Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC and MODULAR FUNCTIONS **/
18 : /** (as complex or p-adic functions) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
25 :
26 : /********************************************************************/
27 : /** Periods **/
28 : /********************************************************************/
29 : /* The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic
30 : * logarithms; John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914 */
31 :
32 : static GEN
33 44881 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
34 : {
35 44881 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
36 44881 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
37 44881 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
38 : }
39 :
40 : static GEN
41 36651 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
42 : {
43 36651 : pari_sp av = avma;
44 36651 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
45 36651 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
46 36651 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
47 36651 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
48 : }
49 :
50 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
51 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
52 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
53 : static GEN
54 44881 : doellR_omega(GEN E, long prec)
55 : {
56 44881 : pari_sp av = avma;
57 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
58 44881 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
59 8230 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
60 8230 : d2 = gel(roots,5);
61 8230 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
62 8230 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
63 8230 : b = gel(z,2);
64 8230 : c = gabs(z, prec);
65 8230 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
66 8230 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
67 : }
68 : static GEN
69 60 : doellR_eta(GEN E, long prec)
70 60 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
71 :
72 : GEN
73 79416 : ellR_omega(GEN E, long prec)
74 79416 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
75 : GEN
76 72 : ellR_eta(GEN E, long prec)
77 72 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
78 :
79 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
80 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
81 : static GEN
82 12 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
83 : {
84 12 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
85 12 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
86 12 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
87 12 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
88 12 : GEN z = gel(om,2);
89 12 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
90 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
91 : else
92 12 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
93 12 : return gmul2n(z, -1);
94 : }
95 :
96 : static GEN
97 24630 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
98 : {
99 24630 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
100 24630 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
101 24630 : if (gequal0(y0))
102 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
103 : else
104 : {
105 24630 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
106 24630 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
107 24630 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
108 24630 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
109 24630 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
110 : /* |a+b| < |a-b| */
111 24630 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
112 24630 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
113 : }
114 : }
115 :
116 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
117 : static GEN
118 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
119 : {
120 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
121 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
122 : else
123 : {
124 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
125 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
126 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
127 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
128 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
129 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
130 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
131 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
132 : }
133 : }
134 :
135 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
136 : static GEN
137 24 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
138 : {
139 24 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
140 24 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
141 24 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
142 12 : e1 = gel(R,1);
143 12 : e2 = gel(R,2);
144 12 : e3 = gel(R,3);
145 12 : d2 = gel(R,5);
146 12 : d3 = gel(R,6);
147 12 : a = gsqrt(d2,prec);
148 12 : b = gsqrt(d3,prec);
149 12 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
150 6 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
151 6 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
152 6 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
153 : } else {
154 6 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
155 6 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
156 6 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
157 6 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
158 : }
159 : }
160 :
161 : static void
162 18 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
163 : {
164 18 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
165 18 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
166 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
167 0 : }
168 : static GEN
169 156 : get_r0(GEN E, long prec)
170 : {
171 156 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
172 156 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
173 : }
174 : static GEN
175 114 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
176 : {
177 114 : pari_sp av = avma;
178 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
179 : long vq, vt, Q, R;
180 114 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
181 108 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
182 108 : u = ellQp_u(E, prec);
183 108 : q = ellQp_q(E, prec);
184 108 : x = gel(P,1);
185 108 : r0 = get_r0(E, prec);
186 108 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
187 108 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
188 6 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
189 102 : r = gsub(a,b);
190 102 : ar = gmul(a, r);
191 102 : if (gequal0(c0))
192 : {
193 6 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
194 6 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
195 : }
196 : else
197 : {
198 96 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
199 96 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
200 96 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
201 90 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
202 : }
203 96 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
204 96 : if (gequal0(y1))
205 : {
206 12 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
207 12 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
208 : }
209 : else
210 84 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
211 84 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
212 :
213 84 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
214 84 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
215 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
216 84 : if (typ(t) == t_PADIC)
217 48 : vt = valp(t);
218 : else
219 36 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
220 84 : vq = valp(q); /* > 0 */
221 84 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
222 84 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
223 84 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
224 84 : return gerepileupto(av, t);
225 : }
226 :
227 : static GEN
228 48 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
229 : {
230 48 : pari_sp av = avma;
231 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
232 : long v;
233 48 : if (gequal1(t)) return ellinf();
234 :
235 48 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
236 48 : u = ellQp_u(E,prec);
237 48 : u2= ellQp_u2(E,prec);
238 48 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
239 48 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
240 48 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
241 48 : r0 = get_r0(E, prec);
242 :
243 48 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
244 48 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
245 48 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
246 48 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
247 48 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
248 : }
249 :
250 : static GEN
251 24654 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
252 : {
253 : GEN t;
254 : long s;
255 24654 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
256 24654 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
257 24654 : s = ellR_get_sign(e);
258 24654 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
259 24 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
260 : else
261 24630 : t = zellcx(e,z,prec);
262 24654 : return t;
263 : }
264 :
265 : GEN
266 24774 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
267 : {
268 24774 : pari_sp av = avma;
269 24774 : checkell(E);
270 24774 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
271 24762 : switch(ell_get_type(E))
272 : {
273 114 : case t_ELL_Qp:
274 114 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
275 114 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
276 6 : case t_ELL_NF:
277 : {
278 6 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
279 6 : long i, l = lg(Pe);
280 18 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
281 6 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
282 : }
283 12 : case t_ELL_Q: break;
284 24630 : case t_ELL_Rg: break;
285 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
286 : }
287 24642 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
288 : }
289 :
290 : /********************************************************************/
291 : /** COMPLEX ELLIPTIC FUNCTIONS **/
292 : /********************************************************************/
293 :
294 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
295 : /* normalization / argument reduction for elliptic functions */
296 : typedef struct {
297 : enum period_type type;
298 : GEN in; /* original input */
299 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
300 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
301 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
302 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
303 : GEN x,y; /* t_INT */
304 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
305 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
306 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
307 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
308 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
309 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
310 : long prec; /* precision(Z) */
311 : long prec0; /* required precision for result */
312 : } ellred_t;
313 :
314 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
315 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
316 : static void
317 95022 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
318 : {
319 95022 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
320 95022 : long e = gexpo(gel(t0,2));
321 95022 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
322 95022 : t = t0;
323 95022 : a = d = gen_1;
324 95022 : b = c = gen_0;
325 : for(;;)
326 32058 : {
327 127080 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
328 127080 : if (signe(n))
329 : { /* apply T^n */
330 40834 : t = gsub(t,n);
331 40834 : a = subii(a, mulii(n,c));
332 40834 : b = subii(b, mulii(n,d));
333 : }
334 127080 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
335 32058 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
336 32058 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
337 32058 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
338 : }
339 95022 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
340 95022 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
341 95022 : }
342 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
343 : * Set *pU to U. */
344 : GEN
345 32508 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
346 : {
347 : GEN a,b,c,d;
348 32508 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
349 32508 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
350 32508 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
351 32508 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
352 : }
353 : GEN
354 32472 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
355 : {
356 32472 : pari_sp av = avma;
357 : GEN czd;
358 32472 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
359 32472 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
360 : }
361 :
362 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
363 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
364 : static void
365 62514 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
366 : {
367 : long s, p;
368 62514 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
369 62514 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
370 62514 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
371 62514 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
372 : mkvec2(T->w1,T->w2));
373 62514 : T->swap = (s < 0);
374 62514 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
375 62514 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
376 62514 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
377 : /* update lattice */
378 62514 : p = precision(T->tau);
379 62514 : if (p)
380 : {
381 62190 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
382 62190 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
383 : }
384 62514 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
385 62514 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
386 62514 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
387 62514 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
388 62514 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
389 62514 : }
390 : /* is z real or pure imaginary ? */
391 : static void
392 67728 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
393 : {
394 67728 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
395 55878 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
396 50820 : else *real = *imag = 0;
397 67728 : }
398 : static void
399 33906 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
400 : {
401 : GEN x, Z;
402 : long p, e;
403 33906 : switch(typ(z))
404 : {
405 33906 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
406 0 : case t_QUAD:
407 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
408 0 : break;
409 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
410 : }
411 33906 : Z = gdiv(z, T->W2);
412 33906 : T->z = z;
413 33906 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
414 33906 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
415 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
416 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
417 : * at the end */
418 33906 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
419 33906 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
420 33906 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
421 33906 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
422 33906 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
423 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
424 33906 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
425 33906 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
426 : {
427 : int W2real, W2imag;
428 25404 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
429 25404 : if (W2real)
430 3402 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
431 22002 : else if (W2imag)
432 4956 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
433 : }
434 33906 : p = precision(Z);
435 33906 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
436 33906 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
437 33906 : T->Z = Z;
438 33906 : }
439 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
440 : static GEN
441 32244 : eta_period(ellred_t *T, GEN eta)
442 : {
443 32244 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
444 32244 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
445 32244 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
446 32244 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
447 12086 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
448 : }
449 : /* e is either
450 : * - [w1,w2]
451 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
452 : * - an ellinit structure */
453 : static void
454 62514 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
455 : {
456 : GEN w, e;
457 62514 : T->q_is_real = 0;
458 62514 : T->some_q_is_real = 0;
459 62514 : switch(T->type)
460 : {
461 26304 : case t_PER_ELL:
462 : {
463 26304 : long pr, p = prec;
464 26304 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
465 26304 : e = T->in;
466 26304 : w = ellR_omega(e, p);
467 26304 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
468 26304 : break;
469 : }
470 11454 : case t_PER_W:
471 11454 : w = T->in; break;
472 24756 : default: /*t_PER_WETA*/
473 24756 : w = gel(T->in,1); break;
474 : }
475 62514 : T->w1 = gel(w,1);
476 62514 : T->w2 = gel(w,2);
477 62514 : red_modSL2(T, prec);
478 62514 : if (z) reduce_z(z, T);
479 62514 : }
480 : static int
481 62520 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
482 : {
483 : GEN w1;
484 62520 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
485 62520 : T->in = e;
486 62520 : switch(lg(e))
487 : {
488 26310 : case 17:
489 26310 : T->type = t_PER_ELL;
490 26310 : break;
491 36210 : case 3:
492 36210 : w1 = gel(e,1);
493 36210 : if (typ(w1) != t_VEC)
494 11454 : T->type = t_PER_W;
495 : else
496 : {
497 24756 : if (lg(w1) != 3) return 0;
498 24756 : T->type = t_PER_WETA;
499 : }
500 36210 : break;
501 0 : default: return 0;
502 : }
503 62520 : return 1;
504 : }
505 : static int
506 62448 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
507 : {
508 62448 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
509 62448 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
510 : }
511 :
512 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
513 : static GEN
514 119412 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
515 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
516 : static GEN
517 60852 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
518 : {
519 60852 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
520 60852 : return cxtoreal(z);
521 : }
522 :
523 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
524 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
525 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
526 : GEN
527 3822 : elleisnum(GEN om, long k, long prec)
528 : {
529 3822 : pari_sp av = avma;
530 : GEN y;
531 : ellred_t T;
532 :
533 3822 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
534 3822 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
535 3822 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
536 3822 : y = _elleisnum(&T, k);
537 3822 : if (k==2 && signe(T.c))
538 : {
539 3450 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
540 3450 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
541 : }
542 3822 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
543 : }
544 :
545 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
546 : static GEN
547 56874 : _elleta(ellred_t *T)
548 : {
549 56874 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
550 56874 : y2 = gmul(T->W2, e2);
551 56874 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
552 56874 : retmkvec2(y1, y2);
553 : }
554 :
555 : /* compute eta1, eta2 */
556 : GEN
557 72 : elleta(GEN om, long prec)
558 : {
559 72 : pari_sp av = avma;
560 : GEN y1, y2, E2, pi;
561 : ellred_t T;
562 :
563 72 : if (!check_periods(om, &T))
564 : {
565 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
566 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
567 : }
568 72 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
569 :
570 66 : compute_periods(&T, NULL, prec);
571 66 : prec = T.prec;
572 66 : pi = mppi(prec);
573 66 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
574 66 : if (signe(T.c))
575 : {
576 18 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
577 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
578 18 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
579 : }
580 66 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
581 66 : if (T.swap)
582 : {
583 6 : y1 = y2;
584 6 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
585 : }
586 : else
587 60 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
588 66 : switch(typ(T.w1))
589 : {
590 42 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
591 42 : y1 = real_i(y1);
592 : }
593 66 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
594 : }
595 : GEN
596 24642 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
597 : {
598 24642 : pari_sp av = avma;
599 : ellred_t T;
600 24642 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
601 24642 : switch(flag)
602 : {
603 12 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
604 24630 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
605 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
606 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
607 : }
608 : }
609 :
610 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
611 : static double
612 33798 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
613 :
614 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
615 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
616 : static GEN
617 1638 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
618 : {
619 : long toadd;
620 1638 : pari_sp av = avma, av1;
621 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
622 : ellred_t T;
623 : int simple_case;
624 :
625 1638 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
626 1638 : if (!T.Z) return NULL;
627 1620 : prec = T.prec;
628 :
629 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
630 1620 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
631 1620 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
632 1620 : u1 = gsubsg(1,u);
633 1620 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
634 1620 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
635 1620 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
636 1620 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
637 1620 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
638 1620 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
639 1620 : yp = flall? gen_0: NULL;
640 1620 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
641 :
642 1620 : av1 = avma; qn = q;
643 : for(;;)
644 20819 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
645 : /* analogous formula for yp */
646 22439 : GEN yadd, ypadd = NULL;
647 22439 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
648 22439 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
649 22439 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
650 22439 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
651 22439 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
652 355 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
653 : else
654 : {
655 22084 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
656 22084 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
657 22084 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
658 22084 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
659 : }
660 22439 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
661 22439 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
662 22439 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
663 :
664 22439 : qn = gmul(q,qn);
665 22439 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
666 20819 : if (gc_needed(av1,1))
667 : {
668 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
669 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
670 : }
671 : }
672 1620 : if (yp)
673 : {
674 1566 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
675 1566 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
676 : }
677 :
678 1620 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
679 1620 : u2 = gsqr(u1);
680 1620 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
681 1620 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
682 882 : y = real_i(y);
683 1620 : if (yp)
684 : {
685 1566 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
686 1566 : if (T.some_q_is_real)
687 : {
688 1566 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
689 726 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
690 : }
691 1566 : y = mkvec2(y, yp);
692 : }
693 1620 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
694 : }
695 : static GEN
696 258 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
697 : {
698 : long i, k, l;
699 : pari_sp av;
700 258 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
701 :
702 258 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
703 258 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
704 :
705 2160 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
706 258 : _1 = Rg_get_1(c4);
707 258 : switch(PRECDL)
708 : {
709 258 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
710 258 : case 6:
711 258 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
712 258 : case 4:
713 258 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
714 258 : case 2:
715 258 : case 1: P[0] = _1;
716 : }
717 258 : if (PRECDL <= 8) return res;
718 258 : av = avma;
719 258 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
720 930 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
721 : {
722 672 : av = avma;
723 672 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
724 1062 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
725 672 : t = gmul2n(t, 1);
726 672 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
727 672 : if (k % 3 == 2)
728 234 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
729 : else /* same value, more efficient */
730 438 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
731 672 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
732 : }
733 258 : return res;
734 : }
735 :
736 : static int
737 252 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
738 : {
739 252 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
740 : {
741 174 : case 17:
742 174 : *c4 = ell_get_c4(w);
743 174 : *c6 = ell_get_c6(w);
744 174 : return 1;
745 78 : case 3:
746 : {
747 : ellred_t T;
748 78 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
749 78 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
750 78 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
751 78 : return 1;
752 : }
753 : }
754 0 : *c4 = *c6 = NULL;
755 0 : return 0;
756 : }
757 :
758 : GEN
759 12 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
760 : {
761 : GEN c4, c6;
762 12 : checkell(e);
763 12 : c4 = ell_get_c4(e);
764 12 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
765 : }
766 :
767 : GEN
768 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
769 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
770 :
771 : GEN
772 156 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
773 : {
774 156 : pari_sp av = avma;
775 : GEN y;
776 :
777 156 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
778 156 : if (!z) z = pol_x(0);
779 156 : y = toser_i(z);
780 156 : if (y)
781 : {
782 90 : long vy = varn(y), v = valser(y);
783 : GEN P, Q, c4,c6;
784 90 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
785 90 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
786 90 : if (gequal0(y)) {
787 0 : set_avma(av);
788 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
789 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
790 : }
791 90 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
792 90 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
793 90 : if (!flag)
794 90 : return gerepileupto(av, Q);
795 : else
796 : {
797 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
798 0 : return gerepilecopy(av, R);
799 : }
800 : }
801 66 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
802 66 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
803 60 : return gerepileupto(av, y);
804 : }
805 :
806 : GEN
807 138 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
808 : {
809 : long prec;
810 138 : pari_sp av = avma;
811 138 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
812 : ellred_t T;
813 :
814 138 : if (!z) z = pol_x(0);
815 138 : y = toser_i(z);
816 138 : if (y)
817 : {
818 78 : long vy = varn(y), v = valser(y);
819 : GEN P, Q, c4,c6;
820 78 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
821 78 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
822 78 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
823 78 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
824 78 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
825 78 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
826 78 : return gerepileupto(av, Q);
827 : }
828 60 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
829 60 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
830 60 : prec = T.prec;
831 60 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_period(&T, _elleta(&T));
832 :
833 60 : pi2 = Pi2n(1, prec);
834 60 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
835 60 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
836 60 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
837 : { /* else u = -1 and this vanishes */
838 60 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
839 60 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
840 : pari_sp av1;
841 60 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
842 60 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
843 60 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
844 60 : y = gadd(y, v);
845 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
846 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
847 60 : av1 = avma;
848 60 : for (qn = q;;)
849 : {
850 738 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
851 738 : qn = gmul(q,qn);
852 738 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
853 678 : if (gc_needed(av1,1))
854 : {
855 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
856 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
857 : }
858 : }
859 60 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
860 : }
861 60 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
862 60 : if (T.some_q_is_real)
863 : {
864 60 : if (T.some_z_is_real)
865 : {
866 24 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
867 : }
868 36 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
869 : {
870 18 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
871 18 : gel(y,1) = gen_0;
872 : }
873 : }
874 60 : if (et) y = gadd(y, et);
875 60 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
876 : }
877 :
878 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
879 : GEN
880 32292 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
881 : {
882 : long toadd, prec, n;
883 32292 : pari_sp av = avma, av1;
884 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
885 : ellred_t T;
886 :
887 32292 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
888 :
889 32292 : if (!z) z = pol_x(0);
890 32292 : y = toser_i(z);
891 32292 : if (y)
892 : {
893 84 : long vy = varn(y), v = valser(y);
894 : GEN P, Q, c4,c6;
895 84 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
896 84 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
897 84 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
898 78 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
899 78 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
900 78 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
901 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
902 78 : P = integser(serchop0(P));
903 78 : P = gexp(P, prec0);
904 78 : setvalser(P, valser(P)+1);
905 78 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
906 78 : return gerepileupto(av, Q);
907 : }
908 32208 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
909 32208 : if (!T.Z)
910 : {
911 6 : if (!flag) return gen_0;
912 6 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
913 : }
914 32202 : prec = T.prec;
915 32202 : pi2 = Pi2n(1,prec);
916 32202 : pi = mppi(prec);
917 :
918 32202 : urninv = uinv = NULL;
919 32202 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
920 : {
921 84 : toadd = 0;
922 84 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
923 84 : u = gen_1;
924 : }
925 : else
926 : {
927 32118 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
928 32118 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
929 32118 : u = gneg_i(gsqr(urn));
930 32118 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
931 : }
932 32202 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
933 32202 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
934 32202 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
935 204462 : for(n=0;;n++)
936 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
937 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
938 204462 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
939 204462 : qn2 = gmul(qn,qn2);
940 204462 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
941 172260 : qn = gmul(q,qn);
942 172260 : urn = gmul(urn,u);
943 172260 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
944 172260 : if (gc_needed(av1,1))
945 : {
946 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
947 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
948 : }
949 : }
950 32202 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
951 32202 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
952 :
953 32202 : et = _elleta(&T);
954 32202 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
955 32202 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
956 32202 : etnew = gmul(eta_period(&T, et), y1);
957 32202 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
958 32202 : if (flag)
959 : {
960 32142 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
961 32142 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
962 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
963 32142 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
964 6 : y = real_i(y);
965 : }
966 : else
967 : {
968 60 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
969 60 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
970 60 : if (T.some_q_is_real)
971 : {
972 : int re, cx;
973 60 : check_complex(z,&re,&cx);
974 60 : if (re) y = real_i(y);
975 42 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
976 : }
977 : }
978 32202 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
979 : }
980 :
981 : GEN
982 1620 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
983 : {
984 1620 : pari_sp av = avma;
985 : GEN v;
986 :
987 1620 : checkell(e);
988 1620 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
989 : {
990 48 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
991 48 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
992 : }
993 1572 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
994 1572 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
995 1560 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
996 1560 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
997 1560 : return gerepilecopy(av, v);
998 : }
999 :
1000 : /********************************************************************/
1001 : /** exp(I*Pi*x) with attention for rational arguments **/
1002 : /********************************************************************/
1003 :
1004 : /* sqrt(3)/2 */
1005 : static GEN
1006 1931 : sqrt32(long prec) { GEN z = sqrtr_abs(utor(3,prec)); setexpo(z, -1); return z; }
1007 : /* exp(i k pi/12) */
1008 : static GEN
1009 3197 : e12(ulong k, long prec)
1010 : {
1011 : int s, sPi, sPiov2;
1012 : GEN z, t;
1013 3197 : k %= 24;
1014 3197 : if (!k) return gen_1;
1015 3191 : if (k == 12) return gen_m1;
1016 3191 : if (k >12) { s = 1; k = 24 - k; } else s = 0; /* x -> 2pi - x */
1017 3191 : if (k > 6) { sPi = 1; k = 12 - k; } else sPi = 0; /* x -> pi - x */
1018 3191 : if (k > 3) { sPiov2 = 1; k = 6 - k; } else sPiov2 = 0; /* x -> pi/2 - x */
1019 3191 : z = cgetg(3, t_COMPLEX);
1020 3191 : switch(k)
1021 : {
1022 553 : case 0: gel(z,1) = icopy(gen_1); gel(z,2) = gen_0; break;
1023 701 : case 1: t = gmul2n(addrs(sqrt32(prec), 1), -1);
1024 701 : gel(z,1) = sqrtr(t);
1025 701 : gel(z,2) = gmul2n(invr(gel(z,1)), -2); break;
1026 :
1027 1230 : case 2: gel(z,1) = sqrt32(prec);
1028 1230 : gel(z,2) = real2n(-1, prec); break;
1029 :
1030 707 : case 3: gel(z,1) = sqrtr_abs(real2n(-1,prec));
1031 707 : gel(z,2) = rcopy(gel(z,1)); break;
1032 : }
1033 3191 : if (sPiov2) swap(gel(z,1), gel(z,2));
1034 3191 : if (sPi) togglesign(gel(z,1));
1035 3191 : if (s) togglesign(gel(z,2));
1036 3191 : return z;
1037 : }
1038 : /* z a t_FRAC */
1039 : static GEN
1040 12946 : expIPifrac(GEN z, long prec)
1041 : {
1042 12946 : GEN n = gel(z,1), d = gel(z,2);
1043 12946 : ulong r, q = uabsdivui_rem(12, d, &r);
1044 12946 : if (!r) return e12(q * umodiu(n, 24), prec); /* d | 12 */
1045 9845 : n = centermodii(n, shifti(d,1), d);
1046 9845 : return expIr(divri(mulri(mppi(prec), n), d));
1047 : }
1048 : /* exp(i Pi z), z a t_INT or t_FRAC */
1049 : GEN
1050 34062 : expIPiQ(GEN z, long prec)
1051 : {
1052 34062 : if (typ(z) == t_INT) return mpodd(z)? gen_m1: gen_1;
1053 1727 : return expIPifrac(z, prec);
1054 : }
1055 :
1056 : /* convert power of 2 t_REAL to rational */
1057 : static GEN
1058 8093 : real2nQ(GEN x)
1059 : {
1060 8093 : long e = expo(x);
1061 : GEN z;
1062 8093 : if (e < 0)
1063 2477 : z = mkfrac(signe(x) < 0? gen_m1: gen_1, int2n(-e));
1064 : else
1065 : {
1066 5616 : z = int2n(e);
1067 5616 : if (signe(x) < 0) togglesign_safe(&z);
1068 : }
1069 8093 : return z;
1070 : }
1071 : /* x a real number */
1072 : GEN
1073 158155 : expIPiR(GEN x, long prec)
1074 : {
1075 158155 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
1076 158155 : switch(typ(x))
1077 : {
1078 2770 : case t_INT: return mpodd(x)? gen_m1: gen_1;
1079 1691 : case t_FRAC: return expIPifrac(x, prec);
1080 : }
1081 153694 : return expIr(mulrr(mppi(prec), x));
1082 : }
1083 : /* z a t_COMPLEX */
1084 : GEN
1085 323763 : expIPiC(GEN z, long prec)
1086 : {
1087 : GEN pi, r, x, y;
1088 323763 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return expIPiR(z, prec);
1089 166503 : x = gel(z,1);
1090 166503 : y = gel(z,2); if (gequal0(y)) return expIPiR(x, prec);
1091 165608 : pi = mppi(prec);
1092 165608 : r = gmul(pi, y); togglesign(r); r = mpexp(r); /* exp(-pi y) */
1093 165608 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
1094 165608 : switch(typ(x))
1095 : {
1096 54404 : case t_INT: if (mpodd(x)) togglesign(r);
1097 54404 : return r;
1098 9528 : case t_FRAC: return gmul(r, expIPifrac(x, prec));
1099 : }
1100 101676 : return gmul(r, expIr(mulrr(pi, x)));
1101 : }
1102 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
1103 : GEN
1104 510458 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
1105 :
1106 : /********************************************************************/
1107 : /** Eta function(s) and j-invariant **/
1108 : /********************************************************************/
1109 : GEN
1110 93303 : upper_to_cx(GEN x, long *prec)
1111 : {
1112 93303 : long tx = typ(x), l;
1113 93303 : if (tx == t_QUAD) { x = quadtofp(x, *prec); tx = typ(x); }
1114 93303 : switch(tx)
1115 : {
1116 93285 : case t_COMPLEX:
1117 93285 : if (gsigne(gel(x,2)) > 0) break; /*fall through*/
1118 : case t_REAL: case t_INT: case t_FRAC:
1119 12 : pari_err_DOMAIN("modular function", "Im(argument)", "<=", gen_0, x);
1120 6 : default:
1121 6 : pari_err_TYPE("modular function", x);
1122 : }
1123 93285 : l = precision(x); if (l) *prec = l;
1124 93285 : return x;
1125 : }
1126 :
1127 : static GEN
1128 60831 : qq(GEN x, long prec)
1129 : {
1130 60831 : long tx = typ(x);
1131 : GEN y;
1132 :
1133 60831 : if (is_scalar_t(tx))
1134 : {
1135 60795 : if (tx == t_PADIC) return x;
1136 60783 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1137 60771 : return cxtoreal(expIPiC(gmul2n(x,1), prec)); /* e(x) */
1138 : }
1139 36 : if (! ( y = toser_i(x)) ) pari_err_TYPE("modular function", x);
1140 36 : return y;
1141 : }
1142 :
1143 : /* return (y * X^d) + x. Assume d > 0, x != 0, valser(x) = 0 */
1144 : static GEN
1145 18 : ser_addmulXn(GEN y, GEN x, long d)
1146 : {
1147 18 : long i, lx, ly, l = valser(y) + d; /* > 0 */
1148 : GEN z;
1149 :
1150 18 : lx = lg(x);
1151 18 : ly = lg(y) + l; if (lx < ly) ly = lx;
1152 18 : if (l > lx-2) return gcopy(x);
1153 18 : z = cgetg(ly,t_SER);
1154 66 : for (i=2; i<=l+1; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
1155 60 : for ( ; i < ly; i++) gel(z,i) = gadd(gel(x,i),gel(y,i-l));
1156 18 : z[1] = x[1]; return z;
1157 : }
1158 :
1159 : /* q a t_POL s.t. q(0) != 0, v > 0, Q = x^v*q; return \prod_i (1-Q^i) */
1160 : static GEN
1161 24 : RgXn_eta(GEN q, long v, long lim)
1162 : {
1163 24 : pari_sp av = avma;
1164 : GEN qn, ps, y;
1165 : ulong vps, vqn, n;
1166 :
1167 24 : if (!degpol(q) && isint1(gel(q,2))) return eta_ZXn(v, lim+v);
1168 6 : y = qn = ps = pol_1(0);
1169 6 : vps = vqn = 0;
1170 6 : for(n = 0;; n++)
1171 6 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2),
1172 : * vps, vqn valuation of ps, qn HERE */
1173 12 : pari_sp av2 = avma;
1174 12 : ulong vt = vps + 2*vqn + v; /* valuation of t at END of loop body */
1175 : long k1, k2;
1176 : GEN t;
1177 12 : vqn += v; vps = vt + vqn; /* valuation of qn, ps at END of body */
1178 12 : k1 = lim + v - vt + 1;
1179 12 : k2 = k1 - vqn; /* = lim + v - vps + 1 */
1180 12 : if (k1 <= 0) break;
1181 12 : t = RgX_mul(q, RgX_sqr(qn));
1182 12 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1183 12 : t = RgX_mul(ps,t);
1184 12 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1185 12 : t = RgX_neg(t); /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1186 12 : t = gerepileupto(av2, t);
1187 12 : y = RgX_addmulXn_shallow(t, y, vt);
1188 12 : if (k2 <= 0) break;
1189 :
1190 6 : qn = RgX_mul(qn,q);
1191 6 : ps = RgX_mul(t,qn);
1192 6 : ps = RgXn_red_shallow(ps, k2);
1193 6 : y = RgX_addmulXn_shallow(ps, y, vps);
1194 :
1195 6 : if (gc_needed(av,1))
1196 : {
1197 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta, n = %ld", n);
1198 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
1199 : }
1200 : }
1201 6 : return y;
1202 : }
1203 :
1204 : static GEN
1205 38725 : inteta(GEN q)
1206 : {
1207 38725 : long tx = typ(q);
1208 : GEN ps, qn, y;
1209 :
1210 38725 : y = gen_1; qn = gen_1; ps = gen_1;
1211 38725 : if (tx==t_PADIC)
1212 : {
1213 24 : if (valp(q) <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1214 : for(;;)
1215 48 : {
1216 66 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1217 66 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1218 66 : t = y;
1219 66 : y = gadd(y,ps); if (gequal(t,y)) return y;
1220 : }
1221 : }
1222 :
1223 38701 : if (tx == t_SER)
1224 : {
1225 : ulong vps, vqn;
1226 36 : long l = lg(q), v, n;
1227 : pari_sp av;
1228 :
1229 36 : v = valser(q); /* handle valuation separately to avoid overflow */
1230 36 : if (v <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1231 30 : y = ser2pol_i(q, l); /* t_SER inefficient when input has low degree */
1232 30 : n = degpol(y);
1233 30 : if (n <= (l>>2))
1234 : {
1235 24 : GEN z = RgXn_eta(y, v, l-2);
1236 24 : setvarn(z, varn(y)); return RgX_to_ser(z, l+v);
1237 : }
1238 6 : q = leafcopy(q); av = avma;
1239 6 : setvalser(q, 0);
1240 6 : y = scalarser(gen_1, varn(q), l+v);
1241 6 : vps = vqn = 0;
1242 6 : for(n = 0;; n++)
1243 6 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2) */
1244 12 : ulong vt = vps + 2*vqn + v;
1245 : long k;
1246 : GEN t;
1247 12 : t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1248 : /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1249 12 : y = ser_addmulXn(t, y, vt);
1250 12 : vqn += v; vps = vt + vqn;
1251 12 : k = l+v - vps; if (k <= 2) return y;
1252 :
1253 6 : qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1254 6 : y = ser_addmulXn(ps, y, vps);
1255 6 : setlg(q, k);
1256 6 : setlg(qn, k);
1257 6 : setlg(ps, k);
1258 6 : if (gc_needed(av,3))
1259 : {
1260 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1261 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
1262 : }
1263 : }
1264 : }
1265 : {
1266 38665 : long l = -prec2nbits(precision(q));
1267 38665 : pari_sp av = avma;
1268 :
1269 : for(;;)
1270 109992 : {
1271 148657 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1272 : /* qn = q^n
1273 : * ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2)
1274 : * t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1275 148657 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1276 148657 : y = gadd(y,ps);
1277 148657 : if (gexpo(ps)-gexpo(y) < l) return y;
1278 109992 : if (gc_needed(av,3))
1279 : {
1280 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1281 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
1282 : }
1283 : }
1284 : }
1285 : }
1286 :
1287 : GEN
1288 66 : eta(GEN x, long prec)
1289 : {
1290 66 : pari_sp av = avma;
1291 66 : GEN z = inteta( qq(x,prec) );
1292 42 : if (typ(z) == t_SER) return gerepilecopy(av, z);
1293 12 : return gerepileupto(av, z);
1294 : }
1295 :
1296 : /* s(h,k) = sum(n = 1, k-1, (n/k)*(frac(h*n/k) - 1/2))
1297 : * Knuth's algorithm. h integer, k integer > 0, (h,k) = 1 */
1298 : GEN
1299 5400 : sumdedekind_coprime(GEN h, GEN k)
1300 : {
1301 5400 : pari_sp av = avma;
1302 : GEN s2, s1, p, pp;
1303 : long s;
1304 5400 : if (lgefint(k) == 3 && uel(k,2) <= (2*(ulong)LONG_MAX) / 3)
1305 : {
1306 5394 : ulong kk = k[2], hh = umodiu(h, kk);
1307 : long s1, s2;
1308 : GEN v;
1309 5394 : if (signe(k) < 0) { k = negi(k); hh = Fl_neg(hh, kk); }
1310 5394 : v = u_sumdedekind_coprime(hh, kk);
1311 5394 : s1 = v[1]; s2 = v[2];
1312 5394 : return gerepileupto(av, gdiv(addis(mulis(k,s1), s2), muluu(12, kk)));
1313 : }
1314 6 : s = 1;
1315 6 : s1 = gen_0; p = gen_1; pp = gen_0;
1316 6 : s2 = h = modii(h, k);
1317 30 : while (signe(h)) {
1318 24 : GEN r, nexth, a = dvmdii(k, h, &nexth);
1319 24 : if (is_pm1(h)) s2 = s == 1? addii(s2, p): subii(s2, p);
1320 24 : s1 = s == 1? addii(s1, a): subii(s1, a);
1321 24 : s = -s;
1322 24 : k = h; h = nexth;
1323 24 : r = addii(mulii(a,p), pp); pp = p; p = r;
1324 : }
1325 : /* at this point p = original k */
1326 6 : if (s == -1) s1 = subiu(s1, 3);
1327 6 : return gerepileupto(av, gdiv(addii(mulii(p,s1), s2), muliu(p,12)));
1328 : }
1329 : /* as above, for ulong arguments.
1330 : * k integer > 0, 0 <= h < k, (h,k) = 1. Returns [s1,s2] such that
1331 : * s(h,k) = (s2 + k s1) / (12k). Requires max(h + k/2, k) < LONG_MAX
1332 : * to avoid overflow, in particular k <= LONG_MAX * 2/3 is fine */
1333 : GEN
1334 5394 : u_sumdedekind_coprime(long h, long k)
1335 : {
1336 5394 : long s = 1, s1 = 0, s2 = h, p = 1, pp = 0;
1337 9828 : while (h) {
1338 4434 : long r, nexth = k % h, a = k / h; /* a >= 1, a >= 2 if h = 1 */
1339 4434 : if (h == 1) s2 += p * s; /* occurs exactly once, last step */
1340 4434 : s1 += a * s;
1341 4434 : s = -s;
1342 4434 : k = h; h = nexth;
1343 4434 : r = a*p + pp; pp = p; p = r; /* p >= pp >= 0 */
1344 : }
1345 : /* in the above computation, p increases from 1 to original k,
1346 : * -k/2 <= s2 <= h + k/2, and |s1| <= k */
1347 5394 : if (s < 0) s1 -= 3; /* |s1| <= k+3 ? */
1348 : /* But in fact, |s2 + p s1| <= k^2 + 1/2 - 3k; if (s < 0), we have
1349 : * |s2| <= k/2 and it follows that |s1| < k here as well */
1350 : /* p = k; s(h,k) = (s2 + p s1)/12p. */
1351 5394 : return mkvecsmall2(s1, s2);
1352 : }
1353 : GEN
1354 24 : sumdedekind(GEN h, GEN k)
1355 : {
1356 24 : pari_sp av = avma;
1357 : GEN d;
1358 24 : if (typ(h) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",h);
1359 24 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",k);
1360 24 : d = gcdii(h,k);
1361 24 : if (!is_pm1(d))
1362 : {
1363 6 : h = diviiexact(h, d);
1364 6 : k = diviiexact(k, d);
1365 : }
1366 24 : return gerepileupto(av, sumdedekind_coprime(h,k));
1367 : }
1368 :
1369 : /* eta(x); assume Im x >> 0 (e.g. x in SL2's standard fundamental domain) */
1370 : static GEN
1371 39468 : eta_reduced(GEN x, long prec)
1372 : {
1373 39468 : GEN z = expIPiC(gdivgu(x, 12), prec); /* e(x/24) */
1374 39468 : if (24 * gexpo(z) >= -prec2nbits(prec))
1375 38647 : z = gmul(z, inteta( gpowgs(z,24) ));
1376 39468 : return z;
1377 : }
1378 :
1379 : /* x = U.z (flag = 1), or x = U^(-1).z (flag = 0)
1380 : * Return [s,t] such that eta(z) = eta(x) * sqrt(s) * exp(I Pi t) */
1381 : static GEN
1382 39480 : eta_correction(GEN x, GEN U, long flag)
1383 : {
1384 : GEN a,b,c,d, s,t;
1385 : long sc;
1386 39480 : a = gcoeff(U,1,1);
1387 39480 : b = gcoeff(U,1,2);
1388 39480 : c = gcoeff(U,2,1);
1389 39480 : d = gcoeff(U,2,2);
1390 : /* replace U by U^(-1) */
1391 39480 : if (flag) {
1392 32304 : swap(a,d);
1393 32304 : togglesign_safe(&b);
1394 32304 : togglesign_safe(&c);
1395 : }
1396 39480 : sc = signe(c);
1397 39480 : if (!sc) {
1398 34104 : if (signe(d) < 0) togglesign_safe(&b);
1399 34104 : s = gen_1;
1400 34104 : t = uutoQ(umodiu(b, 24), 12);
1401 : } else {
1402 5376 : if (sc < 0) {
1403 1512 : togglesign_safe(&a);
1404 1512 : togglesign_safe(&b);
1405 1512 : togglesign_safe(&c);
1406 1512 : togglesign_safe(&d);
1407 : } /* now c > 0 */
1408 5376 : s = mulcxmI(gadd(gmul(c,x), d));
1409 5376 : t = gadd(gdiv(addii(a,d),muliu(c,12)), sumdedekind_coprime(negi(d),c));
1410 : /* correction : exp(I Pi (((a+d)/12c) + s(-d,c)) ) sqrt(-i(cx+d)) */
1411 : }
1412 39480 : return mkvec2(s, t);
1413 : }
1414 :
1415 : /* returns the true value of eta(x) for Im(x) > 0, using reduction to
1416 : * standard fundamental domain */
1417 : GEN
1418 32232 : trueeta(GEN x, long prec)
1419 : {
1420 32232 : pari_sp av = avma;
1421 : GEN U, st, s, t;
1422 :
1423 32232 : if (!is_scalar_t(typ(x))) pari_err_TYPE("trueeta",x);
1424 32232 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1425 32232 : x = cxredsl2(x, &U);
1426 32232 : st = eta_correction(x, U, 1);
1427 32232 : x = eta_reduced(x, prec);
1428 32232 : s = gel(st, 1);
1429 32232 : t = gel(st, 2);
1430 32232 : x = gmul(x, expIPiQ(t, prec));
1431 32232 : if (s != gen_1) x = gmul(x, gsqrt(s, prec));
1432 32232 : return gerepileupto(av, x);
1433 : }
1434 :
1435 : GEN
1436 96 : eta0(GEN x, long flag,long prec)
1437 96 : { return flag? trueeta(x,prec): eta(x,prec); }
1438 :
1439 : /* eta(q) = 1 + \sum_{n>0} (-1)^n * (q^(n(3n-1)/2) + q^(n(3n+1)/2)) */
1440 : static GEN
1441 6 : ser_eta(long prec)
1442 : {
1443 6 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
1444 : long n, j;
1445 6 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
1446 6 : gel(ed,0) = gen_1;
1447 414 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = gen_0;
1448 42 : for (n = 1, j = 0; n < prec; n++)
1449 : {
1450 : GEN s;
1451 42 : j += 3*n-2; /* = n*(3*n-1) / 2 */;
1452 42 : if (j >= prec) break;
1453 36 : s = odd(n)? gen_m1: gen_1;
1454 36 : gel(ed, j) = s;
1455 36 : if (j+n >= prec) break;
1456 36 : gel(ed, j+n) = s;
1457 : }
1458 6 : return e;
1459 : }
1460 :
1461 : static GEN
1462 408 : coeffEu(GEN fa)
1463 : {
1464 408 : pari_sp av = avma;
1465 408 : return gerepileuptoint(av, mului(65520, usumdivk_fact(fa,11)));
1466 : }
1467 : /* E12 = 1 + q*E/691 */
1468 : static GEN
1469 6 : ser_E(long prec)
1470 : {
1471 6 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
1472 6 : GEN F = vecfactoru_i(2, prec); /* F[n] = factoru(n+1) */
1473 : long n;
1474 6 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
1475 6 : gel(ed,0) = utoipos(65520);
1476 414 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = coeffEu(gel(F,n));
1477 6 : return e;
1478 : }
1479 : /* j = E12/Delta + 432000/691, E12 = 1 + q*E/691 */
1480 : static GEN
1481 6 : ser_j2(long prec, long v)
1482 : {
1483 6 : pari_sp av = avma;
1484 6 : GEN iD = gpowgs(ginv(ser_eta(prec)), 24); /* q/Delta */
1485 6 : GEN J = gmul(ser_E(prec), iD);
1486 6 : setvalser(iD,-1); /* now 1/Delta */
1487 6 : J = gadd(gdivgu(J, 691), iD);
1488 6 : J = gerepileupto(av, J);
1489 6 : if (prec > 1) gel(J,3) = utoipos(744);
1490 6 : setvarn(J,v); return J;
1491 : }
1492 :
1493 : /* j(q) = \sum_{n >= -1} c(n)q^n,
1494 : * \sum_{n = -1}^{N-1} c(n) (-10n \sigma_3(N-n) + 21 \sigma_5(N-n))
1495 : * = c(N) (N+1)/24 */
1496 : static GEN
1497 12 : ser_j(long prec, long v)
1498 : {
1499 : GEN j, J, S3, S5, F;
1500 : long i, n;
1501 12 : if (prec > 64) return ser_j2(prec, v);
1502 6 : S3 = cgetg(prec+1, t_VEC);
1503 6 : S5 = cgetg(prec+1,t_VEC);
1504 6 : F = vecfactoru_i(1, prec);
1505 30 : for (n = 1; n <= prec; n++)
1506 : {
1507 24 : GEN fa = gel(F,n);
1508 24 : gel(S3,n) = mului(10, usumdivk_fact(fa,3));
1509 24 : gel(S5,n) = mului(21, usumdivk_fact(fa,5));
1510 : }
1511 6 : J = cgetg(prec+2, t_SER),
1512 6 : J[1] = evalvarn(v)|evalsigne(1)|evalvalser(-1);
1513 6 : j = J+3;
1514 6 : gel(j,-1) = gen_1;
1515 6 : gel(j,0) = utoipos(744);
1516 6 : gel(j,1) = utoipos(196884);
1517 18 : for (n = 2; n < prec; n++)
1518 : {
1519 12 : pari_sp av = avma;
1520 12 : GEN c, s3 = gel(S3,n+1), s5 = gel(S5,n+1);
1521 12 : c = addii(s3, s5);
1522 42 : for (i = 0; i < n; i++)
1523 : {
1524 30 : s3 = gel(S3,n-i); s5 = gel(S5,n-i);
1525 30 : c = addii(c, mulii(gel(j,i), subii(s5, mului(i,s3))));
1526 : }
1527 12 : gel(j,n) = gerepileuptoint(av, diviuexact(muliu(c,24), n+1));
1528 : }
1529 6 : return J;
1530 : }
1531 :
1532 : GEN
1533 36 : jell(GEN x, long prec)
1534 : {
1535 36 : long tx = typ(x);
1536 36 : pari_sp av = avma;
1537 : GEN q, h, U;
1538 :
1539 36 : if (!is_scalar_t(tx))
1540 : {
1541 : long v;
1542 18 : if (gequalX(x)) return ser_j(precdl, varn(x));
1543 18 : q = toser_i(x); if (!q) pari_err_TYPE("ellj",x);
1544 12 : v = fetch_var_higher();
1545 12 : h = ser_j(lg(q)-2, v);
1546 12 : h = gsubst(h, v, q);
1547 12 : delete_var(); return gerepileupto(av, h);
1548 : }
1549 18 : if (tx == t_PADIC)
1550 : {
1551 6 : GEN p2, p1 = gdiv(inteta(gsqr(x)), inteta(x));
1552 6 : p1 = gmul2n(gsqr(p1),1);
1553 6 : p1 = gmul(x,gpowgs(p1,12));
1554 6 : p2 = gaddsg(768,gadd(gsqr(p1),gdivsg(4096,p1)));
1555 6 : p1 = gmulsg(48,p1);
1556 6 : return gerepileupto(av, gadd(p2,p1));
1557 : }
1558 : /* Let h = Delta(2x) / Delta(x), then j(x) = (1 + 256h)^3 / h */
1559 12 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1560 6 : x = cxredsl2(x, &U); /* forget about Ua : j has weight 0 */
1561 : { /* cf eta_reduced, raised to power 24
1562 : * Compute
1563 : * t = (inteta(q(2x)) / inteta(q(x))) ^ 24;
1564 : * then
1565 : * h = t * (q(2x) / q(x) = t * q(x);
1566 : * but inteta(q) costly and useless if expo(q) << 1 => inteta(q) = 1.
1567 : * log_2 ( exp(-2Pi Im tau) ) < -prec2nbits(prec)
1568 : * <=> Im tau > prec2nbits(prec) * log(2) / 2Pi */
1569 6 : long C = (long)prec2nbits_mul(prec, M_LN2/(2*M_PI));
1570 6 : q = expIPiC(gmul2n(x,1), prec); /* e(x) */
1571 6 : if (gcmpgs(gel(x,2), C) > 0) /* eta(q(x)) = 1 : no need to compute q(2x) */
1572 0 : h = q;
1573 : else
1574 : {
1575 6 : GEN t = gdiv(inteta(gsqr(q)), inteta(q));
1576 6 : h = gmul(q, gpowgs(t, 24));
1577 : }
1578 : }
1579 : /* real_1 important ! gaddgs(, 1) could increase the accuracy ! */
1580 6 : return gerepileupto(av, gdiv(gpowgs(gadd(gmul2n(h,8), real_1(prec)), 3), h));
1581 : }
1582 :
1583 : static GEN
1584 7176 : to_form(GEN a, GEN w, GEN C, GEN D)
1585 7176 : { return mkqfb(a, w, diviiexact(C, a), D); }
1586 : static GEN
1587 7176 : form_to_quad(GEN f, GEN sqrtD)
1588 : {
1589 7176 : long a = itos(gel(f,1)), a2 = a << 1;
1590 7176 : GEN b = gel(f,2);
1591 7176 : return mkcomplex(gdivgs(b, -a2), gdivgs(sqrtD, a2));
1592 : }
1593 : static GEN
1594 7176 : eta_form(GEN f, GEN sqrtD, GEN *s_t, long prec)
1595 : {
1596 7176 : GEN U, t = form_to_quad(redimagsl2(f, &U), sqrtD);
1597 7176 : *s_t = eta_correction(t, U, 0);
1598 7176 : return eta_reduced(t, prec);
1599 : }
1600 :
1601 : /* eta(t/p)eta(t/q) / (eta(t)eta(t/pq)), t = (-w + sqrt(D)) / 2a */
1602 : GEN
1603 1794 : double_eta_quotient(GEN a, GEN w, GEN D, long p, long q, GEN pq, GEN sqrtD)
1604 : {
1605 1794 : GEN C = shifti(subii(sqri(w), D), -2);
1606 : GEN d, t, z, zp, zq, zpq, s_t, s_tp, s_tpq, s, sp, spq;
1607 1794 : long prec = realprec(sqrtD);
1608 :
1609 1794 : z = eta_form(to_form(a, w, C, D), sqrtD, &s_t, prec);
1610 1794 : s = gel(s_t, 1);
1611 1794 : zp = eta_form(to_form(mului(p, a), w, C, D), sqrtD, &s_tp, prec);
1612 1794 : sp = gel(s_tp, 1);
1613 1794 : zpq = eta_form(to_form(mulii(pq, a), w, C, D), sqrtD, &s_tpq, prec);
1614 1794 : spq = gel(s_tpq, 1);
1615 1794 : if (p == q) {
1616 0 : z = gdiv(gsqr(zp), gmul(z, zpq));
1617 0 : t = gsub(gmul2n(gel(s_tp,2), 1),
1618 0 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
1619 0 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, sp);
1620 : } else {
1621 : GEN s_tq, sq;
1622 1794 : zq = eta_form(to_form(mului(q, a), w, C, D), sqrtD, &s_tq, prec);
1623 1794 : sq = gel(s_tq, 1);
1624 1794 : z = gdiv(gmul(zp, zq), gmul(z, zpq));
1625 1794 : t = gsub(gadd(gel(s_tp,2), gel(s_tq,2)),
1626 1794 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
1627 1794 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sp, prec));
1628 1794 : if (sq != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sq, prec));
1629 : }
1630 1794 : d = NULL;
1631 1794 : if (s != gen_1) d = gsqrt(s, prec);
1632 1794 : if (spq != gen_1) {
1633 1770 : GEN x = gsqrt(spq, prec);
1634 1770 : d = d? gmul(d, x): x;
1635 : }
1636 1794 : if (d) z = gdiv(z, d);
1637 1794 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
1638 : }
1639 :
1640 : typedef struct { GEN u; long v, t; } cxanalyze_t;
1641 :
1642 : /* Check whether a t_COMPLEX, t_REAL or t_INT z != 0 can be written as
1643 : * z = u * 2^(v/2) * exp(I Pi/4 t), u > 0, v = 0,1 and -3 <= t <= 4.
1644 : * Allow z t_INT/t_REAL to simplify handling of eta_correction() output */
1645 : static int
1646 72 : cxanalyze(cxanalyze_t *T, GEN z)
1647 : {
1648 : GEN a, b;
1649 : long ta, tb;
1650 :
1651 72 : T->u = z;
1652 72 : T->v = 0;
1653 72 : if (is_intreal_t(typ(z)))
1654 : {
1655 60 : T->u = mpabs_shallow(z);
1656 60 : T->t = signe(z) < 0? 4: 0;
1657 60 : return 1;
1658 : }
1659 12 : a = gel(z,1); ta = typ(a);
1660 12 : b = gel(z,2); tb = typ(b);
1661 :
1662 12 : T->t = 0;
1663 12 : if (ta == t_INT && !signe(a))
1664 : {
1665 0 : T->u = R_abs_shallow(b);
1666 0 : T->t = gsigne(b) < 0? -2: 2;
1667 0 : return 1;
1668 : }
1669 12 : if (tb == t_INT && !signe(b))
1670 : {
1671 0 : T->u = R_abs_shallow(a);
1672 0 : T->t = gsigne(a) < 0? 4: 0;
1673 0 : return 1;
1674 : }
1675 12 : if (ta != tb || ta == t_REAL) return 0;
1676 : /* a,b both non zero, both t_INT or t_FRAC */
1677 12 : if (ta == t_INT)
1678 : {
1679 6 : if (!absequalii(a, b)) return 0;
1680 6 : T->u = absi_shallow(a);
1681 6 : T->v = 1;
1682 6 : if (signe(a) == signe(b))
1683 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
1684 : else
1685 6 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
1686 : }
1687 : else
1688 : {
1689 6 : if (!absequalii(gel(a,2), gel(b,2)) || !absequalii(gel(a,1),gel(b,1)))
1690 6 : return 0;
1691 0 : T->u = absfrac_shallow(a);
1692 0 : T->v = 1;
1693 0 : a = gel(a,1);
1694 0 : b = gel(b,1);
1695 0 : if (signe(a) == signe(b))
1696 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
1697 : else
1698 0 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
1699 : }
1700 6 : return 1;
1701 : }
1702 :
1703 : /* z * sqrt(st_b) / sqrt(st_a) exp(I Pi (t + t0)). Assume that
1704 : * sqrt2 = gsqrt(gen_2, prec) or NULL */
1705 : static GEN
1706 36 : apply_eta_correction(GEN z, GEN st_a, GEN st_b, GEN t0, GEN sqrt2, long prec)
1707 : {
1708 36 : GEN t, s_a = gel(st_a, 1), s_b = gel(st_b, 1);
1709 : cxanalyze_t Ta, Tb;
1710 : int ca, cb;
1711 :
1712 36 : t = gsub(gel(st_b,2), gel(st_a,2));
1713 36 : if (t0 != gen_0) t = gadd(t, t0);
1714 36 : ca = cxanalyze(&Ta, s_a);
1715 36 : cb = cxanalyze(&Tb, s_b);
1716 36 : if (ca || cb)
1717 36 : { /* compute sqrt(s_b) / sqrt(s_a) in a more efficient way:
1718 : * sb = ub sqrt(2)^vb exp(i Pi/4 tb) */
1719 36 : GEN u = gdiv(Tb.u,Ta.u);
1720 36 : switch(Tb.v - Ta.v)
1721 : {
1722 0 : case -1: u = gmul2n(u,-1); /* fall through: write 1/sqrt2 = sqrt2/2 */
1723 6 : case 1: u = gmul(u, sqrt2? sqrt2: sqrtr_abs(real2n(1, prec)));
1724 : }
1725 36 : if (!isint1(u)) z = gmul(z, gsqrt(u, prec));
1726 36 : t = gadd(t, gmul2n(stoi(Tb.t - Ta.t), -3));
1727 : }
1728 : else
1729 : {
1730 0 : z = gmul(z, gsqrt(s_b, prec));
1731 0 : z = gdiv(z, gsqrt(s_a, prec));
1732 : }
1733 36 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
1734 : }
1735 :
1736 : /* sqrt(2) eta(2x) / eta(x) */
1737 : GEN
1738 12 : weberf2(GEN x, long prec)
1739 : {
1740 12 : pari_sp av = avma;
1741 : GEN z, sqrt2, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
1742 :
1743 12 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1744 12 : a = cxredsl2(x, &Ua);
1745 12 : b = cxredsl2(gmul2n(x,1), &Ub);
1746 12 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
1747 0 : z = gen_1;
1748 : else
1749 12 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
1750 12 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
1751 12 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
1752 12 : sqrt2 = sqrtr_abs(real2n(1, prec));
1753 12 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, sqrt2, prec);
1754 12 : return gerepileupto(av, gmul(z, sqrt2));
1755 : }
1756 :
1757 : /* eta(x/2) / eta(x) */
1758 : GEN
1759 12 : weberf1(GEN x, long prec)
1760 : {
1761 12 : pari_sp av = avma;
1762 : GEN z, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
1763 :
1764 12 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1765 12 : a = cxredsl2(x, &Ua);
1766 12 : b = cxredsl2(gmul2n(x,-1), &Ub);
1767 12 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
1768 0 : z = gen_1;
1769 : else
1770 12 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
1771 12 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
1772 12 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
1773 12 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, NULL, prec);
1774 12 : return gerepileupto(av, z);
1775 : }
1776 : /* exp(-I*Pi/24) * eta((x+1)/2) / eta(x) */
1777 : GEN
1778 12 : weberf(GEN x, long prec)
1779 : {
1780 12 : pari_sp av = avma;
1781 : GEN z, t0, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
1782 12 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1783 12 : a = cxredsl2(x, &Ua);
1784 12 : b = cxredsl2(gmul2n(gaddgs(x,1),-1), &Ub);
1785 12 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
1786 6 : z = gen_1;
1787 : else
1788 6 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
1789 12 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
1790 12 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
1791 12 : t0 = mkfrac(gen_m1, utoipos(24));
1792 12 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, t0, NULL, prec);
1793 12 : if (typ(z) == t_COMPLEX && isexactzero(real_i(x)))
1794 0 : z = gerepilecopy(av, gel(z,1));
1795 : else
1796 12 : z = gerepileupto(av, z);
1797 12 : return z;
1798 : }
1799 : GEN
1800 36 : weber0(GEN x, long flag,long prec)
1801 : {
1802 36 : switch(flag)
1803 : {
1804 12 : case 0: return weberf(x,prec);
1805 12 : case 1: return weberf1(x,prec);
1806 12 : case 2: return weberf2(x,prec);
1807 0 : default: pari_err_FLAG("weber");
1808 : }
1809 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1810 : }
1811 :
1812 : /********************************************************************/
1813 : /** Jacobi sine theta **/
1814 : /********************************************************************/
1815 :
1816 : /* check |q| < 1 */
1817 : static GEN
1818 18 : check_unit_disc(const char *fun, GEN q, long prec)
1819 : {
1820 18 : GEN Q = gtofp(q, prec), Qlow;
1821 18 : Qlow = (prec > LOWDEFAULTPREC)? gtofp(Q,LOWDEFAULTPREC): Q;
1822 18 : if (gcmp(gnorm(Qlow), gen_1) >= 0)
1823 0 : pari_err_DOMAIN(fun, "abs(q)", ">=", gen_1, q);
1824 18 : return Q;
1825 : }
1826 :
1827 : GEN
1828 6 : thetanullk(GEN q, long k, long prec)
1829 : {
1830 : long l, n;
1831 6 : pari_sp av = avma;
1832 : GEN p1, ps, qn, y, ps2;
1833 :
1834 6 : if (k < 0)
1835 0 : pari_err_DOMAIN("thetanullk", "k", "<", gen_0, stoi(k));
1836 6 : l = precision(q);
1837 6 : if (l) prec = l;
1838 6 : q = check_unit_disc("thetanullk", q, prec);
1839 :
1840 6 : if (!odd(k)) { set_avma(av); return gen_0; }
1841 6 : qn = gen_1;
1842 6 : ps2 = gsqr(q);
1843 6 : ps = gneg_i(ps2);
1844 6 : y = gen_1;
1845 6 : for (n = 3;; n += 2)
1846 240 : {
1847 : GEN t;
1848 246 : qn = gmul(qn,ps);
1849 246 : ps = gmul(ps,ps2);
1850 246 : t = gmul(qn, powuu(n, k)); y = gadd(y, t);
1851 246 : if (gexpo(t) < -prec2nbits(prec)) break;
1852 : }
1853 6 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
1854 6 : if (k&2) y = gneg_i(y);
1855 6 : return gerepileupto(av, gmul(p1, y));
1856 : }
1857 :
1858 : /* q2 = q^2 */
1859 : static GEN
1860 60765 : vecthetanullk_loop(GEN q2, long k, long prec)
1861 : {
1862 60765 : GEN ps, qn = gen_1, y = const_vec(k, gen_1);
1863 60765 : pari_sp av = avma;
1864 60765 : const long bit = prec2nbits(prec);
1865 : long i, n;
1866 :
1867 60765 : if (gexpo(q2) < -2*bit) return y;
1868 60765 : ps = gneg_i(q2);
1869 60765 : for (n = 3;; n += 2)
1870 307618 : {
1871 368383 : GEN t = NULL/*-Wall*/, P = utoipos(n), N2 = sqru(n);
1872 368383 : qn = gmul(qn,ps);
1873 368383 : ps = gmul(ps,q2);
1874 1105149 : for (i = 1; i <= k; i++)
1875 : {
1876 736766 : t = gmul(qn, P); gel(y,i) = gadd(gel(y,i), t);
1877 736766 : P = mulii(P, N2);
1878 : }
1879 368383 : if (gexpo(t) < -bit) return y;
1880 307618 : if (gc_needed(av,2))
1881 : {
1882 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"vecthetanullk_loop, n = %ld",n);
1883 0 : gerepileall(av, 3, &qn, &ps, &y);
1884 : }
1885 : }
1886 : }
1887 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1] */
1888 : GEN
1889 0 : vecthetanullk(GEN q, long k, long prec)
1890 : {
1891 0 : long i, l = precision(q);
1892 0 : pari_sp av = avma;
1893 : GEN p1, y;
1894 :
1895 0 : if (l) prec = l;
1896 0 : q = check_unit_disc("vecthetanullk", q, prec);
1897 0 : y = vecthetanullk_loop(gsqr(q), k, prec);
1898 0 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
1899 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
1900 0 : return gerepileupto(av, gmul(p1, y));
1901 : }
1902 :
1903 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1], q = exp(2iPi tau) */
1904 : GEN
1905 0 : vecthetanullk_tau(GEN tau, long k, long prec)
1906 : {
1907 0 : long i, l = precision(tau);
1908 0 : pari_sp av = avma;
1909 : GEN q4, y;
1910 :
1911 0 : if (l) prec = l;
1912 0 : if (typ(tau) != t_COMPLEX || gsigne(gel(tau,2)) <= 0)
1913 0 : pari_err_DOMAIN("vecthetanullk_tau", "imag(tau)", "<=", gen_0, tau);
1914 0 : q4 = expIPiC(gmul2n(tau,-1), prec); /* q^(1/4) */
1915 0 : y = vecthetanullk_loop(gpowgs(q4,8), k, prec);
1916 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
1917 0 : return gerepileupto(av, gmul(gmul2n(q4,1), y));
1918 : }
1919 :
1920 : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
1921 : GEN
1922 60996 : cxEk(GEN tau, long k, long prec)
1923 : {
1924 : pari_sp av;
1925 : GEN q, y, qn;
1926 60996 : long n, b, l = precision(tau);
1927 :
1928 60996 : if (l) prec = l;
1929 60996 : b = prec2nbits(prec);
1930 : /* sum n^(k-1) x^n <= x(1 + (k!-1)x) / (1-x)^k (cf Eulerian polynomials)
1931 : * S = \sum_{n > 0} n^(k-1) |q^n/(1-q^n)| <= x(1+(k!-1)x) / (1-x)^(k+1),
1932 : * where x = |q| = exp(-2Pi Im(tau)) < 1. Neglegt 2/zeta(1-k) * S if
1933 : * (2Pi)^k/(k-1)! x < 2^(-b-1) and k! x < 1. Use log2((2Pi)^k/(k-1)!) < 10 */
1934 60996 : if (gcmpgs(imag_i(tau), (M_LN2 / (2*M_PI)) * (b+1+10)) > 0)
1935 15 : return real_1(prec);
1936 60981 : if (k == 2)
1937 : { /* -theta^(3)(tau/2) / theta^(1)(tau/2). Assume that Im tau > 0 */
1938 60765 : y = vecthetanullk_loop(qq(tau,prec), 2, prec);
1939 60765 : return gdiv(gel(y,2), gel(y,1));
1940 : }
1941 216 : q = cxtoreal(expIPiC(gneg(gmul2n(tau,1)), prec));
1942 216 : av = avma; y = gen_0; qn = q;
1943 216 : for(n = 1;; n++)
1944 2246 : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) / (q^n-1) */
1945 2462 : GEN t = gdiv(powuu(n,k-1), gsubgs(qn,1));
1946 2462 : if (gequal0(t) || gexpo(t) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
1947 2246 : y = gadd(y, t);
1948 2246 : qn = gmul(q,qn);
1949 2246 : if (gc_needed(av,2))
1950 : {
1951 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
1952 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
1953 : }
1954 : }
1955 216 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
1956 : }
1957 :
1958 : /********************************************************************/
1959 : /* New code for 1-variable theta, does not use AGM */
1960 : /********************************************************************/
1961 :
1962 : /* This code provides four new functions: theta (same name as before)
1963 : flag = NULL for backward compatibility; otherwise flags
1964 : 1,2,3,4 old Jacobi notation, flags [0,0], [0,1], [1,0], [1,1],
1965 : Riemann notation corresponding to 3, 4, 2, and -1, and flag 0
1966 : all four [i,j] with 0 <= i,j <= 1. For instance
1967 : vector(4,n,theta(z,tau,[(n-1)\2,(n-1)%2])) and theta(z,tau,0)
1968 : should both be identical to riemann_theta([z]~,Mat(tau)) from Jean Kieffer.
1969 :
1970 : thetanull: theta Nullwerte, same flags, value at z=0 except for flag
1971 : 1 and [1,1], first derivative at z=0 of [1,1] since value identically zero.
1972 :
1973 : elljacobi: Jacobi elliptic functions [sn,cn,dn]. Included since trivially
1974 : obtained from the four theta functions.
1975 :
1976 : ellweierstrass: implementation of all Weierstrass data from theta functions.
1977 : More precisely, to be written. */
1978 :
1979 : static long
1980 96 : equali01(GEN x)
1981 : {
1982 96 : if (!signe(x)) return 0;
1983 72 : if (!equali1(x)) pari_err_FLAG("theta");
1984 72 : return 1;
1985 : }
1986 :
1987 : static long
1988 180 : thetaflag(GEN v)
1989 : {
1990 : long v1, v2;
1991 180 : if (!v) return 0;
1992 180 : switch(typ(v))
1993 : {
1994 132 : case t_INT:
1995 132 : if (signe(v) < 0 || cmpis(v, 4) > 0) pari_err_FLAG("theta");
1996 132 : return itou(v);
1997 48 : case t_VEC:
1998 48 : if (RgV_is_ZV(v) && lg(v) == 3) break;
1999 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
2000 : }
2001 48 : v1 = equali01(gel(v,1));
2002 48 : v2 = equali01(gel(v,2)); return v1? (v2? -1: 2): (v2? 4: 3);
2003 : }
2004 :
2005 : /* Automorphy factor for bringing tau towards standard fundamental domain
2006 : * (we stop when im(tau) >= 1/2, no need to go all the way to sqrt(3)/2).
2007 : * At z = 0 if NULL */
2008 : static GEN
2009 240 : autojtau(GEN *pz, GEN *ptau, long *psumr, long *pct, long prec)
2010 : {
2011 240 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau;
2012 240 : long ct = 0, sumr = 0;
2013 240 : if (z && gequal0(z)) z = NULL;
2014 444 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
2015 : {
2016 204 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
2017 204 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
2018 204 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
2019 204 : if (z)
2020 : {
2021 144 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
2022 144 : z = gneg(gmul(z, taup));
2023 : }
2024 204 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
2025 : }
2026 240 : if (pct) *pct = ct;
2027 240 : *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
2028 : }
2029 :
2030 : /* At 0 if z = NULL. Real(tau) = n is an integer; 4 | n if fl = 1 or 2 */
2031 : static void
2032 372 : clearim(GEN *v, GEN z, long fl)
2033 : {
2034 372 : if (!z || gequal0(imag_i(z)) || (fl != 1 && gequal0(real_i(z))))
2035 282 : *v = real_i(*v);
2036 372 : }
2037 :
2038 : static GEN
2039 234 : clearimall(GEN z, GEN tau, GEN VS)
2040 : {
2041 : GEN n;
2042 234 : if (isint(real_i(tau), &n))
2043 : {
2044 138 : long nmod4 = Mod4(n);
2045 138 : clearim(&gel(VS,1), z, 3);
2046 138 : clearim(&gel(VS,2), z, 4);
2047 138 : if (!nmod4)
2048 : {
2049 48 : clearim(&gel(VS,3), z, 2);
2050 48 : clearim(&gel(VS,4), z, 1);
2051 : }
2052 : }
2053 234 : return VS;
2054 : }
2055 :
2056 : static GEN
2057 18 : gadd3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gadd(gadd(a, b), c); }
2058 : static GEN
2059 36 : gmul3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gmul(gmul(a, b), c); }
2060 : static GEN
2061 6 : gmul4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return gmul(gmul(a, b), gmul(c,d)); }
2062 :
2063 : /* Implementation of all 4 theta functions */
2064 :
2065 : /* If z = NULL, we are at 0 */
2066 : static long
2067 246 : thetaprec(GEN z, GEN tau, long prec)
2068 : {
2069 246 : long l = precision(tau);
2070 246 : if (z)
2071 : {
2072 192 : long n = precision(z);
2073 192 : if (n && n < l) l = n;
2074 : }
2075 246 : return l? l: prec;
2076 : }
2077 :
2078 : static GEN
2079 18 : redmodZ(GEN z)
2080 : {
2081 18 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return gfrac(z);
2082 6 : return mkcomplex(gfrac(gel(z,1)), gel(z,2));
2083 : }
2084 : static GEN
2085 180 : redmod2Z(GEN z)
2086 : {
2087 180 : GEN k = ground(gmul2n(real_i(z), -1));
2088 180 : if (signe(k)) z = gsub(z, shifti(k, 1));
2089 180 : return z;
2090 : }
2091 :
2092 : /* If z = NULL assume z = 0 and compute theta[1,1]' instead of theta[1,1] = 0 */
2093 : static GEN
2094 234 : thetaall_i(GEN z, GEN tau, long prec)
2095 : {
2096 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
2097 : GEN S, S00, S01, S10, S11, u2, ui2, uin;
2098 234 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
2099 234 : int theta1p = !z;
2100 :
2101 234 : if (z) z = redmod2Z(z);
2102 234 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
2103 234 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
2104 234 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
2105 234 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
2106 234 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, &ct, prec);
2107 234 : k = gen_0; S00 = S01 = gen_1; S10 = S11 = gen_0;
2108 234 : if (z)
2109 : {
2110 156 : GEN y = imag_i(z);
2111 156 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
2112 156 : if (signe(k))
2113 : {
2114 12 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
2115 12 : S = gmul(S, Sz);
2116 12 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
2117 : }
2118 : }
2119 234 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
2120 : {
2121 42 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
2122 42 : if (z) z = gprec_w(z, prec);
2123 42 : tau = gprec_w(tau, prec);
2124 : }
2125 234 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
2126 234 : if (!z) u = u2 = ui2 = un = uin = NULL; /* constant, equal to 1 */
2127 : else
2128 : {
2129 156 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
2130 156 : un = uin = gen_1;
2131 : }
2132 234 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
2133 234 : for (n = 1;; n++)
2134 1230 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
2135 1464 : long e = 0, eqn, prec2;
2136 : GEN tmp;
2137 1464 : if (u) uin = gmul(uin, ui2);
2138 1464 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
2139 1464 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
2140 1464 : S10 = gadd(S10, tmp);
2141 1464 : if (z)
2142 : {
2143 942 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
2144 942 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
2145 942 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2);
2146 942 : e = maxss(e, gexpo(un));
2147 : }
2148 522 : else if (theta1p) /* theta'[1,1] at 0 */
2149 : {
2150 360 : tmp = gmulsg(2*n-1, tmp);
2151 360 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
2152 : }
2153 1464 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
2154 1464 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
2155 1464 : S00 = gadd(S00, tmp);
2156 1464 : S01 = odd(n)? gsub(S01, tmp): gadd(S01, tmp);
2157 1464 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
2158 1230 : qd = gmul(qd, q2);
2159 1230 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
2160 1230 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
2161 1230 : if (u) { un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2); }
2162 : }
2163 234 : if (u)
2164 : {
2165 156 : S10 = gmul(u, S10);
2166 156 : S11 = gmul(u, S11);
2167 : }
2168 : /* automorphic factor
2169 : * theta[1,1]: I^ct
2170 : * theta[1,0]: exp(-I*Pi/4*sumr)
2171 : * theta[0,1]: (-1)^k
2172 : * theta[1,1]: (-1)^k exp(-I*Pi/4*sumr) */
2173 234 : S11 = z? mulcxpowIs(S11, ct + 3): gmul(mppi(prec), S11);
2174 234 : if (ct&1L) swap(S10, S01);
2175 234 : if (sumr & 7)
2176 : {
2177 90 : GEN zet = e12(sumr * 3, prec); /* exp(I Pi sumr / 4) */
2178 90 : if (odd(sumr)) swap(S01, S00);
2179 90 : S10 = gmul(S10, zet);
2180 90 : S11 = gmul(S11, zet);
2181 : }
2182 234 : if (theta1p) S11 = gmul(gsqr(S), S11);
2183 180 : else if (mpodd(k)) { S01 = gneg(S01); S11 = gneg(S11); }
2184 234 : if (precold < prec)
2185 : {
2186 54 : prec = precold;
2187 54 : S00 = gprec_w(S00, prec); S01 = gprec_w(S01, prec);
2188 54 : S10 = gprec_w(S10, prec); S11 = gprec_w(S11, prec);
2189 : }
2190 234 : return clearimall(zold, tauold, gmul(S, mkvec4(S00, S01, S10, S11)));
2191 : }
2192 :
2193 : static GEN
2194 54 : thetanull_i(GEN tau, long prec) { return thetaall_i(NULL, tau, prec); }
2195 :
2196 : GEN
2197 150 : theta(GEN z, GEN tau, GEN flag, long prec)
2198 : {
2199 150 : pari_sp av = avma;
2200 : GEN T;
2201 150 : if (!flag)
2202 : { /* backward compatibility: sine theta */
2203 12 : GEN pi = mppi(prec), q = z; z = tau; /* input (q = exp(i pi tau), Pi*z) */
2204 12 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
2205 12 : q = check_unit_disc("theta", q, prec);
2206 12 : z = gdiv(gtofp(z, prec), pi);
2207 12 : tau = gdiv(mulcxmI(glog(q, prec)), pi);
2208 12 : flag = gen_1;
2209 : }
2210 150 : T = thetaall_i(z, tau, prec);
2211 150 : switch (thetaflag(flag))
2212 : {
2213 24 : case -1: T = gel(T,4); break;
2214 18 : case 0: break;
2215 72 : case 1: T = gneg(gel(T,4)); break;
2216 12 : case 2: T = gel(T,3); break;
2217 12 : case 3: T = gel(T,1); break;
2218 12 : case 4: T = gel(T,2); break;
2219 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
2220 : }
2221 150 : return gerepilecopy(av, T);
2222 : }
2223 :
2224 : /* Same as 2*Pi*eta(tau,1)^3 = - thetaall_i(NULL, tau)[4], faster than both. */
2225 : static GEN
2226 6 : thetanull11(GEN tau, long prec)
2227 : {
2228 6 : GEN z = NULL, tauold, q, q8, qd, qn, S, S11;
2229 6 : long n, eS, B, sumr, precold = prec;
2230 :
2231 6 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
2232 6 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
2233 6 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, NULL, prec);
2234 6 : S11 = gen_1; ;
2235 6 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
2236 : {
2237 0 : prec += nbits2extraprec(eS);
2238 0 : tau = gprec_w(tau, prec);
2239 : }
2240 6 : q8 = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q = gpowgs(q8, 8);
2241 6 : qn = gen_1; qd = q; B = prec2nbits(prec);
2242 6 : for (n = 1;; n++)
2243 36 : { /* qd = q^n, qn = q^((n^2-n)/2) */
2244 : long eqn, prec2;
2245 : GEN tmp;
2246 42 : qn = gmul(qn, qd); tmp = gmulsg(2*n+1, qn); eqn = gexpo(tmp);
2247 42 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
2248 42 : if (eqn < -B) break;
2249 36 : qd = gmul(qd, q);
2250 36 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 32));
2251 36 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
2252 : }
2253 6 : if (precold < prec) prec = precold;
2254 6 : S11 = gmul3(S11, q8, e12(3*sumr, prec));
2255 6 : S11 = gmul3(Pi2n(1, prec), gpowgs(S, 3), S11);
2256 6 : if (isint(real_i(tauold), &q) && !Mod4(q)) clearim(&S11, z, 1);
2257 6 : return S11;
2258 : }
2259 :
2260 : GEN
2261 30 : thetanull(GEN tau, GEN flag, long prec)
2262 : {
2263 30 : pari_sp av = avma;
2264 30 : long fl = thetaflag(flag);
2265 : GEN T0;
2266 30 : if (fl == 1) T0 = thetanull11(tau, prec);
2267 30 : else if (fl == -1) T0 = gneg(thetanull11(tau, prec));
2268 : else
2269 : {
2270 24 : T0 = thetanull_i(tau, prec);
2271 24 : switch (fl)
2272 : {
2273 6 : case 0: break;
2274 6 : case 2: T0 = gel(T0,3); break;
2275 6 : case 3: T0 = gel(T0,1); break;
2276 6 : case 4: T0 = gel(T0,2); break;
2277 0 : default: pari_err_FLAG("thetanull");
2278 : }
2279 : }
2280 30 : return gerepilecopy(av, T0);
2281 : }
2282 :
2283 : /********************************************************************/
2284 : /** Jacobi sn, cn, dn **/
2285 : /********************************************************************/
2286 :
2287 : /* Basic Jacobi elliptic functions in terms of thetas */
2288 : GEN
2289 12 : elljacobi(GEN z, GEN k, long prec)
2290 : {
2291 12 : pari_sp av = avma;
2292 12 : GEN K = ellK(k, prec), Kp = ellK(gsqrt(gsubsg(1, gsqr(k)), prec), prec);
2293 12 : GEN zet = gdiv(gmul2n(z, -1), K), tau = mulcxI(gdiv(Kp, K));
2294 12 : GEN T = thetaall_i(zet, tau, prec), T0 = thetanull_i(tau, prec);
2295 12 : GEN t1 = gneg(gel(T,4)), t2 = gel(T,3), t3 = gel(T,1), t4 = gel(T,2);
2296 12 : GEN z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1), z4 = gel(T0,2), z2t4 = gmul(z2, t4);
2297 : GEN SN, CN, DN;
2298 12 : SN = gdiv(gmul(z3, t1), z2t4);
2299 12 : CN = gdiv(gmul(z4, t2), z2t4);
2300 12 : DN = gdiv(gmul(z4, t3), gmul(z3, t4));
2301 12 : return gerepilecopy(av, mkvec3(SN, CN, DN));
2302 : }
2303 :
2304 : /********************************************************************/
2305 : /** Weierstrass elliptic data in terms of thetas **/
2306 : /********************************************************************/
2307 :
2308 : static GEN
2309 18 : mfE2eval(GEN tau, long prec)
2310 : {
2311 18 : GEN M, c, taured = cxredsl2(tau, &M), R = cxEk(taured, 2, prec);
2312 18 : c = gcoeff(M,2,1);
2313 18 : if (signe(c))
2314 : {
2315 18 : GEN d = gcoeff(M,2,2), J = gadd(d, gmul(c, tau));
2316 18 : R = gadd(R, gdiv(mulcxI(gmul(mului(6,c), J)), mppi(prec)));
2317 18 : R = gdiv(R, gsqr(J));
2318 : }
2319 18 : return R;
2320 : }
2321 :
2322 : static GEN
2323 18 : weta1eta2(GEN tau, GEN e, long prec)
2324 18 : { return mkvec2(gneg(e), gsub(gmul(tau, e), PiI2n(1, prec))); }
2325 :
2326 : static GEN
2327 18 : wg2g3(GEN T0, GEN a, GEN *pe)
2328 : {
2329 18 : GEN z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1), z4 = gel(T0,2), g2, g3, e1, e2, e3;
2330 18 : z2 = gmul(a, gpowgs(z2, 4));
2331 18 : z3 = gmul(a, gpowgs(z3, 4));
2332 18 : z4 = gmul(a, gpowgs(z4, 4));
2333 18 : e1 = gadd(z3, z4); e2 = gsub(z2, z4); e3 = gneg(gadd(z2, z3));
2334 18 : g2 = gmulgs(gadd3(gsqr(z2), gsqr(z3), gsqr(z4)), 6);
2335 18 : g3 = gmul2n(gmul3(e1, e2, e3), 2);
2336 18 : *pe = mkvec3(e1, e2, e3); return mkvec2(g2, g3);
2337 : }
2338 :
2339 : static GEN
2340 6 : wsigma(GEN z, GEN T, GEN T0, GEN e, long prec)
2341 : {
2342 6 : GEN E = gexp(gmul(gsqr(z), gmul2n(e,-1)), prec);
2343 6 : return gdiv(gmul(E, gel(T,4)), gel(T0,4));
2344 : }
2345 :
2346 : static GEN
2347 12 : _thetaz(void *E, GEN z, long prec)
2348 12 : { GEN T = thetaall_i(z, (GEN)E, prec); return gel(T,4); }
2349 : static GEN
2350 6 : wzeta(GEN z, GEN tau, GEN T, GEN e, long prec)
2351 : {
2352 6 : GEN TP = derivnum((void*)tau, _thetaz, z, prec);
2353 6 : return gadd(gmul(z, e), gdiv(TP, gel(T,4)));
2354 : }
2355 :
2356 : static GEN
2357 6 : wp(GEN T, GEN T0, GEN a)
2358 : {
2359 6 : GEN t4 = gel(T,2), z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1);
2360 6 : return gmul(a, gsub(gmulgs(gsqr(gdiv(gmul3(z2, z3, t4), gel(T,4))), 3),
2361 : gadd(gpowgs(z2,4), gpowgs(z3,4))));
2362 : }
2363 :
2364 : static GEN
2365 6 : wpprime(GEN T, GEN T0, long prec)
2366 : {
2367 6 : GEN t2 = gel(T,3), t3 = gel(T,1), t4 = gel(T,2);
2368 6 : GEN c = gmul(Pi2n(1, prec), gsqr(gel(T0,4)));
2369 6 : return gdiv(gmul4(c, t2, t3, t4), gpowgs(gel(T,4), 3));
2370 : }
2371 :
2372 : GEN
2373 18 : ellweierstrass(GEN z, GEN tau, long prec)
2374 : {
2375 18 : pari_sp av = avma;
2376 18 : long prec2 = prec + EXTRAPREC64;
2377 18 : GEN T0 = thetanull_i(tau, prec), a = divru(sqrr(mppi(prec2)), 3);
2378 18 : GEN e = gmul(a, mfE2eval(tau, prec2));
2379 18 : GEN e1e2e3, g2g3 = wg2g3(T0, a, &e1e2e3);
2380 18 : GEN R = mkvec4(mkvec2(gen_m1, tau), g2g3, e1e2e3, weta1eta2(tau, e, prec));
2381 18 : z = redmodZ(z);
2382 18 : if (!gequal0(z))
2383 : {
2384 6 : GEN T = thetaall_i(z, tau, prec);
2385 6 : R = shallowconcat(R, mkvec4(wsigma(z, T, T0, e, prec),
2386 : wzeta(z, tau, T, e, prec),
2387 : wp(T, T0, a), wpprime(T, T0, prec)));
2388 : }
2389 18 : return gerepilecopy(av, R);
2390 : }
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