : 
    2613        4438 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2614        4438 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2615        4438 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2616        4438 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2617        4438 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2618        4011 :   {
    2619        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2620        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2621             :   }
    2622         427 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2623         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2624        4438 :   return gerepileupto(av,y);
    2625             : }
    2626             : 
    2627             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2628             : static GEN
    2629        8925 : _elleta(ellred_t *T)
    2630             : {
    2631        8925 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), 12);
    2632        8925 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2633        8925 :   y1 = gadd(PiI2div(T->W2, T->prec), gmul(T->W1,e2));
    2634        8925 :   retmkvec2(gneg(y1), gneg(y2));
    2635             : }
    2636             : 
    2637             : /* compute eta1, eta2 */
    2638             : GEN
    2639          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2640             : {
    2641          84 :   pari_sp av = avma;
    2642             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2643             :   ellred_t T;
    2644             : 
    2645          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2646          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2647             : 
    2648          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2649          77 :   prec = T.prec;
    2650          77 :   pi = mppi(prec);
    2651          77 :   E2 = trueE2(T.Tau, prec); /* E_2(Tau) */
    2652          77 :   if (signe(T.c))
    2653             :   {
    2654          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2655             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2656          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2657             :   }
    2658          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2659          77 :   if (T.swap)
    2660             :   {
    2661           7 :     y1 = y2;
    2662           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2663             :   }
    2664             :   else
    2665          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2666          77 :   switch(typ(T.w1))
    2667             :   {
    2668             :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2669          49 :       y1 = real_i(y1);
    2670             :   }
    2671          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2672             : }
    2673             : GEN
    2674          42 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2675             : {
    2676          42 :   pari_sp av = avma;
    2677             :   ellred_t T;
    2678          42 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2679          42 :   switch(flag)
    2680             :   {
    2681           7 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2682          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2683           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2684             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2685             :   }
    2686             : }
    2687             : 
    2688             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2689             : static double
    2690        9891 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/LOG2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2691             : 
    2692             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2693             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2694             : static GEN
    2695         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2696             : {
    2697             :   long toadd;
    2698         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    2699             :   GEN pi2, q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2700             :   ellred_t T;
    2701             :   int simple_case;
    2702             : 
    2703         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2704         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    2705         966 :   prec = T.prec;
    2706             : 
    2707             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2708         966 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2709         966 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2710         966 :   u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2711         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2712         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2713         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2714         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2715         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2716         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2717         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2718         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2719         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2720             : 
    2721         966 :   av1 = avma; qn = q;
    2722             :   for(;;)
    2723             :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2724             :     /* analogous formula for yp */
    2725       12560 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2726       12560 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2727       12560 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2728       12560 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2729       12560 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2730       12560 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2731         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2732             :     else
    2733             :     {
    2734       12172 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2735       12172 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2736       12172 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2737       12172 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2738             :     }
    2739       12560 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2740       12560 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2741       12560 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2742             : 
    2743       12560 :     qn = gmul(q,qn);
    2744       12560 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2745       11594 :     if (gc_needed(av1,1))
    2746             :     {
    2747           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2748           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2749             :     }
    2750       11594 :   }
    2751         966 :   if (yp)
    2752             :   {
    2753         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, gconj(gmul(yp,gsqr(u))));
    2754         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2755             :   }
    2756             : 
    2757         966 :   u1 = gdiv(pi2, mulcxmI(T.W2));
    2758         966 :   u2 = gsqr(u1);
    2759         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2760         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2761         567 :     y = real_i(y);
    2762         966 :   if (yp)
    2763             :   {
    2764         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2765         903 :     if (T.some_q_is_real)
    2766             :     {
    2767         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2768         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2769             :     }
    2770         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    2771             :   }
    2772         966 :   return gerepilecopy(av, y);
    2773             : }
    2774             : static GEN
    2775         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2776             : {
    2777             :   long i, k, l;
    2778             :   pari_sp av;
    2779         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2780             : 
    2781         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2782         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2783             : 
    2784         301 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2785         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2786         301 :   switch(PRECDL)
    2787             :   {
    2788         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2789             :     case 6:
    2790         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2791             :     case 4:
    2792         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2793             :     case 2:
    2794         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2795             :   }
    2796         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2797         301 :   av = avma;
    2798         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2799        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2800             :   {
    2801         784 :     av = avma;
    2802         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2803         784 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2804         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2805         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2806         784 :     if (k % 3 == 2)
    2807         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2808             :     else /* same value, more efficient */
    2809         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2810         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2811             :   }
    2812         301 :   return res;
    2813             : }
    2814             : 
    2815             : static int
    2816         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2817             : {
    2818         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2819             :   {
    2820             :     case 17:
    2821         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2822         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2823         203 :       return 1;
    2824             :     case 3:
    2825             :     {
    2826             :       ellred_t T;
    2827          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2828          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2829          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2830          91 :       return 1;
    2831             :     }
    2832             :   }
    2833           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2834           0 :   return 0;
    2835             : }
    2836             : 
    2837             : GEN
    2838          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2839             : {
    2840             :   GEN c4, c6;
    2841          14 :   checkell(e);
    2842          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2843          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2844             : }
    2845             : 
    2846             : GEN
    2847           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2848           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2849             : 
    2850             : GEN
    2851         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2852             : {
    2853         182 :   pari_sp av = avma;
    2854             :   GEN y;
    2855             : 
    2856         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2857         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2858         182 :   y = toser_i(z);
    2859         182 :   if (y)
    2860             :   {
    2861         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2862             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2863         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2864         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2865         105 :     if (gequal0(y)) {
    2866           0 :       avma = av;
    2867           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2868           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2869             :     }
    2870         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2871         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2872         105 :     if (!flag)
    2873         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2874             :     else
    2875             :     {
    2876           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2877           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2878             :     }
    2879             :   }
    2880          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2881          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2882          70 :   return gerepileupto(av, y);
    2883             : }
    2884             : 
    2885             : GEN
    2886         154 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2887             : {
    2888             :   long prec;
    2889         154 :   pari_sp av = avma;
    2890         154 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    2891             :   ellred_t T;
    2892             : 
    2893         154 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2894         154 :   y = toser_i(z);
    2895         154 :   if (y)
    2896             :   {
    2897          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2898             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2899          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2900          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2901          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    2902          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2903          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2904          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2905          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2906             :   }
    2907          63 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2908          63 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2909          63 :   prec = T.prec;
    2910          63 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2911             : 
    2912          63 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2913          63 :   q = expIxy(pi2, T.Tau, prec);
    2914             : 
    2915          63 :   y = mulcxI(gmul(trueE2(T.Tau,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2916          63 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    2917             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    2918          63 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2919          63 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    2920             :     pari_sp av1;
    2921          63 :     u = expIxy(pi2, T.Z, prec);
    2922          63 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2923          63 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2924          63 :     y = gadd(y, v);
    2925             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    2926             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    2927          63 :     av1 = avma;
    2928          63 :     for (qn = q;;)
    2929             :     {
    2930         581 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    2931         581 :       qn = gmul(q,qn);
    2932         581 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2933         518 :       if (gc_needed(av1,1))
    2934             :       {
    2935           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2936           0 :         gerepileall(av1,2, &y,&qn);
    2937             :       }
    2938         518 :     }
    2939          63 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    2940             :   }
    2941          63 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    2942          63 :   if (et) y = gadd(y,et);
    2943          63 :   if (T.some_q_is_real)
    2944             :   {
    2945          63 :     if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    2946          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    2947             :   }
    2948          63 :   return gerepilecopy(av, y);
    2949             : }
    2950             : 
    2951             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    2952             : GEN
    2953        8967 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    2954             : {
    2955             :   long toadd, prec, n;
    2956        8967 :   pari_sp av = avma, av1;
    2957             :   GEN zinit, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    2958             :   GEN u, uhalf, urn, urninv;
    2959             :   ellred_t T;
    2960             : 
    2961        8967 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    2962             : 
    2963        8967 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2964        8967 :   y = toser_i(z);
    2965        8967 :   if (y)
    2966             :   {
    2967          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2968             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2969          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    2970          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    2971          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    2972          91 :     if (gequal0(y)) { avma = av; return zeroser(vy, -v); }
    2973          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2974          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2975             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    2976          91 :     P = integser(serchop0(P));
    2977          91 :     P = gexp(P, prec0);
    2978          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    2979          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2980          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2981             :   }
    2982        8869 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    2983        8869 :   if (!T.Z)
    2984             :   {
    2985           7 :     if (!flag) return gen_0;
    2986           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    2987             :   }
    2988        8862 :   prec = T.prec;
    2989        8862 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    2990        8862 :   pi  = mppi(prec);
    2991             : 
    2992        8862 :   toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    2993        8862 :   uhalf = expIxy(pi, T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    2994        8862 :   u = gsqr(uhalf);
    2995        8862 :   q8 = expIxy(gmul2n(pi2,-3), T.Tau, prec);
    2996        8862 :   q = gpowgs(q8,8);
    2997        8862 :   u = gneg_i(u); uinv = ginv(u);
    2998        8862 :   y = gen_0;
    2999        8862 :   av1 = avma;
    3000        8862 :   qn = q; qn2 = gen_1;
    3001        8862 :   urn = uhalf; urninv = ginv(uhalf);
    3002       58100 :   for(n=0;;n++)
    3003             :   {
    3004       58100 :     y = gadd(y,gmul(qn2,gsub(urn,urninv)));
    3005       58100 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3006       58100 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3007       49238 :     qn  = gmul(q,qn);
    3008       49238 :     urn = gmul(urn,u);
    3009       49238 :     urninv = gmul(urninv,uinv);
    3010       49238 :     if (gc_needed(av1,1))
    3011             :     {
    3012           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3013           0 :       gerepileall(av1,5, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3014             :     }
    3015       49238 :   }
    3016        8862 :   y = gmul(gmul(y,q8),
    3017             :            gdiv(mulcxmI(T.W2), gmul(pi2,gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3018             : 
    3019        8862 :   et = _elleta(&T);
    3020        8862 :   etnew = eta_correction(&T, et);
    3021        8862 :   zinit = gmul(T.Z,T.W2);
    3022        8862 :   etnew = gmul(etnew, gadd(zinit,
    3023             :                            gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1)));
    3024        8862 :   if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) etnew = gadd(etnew, mulcxI(pi));
    3025        8862 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,zinit),gel(et,2)),-1));
    3026        8862 :   if (flag)
    3027             :   {
    3028        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3029        8799 :     if (T.some_q_is_real && T.some_z_is_real)
    3030             :     { /* y = log(some real number): im(y) is 0 or Pi */
    3031          21 :       if (gexpo(imag_i(y)) < 1) y = real_i(y);
    3032             :     }
    3033             :   }
    3034             :   else
    3035             :   {
    3036          63 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3037          63 :     if (T.some_q_is_real)
    3038             :     {
    3039          63 :       if (T.some_z_is_real) y = real_i(y);
    3040          42 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) gel(y,1) = gen_0;
    3041             :     }
    3042             :   }
    3043        8862 :   return gerepilecopy(av, y);
    3044             : }
    3045             : 
    3046             : GEN
    3047         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3048             : {
    3049         966 :   pari_sp av = avma;
    3050             :   GEN v;
    3051             : 
    3052         966 :   checkell(e);
    3053         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3054             :   {
    3055          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3056          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3057             :   }
    3058         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3059         910 :   if (!v) { avma = av; return ellinf(); }
    3060         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3061         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3062         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3063             : }
    3064             : 
    3065             : /********************************************************************/
    3066             : /**                                                                **/
    3067             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3068             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3069             : /**                                                                **/
    3070             : /********************************************************************/
    3071             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3072             : typedef struct {
    3073             :   long a1; /*{0,1}*/
    3074             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3075             :   long a3; /*{0,1}*/
    3076             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3077             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3078             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3079             : } ellmin_t;
    3080             : 
    3081             : /* u from [u,r,s,t] */
    3082             : static void
    3083     1170673 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3084             : {
    3085     1170673 :   M->u = u;
    3086     1170673 :   if (is_pm1(u))
    3087     1107673 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3088             :   else
    3089             :   {
    3090       63000 :     M->u2 = sqri(u);
    3091       63000 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3092       63000 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3093       63000 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3094             :   }
    3095     1170673 : }
    3096             : /* E = original curve */
    3097             : static void
    3098     1170673 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3099             : {
    3100     1170673 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3101     1170673 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3102       63000 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3103       63000 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3104             :   }
    3105     1170673 :   M->c4 = c4;
    3106     1170673 :   M->c6 = c6;
    3107     1170673 : }
    3108             : static void
    3109     1170365 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3110             : {
    3111     1170365 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3112     1170365 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3113     1170365 :   M->D = D;
    3114     1170365 : }
    3115             : static void
    3116     1170526 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3117             : {
    3118             :   long b22, b2;
    3119     1170526 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3120     1170526 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3121     1170526 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3122     1170526 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3123     1170526 : }
    3124             : static void
    3125     1170386 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3126             : {
    3127     1170386 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3128     1170386 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3129     1170386 :   if (odd(b2))
    3130             :   {
    3131      600467 :     a1 = 1;
    3132      600467 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3133             :   }
    3134             :   else
    3135             :   {
    3136      569919 :     a1 = 0;
    3137      569919 :     a2 = b2 >> 2;
    3138             :   }
    3139     1170386 :   M->a1 = a1;
    3140     1170386 :   M->a2 = a2;
    3141     1170386 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3142     1170386 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3143     1170386 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3144     1170386 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3145     1170386 : }
    3146             : static void
    3147     1170358 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3148             : {
    3149     1170358 :   min_set_u(M, u);
    3150     1170358 :   min_set_c(M, E);
    3151     1170358 :   min_set_D(M, E);
    3152     1170358 :   min_set_b(M);
    3153     1170358 :   min_set_a(M);
    3154     1170358 : }
    3155             : static GEN
    3156     1157275 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3157             : {
    3158     1157275 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3159             :   long a11, a13;
    3160     1157275 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3161     1157275 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3162     1157275 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3163     1157275 :   gel(y,4) = M->a4;
    3164     1157275 :   gel(y,5) = M->a6;
    3165     1157275 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3166     1157275 :   gel(y,7) = M->b4;
    3167     1157275 :   gel(y,8) = M->b6;
    3168     1157275 :   a11 = M->a1;
    3169     1157275 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3170     1157275 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3171             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3172     1157275 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3173     1157275 :   gel(y,10)= M->c4;
    3174     1157275 :   gel(y,11)= M->c6;
    3175     1157275 :   gel(y,12)= M->D;
    3176     1157275 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3177     1157275 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3178     1157275 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3179     1157275 :   return y;
    3180             : }
    3181             : static GEN
    3182     1170358 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3183             : {
    3184             :   GEN r, s, t;
    3185     1170358 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3186     1170358 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3187     1170358 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3188     1170358 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3189             : }
    3190             : 
    3191             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3192             : static long
    3193     1682527 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3194             : {
    3195     1682527 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3196     1682527 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3197     1682527 :   if (!signe(c6))
    3198             :   {
    3199        2870 :     d = vD / 12;
    3200        2870 :     if (d)
    3201             :     {
    3202        1071 :       if (p == 2)
    3203             :       {
    3204         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3205         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3206         819 :         if (a) d--;
    3207             :       }
    3208        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3209             :     }
    3210        2870 :     v6 = 12; /* +oo */
    3211             :   }
    3212             :   else
    3213             :   {
    3214     1679657 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3215     1679657 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3216     1679657 :     if (d) {
    3217      181139 :       if (p == 2) {
    3218      109725 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3219      109725 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3220      109725 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3221      109725 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3222       71414 :       } else if (p == 3) {
    3223       45192 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3224             :       }
    3225      181139 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3226             :     }
    3227             :   }
    3228     1682527 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3229             : }
    3230             : static long
    3231      878325 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3232             : {
    3233             :   GEN c6;
    3234             :   long d, v6, vD;
    3235      878325 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3236           7 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3237           7 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3238           7 :   if (!signe(c6))
    3239             :   {
    3240           0 :     d = vD / 12;
    3241           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3242           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3243             :   }
    3244             :   else
    3245             :   {
    3246           7 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3247           7 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3248           7 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3249             :   }
    3250           7 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3251             : }
    3252             : 
    3253             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3254             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3255             :   in the form [f, kod, v, c].
    3256             : 
    3257             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3258             : 
    3259             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3260             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3261             :     I0  -->  1
    3262             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3263             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3264             : 
    3265             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3266             : 
    3267             :   * c is the Tamagawa number.
    3268             : 
    3269             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3270             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3271             : static GEN
    3272     1731086 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3273             : {
    3274     1731086 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3275     1731086 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3276     1731086 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3277     1731086 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3278     1731086 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3279             : }
    3280             : static GEN
    3281           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3282             : {
    3283           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3284           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3285             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3286             : }
    3287             : 
    3288             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3289             : static long
    3290      879095 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3291             : 
    3292             : /* p > 3, e integral */
    3293             : static GEN
    3294      878325 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3295             : {
    3296             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3297      878325 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3298             : 
    3299      878325 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3300      878325 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3301      878325 :   nuj = j_pval(e, p);
    3302      878325 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3303      878325 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3304      878325 :   if (!k) v = init_ch();
    3305             :   else
    3306             :   { /* model not minimal */
    3307             :     ellmin_t M;
    3308       13090 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3309       13090 :     v = min_get_v(&M, e);
    3310       13090 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3311             :   }
    3312             : 
    3313      878325 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3314             :   {
    3315      760690 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3316      760690 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3317             :       {
    3318      392154 :         case  1: c = nuD; break;
    3319      368536 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3320           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3321             :       }
    3322      760690 :       break;
    3323             :     case 6:
    3324             :     {
    3325       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3326       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3327       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3328       45703 :       break;
    3329             :     }
    3330           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3331             :   }
    3332       71932 :   else switch(nuD)
    3333             :   {
    3334          14 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3335       11676 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3336       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3337        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3338        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3339        5635 :       break;
    3340       16835 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3341       16835 :       p2 = sqri(p);
    3342             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3343       16835 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3344             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3345             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3346       16835 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3347       16835 :       break;
    3348       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3349       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3350       11620 :       break;
    3351       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3352        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3353           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3354             :   }
    3355      878325 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3356             : }
    3357             : 
    3358             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3359             : static ulong
    3360      888503 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3361      888503 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3362             : 
    3363             : static ulong
    3364     1421980 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3365             : {
    3366     1421980 :   pari_sp av = avma;
    3367     1421980 :   ulong res = umodiu(diviiexact(ak, pl), p);
    3368     1421980 :   avma = av; return res;
    3369             : }
    3370             : 
    3371             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3372             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3373             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3374             : static long
    3375      244237 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3376             : {
    3377      244237 :   if (p == 2)
    3378             :   {
    3379      141092 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3380      122360 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3381             :   }
    3382             :   /* p = 3 */
    3383      103145 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3384       69027 :   *mult = a * b;
    3385       69027 :   if (b == 2)
    3386       22981 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3387             :   else
    3388       46046 :     return c ? 3 : 2;
    3389             : }
    3390             : 
    3391             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3392             : static long
    3393      788886 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3394             : {
    3395      788886 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3396             :   /* p = 3 */
    3397      301084 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3398             : }
    3399             : 
    3400             : /* p = 2 or 3 */
    3401             : static GEN
    3402      702639 : localred_23(GEN e, long p)
    3403             : {
    3404             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3405             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3406             :   GEN v;
    3407             : 
    3408      702639 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3409      702639 :   if (!k) v = init_ch();
    3410             :   {
    3411             :     ellmin_t M;
    3412      702639 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3413      702639 :     v = min_get_v(&M, e);
    3414      702639 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3415             :   }
    3416             :   /* model is minimal */
    3417      702639 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3418      702639 :   v = init_ch();
    3419      702639 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3420      321587 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3421             : 
    3422      702639 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3423      702520 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3424             :   {
    3425      385917 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3426      195944 :       c = nuD;
    3427             :     else
    3428      189973 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3429      385917 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3430             :   }
    3431      316603 :   if (p == 2)
    3432             :   {
    3433      185773 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3434      185773 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3435      185773 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3436      185773 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3437             :   }
    3438             :   else /* p == 3 */
    3439             :   {
    3440      130830 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3441      130830 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3442      130830 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3443      130830 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3444             :   }
    3445             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3446      316603 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3447      316603 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3448       22274 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3449      294329 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3450       27622 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3451      266707 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3452             :   {
    3453       22470 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3454       11522 :       c = 3;
    3455             :     else
    3456       10948 :       c = 1;
    3457       22470 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3458             :   }
    3459             : 
    3460      244237 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3461       91000 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3462             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3463      244237 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3464      244237 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3465      244237 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3466      244237 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3467             :   {
    3468             :     case 3:
    3469       36001 :       c = a63 ? 1: 2;
    3470       36001 :       if (p == 2)
    3471       18732 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3472             :       else {
    3473       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3474       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3475             :       }
    3476       36001 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3477             :     case 2:
    3478             :     { /* compute nu */
    3479             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3480             :       long al, be, ga;
    3481      130340 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3482             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3483      130340 :       nu = 1;
    3484      130340 :       pk  = utoipos(p2);
    3485      130340 :       p2k = utoipos(p4);
    3486             :       for(;;)
    3487             :       {
    3488      387709 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3489      387709 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3490      387709 :         al = 1;
    3491      387709 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3492      323281 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3493      323281 :         pk1 = pk;
    3494      323281 :         pk  = mului(p, pk);
    3495      323281 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3496             : 
    3497      323281 :         al = a21;
    3498      323281 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3499      323281 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3500      323281 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3501      257369 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3502      257369 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3503      257369 :       }
    3504      130340 :       if (p == 2)
    3505       72254 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3506             :       else
    3507       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3508      130340 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3509             :     }
    3510             :     case 1:
    3511       77896 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3512             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3513       77896 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3514       77896 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3515       77896 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3516             :       {
    3517       29743 :         if (p == 2)
    3518       20286 :           c = 3 - 2 * a64;
    3519             :         else
    3520        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3521       29743 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3522             :       }
    3523       48153 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3524             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3525       48153 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3526       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3527             : 
    3528             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3529       19187 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3530             :   }
    3531             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3532             : }
    3533             : 
    3534             : static GEN
    3535     1580719 : localred(GEN e, GEN p)
    3536             : {
    3537     1580719 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3538      878325 :     return localred_p(e,p);
    3539             :   else
    3540             :   {
    3541      702394 :     long l = itos(p);
    3542      702394 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3543      702394 :     return localred_23(e, l);
    3544             :   }
    3545             : }
    3546             : 
    3547             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3548             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3549             : static GEN
    3550       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3551             : {
    3552       26306 :   GEN b = z;
    3553             :   long i;
    3554       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3555             :   {
    3556       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3557       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3558             :   }
    3559         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3560             :   {
    3561         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3562             :   }
    3563          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3564             : }
    3565             : 
    3566             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3567             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3568             : static GEN
    3569       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3570             : {
    3571       13153 :   GEN b = z;
    3572             :   long i;
    3573       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3574             :   {
    3575       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3576       13104 :     if (s)
    3577             :     {
    3578           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3579           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3580           0 :         b = subii(b, Jz);
    3581             :       else
    3582           0 :         b = addii(b, Jz);
    3583             :     }
    3584       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3585             :   }
    3586         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3587             :   {
    3588          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3589          98 :     if (!s) continue;
    3590          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3591          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3592             :     else
    3593          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3594             :   }
    3595          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3596             : }
    3597             : 
    3598             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3599             : static GEN
    3600        3556 : get_piinv(GEN P)
    3601             : {
    3602        3556 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3603        3556 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3604        3556 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3605             : }
    3606             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3607             : static void
    3608      150122 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3609             : {
    3610      150122 :   if (pr_is_inert(P))
    3611             :   {
    3612      146615 :     *pi = pr_get_p(P);
    3613      146615 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3614             :   }
    3615             :   else
    3616             :   {
    3617        3507 :     *pv = get_piinv(P);
    3618        3507 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3619             :   }
    3620      150122 : }
    3621             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3622             : static GEN
    3623      241787 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3624             : {
    3625      241787 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3626      241787 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3627      241787 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3628             : }
    3629             : 
    3630             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3631             : static GEN
    3632      391531 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3633             : {
    3634      391531 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3635      391531 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3636      391531 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3637             : }
    3638             : 
    3639             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3640             : 
    3641             : static GEN
    3642      216216 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3643             : {
    3644      216216 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3645      216216 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3646      216216 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3647      216216 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3648             : }
    3649             : 
    3650             : static GEN
    3651      584423 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3652             : {
    3653      584423 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3654      584423 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3655      584423 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3656      584423 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3657      584423 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3658             : }
    3659             : 
    3660             : static GEN
    3661       15498 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3662             : {
    3663       15498 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3664       15498 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3665       15498 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3666       15498 :   long n = 1;
    3667             :   while(1)
    3668             :   {
    3669       40166 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3670             :     GEN gama;
    3671       40166 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3672             :     {
    3673        8064 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3674        8064 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3675             :     }
    3676       32102 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3677       32102 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3678       32102 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3679       32102 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3680       32102 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3681             :     {
    3682        7434 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3683        7434 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3684             :     }
    3685       24668 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3686       24668 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3687       24668 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3688       24668 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3689       24668 :   }
    3690             : }
    3691             : 
    3692             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3693             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3694             : 
    3695             : static GEN
    3696       99218 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3697             : {
    3698             :   GEN T, p, modP;
    3699             :   long vD;
    3700             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3701       99218 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3702       99218 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3703       99218 :   ch = init_ch();
    3704       99218 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3705       99218 :   *ap = 0;
    3706             :   while(1)
    3707             :   {
    3708      252161 :     if (vD==0)
    3709         623 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3710             :     else
    3711             :     {
    3712      251538 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3713      251538 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3714      251538 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3715      251538 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3716      251538 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3717             :       GEN x0, y0;
    3718      251538 :       if (absequaliu(p,2))
    3719             :       {
    3720             :         GEN x02, y02;
    3721      164234 :         if (signe(a1))
    3722             :         {
    3723       30163 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3724       30163 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3725       30163 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3726             :         }
    3727             :         else
    3728             :         {
    3729      134071 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3730      134071 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3731             :         }
    3732      164234 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3733             :       }
    3734             :       else
    3735             :       {
    3736       87304 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3737       87304 :         if (signe(a12))
    3738       27510 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3739             :         else
    3740       59794 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3741       87304 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3742             :       }
    3743      251538 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3744      251538 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3745      251538 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3746             :     }
    3747             :     /* 2 */
    3748             :     {
    3749      251538 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3750      251538 :       if (signe(b2) != 0)
    3751             :       {
    3752       57673 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3753       57673 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3754       57673 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3755       27867 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3756             :       }
    3757             :     }
    3758             :     /* 3 */
    3759             :     {
    3760      193865 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3761      193865 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3762             :     }
    3763             :     /* 4 */
    3764             :     {
    3765      191177 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3766      191177 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3767             :     }
    3768             :     /* 5 */
    3769      187481 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3770             :     {
    3771      187481 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3772      187481 :       if (vb6<=2)
    3773             :       {
    3774        3367 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3775        3367 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3776        3367 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3777             :       }
    3778             :     }
    3779             :     /* 6 */
    3780             :     {
    3781      184114 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3782      184114 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3783      184114 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3784             :       GEN po2, E, F, mr;
    3785             :       long i, lE;
    3786      184114 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3787      184114 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3788      184114 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    3789             :       {
    3790       69678 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3791       69678 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3792       69678 :         lE = lg(E);
    3793       69678 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3794             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3795             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3796        4732 :           switch(lE)
    3797             :           {
    3798        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3799        2618 :             case 3: c = 2; break;
    3800         350 :             default: c = 4; break;
    3801             :           }
    3802        4732 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3803             :         }
    3804             :       /* 7 */
    3805       64946 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3806       64946 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3807       64946 :         if (!gequal0(mr))
    3808             :         { /* not so frequent */
    3809       58898 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3810       58898 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3811             :         }
    3812       64946 :         if (lE == 3)
    3813       15498 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3814             :       }
    3815             :     }
    3816      163884 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3817      163884 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3818             :     /*  8 */
    3819      163884 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3820             :     {
    3821        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3822        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3823             :     }
    3824             :     /*  9 */
    3825             :     {
    3826      159425 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3827      159425 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3828      159425 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3829        3948 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3830             :     }
    3831             :     /* 10 */
    3832      155477 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3833        2534 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3834             :     /* 11 */
    3835      152943 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3836      152943 :     vD -= 12;
    3837      152943 :   }
    3838             : }
    3839             : 
    3840             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3841             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3842             : static GEN
    3843       50904 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3844             : {
    3845       50904 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3846             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3847             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3848             : 
    3849       50904 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3850       50904 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3851       50904 :   D = ell_get_disc(e);
    3852       50904 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3853       50904 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3854       50904 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3855       50904 :   m = (vD - nuj)/12;
    3856       50904 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3857             : 
    3858       50904 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3859             :   else
    3860             :   { /* model not minimal */
    3861             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3862       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3863       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3864       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3865       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3866       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3867       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3868       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3869       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3870       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3871       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3872       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3873       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3874       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3875       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3876       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3877       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3878       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3879       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3880             :   }
    3881             : 
    3882       50904 :   kod = 0; c = 1;
    3883             :   /* minimal at P */
    3884       50904 :   if (nuj > 0)
    3885             :   { /* v(j) < 0 */
    3886       47306 :     if (vD == nuj)
    3887             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3888       45213 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3889       45213 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3890       45213 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3891       24059 :         c = vD;/* split */
    3892             :       else
    3893       21154 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    3894             :     }
    3895             :     else
    3896             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3897             :       GEN Du;
    3898        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3899        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3900        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3901        2093 :       if(odd(vD))
    3902             :       {
    3903             :         GEN c6u;
    3904        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3905        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3906        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3907             :       }
    3908        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3909             :     }
    3910             :   }
    3911             :   else
    3912             :   { /* v(j) >= 0 */
    3913        3598 :     f = vD? 2: 0;
    3914        3598 :     switch(vD)
    3915             :     {
    3916             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3917          77 :       case 0: kod = 0; c = 1; break;
    3918         609 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3919         490 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3920         273 :       case 4: kod = 4;
    3921         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3922         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3923         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3924         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3925         273 :         break;
    3926         791 :       case 6: kod = -1;
    3927         791 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3928         791 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3929         791 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3930         791 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3931         791 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3932         791 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3933         791 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3934         791 :         break;
    3935         609 :       case 8: kod = -4;
    3936         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    3937         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3938         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3939         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3940         609 :         break;
    3941         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    3942         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    3943             :     }
    3944             :   }
    3945       50904 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    3946             : }
    3947             : static GEN
    3948      101052 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    3949             : {
    3950      101052 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    3951      101052 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    3952             :   {
    3953             :     long i, ap, vu;
    3954       50148 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    3955       50148 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    3956       50148 :     gel(q,3) = v;
    3957             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    3958       50148 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    3959       50148 :     if (vu > 0)
    3960             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    3961       49231 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    3962       49231 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    3963       49231 :       if (!equali1(D))
    3964             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    3965             :         GEN a;
    3966         399 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    3967             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    3968         399 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    3969         399 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    3970         399 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    3971         399 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    3972             :       }
    3973             :     }
    3974       50148 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    3975       50148 :     return q;
    3976             :   }
    3977       50904 :   return nflocalred_p(E,pr);
    3978             : }
    3979             : 
    3980             : GEN
    3981      195153 : elllocalred(GEN e, GEN p)
    3982             : {
    3983      195153 :   pari_sp av = avma;
    3984      195153 :   checkell(e);
    3985      195153 :   switch(ell_get_type(e))
    3986             :   {
    3987             :     case t_ELL_Q:
    3988       97587 :       if (typ(ell_get_disc(e)) != t_INT)
    3989           0 :         pari_err_TYPE("elllocalred [not an integral curve]",e);
    3990       97587 :       if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("elllocalred [prime]",p);
    3991       97587 :       if (signe(p) <= 0) pari_err_PRIME("elllocalred",p);
    3992       97587 :       return gerepileupto(av, localred(e, p));
    3993           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", e);
    3994             :     case t_ELL_NF:
    3995       97566 :       checkprid(p);
    3996       97566 :       return gerepileupto(av, nflocalred(e, p));
    3997             :   }
    3998             : }
    3999             : 
    4000             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4001             : static GEN
    4002        5222 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4003             : {
    4004        5222 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4005        5222 :   return c;
    4006             : }
    4007             : static GEN
    4008     2294390 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4009             : {
    4010     2294390 :   *pd = NULL;
    4011     2294390 :   switch(typ(c))
    4012             :   {
    4013     2288146 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4014        1022 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4015             :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4016        5222 :       if (nf)
    4017             :       {
    4018        5222 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4019        5222 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4020             :       }
    4021           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4022           0 :       return NULL;
    4023             :   }
    4024             : }
    4025             : /* Return an integral model for e / Q. Set v = NULL (already integral)
    4026             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4027             : GEN
    4028      458878 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4029             : {
    4030      458878 :   GEN a = cgetg(6,t_VEC), t, u, L, nf;
    4031             :   long i, l, k;
    4032             : 
    4033      458878 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4034      458878 :   L = cgetg(1, t_VEC);
    4035     2753268 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4036             :   {
    4037             :     GEN d;
    4038     2294390 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4039     2294390 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4040        1918 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4041             :   }
    4042             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4043      458878 :   l = lg(L); if (l == 1) { if (pv) *pv = NULL; return e; }
    4044         945 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4045         945 :   l = lg(L);
    4046             : 
    4047         945 :   t = gen_1;
    4048        2114 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4049             :   {
    4050        1169 :     GEN p = gel(L,k);
    4051        1169 :     long n = 0, m;
    4052        7014 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4053        5845 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4054             :       {
    4055        3514 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4056        3514 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4057        3514 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4058             :       }
    4059        1169 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4060             :   }
    4061         945 :   u = ginv(t);
    4062         945 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4063         945 :   return coordch_uinv(e, t);
    4064             : }
    4065             : GEN
    4066         224 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4067             : {
    4068         224 :   pari_sp av = avma;
    4069         224 :   checkell(e);
    4070         224 :   switch(ell_get_type(e))
    4071             :   {
    4072             :     case t_ELL_Q:
    4073             :     case t_ELL_Qp:
    4074         224 :     case t_ELL_NF: break;
    4075           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4076             :   }
    4077         224 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4078         224 :   if (!pv || !*pv)
    4079             :   {
    4080         203 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4081         203 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4082             :   }
    4083             :   else
    4084          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4085         224 :   return e;
    4086             : }
    4087             : 
    4088             : static long
    4089        1750 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4090             : {
    4091        1750 :   long N = 1; /* oo */
    4092        1750 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4093        1617 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4094        1750 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4095        1421 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4096        1750 :   return N;
    4097             : }
    4098             : static long
    4099        3115 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4100             : {
    4101        3115 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4102             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4103        3115 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4104             : }
    4105             : static long
    4106        1729 : cardmod2(GEN e)
    4107             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4108        1729 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4109        1729 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4110        1729 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4111        1729 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4112        1729 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4113        1729 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4114             : }
    4115             : static long
    4116        2975 : cardmod3(GEN e)
    4117             : {
    4118        2975 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4119        2975 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4120        2975 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4121        2975 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4122             : }
    4123             : 
    4124             : static ulong
    4125         126 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4126             : 
    4127             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4128             : static void
    4129          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4130             : {
    4131          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4132          28 :   min_set_c(M, E);
    4133          28 :   min_set_b(M);
    4134          28 :   min_set_a(M);
    4135          28 : }
    4136             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4137             : static void
    4138         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4139             : {
    4140         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4141         140 :   min_set_c(M, E);
    4142         140 :   min_set_b(M);
    4143         140 : }
    4144             : 
    4145             : static long
    4146      101262 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4147             : {
    4148      101262 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4149      101262 :   if (vD) /* bad reduction */
    4150             :   {
    4151             :     GEN c6;
    4152             :     long s;
    4153      100954 :     *good_red = 0;
    4154      100954 :     if (vc6) return 0;
    4155       74151 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4156       74151 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4157       74151 :     s = kroiu(c6,p);
    4158       74151 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4159       74151 :     return s;
    4160             :   }
    4161         308 :   *good_red = 1;
    4162         308 :   if (p == 2)
    4163             :   {
    4164             :     ellmin_t M;
    4165          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4166          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4167          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4168             :   }
    4169         287 :   else if (p == 3)
    4170             :   {
    4171             :     ellmin_t M;
    4172         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4173         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4174         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4175             :   }
    4176             :   else
    4177             :   {
    4178             :     ellmin_t M;
    4179         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4180         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4181         147 :     min_set_c(&M, E);
    4182         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4183         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4184             :   }
    4185             : }
    4186             : 
    4187             : static GEN
    4188       98518 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4189             : {
    4190             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4191             :   long vc6, vD, d;
    4192       98518 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4193           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4194           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4195           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4196           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4197           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4198           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4199             :   {
    4200             :     long s;
    4201           0 :     *good_red = 0;
    4202           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4203           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4204           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4205           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4206           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4207             :   }
    4208           0 :   *good_red = 1;
    4209           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4210           0 :   if (d)
    4211             :   {
    4212           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4213           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4214           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4215             :   }
    4216           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4217           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4218             : }
    4219             : 
    4220             : static GEN
    4221      114675 : doellcard(GEN E)
    4222             : {
    4223      114675 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4224      114674 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4225       93835 :     return FF_ellcard(E);
    4226             :   else
    4227             :   {
    4228       20839 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4229       20839 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4230             :   }
    4231             : }
    4232             : 
    4233             : static GEN
    4234      168294 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4235             : {
    4236      168294 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4237      168294 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4238      168294 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4239             :   {
    4240             :     long ap;
    4241       49070 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4242       49070 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4243       49070 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4244         420 :     *good_red = 1;
    4245         420 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4246         420 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4247         420 :     card = FF_ellcard(E);
    4248             :   }
    4249             :   else
    4250             :   {
    4251      119224 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4252      119224 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4253      119224 :     if (vD)
    4254             :     {
    4255             :       GEN c6new;
    4256       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4257       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4258       49168 :       if (vD > 12*d)
    4259             :       { /* bad reduction */
    4260       49119 :         *good_red = 0;
    4261       98238 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4262       43764 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4263       43764 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4264             :       }
    4265          49 :       if (d)
    4266             :       { /* model not minimal at P */
    4267          49 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4268          49 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4269          49 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4270          49 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4271          49 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4272          49 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4273             :       }
    4274             :     }
    4275       70105 :     *good_red = 1;
    4276       70105 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4277       70105 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4278       70105 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4279      141960 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4280       71855 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4281             :   }
    4282       70525 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4283             : }
    4284             : 
    4285             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4286             :  * basis */
    4287             : static GEN
    4288      455476 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4289             : {
    4290             :   GEN P;
    4291      455476 :   if (!signe(a))
    4292        1638 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4293      453838 :   else if (!signe(b))
    4294         945 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4295             :   else
    4296             :   {
    4297      452893 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4298             :     long k, l;
    4299      452893 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4300      344589 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4301      344589 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4302             :     /* d = gcd(A,B) */
    4303      344589 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4304      344589 :     l = lg(P);
    4305      344589 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4306      344589 :     P = shallowconcat1(P);
    4307      344589 :     P = ZV_sort(P);
    4308             :   }
    4309      347172 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4310             : }
    4311             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4312             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4313             : static GEN
    4314      454629 : get_u(GEN E, GEN *pDP)
    4315             : {
    4316             :   pari_sp av;
    4317      454629 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4318      454629 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4319      454629 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4320             :   long l, k;
    4321             : 
    4322      454629 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4323      454629 :   l = lg(P); if (l == 1) { *pDP = P; return gen_1; }
    4324      346465 :   DP = vectrunc_init(l); settyp(DP,t_COL);
    4325      346465 :   av = avma;
    4326      346465 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4327      346465 :   u = gen_1;
    4328      852278 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4329             :   {
    4330      505813 :     GEN p = gel(P, k);
    4331      505813 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4332      505813 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4333             :     {
    4334             :       case 2:
    4335             :       {
    4336             :         long a, b;
    4337       56938 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4338       56938 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4339       56938 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4340       56938 :         break;
    4341             :       }
    4342             :       case 3:
    4343        2324 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4344        2324 :         break;
    4345             :     }
    4346      505813 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4347      505813 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4348             :   }
    4349      346465 :   *pDP = DP;
    4350      346465 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4351             : }
    4352             : 
    4353             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4354             : static GEN
    4355          28 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4356             : {
    4357          28 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4358          28 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4359          28 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4360             : 
    4361          28 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4362          28 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4363          28 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4364          28 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4365          28 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4366          28 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4367          28 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4368          28 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4369          28 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4370          28 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4371             : }
    4372             : 
    4373             : static GEN
    4374        2478 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4375             : {
    4376        2478 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4377        2478 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4378             : }
    4379             : static GEN
    4380         847 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4381             : {
    4382         847 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4383         847 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4384         847 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4385         847 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4386             : }
    4387             : static GEN
    4388         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4389             : {
    4390         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4391         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4392         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4393         784 :   long k, l = lg(P);
    4394         784 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4395         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4396             :   {
    4397         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4398         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    4399             :   }
    4400         784 :   return P;
    4401             : }
    4402             : 
    4403             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4404             : static GEN
    4405         833 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4406             : {
    4407             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4408         833 :   long k, l = lg(P);
    4409         833 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4410         833 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4411         833 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4412         833 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4413         833 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4414        4032 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4415             :   {
    4416        3199 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4417             :     long vu;
    4418        3199 :     v = gel(q,3);
    4419        3199 :     u = gel(v,1);
    4420        3199 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4421        3199 :     if (!vu) continue;
    4422         714 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4423         714 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4424         714 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4425         714 :     vectrunc_append(L, pr);
    4426         714 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4427             :   }
    4428         833 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4429             : }
    4430             : static GEN
    4431         819 : ellminimalprimes(GEN E0)
    4432             : {
    4433             :   GEN E, S, nf, c4, c6, P, Q;
    4434             :   long j, k, l;
    4435             : 
    4436         819 :   if ((S = obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4437          63 :   E = ellintegralmodel_i(E0, NULL);
    4438          63 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4439          63 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4440          63 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4441          63 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4442          63 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4443          63 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4444          63 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4445         217 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4446             :   {
    4447         154 :     GEN pr = gel(P, k);
    4448         154 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4449         147 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4450         147 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4451         147 :     gel(P,j++) = pr;
    4452             :   }
    4453          63 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4454          63 :   return obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4455             : }
    4456             : static GEN
    4457         756 : ellminimalnormu(GEN E0)
    4458             : {
    4459         756 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4460             :   long i, l;
    4461         756 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4462         756 :   S = ellminimalprimes(E);
    4463         756 :   L = gel(S,1);
    4464         756 :   U = gel(S,2);
    4465         756 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4466         756 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4467         756 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4468         756 :   P = factorback2(P, U);
    4469         756 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4470         756 :   return P;
    4471             : }
    4472             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4473             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL), set DP = primes where the
    4474             :  * model is not locally minimal */
    4475             : static GEN
    4476          49 : bnf_get_v(GEN E)
    4477             : {
    4478          49 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4479             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4480             : 
    4481          49 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4482          49 :   S = ellminimalprimes(E);
    4483          49 :   L = gel(S,1);
    4484          49 :   U = gel(S,2);
    4485          49 :   Lr = gel(S,3);
    4486          49 :   Ls = gel(S,4);
    4487          49 :   Lt = gel(S,5);
    4488          49 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4489          49 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4490          28 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4491          28 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4492          28 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4493          28 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4494          28 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4495          28 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4496          28 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4497             : }
    4498             : 
    4499             : GEN
    4500          21 : ellminimaldisc(GEN E)
    4501             : {
    4502          21 :   pari_sp av = avma;
    4503          21 :   checkell(E);
    4504          21 :   switch(ell_get_type(E))
    4505             :   {
    4506             :     case t_ELL_Q:
    4507           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4508           7 :       return gerepileuptoint(av, absi(ell_get_disc(E)));
    4509             :     case t_ELL_NF:
    4510             :     {
    4511          14 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4512          14 :       GEN S = ellminimalprimes(E), L, U, D;
    4513          14 :       L = gel(S,1);
    4514          14 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4515          14 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4516          14 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4517             :     }
    4518           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4519             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4520             :   }
    4521             : }
    4522             : 
    4523             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4524             :  * ellminimalmodel(E) */
    4525             : static GEN
    4526      456204 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4527             : {
    4528             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4529             :   ellmin_t M;
    4530      456204 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4531             :   {
    4532        1575 :     if (lg(S) != 2)
    4533             :     {
    4534         161 :       E = gel(S,3);
    4535         161 :       v = gel(S,2);
    4536             :     }
    4537             :     else
    4538        1414 :       v = init_ch();
    4539        1575 :     if (ptv) *ptv = v;
    4540        1575 :     return gcopy(E);
    4541             :   }
    4542      454629 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4543      454629 :   u = get_u(e, &DP);
    4544      454629 :   min_set_all(&M, e, u);
    4545      454629 :   v = min_get_v(&M, e);
    4546      454629 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4547      454629 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4548      454629 :   if (is_trivial_change(v))
    4549             :   {
    4550      453572 :     v = init_ch();
    4551      453572 :     S = mkvec(DP);
    4552             :   }
    4553             :   else
    4554        1057 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4555      454629 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4556      454629 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4557             : }
    4558             : 
    4559             : static GEN
    4560        1736 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4561             : {
    4562        1736 :   pari_sp av = avma;
    4563        1736 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4564        1736 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4565        1736 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4566        1736 :   DP = gel(S,1);
    4567        1736 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4568        1736 :   if (!ptv)
    4569        1092 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4570             :   else
    4571         644 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4572        1736 :   return y;
    4573             : }
    4574             : 
    4575             : static GEN
    4576          49 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4577             : {
    4578             :   GEN S, y, v, v2;
    4579          49 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4580             :   {
    4581           0 :     switch(lg(S))
    4582             :     {
    4583           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4584           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4585           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4586             :     }
    4587           0 :     *ptv = v;
    4588           0 :     return gcopy(E);
    4589             :   }
    4590          49 :   *ptv = NULL;
    4591          49 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4592          49 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4593          49 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4594             :   {
    4595          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4596          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4597             :   }
    4598          28 :   y = coordch(y, v2);
    4599          28 :   gcomposev(&v, v2);
    4600          28 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4601          28 :   y = coordch(y, v2);
    4602             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4603          28 :   y = obj_reinit(y);
    4604          28 :   gcomposev(&v, v2);
    4605          28 :   if (is_trivial_change(v))
    4606             :   {
    4607           7 :     v = init_ch();
    4608           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4609             :   }
    4610             :   else
    4611             :   {
    4612          21 :     v = lift_if_rational(v);
    4613          21 :     S = mkvec2(v, y);
    4614             :   }
    4615          28 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4616          28 :   *ptv = v; return y;
    4617             : }
    4618             : static GEN
    4619          49 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4620             : {
    4621          49 :   pari_sp av = avma;
    4622          49 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4623          49 :   if (v) /* true change of variable; v = NULL => no minimal model */
    4624             :   {
    4625          28 :     if (!is_trivial_change(v)) (void)ch_Rg(y, E, v);
    4626          28 :     obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4627             :   }
    4628          49 :   if (!v || !ptv)
    4629          21 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4630             :   else
    4631          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4632          49 :   return y;
    4633             : }
    4634             : GEN
    4635        1792 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4636             : {
    4637        1792 :   checkell(E);
    4638        1792 :   switch(ell_get_type(E))
    4639             :   {
    4640        1736 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4641          49 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4642           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4643             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4644             :   }
    4645             : }
    4646             : 
    4647             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4648             :  * update type-dependant components.
    4649             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4650             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4651             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4652             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4653             :  *   fa = factorization of N
    4654             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4655             : static GEN
    4656      454132 : ellQ_globalred(GEN e)
    4657             : {
    4658             :   long k, l, iN;
    4659             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4660             : 
    4661      454132 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    4662      454132 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4663      454132 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4664      454132 :   D  = ell_get_disc(E);
    4665      454132 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4666      454132 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4667      454132 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4668      454132 :   iN = 1;
    4669      454132 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4670      454132 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4671      454132 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4672     1937264 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4673             :   {
    4674     1483132 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4675     1483132 :     if (!signe(ex)) continue;
    4676     1483132 :     gel(NP, iN) = p;
    4677     1483132 :     gel(NE, iN) = ex;
    4678     1483132 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4679     1483132 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4680     1483132 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4681             :   }
    4682      454132 :   setlg(L, iN);
    4683      454132 :   setlg(NP, iN);
    4684      454132 :   setlg(NE, iN);
    4685      454132 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4686             : }
    4687             : static GEN
    4688      463029 : ellglobalred_i(GEN E)
    4689      463029 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4690             : 
    4691             : static GEN
    4692         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4693             : {
    4694             :   GEN c, L, NP, NE;
    4695         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4696         784 :   c = gen_1;
    4697         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4698         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4699         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4700        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4701             :   {
    4702        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4703        3094 :     ex = gel(q,1);
    4704        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4705        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4706        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4707        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4708        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4709             :   }
    4710         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4711         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4712             : }
    4713             : 
    4714             : static GEN
    4715         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4716             : {
    4717             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4718             :   long j, k, l;
    4719             : 
    4720         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4721         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4722         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4723         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4724         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4725         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4726         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4727        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4728             :   {
    4729        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4730        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4731        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4732        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4733             :   }
    4734         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4735         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4736         770 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4737         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4738             : }
    4739             : 
    4740             : GEN
    4741      453971 : ellglobalred(GEN E)
    4742             : {
    4743      453971 :   pari_sp av = avma;
    4744             :   GEN S, gr, v;
    4745      453971 :   checkell(E);
    4746      453971 :   switch(ell_get_type(E))
    4747             :   {
    4748           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4749             :     case t_ELL_Q:
    4750      452942 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4751      452942 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4752      452942 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4753      452942 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4754      452942 :       break;
    4755             :     case t_ELL_NF:
    4756        1029 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4757        1029 :       break;
    4758             :   }
    4759      453971 :   return gerepilecopy(av, v);
    4760             : }
    4761             : 
    4762             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4763             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4764             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4765             :  * and E (shallow insert) */
    4766             : GEN
    4767        1568 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4768             : {
    4769        1568 :   GEN E, S, v = NULL;
    4770        1568 :   checkell_Q(e);
    4771        1568 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4772             :   {
    4773         308 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4774         308 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4775         308 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4776             :   }
    4777        1260 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4778        1246 :     E = e;
    4779             :   else
    4780             :   {
    4781          14 :     v = gel(S,2);
    4782          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4783          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4784             :   }
    4785        1568 :   if (ch) *ch = v;
    4786        1568 :   S = ellglobalred_i(e);
    4787        1568 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4788        1568 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4789        1568 :   if (!S)
    4790             :   {
    4791         602 :     S = doellrootno(E);
    4792         602 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4793             :   }
    4794        1568 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4795        1568 :   return E;
    4796             : }
    4797             : 
    4798             : static GEN
    4799          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4800             : {
    4801          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4802          35 :   return (signe(ell_get_disc(e)) > 0)? shifti(tam,1): icopy(tam);
    4803             : }
    4804             : 
    4805             : static GEN
    4806         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4807             : {
    4808         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4809         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4810             :   long r1, r2;
    4811         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4812         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4813             : }
    4814             : 
    4815             : GEN
    4816          42 : elltamagawa(GEN E)
    4817             : {
    4818          42 :   pari_sp av = avma;
    4819             :   GEN v;
    4820          42 :   checkell(E);
    4821          42 :   switch(ell_get_type(E))
    4822             :   {
    4823           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4824          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4825          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4826             :   }
    4827          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    4828             : }
    4829             : 
    4830             : static GEN
    4831         931 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4832             : {
    4833         931 :   pari_sp av = avma;
    4834         931 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4835         931 :   long r1 = nf_get_r1(nf), r2 = nf_get_r2(nf), n = r1+r2;
    4836             :   GEN Eb, e, L;
    4837             :   long i,j;
    4838         931 :   Eb = cgetg(6, t_VEC);
    4839        5586 :   for(i=1;i<=5; i++)
    4840        4655 :     gel(Eb, i) = nfeltembed(nf,gel(E, i),NULL);
    4841         931 :   e = cgetg(6, t_VEC);
    4842         931 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    4843        4242 :   for(i=1; i<=n; i++)
    4844             :   {
    4845        3311 :     for(j=1;j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    4846        3311 :     gel(L,i) = ellinit_Rg(e, i<=r1, prec);
    4847             :   }
    4848         931 :   return gerepilecopy(av, L);
    4849             : }
    4850             : 
    4851             : static GEN
    4852          91 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P)
    4853             : {
    4854          91 :   pari_sp av = avma;
    4855          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4856          91 :   GEN Px = nfeltembed(nf, gel(P,1), NULL);
    4857          91 :   GEN Py = nfeltembed(nf, gel(P,2), NULL);
    4858          91 :   long i, l = lg(Px);
    4859          91 :   GEN L =  cgetg(l, t_VEC);
    4860          91 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    4861          91 :   return gerepilecopy(av, L);
    4862             : }
    4863             : 
    4864             : static void
    4865         840 : ellnfembed_free(GEN L)
    4866             : {
    4867         840 :   long i, l = lg(L);
    4868         840 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    4869         840 : }
    4870             : 
    4871             : static GEN
    4872          84 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    4873             : {
    4874          84 :   pari_sp av = avma;
    4875          84 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    4876          84 :   long i, l = lg(V);
    4877          84 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    4878          84 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    4879          84 :   ellnfembed_free(V);
    4880          84 :   return gerepilecopy(av, P);
    4881             : }
    4882             : 
    4883             : GEN
    4884          28 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    4885          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    4886             : 
    4887             : GEN
    4888          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    4889          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    4890             : 
    4891             : GEN
    4892          28 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    4893          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    4894             : 
    4895             : static GEN
    4896         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    4897             : {
    4898         756 :   pari_sp av = avma;
    4899         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellminimalnormu(E), prec);
    4900         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    4901        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    4902             :   {
    4903        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    4904        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    4905        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    4906             :   }
    4907         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    4908         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    4909             : }
    4910             : static GEN
    4911         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    4912             : {
    4913         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    4914         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    4915             : }
    4916             : 
    4917             : static GEN
    4918          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    4919             : {
    4920          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    4921          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    4922          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    4923          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    4924             : }
    4925             : 
    4926             : static GEN
    4927          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    4928             : {
    4929          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    4930          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    4931          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    4932          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4933          21 :   if (lg(S) != 2)
    4934             :   { /* switch to minimal model if needed */
    4935          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    4936          14 :     per = gmul(per,u);
    4937             :   }
    4938          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    4939             : }
    4940             : 
    4941             : GEN
    4942          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    4943             : {
    4944          63 :   pari_sp av = avma;
    4945             :   GEN v;
    4946          63 :   checkell(E);
    4947          63 :   switch(ell_get_type(E))
    4948             :   {
    4949           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    4950          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    4951          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    4952             :   }
    4953          63 :   return gerepileupto(av, v);
    4954             : }
    4955             : 
    4956             : /********************************************************************/
    4957             : /**                                                                **/
    4958             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    4959             : /**                                                                **/
    4960             : /********************************************************************/
    4961             : /* x a t_INT */
    4962             : static long
    4963         924 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    4964             : {
    4965             :   long v;
    4966             :   GEN z;
    4967         924 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    4968         791 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    4969         791 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    4970             : }
    4971             : static void
    4972         308 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    4973             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    4974             : {
    4975         308 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    4976         308 :   pari_sp av = avma;
    4977         308 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    4978         308 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    4979         308 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); avma = av;
    4980         308 : }
    4981             : 
    4982             : static long
    4983         308 : kod_23(GEN e, long p)
    4984             : {
    4985             :   GEN S, nv;
    4986         308 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    4987             :   {
    4988         294 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    4989         294 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    4990             :   }
    4991             :   else
    4992          14 :     nv = localred_23(e, p);
    4993         308 :   return itos(gel(nv,2));
    4994             : }
    4995             : 
    4996             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    4997             : static long
    4998         161 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    4999             : {
    5000         161 :   if (kod > 4) return 1;
    5001         119 :   switch(kod)
    5002             :   {
    5003           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5004             :     case 2:
    5005           7 :       if (vD==4) return 1;
    5006             :       else
    5007             :       {
    5008           0 :         if (vD==7) return 3;
    5009           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5010             :       }
    5011             :     case 3:
    5012          63 :       switch(vD)
    5013             :       {
    5014          42 :         case 6: return 3;
    5015           0 :         case 8: return 4;
    5016          14 :         case 9: return 5;
    5017           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5018             :       }
    5019          28 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5020             :     case -1:
    5021           0 :       switch(vD)
    5022             :       {
    5023           0 :         case 9: return 2;
    5024           0 :         case 10: return 4;
    5025           0 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5026             :       }
    5027             :     case -2:
    5028           7 :       switch(vD)
    5029             :       {
    5030           7 :         case 12: return 2;
    5031           0 :         case 14: return 3;
    5032           0 :         default: return 1;
    5033             :       }
    5034             :     case -3:
    5035           0 :       switch(vD)
    5036             :       {
    5037           0 :         case 12: return 2;
    5038           0 :         case 14: return 3;
    5039           0 :         case 15: return 4;
    5040           0 :         default: return 1;
    5041             :       }
    5042           7 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5043           7 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5044             :     case -6:
    5045           0 :       switch(vD)
    5046             :       {
    5047           0 :         case 12: return 2;
    5048           0 :         case 13: return 3;
    5049           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5050             :       }
    5051           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5052           0 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5053             :   }
    5054             : }
    5055             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5056             : static long
    5057         112 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5058             : {
    5059         112 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5060          91 :   switch(kod)
    5061             :   {
    5062          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5063          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5064             :     case -4: case 2:
    5065          28 :       switch (vD%6)
    5066             :       {
    5067           0 :         case 4: return 3;
    5068           0 :         case 5: return 4;
    5069          28 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5070             :       }
    5071             :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5072           7 :       switch (vD%6)
    5073             :       {
    5074           0 :         case 0: return 2;
    5075           0 :         case 1: return 3;
    5076           7 :         default: return 1;
    5077             :       }
    5078             :   }
    5079             : }
    5080             : 
    5081             : static long
    5082         161 : ellrootno_2(GEN e)
    5083             : {
    5084             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5085         161 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5086             : 
    5087         161 :   if (!vD) return 1;
    5088         161 :   if (d) { /* not minimal */
    5089             :     ellmin_t M;
    5090           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5091           7 :     min_set_D(&M, e);
    5092           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5093             :   }
    5094         161 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5095         161 :   kod = kod_23(e,2);
    5096         161 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5097         161 :   if (kod>=5)
    5098             :   {
    5099             :     long a2, a3;
    5100          42 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5101          42 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5102          42 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5103             :   }
    5104         119 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5105         119 :   x1 = u+v+v;
    5106         119 :   switch(kod)
    5107             :   {
    5108           0 :     case 1: return 1;
    5109             :     case 2:
    5110           7 :       switch(n2)
    5111             :       {
    5112             :         case 1:
    5113           7 :           switch(v4)
    5114             :           {
    5115           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5116           0 :             case 5: return 1;
    5117           0 :             default: return -1;
    5118             :           }
    5119           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5120           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5121           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5122           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5123             :       }
    5124             :     case 3:
    5125          63 :       switch(n2)
    5126             :       {
    5127           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5128           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5129          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5130          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5131           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5132          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5133             :       }
    5134             :     case -1:
    5135           0 :       switch(n2)
    5136             :       {
    5137           0 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5138           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5139           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5140           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5141           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5142             :       }
    5143           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5144             :     case -3:
    5145           0 :       switch(n2)
    5146             :       {
    5147           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5148           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5149           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5150           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5151           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5152             :       }
    5153             :     case -5:
    5154           7 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5155           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5156             :     case -6:
    5157           0 :       switch(n2)
    5158             :       {
    5159           0 :         case 1: return 1;
    5160           0 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5161           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5162             :       }
    5163             :     case -7:
    5164           0 :       if (n2==1) return 1;
    5165             :       else
    5166             :       {
    5167           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5168           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5169           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5170             :       }
    5171           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5172           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5173          35 :     default: return -1;
    5174             :   }
    5175             : }
    5176             : 
    5177             : static long
    5178         147 : ellrootno_3(GEN e)
    5179             : {
    5180             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5181         147 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5182             : 
    5183         147 :   if (!vD) return 1;
    5184         147 :   if (d) { /* not minimal */
    5185             :     ellmin_t M;
    5186           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5187           0 :     min_set_a(&M);
    5188           0 :     min_set_D(&M, e);
    5189           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5190             :   }
    5191         147 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5192         147 :   kod = kod_23(e,3);
    5193         147 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5194         112 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5195         112 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5196         112 :   switch(kod)
    5197             :   {
    5198          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5199             :     case 2:
    5200           0 :       switch(n2)
    5201             :       {
    5202           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5203           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5204           0 :         case 3: return 1;
    5205           0 :         case 4: return -K6;
    5206             :       }
    5207             :     case 4:
    5208           7 :       switch(n2)
    5209             :       {
    5210           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5211           0 :         case 2: return -K4;
    5212           0 :         case 3: return -K6;
    5213             :       }
    5214           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5215             :     case -4:
    5216          28 :       switch(n2)
    5217             :       {
    5218             :         case 1:
    5219          28 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5220          28 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5221           0 :         case 2: return -K6;
    5222           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5223           0 :         case 4: return K6;
    5224             :       }
    5225          49 :     default: return -1;
    5226             :   }
    5227             : }
    5228             : 
    5229             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5230             : static long
    5231         770 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5232             : {
    5233             :   long nuj, nuD, nu;
    5234         770 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5235             :   long ep, z;
    5236             : 
    5237         770 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5238         770 :   if (!nuD) return 1;
    5239         770 :   nuj = j_pval(e, p);
    5240         770 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5241         770 :   if (nu == 0)
    5242             :   {
    5243             :     GEN c6;
    5244             :     long d, vg;
    5245         574 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5246             :    /* p || N */
    5247         574 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5248         574 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5249         574 :     d = vg / 12;
    5250         574 :     if (d)
    5251             :     {
    5252           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5253           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5254             :     }
    5255         574 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5256             :     /* c6 in minimal model */
    5257         574 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5258             :   }
    5259         196 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5260         168 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5261         168 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5262         168 :   return krosi(-z, p);
    5263             : }
    5264             : 
    5265             : static GEN
    5266         616 : doellrootno(GEN e)
    5267             : {
    5268         616 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5269         616 :   long i, l, s = -1;
    5270             : 
    5271         616 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5272         616 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5273         616 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5274         616 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5275        1673 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5276             :   {
    5277        1057 :     GEN p = gel(P,i);
    5278             :     long t;
    5279        1057 :     switch(itou_or_0(p))
    5280             :     {
    5281         147 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5282         147 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5283         763 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5284             :     }
    5285        1057 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5286             :   }
    5287         616 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5288             : }
    5289             : 
    5290             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5291             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5292             : static long
    5293          42 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5294             : {
    5295          42 :   pari_sp av = avma;
    5296             :   GEN S;
    5297             :   long s;
    5298          42 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5299          28 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5300          28 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5301             :   {
    5302           7 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5303           7 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5304           7 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5305           0 :     return 1;
    5306             :   }
    5307          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5308             :   {
    5309             :     case 2:
    5310          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5311          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5312             :     case 3:
    5313           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5314           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5315             :     default:
    5316           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5317             :   }
    5318          21 :   avma = av; return s;
    5319             : }
    5320             : 
    5321             : /* global root number over number field
    5322             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5323             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5324             :  */
    5325             : 
    5326             : static GEN
    5327         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5328             : {
    5329             :   long i;
    5330         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5331        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5332        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5333         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5334             : }
    5335             : 
    5336             : static GEN
    5337         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5338             : {
    5339         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5340         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5341         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5342         252 :   delete_var();
    5343         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5344             : }
    5345             : 
    5346             : static GEN
    5347         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5348             : {
    5349         217 :   pari_sp av = avma;
    5350         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5351         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5352         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5353         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5354         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5355         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5356         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5357             : }
    5358             : 
    5359             : static long
    5360         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5361         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5362             : 
    5363             : static long
    5364         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5365             : {
    5366         147 :   pari_sp av = avma;
    5367         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5368         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5369             :   long v;
    5370             :   GEN F;
    5371         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5372         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E));
    5373         147 :   if (lg(F)>1)
    5374             :   {
    5375          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5376          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5377          35 :     obj_free(Et);
    5378          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5379             :   } else
    5380             :   {
    5381         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), 0);
    5382         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E), utoi(4)), 4);
    5383         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(0),-2), prec);
    5384         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5385         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5386         112 :     if (lg(F)>1)
    5387           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5388             :     else
    5389             :     {
    5390         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5391         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5392         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5393         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5394         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5395         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5396         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5397         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5398         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5399         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5400         105 :       v = odd(v2+v3);
    5401             :     }
    5402             :   }
    5403         147 :   avma = av; return v ? -1: 1;
    5404             : }
    5405             : 
    5406             : static GEN
    5407         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5408         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5409             : 
    5410             : long
    5411        1624 : ellrootno_global(GEN e)
    5412             : {
    5413        1624 :   pari_sp av = avma;
    5414             :   GEN S;
    5415        1624 :   switch(ell_get_type(e))
    5416             :   {
    5417             :     case t_ELL_Q:
    5418        1358 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5419        1358 :       break;
    5420             :     case t_ELL_NF:
    5421         266 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5422         266 :       break;
    5423             :     default:
    5424             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5425             :   }
    5426        1624 :   avma = av; return itos(S);
    5427             : }
    5428             : 
    5429             : long
    5430         140 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5431             : {
    5432         140 :   checkell(e);
    5433         140 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5434         140 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5435         140 :   switch(ell_get_type(e))
    5436             :   {
    5437             :     case t_ELL_Q:
    5438          42 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5439           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5440             :     case t_ELL_NF:
    5441          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5442          98 :       return ellrootno_global(e);
    5443             :   }
    5444             : }
    5445             : 
    5446             : /********************************************************************/
    5447             : /**                                                                **/
    5448             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5449             : /**                                                                **/
    5450             : /********************************************************************/
    5451             : 
    5452             : /* assume p does not divide disc E */
    5453             : long
    5454      305777 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5455             : {
    5456             :   ulong a4, a6;
    5457      305777 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5458      304545 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5459      303012 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5460      303012 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5461             : }
    5462             : 
    5463             : static void
    5464         693 : checkell_int(GEN e)
    5465             : {
    5466         693 :   checkell_Q(e);
    5467        1386 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5468        1386 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5469        1386 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5470        1386 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5471         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5472         693 : }
    5473             : 
    5474             : long
    5475        2177 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5476             : {
    5477        2177 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5478        2177 :   long CM = 0;
    5479        2177 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5480             :   {
    5481             :     case 0:
    5482         107 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5483         107 :       break;
    5484         119 :     case 1728: CM = -4; break;
    5485          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5486          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5487          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5488          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5489          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5490           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5491          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5492          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5493           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5494             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5495           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5496           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5497             : #endif
    5498             :   }
    5499        2177 :   return CM;
    5500             : }
    5501             : 
    5502             : /* bad reduction at p */
    5503             : static void
    5504        2688 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5505             : {
    5506             :   ulong m, N;
    5507        2688 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5508             :   {
    5509             :     case -1: /* non-split */
    5510         651 :       N = n/p;
    5511      425823 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5512      425172 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5513         651 :       break;
    5514             :     case 0: /* additive */
    5515        1204 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5516        1204 :       break;
    5517             :     case 1: /* split */
    5518         833 :       N = n/p;
    5519      124862 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5520      124029 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5521         833 :       break;
    5522             :   }
    5523        2688 : }
    5524             : /* good reduction at p */
    5525             : static void
    5526      300303 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5527             : {
    5528      300303 :   const long ap = an[p];
    5529             :   ulong m;
    5530      300303 :   if (p <= SQRTn) {
    5531        9994 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5532       40475 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5533             :     {
    5534       30481 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5535     4572625 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5536     4542144 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5537             :     }
    5538             :   } else {
    5539     1618097 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5540     1327788 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5541             :   }
    5542      300303 : }
    5543             : static void
    5544      302991 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5545             : {
    5546      302991 :   if (good_red)
    5547      300303 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5548             :   else
    5549        2688 :     sievep_bad(p, an, n);
    5550      302991 : }
    5551             : 
    5552             : static long
    5553      302991 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5554             : {
    5555      302991 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5556        2744 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5557             :   else /* good reduction */
    5558             :   {
    5559      300247 :     *good_red = 1;
    5560      300247 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5561             :   }
    5562             : }
    5563             : GEN
    5564        1750 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5565             : {
    5566             :   pari_sp av;
    5567        1750 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5568             :   GEN an;
    5569             :   int CM;
    5570             : 
    5571        1750 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5572        1750 :   if (n >= LGBITS)
    5573           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5574        1750 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5575        1750 :   SQRTn = usqrt(n);
    5576        1750 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5577             : 
    5578        1750 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5579        1750 :   an[1] = 1; av = avma;
    5580     2594607 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5581             :   {
    5582             :     int good_red;
    5583     2592857 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5584      302991 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5585      302991 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5586             :   }
    5587        1750 :   avma = av; return an;
    5588             : }
    5589             : 
    5590             : static GEN
    5591        1477 : ellanQ(GEN e, long N)
    5592        1477 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5593             : 
    5594             : static GEN
    5595       69405 : ellnflocal(void *S, GEN p, long n)
    5596             : {
    5597       69405 :   pari_sp av = avma;
    5598       69405 :   GEN E = (GEN)S;
    5599       69405 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    5600       69405 :   long l = lg(LP), i;
    5601      138831 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5602             :   {
    5603             :     int goodred;
    5604       69426 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5605       69426 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5606       69426 :     long f = pr_get_f(P);
    5607       69426 :     if (goodred)
    5608       69244 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5609             :     else
    5610             :     {
    5611         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5612         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5613             :     }
    5614       69412 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5615       69412 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5616             :   }
    5617       69405 :   if (!T) { avma = av; return pol_1(0); }
    5618       37912 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv(T, n));
    5619             : }
    5620             : 
    5621             : static GEN
    5622         189 : ellnfan(GEN E, long N)
    5623             : {
    5624         189 :   return direuler_bad((void*)E, &ellnflocal, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5625             : }
    5626             : GEN
    5627        1659 : ellan(GEN E, long N)
    5628             : {
    5629        1659 :   checkell(E);
    5630        1659 :   switch(ell_get_type(E))
    5631             :   {
    5632        1470 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5633         189 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5634             :     default:
    5635           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5636             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5637             :   }
    5638             : }
    5639             : 
    5640             : static GEN
    5641         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5642             : {
    5643             :   GEN u, v, w;
    5644             :   long j;
    5645         735 :   if (e == 1) return ap;
    5646         112 :   u = ap;
    5647         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5648         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5649             :   {
    5650          14 :     v = u; u = w;
    5651          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5652             :   }
    5653         112 :   return w;
    5654             : }
    5655             : 
    5656             : GEN
    5657         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5658             : {
    5659             :   long i, j, s;
    5660         693 :   pari_sp av = avma;
    5661             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5662             : 
    5663         693 :   checkell_int(e);
    5664         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5665         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5666         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5667         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5668         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5669         693 :   y = gen_1;
    5670         693 :   s = 1;
    5671         693 :   if (!equalii(u, n))
    5672             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5673         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5674         441 :     P = gel(fa,1);
    5675         441 :     E = gel(fa,2);
    5676        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5677             :     {
    5678         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5679         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5680             :       int good_red;
    5681         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5682         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5683         350 :       j = signe(ap);
    5684         350 :       if (!j) { avma = av; return gen_0; }
    5685         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5686             :     }
    5687             :   }
    5688         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5689         693 :   fa = Z_factor(u);
    5690         693 :   P = gel(fa,1);
    5691         693 :   E = gel(fa,2);
    5692        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5693             :   { /* good reduction */
    5694         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5695         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    5696         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    5697             :   }
    5698         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    5699             : }
    5700             : 
    5701             : GEN
    5702        7315 : ellQ_get_N(GEN e)
    5703        7315 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    5704             : void
    5705         588 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    5706         588 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    5707             : 
    5708             : GEN
    5709          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    5710             : {
    5711          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    5712             :   ulong l, n;
    5713             :   long eps, flun;
    5714             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    5715             : 
    5716          14 :   if (!A) A = gen_1;
    5717             :   else
    5718             :   {
    5719           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    5720           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    5721           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    5722             :   }
    5723          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { avma = av; return gen_0; }
    5724          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    5725          14 :   checkell_Q(e);
    5726          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    5727          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    5728          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    5729          14 :   if (flun && eps < 0) { avma = av; return real_0(prec); }
    5730             : 
    5731          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    5732          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    5733          14 :   cga = gmul(cg, A);
    5734          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    5735          42 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, LOG2) +
    5736          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    5737          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    5738          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    5739          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    5740          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    5741          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    5742          14 :   z = gen_0;
    5743          14 :   av1 = avma;
    5744        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    5745             :   {
    5746        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    5747        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    5748        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    5749             : 
    5750        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    5751        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    5752        1106 :     if (flun)
    5753           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    5754             :     else
    5755             :     {
    5756        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    5757        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    5758        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    5759             :     }
    5760        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    5761        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    5762             :     {
    5763           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    5764           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    5765             :     }
    5766             :   }
    5767          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    5768             : }
    5769             : 
    5770             : /********************************************************************/
    5771             : /**                                                                **/
    5772             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    5773             : /**                                                                **/
    5774             : /********************************************************************/
    5775             : 
    5776             : static GEN
    5777         329 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    5778             : 
    5779             : /* one root of X^2 - t X + c */
    5780             : static GEN
    5781        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    5782             : {
    5783        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    5784             : }
    5785             : 
    5786             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    5787             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    5788             : static GEN
    5789        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    5790             : {
    5791        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    5792        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    5793             : 
    5794        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    5795        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    5796        1106 :   a = gel(ab, 1);
    5797        1106 :   b = gel(ab, 2);
    5798        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    5799        1106 :   x = gsub(x, e1);
    5800        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    5801             : 
    5802        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    5803        1106 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    5804        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    5805        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    5806             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    5807        6049 :   for(n=0;; n++)
    5808             :   {
    5809        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    5810        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    5811        6049 :     r = gsub(a, a0);
    5812        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    5813        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    5814        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    5815             : 
    5816        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    5817        4943 :     p2 = gsqr(a);
    5818        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    5819        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    5820        4943 :   }
    5821        1106 :   if (n) {
    5822        1106 :     x = gel(V,n);
    5823        1106 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    5824             :   } else
    5825           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    5826             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    5827        1106 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs(x_a)));
    5828             : }
    5829             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    5830             : static int
    5831        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    5832             : {
    5833        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    5834        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    5835             : }
    5836             : 
    5837             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    5838             : static GEN
    5839        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    5840             : {
    5841        1106 :   pari_sp av = avma;
    5842             :   GEN h;
    5843        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    5844             :   {
    5845         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    5846             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    5847         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    5848             :   }
    5849             :   else
    5850         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    5851        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    5852        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    5853             : }
    5854             : GEN
    5855        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    5856             : 
    5857             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    5858             : static GEN
    5859          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    5860             : {
    5861          28 :   pari_sp av = avma;
    5862          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    5863          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    5864          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = gconj(w1);
    5865          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    5866          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, gconj(w2)),gmul(w1c, w2));
    5867          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, gconj(z)),gmul(w1c, z)), D);
    5868          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    5869          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    5870          28 :   GEN r = gmul2n(greal(gmul(z, eta)), -1);
    5871          28 :   GEN l = greal(ellsigma(per, z, 1, prec));
    5872          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    5873             : }
    5874             : 
    5875             : static GEN
    5876         140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    5877         140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    5878             : static GEN
    5879          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5880             : {
    5881          35 :   pari_sp av = avma;
    5882          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    5883          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    5884          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    5885             : }
    5886             : GEN
    5887         140 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    5888         140 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n); }
    5889             : GEN
    5890          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    5891          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    5892             : 
    5893             : static GEN
    5894         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    5895             : {
    5896             :   long v1, v2, vD, vu;
    5897         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    5898         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    5899         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    5900         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    5901         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    5902             :   GEN v;
    5903         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    5904         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    5905         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    5906         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    5907         245 :   if (v1<0)
    5908           7 :     vu = 0;
    5909         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    5910         210 :     v = gen_0;
    5911          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    5912             :   {
    5913          21 :     GEN a = gdivsg(minss(2*v2,vD),mulss(2,vD));
    5914          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a),gdivgs(stoi(vD),2));
    5915             :   }
    5916             :   else
    5917             :   {
    5918          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    5919          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? gdivgs(stoi(v2),-3):
    5920          14 :                                     gdivgs(stoi(v3),-8);
    5921             :   }
    5922         245 :   return gsubgs(v,vu);
    5923             : }
    5924             : 
    5925             : static GEN
    5926          91 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    5927             : {
    5928          91 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), disc = ell_get_disc(E);
    5929          91 :   GEN d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, gel(P,1)), 2));
    5930          91 :   GEN F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    5931          91 :   GEN Ee = ellnfembed(E, prec);
    5932          91 :   GEN Pe = ellpointnfembed(E, P);
    5933          91 :   long i, n = lg(Ee), l = lg(F), r1 = nf_get_r1(nf);
    5934          91 :   GEN s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    5935         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    5936         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    5937         119 :   for (   ; i<n; i++)
    5938          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    5939         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    5940             :   {
    5941         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    5942         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    5943         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    5944         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    5945             :   }
    5946          91 :   return gmul2n(s, 1);
    5947             : }
    5948             : 
    5949             : static GEN
    5950         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    5951             : {
    5952             :   long i, lx;
    5953         133 :   pari_sp av = avma;
    5954             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    5955             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    5956             : 
    5957         133 :   checkell_Q(e);
    5958         133 :   checkellpt(a);
    5959         133 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    5960         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    5961         126 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5962             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5963          98 :     if (lg(S) != 2)
    5964             :     {
    5965           7 :       v = gel(S,2);
    5966           7 :       e = gel(S,3);
    5967           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    5968             :     }
    5969             :   }
    5970             :   else
    5971             :   {
    5972          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    5973          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    5974             :   }
    5975         126 :   if (!oncurve(e,a))
    5976           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    5977         119 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    5978         119 :   if (!signe(psi2)) { avma = av; return gen_0; }
    5979         105 :   x = gel(a,1);
    5980         105 :   y = gel(a,2);
    5981         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    5982         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    5983         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    5984         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    5985         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    5986             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    5987             :   );
    5988         105 :   if (!signe(psi3)) { avma=av; return gen_0; }
    5989         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    5990         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    5991         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    5992         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    5993             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    5994             :   );
    5995         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    5996         105 :   D = ell_get_disc(e);
    5997         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    5998         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    5999         105 :   lx = lg(Lp);
    6000         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6001             :   {
    6002         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6003             :     long u, v, n, n2;
    6004         112 :     if (signe(remii(c4,p)))
    6005             :     { /* p \nmid c4 */
    6006          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6007          35 :       if (!N) continue;
    6008          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6009          35 :       if (n > N) n = N;
    6010          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6011          35 :       v = N << 3;
    6012             :     }
    6013             :     else
    6014             :     {
    6015          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6016          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6017          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6018             :     }
    6019             :     /* z -= u log(p) / v */
    6020         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6021             :   }
    6022         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6023             : }
    6024             : 
    6025             : GEN
    6026         224 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6027             : {
    6028         224 :   checkell(e);
    6029         224 :   checkellpt(a);
    6030         224 :   if (ell_is_inf(a)) return gen_0;
    6031         224 :   switch(ell_get_type(e))
    6032             :   {
    6033             :     case t_ELL_Q:
    6034         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6035           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6036             :     case t_ELL_NF:
    6037          91 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6038             :   }
    6039             : }
    6040             : 
    6041             : GEN
    6042          21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6043             : {
    6044             :   GEN D, A, B;
    6045          21 :   long lx = lg(x), i, j;
    6046          21 :   pari_sp av = avma;
    6047             : 
    6048          21 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6049          21 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6050          21 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6051          21 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6052          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6053             :   {
    6054          42 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6055          42 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6056          42 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6057             :   }
    6058          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6059             :   {
    6060          42 :     GEN h = gel(D,i);
    6061          42 :     if (p)
    6062             :     {
    6063          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6064          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6065             :     }
    6066             :     else
    6067          14 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6068          70 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6069             :     {
    6070          28 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6071          28 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6072          28 :       if (p)
    6073             :       {
    6074          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6075          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6076             :       }
    6077             :       else
    6078           7 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6079             :     }
    6080             :   }
    6081          21 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6082             : }
    6083             : GEN
    6084           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6085           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6086             : 
    6087             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6088             : static GEN
    6089          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6090             : {
    6091             :   GEN y;
    6092          21 :   long i, l = lg(P);
    6093          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6094          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6095           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6096           7 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6097           7 :   return y;
    6098             : }
    6099             : GEN
    6100           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6101             : {
    6102           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6103           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6104           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6105           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6106           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6107           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6108           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6109             :   {
    6110           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6111           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6112           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6113             :   }
    6114           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6115             : }
    6116             : /********************************************************************/
    6117             : /**                                                                **/
    6118             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6119             : /**                                                                **/
    6120             : /********************************************************************/
    6121             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6122             : static GEN
    6123           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6124             : {
    6125           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6126           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6127           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6128             : }
    6129             : 
    6130             : GEN
    6131          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6132             : {
    6133             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6134             :   long n, m;
    6135          14 :   pari_sp av = avma;
    6136             : 
    6137          14 :   checkell_Q(e);
    6138          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6139           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6140             : 
    6141           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6142           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6143           7 :   d = ginv(gtoser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec)); setvalp(d,-1);
    6144             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6145             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6146           7 :   c = gsqr(d);
    6147             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6148             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6149             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6150             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6151             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6152             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6153             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6154             :    * */
    6155           7 :   C = c+4;
    6156           7 :   X = x+4;
    6157           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6158           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6159           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6160           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6161         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6162             :   {
    6163         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6164             :     GEN s1, s2, s3;
    6165         105 :     if (n != 2)
    6166             :     {
    6167          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6168          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6169          98 :       s2 = gen_0;
    6170        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6171         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6172          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6173          98 :       s1 = gen_0;
    6174          98 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6175          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6176          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6177             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6178          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6179             :     }
    6180             :     else
    6181             :     {
    6182           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6183           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6184           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6185           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6186           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6187           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6188           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6189           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6190           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6191           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6192             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6193           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6194             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6195           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6196             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6197           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6198           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6199             :     }
    6200         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6201             :   }
    6202           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6203           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6204           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6205           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6206           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6207             : }
    6208             : 
    6209             : /********************************************************************/
    6210             : /**                                                                **/
    6211             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6212             : /**                                                                **/
    6213             : /********************************************************************/
    6214             : static GEN
    6215         833 : doellff_get_o(GEN E)
    6216             : {
    6217         833 :   GEN G = ellgroup(E, NULL), d1 = gel(G,1);
    6218         833 :   return mkvec2(d1, Z_factor(d1));
    6219             : }
    6220             : GEN
    6221        1134 : ellff_get_o(GEN E)
    6222        1134 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6223             : 
    6224             : GEN
    6225         133 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6226             : {
    6227         133 :   pari_sp av = avma;
    6228             :   GEN fg, r;
    6229         133 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6230         133 :   fg = ellff_get_field(E);
    6231         133 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6232         133 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6233          91 :     r = FF_elllog(E, a, g, o);
    6234             :   else
    6235             :   {
    6236          42 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6237          42 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(a,p), gel(e,3), p);
    6238          42 :     GEN Qp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(g,p), gel(e,3), p);
    6239          42 :     r = FpE_log(Pp, Qp, o, gel(e,1), p);
    6240             :   }
    6241         133 :   return gerepileuptoint(av, r);
    6242             : }
    6243             : 
    6244             : GEN
    6245        5236 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6246             : {
    6247             :   GEN fg;
    6248        5236 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6249        5229 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6250        5229 :   fg = ellff_get_field(E);
    6251        5229 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6252        4984 :     return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6253             :   else
    6254             :   {
    6255         245 :     pari_sp av = avma;
    6256         245 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6257         490 :     GEN z = FpE_weilpairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6258         490 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6259         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6260             :   }
    6261             : }
    6262             : 
    6263             : GEN
    6264         294 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6265             : {
    6266             :   GEN fg;
    6267         294 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6268         294 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6269         294 :   fg = ellff_get_field(E);
    6270         294 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6271          91 :     return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6272             :   else
    6273             :   {
    6274         203 :     pari_sp av = avma;
    6275         203 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6276         406 :     GEN z = FpE_tatepairing(FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p),gel(e,3),p),
    6277         406 :                             FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(Q,p),gel(e,3),p),m,gel(e,1),p);
    6278         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(z, p));
    6279             :   }
    6280             : }
    6281             : 
    6282             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6283             : static GEN
    6284     2796612 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6285             : {
    6286     2796612 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6287     2796612 :   if (!signe(D))
    6288             :   {
    6289       97937 :     pari_sp av = avma;
    6290       97937 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6291       97937 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6292             :   }
    6293     2698675 :   *good_red = 1;
    6294     2698675 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6295     2698178 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6296     2696736 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6297     2696736 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6298             : }
    6299             : 
    6300             : static GEN
    6301     3077523 : checkellp(GEN E, GEN p, const char *s)
    6302             : {
    6303             :   GEN q;
    6304     3077523 :   if (p) switch(typ(p))
    6305             :   {
    6306             :     case t_INT:
    6307     2819614 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    6308     2819607 :       break;
    6309             :     case t_VEC:
    6310       99008 :       q = get_prid(p);
    6311       99008 :       if (q) { p = q; break; }
    6312           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    6313             :   }
    6314     3077509 :   checkell(E);
    6315     3077509 :   switch(ell_get_type(E))
    6316             :   {
    6317             :     case t_ELL_Qp:
    6318         119 :       q = ellQp_get_p(E);
    6319         119 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6320          91 :       return q;
    6321             : 
    6322             :     case t_ELL_Fp:
    6323             :     case t_ELL_Fq:
    6324      179628 :       q = ellff_get_p(E);
    6325      179628 :       if (p && !equalii(p, q)) pari_err_TYPE(s,p);
    6326      179628 :       return q;
    6327             :     case t_ELL_NF:
    6328             :     case t_ELL_Q:
    6329     2897762 :       if (p) return p;
    6330             :     default:
    6331          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    6332             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6333             :   }
    6334             : }
    6335             : 
    6336             : GEN
    6337     2947868 : ellap(GEN E, GEN p)
    6338             : {
    6339     2947868 :   pari_sp av = avma;
    6340             :   GEN q, card;
    6341             :   int goodred;
    6342     2947868 :   p = checkellp(E, p, "ellap");
    6343     2947840 :   switch(ell_get_type(E))
    6344             :   {
    6345             :   case t_ELL_Fp:
    6346         105 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6347         105 :     break;
    6348             :   case t_ELL_Fq:
    6349       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6350       54467 :     break;
    6351             :   case t_ELL_Qp:
    6352             :   case t_ELL_Q:
    6353     2794421 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6354     2794421 :     break;
    6355             :   case t_ELL_NF:
    6356       98847 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6357             :   default:
    6358           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6359             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6360             :   }
    6361     2848993 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6362             : }
    6363             : 
    6364             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6365             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6366             : GEN
    6367          70 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6368             : {
    6369          70 :   const ulong minq = 523;
    6370          70 :   checkell_Fq(E);
    6371          70 :   switch(ell_get_type(E))
    6372             :   {
    6373             :   case t_ELL_Fp:
    6374             :     {
    6375          56 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6376          56 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6377          49 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6378             :     }
    6379             :   case t_ELL_Fq:
    6380             :     {
    6381          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6382          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6383           0 :         return FF_ellcard(E);
    6384          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6385             :     }
    6386             :   }
    6387             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6388             : }
    6389             : 
    6390             : GEN
    6391      158509 : ellff_get_card(GEN E)
    6392      158509 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6393             : 
    6394             : GEN
    6395       87998 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6396             : {
    6397       87998 :   p = checkellp(E, p, "ellcard");
    6398       87991 :   switch(ell_get_type(E))
    6399             :   {
    6400             :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6401       85778 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6402             :   case t_ELL_Qp:
    6403             :   case t_ELL_Q:
    6404             :     {
    6405        2191 :       pari_sp av = avma;
    6406             :       int goodred;
    6407        2191 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6408        2191 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6409        2191 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6410             :     }
    6411             :   case t_ELL_NF:
    6412             :     {
    6413          21 :       pari_sp av = avma;
    6414             :       int goodred;
    6415          21 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6416          21 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6417          21 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6418             :     }
    6419             :   default:
    6420           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6421             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6422             :   }
    6423             : }
    6424             : 
    6425             : /* D = [d_1, ..., d_r ] the elementary divisors for E(Fp), r = 0,1,2.
    6426             :  * d_r | ... | d_1 */
    6427             : static GEN
    6428        1771 : ellgen(GEN E, GEN D, GEN m, GEN p)
    6429             : {
    6430        1771 :   pari_sp av = avma;
    6431        1771 :   if (abscmpiu(p, 3)<=0)
    6432             :   {
    6433        1246 :     ulong l = itou(p), r = lg(D)-1;
    6434        1246 :     long a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),l);
    6435        1246 :     long a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),l);
    6436        1246 :     if (r==0) return cgetg(1,t_VEC);
    6437        1169 :     if (l==2)
    6438             :     {
    6439          98 :       long a2 = Rg_to_Fl(ell_get_a2(E),l);
    6440          98 :       long a4 = Rg_to_Fl(ell_get_a4(E),l);
    6441          98 :       long a6 = Rg_to_Fl(ell_get_a6(E),l);
    6442          98 :       switch(a1|(a2<<1)|(a3<<2)|(a4<<3)|(a6<<4))
    6443             :       { /* r==0 : 22, 23, 25, 28, 31 */
    6444             :         case 18: case 29:
    6445           7 :           retmkvec(mkvec2s(1,1));
    6446             :         case 19: case 24: case 26:
    6447           7 :           retmkvec(mkvec2s(0,1));
    6448             :         case 9: case 16: case 17: case 20: case 21: case 27: case 30:
    6449          35 :           retmkvec(mkvec2s(1,0));
    6450             :         default:
    6451          49 :           retmkvec(mkvec2s(0,0));
    6452             :       }
    6453             :     } else
    6454             :     { /* y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6455        1071 :       long b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),l);
    6456        1071 :       long b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E),l);
    6457        1071 :       long b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E),l);
    6458        1071 :       long T1 = (1+b2+2*b4+b6)%3; /* RHS(1) */
    6459             :       long x,y;
    6460        1071 :       if (r==2) /* [2,2] */
    6461          63 :         retmkvec2(mkvec2s(0,a3),mkvec2s(1,Fl_add(a1,a3,3)));
    6462             :       /* cyclic, order d_1 */
    6463        1008 :       y = absequaliu(gel(D,1),2)? 0 : 1;
    6464        1008 :       if (absequaliu(gel(D,1),6)) /* [6] */
    6465             :       {
    6466         189 :         long b8 = Rg_to_Fl(ell_get_b8(E),l);
    6467         189 :         x = (b6==1 && b8!=0) ? 0 : (T1==1 && (b2+b8)%3!=0) ? 1 : 2;
    6468             :       }
    6469             :       else /* [2],[3],[4],[5],[7] */
    6470             :       { /* Avoid [x,y] singular, iff b2 x + b4 = 0 = y. */
    6471         819 :         if (y == 1)
    6472         630 :           x = (b6==1) ? 0 : (T1==1) ? 1 : 2;
    6473             :         else
    6474         189 :           x = (b6==0 && b4) ? 0 : (T1==0 && (b2 + b4) % 3) ? 1 : 2;
    6475             :       }
    6476        1008 :       retmkvec(mkvec2s(x,(2*y+a1*x+a3)%3));
    6477             :     }
    6478             :   }
    6479             :   else
    6480             :   {
    6481         525 :     GEN e = ell_to_a4a6_bc(E, p), a4 = gel(e, 1), a6 = gel(e, 2);
    6482         525 :     return gerepileupto(av, Fp_ellgens(a4,a6,gel(e,3),D,m,p));
    6483             :   }
    6484             : }
    6485             : 
    6486             : static GEN
    6487       22848 : ellgroup_m(GEN E, GEN p)
    6488             : {
    6489       22848 :   GEN a4, a6, G, m = gen_1, N = ellcard(E, p);
    6490       22848 :   if (equali1(N)) { G = cgetg(1,t_VEC); goto END; }
    6491       22771 :   if (absequaliu(p, 2)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6492       22673 :   if (absequaliu(p, 3))
    6493             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6494             :     ulong b2, b4, b6;
    6495        1071 :     if (!absequaliu(N, 4)) { G = mkvec(N); goto END; }
    6496             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6497             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6498         252 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6499         252 :     if (b6) { G = mkvec(N); goto END; }
    6500             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6501         126 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6502         126 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6503         126 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) { G = mkvec(N); goto END; }
    6504          63 :     G = mkvec2s(2, 2); goto END;
    6505             :   } /* Now assume p > 3 */
    6506       21602 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6507       21602 :   G = Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, &m);
    6508             : END:
    6509       22848 :   return mkvec2(G, m);
    6510             : }
    6511             : 
    6512             : static GEN
    6513       38766 : doellgroup(GEN E)
    6514             : {
    6515       38766 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6516       38766 :   return typ(fg) == t_FFELT ? FF_ellgroup(E): ellgroup_m(E, fg);
    6517             : }
    6518             : 
    6519             : GEN
    6520       39305 : ellff_get_group(GEN E)
    6521       39305 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellgroup); }
    6522             : 
    6523             : /* E / Fp */
    6524             : static GEN
    6525       16828 : doellgens(GEN E)
    6526             : {
    6527       16828 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6528       16828 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6529       16772 :     return FF_ellgens(E);
    6530             :   else
    6531             :   {
    6532          56 :     GEN e, Gm, F, p = fg;
    6533          56 :     e = ellff_get_a4a6(E);
    6534          56 :     Gm = ellff_get_group(E);
    6535          56 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), gel(Gm,1),gel(Gm,2), p);
    6536          56 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6537             :   }
    6538             : }
    6539             : 
    6540             : GEN
    6541       16905 : ellff_get_gens(GEN E)
    6542       16905 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6543             : 
    6544             : GEN
    6545       22799 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6546             : {
    6547       22799 :   pari_sp av = avma;
    6548             :   GEN G;
    6549       22799 :   p = checkellp(E,p, "ellgroup");
    6550       22792 :   if (ell_over_Fq(E)) G = ellff_get_group(E);
    6551         392 :   else                G = ellgroup_m(E,p); /* t_ELL_Q */
    6552       22792 :   return gerepilecopy(av, gel(G,1));
    6553             : }
    6554             : 
    6555             : GEN
    6556       21350 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6557             : {
    6558       21350 :   pari_sp av = avma;
    6559             :   GEN V;
    6560       21350 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6561        1855 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6562        1855 :   p = checkellp(E, p, "ellgroup");
    6563        1848 :   if (!ell_over_Fq(E))
    6564             :   { /* t_ELL_Q / t_ELL_Qp */
    6565        1771 :     GEN Gm = ellgroup_m(E, p), G = gel(Gm,1), m = gel(Gm,2);
    6566        1771 :     GEN F = FpVV_to_mod(ellgen(E,G,m,p), p);
    6567        1771 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(ZV_prod(G),G,F));
    6568             :   }
    6569          77 :   V = mkvec3(ellff_get_card(E), gel(ellff_get_group(E), 1), ellff_get_gens(E));
    6570          77 :   return gerepilecopy(av, V);
    6571             : }
    6572             : 
    6573             : GEN
    6574       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6575             : {
    6576       16842 :   checkell(E);
    6577       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6578             :   {
    6579             :     case t_ELL_Q:
    6580           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6581             :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6582       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6583             :     default:
    6584           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6585             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6586             :   }
    6587             : }
    6588             : 
    6589             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6590             : static GEN
    6591       22540 : ellfromj_simple(GEN j)
    6592             : {
    6593       22540 :   pari_sp av = avma;
    6594       22540 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6595       22540 :   GEN E = zerovec(5);
    6596       22540 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6597       22540 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6598             : }
    6599             : GEN
    6600       33817 : ellfromj(GEN j)
    6601             : {
    6602       33817 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6603             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6604       33817 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6605             :   {
    6606             :     case 2:
    6607        3549 :       if (gequal0(j))
    6608           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6609             :       else
    6610        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6611             :     case 3:
    6612        7637 :       if (gequal0(j))
    6613           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6614             :       else
    6615             :       {
    6616        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6617        7630 :         pari_sp av = avma;
    6618        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6619        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6620        7630 :         return E;
    6621             :       }
    6622             :   }
    6623       22631 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6624       22603 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6625       22540 :   return ellfromj_simple(j);
    6626             : }
    6627             : 
    6628             : /********************************************************************/
    6629             : /**                                                                **/
    6630             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6631             : /**                                                                **/
    6632             : /********************************************************************/
    6633             : 
    6634             : int
    6635      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6636             : {
    6637      164703 :   pari_sp av = avma;
    6638             :   int res;
    6639             : 
    6640      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6641         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6642         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6643         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6644      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6645      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6646      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6647      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6648      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6649             :   } else {
    6650           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6651             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6652             :   }
    6653      164696 :   avma = av;
    6654      164696 :   return res;
    6655             : }
    6656             : 
    6657             : int
    6658      164906 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6659             : {
    6660             :   pari_sp av;
    6661             :   GEN j;
    6662             :   int res;
    6663      164906 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6664       17003 :   j = ell_get_j(E);
    6665       17003 :   p = checkellp(E, p, "ellissupersingular");
    6666       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    6667             :   {
    6668             :   case t_ELL_Fp:
    6669             :   case t_ELL_Fq:
    6670       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6671             :   case t_ELL_Qp:
    6672             :   case t_ELL_Q:
    6673          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6674          21 :     av = avma;
    6675          21 :     res = Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j, p), p);
    6676          21 :     avma = av; return res;
    6677             :   case t_ELL_NF:
    6678             :     {
    6679         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6680         140 :       av = avma;
    6681         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    6682         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    6683             :       {
    6684          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    6685           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6686             :       }
    6687             :       else
    6688         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    6689         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    6690         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    6691          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6692             :       else
    6693          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6694         126 :       avma = av; return res;
    6695             :     }
    6696             :   default:
    6697           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    6698             :   }
    6699             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6700             : }
    6701             : 
    6702             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6703             : static GEN
    6704        5047 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    6705             : {
    6706             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    6707        5047 :   if (n==0) return pol_0(v);
    6708        5047 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    6709        1169 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    6710        1169 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    6711        1169 :   if (n==3)
    6712         644 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    6713             :   else
    6714             :   {
    6715         525 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    6716         525 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    6717         525 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    6718             :   }
    6719        1169 :   setvarn(res, v); return res;
    6720             : }
    6721             : 
    6722             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    6723             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    6724             : static GEN
    6725        4165 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    6726             : {
    6727             :   GEN ret;
    6728        4165 :   long m = n/2;
    6729        4165 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    6730        2436 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    6731         728 :   else if (odd(n))
    6732             :   {
    6733         441 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6734             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    6735         441 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    6736             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    6737         441 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    6738         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    6739             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    6740         336 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    6741             :   }
    6742             :   else
    6743             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    6744         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    6745             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    6746         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    6747             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    6748         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    6749             :   }
    6750        2436 :   gel(t,n) = ret;
    6751        2436 :   return ret;
    6752             : }
    6753             : 
    6754             : GEN
    6755        3549 : elldivpol(GEN e, long n, long v)
    6756             : {
    6757        3549 :   pari_sp av = avma;
    6758             :   GEN f, D, N;
    6759        3549 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6760        3549 :   if (v==-1) v = 0;
    6761        3549 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6762        3549 :   N = characteristic(D);
    6763        3549 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6764        3549 :   if (n<0) n = -n;
    6765        3549 :   if (n==1 || n==3)
    6766         189 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6767             :   else
    6768             :   {
    6769        3360 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6770        3360 :     setvarn(d2,v);
    6771        3360 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6772        3360 :     if (n <= 4)
    6773        3150 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    6774             :     else
    6775         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    6776        3360 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    6777             :   }
    6778        3549 :   return gerepilecopy(av, f);
    6779             : }
    6780             : 
    6781             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    6782             : GEN
    6783         392 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    6784             : {
    6785         392 :   pari_sp av = avma;
    6786             :   GEN d2, D, N, A, B;
    6787         392 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    6788         392 :   if (v==-1) v = 0;
    6789         392 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    6790         392 :   N = characteristic(D);
    6791         392 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    6792         392 :   if (n < 0) n = -n;
    6793         392 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    6794         392 :   setvarn(d2,v);
    6795         392 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    6796         392 :   if (n == 0)
    6797             :   {
    6798          21 :     A = pol_0(v);
    6799          21 :     B = pol_0(v);
    6800             :   }
    6801         371 :   else if (n == 1)
    6802             :   {
    6803           7 :     A = pol_1(v);
    6804           7 :     B = pol_x(v);
    6805             :   }
    6806         364 :   else if (n == 2)
    6807             :   {
    6808         112 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    6809         112 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6810         112 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    6811         112 :     A = d2;
    6812             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    6813         112 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    6814         112 :     setvarn(B,v);
    6815             :   }
    6816             :   else
    6817             :   {
    6818         252 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    6819         252 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    6820         252 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    6821         252 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    6822         252 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    6823         252 :     if (!odd(n))
    6824           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    6825             :     else
    6826         245 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    6827             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    6828         252 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    6829             :   }
    6830         392 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    6831             : }

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