Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2022 The PARI group.
2 :
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4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : #include "pari.h"
16 : #include "paripriv.h"
17 :
18 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
19 :
20 : /********************************************************/
21 : /* Hurwitz zeta function */
22 : /********************************************************/
23 : struct hurwitzp_t { GEN B, _1, s1; };
24 : static void
25 49 : hurwitzp_init(struct hurwitzp_t *S, long prec, GEN s)
26 : {
27 49 : GEN B, C = gen_1, s1 = gsubgs(s, 1), p = gel(s, 2);
28 49 : long j, J = ((equaliu(p,2)? (prec >> 1): prec) + 2) >> 1;
29 49 : if (gequal0(s1)) s1 = NULL;
30 49 : B = bernvec(J);
31 203 : for (j = 1; j <= J; j++)
32 : {
33 154 : GEN t = (j == 1 && !s1)? s: gmul(gaddgs(s, 2*j-3), gaddgs(s, 2*j-2));
34 154 : C = gdivgunextu(gmul(C, t), 2*j-1);
35 154 : gel(B, j+1) = gmul(gel(B, j+1), C); /* B_{2j} * binomial(1-s, 2j) */
36 : }
37 49 : S->_1 = cvtop(gen_1, p, prec);
38 49 : S->s1 = s1;
39 49 : S->B = B;
40 49 : }
41 :
42 : /* s1 = s-1 or NULL (if s=1) */
43 : static GEN
44 168 : hurwitzp_i(struct hurwitzp_t *S, GEN x)
45 : {
46 168 : GEN z, x2, x2j, s1 = S->s1;
47 168 : long j, J = lg(S->B) - 2;
48 :
49 168 : x = cvtop2(ginv(x), S->_1); z = gmul2n(x, -1);
50 168 : z = s1? gmul(s1, z): gadd(Qp_log(x), z);
51 168 : x2j = x2 = gsqr(x); z = gaddgs(z, 1);
52 168 : for (j = 1;; j++)
53 : {
54 511 : z = gadd(z, gmul(gel(S->B, j + 1), x2j));
55 511 : if (j == J) break;
56 343 : x2j = gmul(x2, x2j);
57 : }
58 168 : if (s1) z = gmul(gdiv(z, s1), Qp_exp(gmul(s1, Qp_log(x))));
59 168 : return z;
60 : }
61 : /* private (absolute) padicprec */
62 : static long
63 56 : pprec(GEN x) { return maxss(valp(x) + precp(x), 1); }
64 :
65 : /* L_p(s, (D, .)); assume s != 1 if D = 1 */
66 : static GEN
67 14 : zetap_i(GEN s, long D)
68 : {
69 14 : pari_sp av = avma;
70 14 : GEN z, va, gp = gel(s,2);
71 14 : ulong a, p = itou(gp), m;
72 14 : long prec = pprec(s);
73 : struct hurwitzp_t S;
74 :
75 14 : if (D <= 0) pari_err_DOMAIN("p-adic L-function", "D", "<=", gen_0, stoi(D));
76 14 : if (!uposisfundamental(D))
77 0 : pari_err_TYPE("p-adic L-function [D not fundamental]", stoi(D));
78 14 : hurwitzp_init(&S, prec, s);
79 14 : m = ulcm(D, p == 2? 4: p); va = coprimes_zv(m);
80 42 : for (a = 1, z = gen_0; a <= (m >> 1); a++)
81 28 : if (va[a])
82 : {
83 21 : GEN h = hurwitzp_i(&S, uutoQ(a, m));
84 21 : if (D != 1 && kross(D, a) < 0) h = gneg(h);
85 21 : z = gadd(z, h);
86 : }
87 14 : z = gdivgs(gmul2n(z, 1), m);
88 14 : if (D != 1) z = gmul(z, Qp_exp(gmul(gsubsg(1, s), Qp_log(cvstop2(m, s)))));
89 14 : return gerepileupto(av, z);
90 : }
91 : GEN
92 14 : Qp_zeta(GEN s) { return zetap_i(s, 1); }
93 :
94 : /* s a t_PADIC; gerepileupto-safe */
95 : static GEN
96 35 : hurwitzp(GEN s, GEN x)
97 : {
98 35 : GEN gp = gel(s,2);
99 35 : long p = itou(gp), prec = pprec(s);
100 : struct hurwitzp_t S;
101 35 : hurwitzp_init(&S, prec, s);
102 35 : if (typ(x) != t_PADIC) x = gadd(x, zeropadic_shallow(gp, prec));
103 35 : if (valp(x) >= ((p==2)? -1: 0))
104 : {
105 28 : GEN z = gen_0;
106 28 : long j, M = (p==2)? 4: p;
107 189 : for (j = 0; j < M; j++)
108 : {
109 161 : GEN y = gaddsg(j, x);
110 161 : if (valp(y) <= 0) z = gadd(z, hurwitzp_i(&S, gdivgu(y, M)));
111 : }
112 28 : return gdivgu(z, M);
113 : }
114 7 : if (valp(s) < 0) pari_err_DOMAIN("hurwitzp", "v(s)", "<", gen_0, s);
115 7 : return hurwitzp_i(&S, x);
116 : }
117 :
118 : static void
119 8596 : binsplit(GEN *pP, GEN *pR, GEN aN2, GEN isqaN, GEN s, long j, long k, long prec)
120 : {
121 8596 : if (j + 1 == k)
122 : {
123 4347 : long j2 = j << 1;
124 : GEN P;
125 4347 : if (!j) P = gdiv(s, aN2);
126 : else
127 : {
128 4249 : P = gmul(gaddgs(s, j2-1), gaddgs(s, j2));
129 4249 : P = gdivgunextu(gmul(P, isqaN), j2+1);
130 : }
131 4347 : if (pP) *pP = P;
132 4347 : if (pR) *pR = gmul(bernreal(j2+2, prec), P);
133 : }
134 : else
135 : {
136 : GEN P1, R1, P2, R2;
137 4249 : binsplit(&P1,pR? &R1: NULL, aN2, isqaN, s, j, (j+k) >> 1, prec);
138 4249 : binsplit(pP? &P2: NULL, pR? &R2: NULL, aN2, isqaN, s, (j+k) >> 1, k, prec);
139 4249 : if (pP) *pP = gmul(P1,P2);
140 4249 : if (pR) *pR = gadd(R1, gmul(P1, R2));
141 : }
142 8596 : }
143 :
144 : /* a0 + a1 x + O(x^e), e >= 0 */
145 : static GEN
146 77 : deg1ser_shallow(GEN a1, GEN a0, long v, long e)
147 77 : { return RgX_to_ser(deg1pol_shallow(a1, a0, v), e+2); }
148 :
149 : static long
150 161 : hurwitz_cutoff(GEN s, long bit)
151 : {
152 196 : return typ(s) == t_COMPLEX &&
153 35 : fabs(gtodouble(gel(s,2))) > 5.37 * pow(bit, 1.4) / mt_nbthreads();
154 : }
155 :
156 : /* New zetahurwitz, from Fredrik Johansson. */
157 : GEN
158 287 : zetahurwitz(GEN s, GEN x, long der, long bitprec)
159 : {
160 287 : pari_sp av = avma, av2;
161 287 : GEN a, ra, ra0, Nx, S1, S2, S3, N2, rx, sch = NULL, s0 = s, x0 = x, y;
162 287 : long j, k, m, N, prec0 = nbits2prec(bitprec), prec = prec0, fli = 0;
163 : pari_timer T;
164 :
165 287 : if (der < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "der", "<", gen_0, stoi(der));
166 287 : if (der)
167 : {
168 : GEN z;
169 21 : if (!is_scalar_t(typ(s)))
170 : {
171 7 : z = deriv(zetahurwitz(s, x, der - 1, bitprec), -1);
172 7 : z = gdiv(z, deriv(s, -1));
173 : }
174 : else
175 : {
176 14 : if (gequal1(s)) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
177 14 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s, 0, der+2);
178 14 : z = zetahurwitz(s, x, 0, bitprec + der * log2(der));
179 14 : z = gmul(mpfact(der), polcoef_i(z, der, -1));
180 : }
181 21 : return gerepileupto(av,z);
182 : }
183 266 : if (typ(s) == t_PADIC) return gerepileupto(av, hurwitzp(s, x));
184 238 : if (typ(x) == t_PADIC)
185 : {
186 7 : s = gadd(s, zeropadic_shallow(gel(x,2), pprec(x)));
187 7 : return gerepileupto(av, hurwitzp(s, x));
188 : }
189 231 : switch(typ(x))
190 : {
191 217 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
192 14 : default:
193 14 : if (!(y = toser_i(x))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
194 7 : x = y; x0 = polcoef_i(x, 0, -1); break;
195 : }
196 224 : rx = grndtoi(real_i(x0), NULL);
197 224 : if (typ(rx) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
198 224 : if (x0 == x && signe(rx) <= 0 && gexpo(gsub(x, rx)) < 17 - bitprec)
199 0 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "x", "<=", gen_0, x);
200 224 : switch (typ(s))
201 : {
202 : long v, pr;
203 154 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
204 154 : if (!der && hurwitz_cutoff(s, bitprec))
205 0 : return zetahurwitzlarge(s, x, prec);
206 154 : break;
207 70 : default:
208 70 : if (!(y = toser_i(s))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", s);
209 70 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "val(s)", "<", gen_0, s);
210 70 : s0 = polcoef_i(y, 0, -1);
211 70 : switch(typ(s0))
212 : {
213 63 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
214 0 : case t_PADIC: pari_err_IMPL("zetahurwitz(t_SER of t_PADIC)");
215 7 : default: pari_err_TYPE("zetahurwitz", s0);
216 : }
217 63 : sch = gequal0(s0)? y: serchop0(y);
218 63 : v = valser(sch);
219 63 : pr = (lg(y) + v + 1) / v;
220 63 : if (gequal1(s0)) pr += v;
221 63 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s0, 0, pr);
222 : }
223 217 : a = gneg(s0); ra = real_i(a); ra0 = ground(ra);
224 217 : if (gequal1(s0) && (!sch || gequal0(sch)))
225 14 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
226 203 : fli = (gsigne(ra0) >= 0 && gexpo(gsub(a, ra0)) < 17 - bitprec);
227 203 : if (!sch && fli)
228 : { /* a ~ non negative integer */
229 14 : k = itos(gceil(ra)) + 1;
230 14 : if (odd(k)) k++;
231 14 : N = 1;
232 : }
233 : else
234 : {
235 189 : GEN C, ix = imag_i(x0);
236 189 : double c = (typ(s) == t_INT)? 1: 20 * log((double)bitprec);
237 189 : double rs = gtodouble(ra) + 1;
238 : long k0;
239 189 : if (fli) a = gadd(a, ghalf); /* hack */
240 189 : if (rs > 0)
241 : {
242 49 : bitprec += (long)ceil(rs * expu(bitprec));
243 49 : prec = nbits2prec(bitprec);
244 49 : x = gprec_w(x, prec);
245 49 : s = gprec_w(s, prec);
246 49 : if (sch) sch = gprec_w(sch, prec);
247 : }
248 189 : k = bitprec * M_LN2 / (1 + dbllambertW0(M_PI / c));
249 189 : k0 = itos(gceil(gadd(ra, ghalf))) + 1;
250 189 : k = maxss(k0, k);
251 189 : if (odd(k)) k++;
252 : /* R_k < 2 |binom(a,k+1) B_{k+2}/(k+2)| */
253 189 : C = binomial(a, k+1); C = polcoef_i(C, 0, -1);
254 189 : C = gmul(C, gdivgu(bernfrac(k+2), k+2));
255 189 : C = gmul2n(gabs(C,LOWDEFAULTPREC), bitprec + 1);
256 189 : C = gpow(C, ginv(gsubsg(k+1, ra)), LOWDEFAULTPREC);
257 : /* need |N + x - 1|^2 > C^2 */
258 189 : if (!gequal0(ix)) C = gsqrt(gsub(gsqr(C), gsqr(ix)), LOWDEFAULTPREC);
259 : /* need |N + re(x) - 1| > C */
260 189 : C = gceil(gadd(C, gsubsg(1, rx)));
261 189 : if (typ(C) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz",s);
262 189 : N = signe(C) > 0? itos(C) : 1;
263 189 : if (N == 1 && signe(a) > 0)
264 : { /* May reduce k if 2Pix > a */
265 : /* Need 2 |x^(-K) (B_K/K) binom(a, K-1)| < 2^-bit |x|^-rs |zeta(s,x)|
266 : * with K = k+2; N = 1; |zeta(s,x)| ~ |x|^(rs-1);
267 : * if a > 0, (B_K/K) binom(a, K-1) < 2 |a / 2Pi|^K */
268 0 : double dx = dbllog2(x0), d = 1 + dx + log2(M_PI) - dbllog2(s0);
269 0 : if (d > 0)
270 : { /* d ~ log2 |2Pi x / a| */
271 0 : long K = (long)ceil((bitprec + 1 + dx) / d);
272 0 : K = maxss(k0, K);
273 0 : if (odd(K)) K++;
274 0 : if (K < k) k = K;
275 : }
276 : }
277 : }
278 203 : if (gsigne(rx) < 0) N = maxss(N, 1 - itos(rx));
279 203 : a = gneg(s);
280 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
281 203 : incrprec(prec);
282 203 : Nx = gaddsg(N - 1, x);
283 203 : Nx = typ(Nx) == t_SER? RgX_gtofp(Nx, prec): gtofp(Nx, prec);
284 203 : S1 = S3 = gpow(Nx, a, prec);
285 203 : av2 = avma;
286 203 : if (gequal1(x)) S1 = dirpowerssum(N, a, 0, prec);
287 : else
288 1638 : for (m = N - 2; m >= 0; m--)
289 : {
290 1491 : S1 = gadd(S1, gpow(gaddsg(m,x), a, prec));
291 1491 : if ((m & 0xff) == 0) S1 = gerepileupto(av2, S1);
292 : }
293 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 0 to N - 1");
294 203 : constbern(k >> 1);
295 203 : N2 = ginv(gsqr(Nx));
296 203 : if (typ(s0) == t_INT)
297 : {
298 105 : S2 = divru(bernreal(k, prec), k);
299 3276 : for (j = k - 2; j >= 2; j -= 2)
300 : {
301 3171 : GEN t = gsubgs(a, j), u = gmul(t, gaddgs(t, 1));
302 3171 : u = gmul(gdivgunextu(u, j), gmul(S2, N2));
303 3171 : S2 = gadd(divru(bernreal(j, prec), j), u);
304 : }
305 105 : S2 = gmul(S2, gdiv(a, Nx));
306 : }
307 : else
308 : {
309 98 : binsplit(NULL,&S2, gmul2n(Nx,1), N2, s, 0, k >> 1, prec);
310 98 : S2 = gneg(S2);
311 : }
312 203 : S2 = gadd(ghalf, S2);
313 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
314 203 : S2 = gmul(S3, gadd(gdiv(Nx, gaddsg(1, a)), S2));
315 203 : S1 = gprec_wtrunc(gsub(S1, S2), prec0);
316 203 : if (sch) return gerepileupto(av, gsubst(S1, 0, sch));
317 147 : return gerepilecopy(av, S1);
318 : }
319 :
320 : /* New Lerch, inspired by Fredrik Johansson. */
321 :
322 : GEN
323 153644 : lerch_worker(GEN t, GEN E)
324 : {
325 153644 : GEN n, d, T, s = gel(E,1), a = gmul(gel(E,2), t), z = gel(E,3);
326 153363 : long p = itos(gel(E,4)), prec = labs(p);
327 153359 : d = gadd(gexp(t, prec), z);
328 153532 : T = p > 0? t: gneg(t);
329 153573 : if (typ(s) == t_INT)
330 58378 : n = gmul(gpow(T, s, prec), gexp(a, prec));
331 : else /* save one exp */
332 95195 : n = gexp(gadd(gmul(s, glog(T, prec)), a), prec);
333 153756 : return gdiv(n, d);
334 : }
335 :
336 : /* tab already computed with N = #tab[1] even */
337 : static GEN
338 441 : parintnumgauss(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long prec)
339 : {
340 441 : GEN R = gel(tab, 1), W = gel(tab, 2), bma, bpa, S = gen_0, VP, VM, V;
341 441 : long n = lg(R) - 1, i, prec2 = prec + EXTRAPREC64;
342 441 : a = gprec_wensure(a, prec2);
343 441 : b = gprec_wensure(b, prec2);
344 441 : VP = cgetg(n + 1, t_VEC); bma = gmul2n(gsub(b, a), -1);
345 441 : VM = cgetg(n + 1, t_VEC); bpa = gadd(bma, a);
346 28203 : for (i = 1; i <= n; i++)
347 : {
348 27762 : GEN h = gmul(bma, gel(R, i));
349 27762 : gel(VP, i) = gadd(bpa, h);
350 27762 : gel(VM, i) = gsub(bpa, h);
351 : }
352 441 : V = gadd(parapply(f, VP), parapply(f, VM));
353 28203 : for (i = 1; i <= n; i++)
354 : {
355 27762 : S = gadd(S, gmul(gel(W, i), gel(V, i)));
356 27762 : S = gprec_wensure(S, prec2);
357 : }
358 441 : return gprec_wtrunc(gmul(bma, S), prec);
359 : }
360 :
361 : /* Assume tab computed and a >= 0 */
362 : static GEN
363 119 : parintnum(GEN f, GEN a, GEN tab)
364 : {
365 : pari_sp av;
366 119 : GEN tabx0 = gel(tab, 2), tabw0 = gel(tab, 3), tabxm = gel(tab, 6);
367 119 : GEN tabxp = gel(tab, 4), tabwp = gel(tab, 5), tabwm = gel(tab, 7);
368 119 : GEN VP = tabxp, VM = tabxm, x0 = tabx0, S;
369 119 : long prec = gprecision(tabw0), L = lg(tabxp), i, fla = 0;
370 119 : if (!gequal0(a))
371 : {
372 91 : if (gexpo(a) <= 0)
373 : {
374 63 : x0 = gadd(a, x0);
375 30357 : for (i = 1; i < L; i++)
376 : {
377 30294 : gel(VP, i) = gadd(a, gel(VP, i));
378 30294 : gel(VM, i) = gadd(a, gel(VM, i));
379 : }
380 : }
381 : else
382 : {
383 28 : x0 = gmul(a, gaddsg(1, x0)); fla = 1;
384 5404 : for (i = 1; i < L; i++)
385 : {
386 5376 : gel(VP, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VP, i)));
387 5376 : gel(VM, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VM, i)));
388 : }
389 : }
390 : }
391 119 : VP = parapply(f, VP);
392 119 : VM = parapply(f, VM); av = avma;
393 119 : S = gmul(tabw0, closure_callgen1(f, x0));
394 49257 : for (i = 1; i < L; i++)
395 : {
396 49138 : S = gadd(S, gadd(gmul(gel(tabwp, i), gel(VP, i)),
397 49138 : gmul(gel(tabwm, i), gel(VM, i))));
398 49138 : if ((i & 0x7f) == 1) S = gerepileupto(av, S);
399 49138 : S = gprec_wensure(S, prec);
400 : }
401 119 : if (fla) S = gmul(S, a);
402 119 : return gmul(S, gel(tab, 1));
403 : }
404 :
405 : static GEN
406 84 : refine(GEN A)
407 : {
408 84 : long n = lg(A) - 1, i;
409 84 : GEN B = cgetg(2 * n, t_VEC);
410 231 : for (i = 1; i < n; i++)
411 : {
412 147 : gel(B, 2 * i - 1) = gel(A, i);
413 147 : gel(B, 2 * i) = gmul2n(gadd(gel(A, i), gel(A, i + 1)), -1);
414 : }
415 84 : gel(B, 2 * n - 1) = gel(A, n); return B;
416 : }
417 :
418 : /* Here L = [a1, a2, a3,...] integration vertices. Refine by splitting
419 : * intervals. */
420 : static GEN
421 84 : parintnumgaussadapt(GEN f, GEN L, GEN tab, long bit)
422 : {
423 84 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
424 84 : long i, ct = 0, prec = nbits2prec(bit);
425 168 : while (ct <= 5)
426 : {
427 168 : Rnew = gen_0;
428 609 : for (i = 1; i < lg(L) - 1; i++)
429 441 : Rnew = gadd(Rnew, parintnumgauss(f, gel(L, i), gel(L, i + 1), tab, prec));
430 168 : if (ct && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
431 84 : ct++; Rold = Rnew; L = refine(L);
432 : }
433 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumgaussadapt: possible accuracy loss");
434 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
435 : }
436 :
437 : /* Here b = [oo, r], so refine by increasing integration step m */
438 : static GEN
439 42 : parintnumadapt(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long bit)
440 : {
441 42 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
442 42 : long m = 0, prec = nbits2prec(bit);
443 42 : if (!tab) tab = intnuminit(gen_0, b, 0, prec);
444 119 : while (m <= 5)
445 : {
446 119 : Rnew = parintnum(f, a, tab);
447 119 : if (m && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
448 77 : m++; Rold = Rnew; tab = intnuminit(gen_0, b, m, prec);
449 : }
450 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumadapt: possible accuracy loss");
451 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
452 : }
453 :
454 : static int
455 189 : iscplx(GEN z) { long t = typ(z); return is_real_t(t) || t == t_COMPLEX; }
456 :
457 : static GEN
458 14 : lerch_easy(GEN z, GEN s, GEN a, long B)
459 : {
460 14 : long n, prec = nbits2prec(B + 32);
461 14 : GEN zn, ms = gneg(s), S = gpow(a, ms, prec);
462 14 : zn = z = gtofp(z, prec);
463 3808 : for (n = 1;; n++, zn = gmul(zn, z))
464 : {
465 3808 : S = gadd(S, gmul(zn, gpow(gaddgs(a, n), ms, prec)));
466 3808 : if (gexpo(zn) <= - B - 5) return S;
467 : }
468 : }
469 :
470 : static GEN
471 112 : _lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
472 : {
473 112 : GEN res = NULL, L, LT, J, rs, mleft, left, right, top, w, Linf, tabg;
474 : GEN E, f, fm;
475 112 : long B = prec2nbits(prec), MB = 3 - B, NB, prec2;
476 : entree *ep;
477 :
478 112 : if (gexpo(z) < MB) return gpow(a, gneg(s), prec);
479 112 : if (gexpo(gsubgs(z, 1)) < MB) return zetahurwitz(s, a, 0, B); /* z ~ 1 */
480 112 : if (gexpo(gaddgs(z, 1)) < MB) /* z ~ -1 */
481 : {
482 7 : GEN tmp = gsub(zetahurwitz(s, gmul2n(a, -1), 0, B),
483 : zetahurwitz(s, gmul2n(gaddgs(a, 1), -1), 0, B));
484 7 : return gmul(gpow(gen_2, gneg(s), prec), tmp);
485 : }
486 105 : if (gcmpgs(gmulsg(10, gabs(z, prec)), 9) <= 0) /* |z| <= 9/10 */
487 14 : return lerch_easy(z, s, a, B);
488 91 : if (gcmpgs(real_i(a), 2) < 0)
489 49 : return gadd(gpow(a, gneg(s), prec),
490 : gmul(z, _lerchphi(z, s, gaddgs(a, 1), prec)));
491 42 : NB = (long)ceil(B + M_PI * fabs(gtodouble(imag_i(s))));
492 42 : prec2 = nbits2prec(NB);
493 42 : z = gprec_w(z, prec2); /* |z| > 9/10 */
494 42 : s = gprec_w(s, prec2);
495 42 : a = gprec_w(a, prec2); /* Re(a) >= 2 */
496 42 : rs = ground(real_i(s)); L = glog(z, prec2); /* Re(L) > -0.11 */
497 42 : ep = is_entry("_lerch_worker");
498 42 : E = mkvec4(gsubgs(s, 1), gsubsg(1, a), gneg(z), stoi(prec2));
499 42 : f = snm_closure(ep, mkvec(E));
500 42 : E = shallowcopy(E); gel(E,4) = stoi(-prec2);
501 42 : fm = snm_closure(ep, mkvec(E));
502 42 : Linf = mkvec2(mkoo(), real_i(a));
503 42 : if (gexpo(gsub(s, rs)) < MB && gcmpgs(rs, 1) >= 0)
504 : { /* s ~ positive integer */
505 14 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), sstoQ(1, 4)) < 0 && gsigne(real_i(L)) >= 0)
506 7 : { /* Re(L) >= 0, |Im(L)| < 1/4 */
507 7 : GEN t = gsigne(imag_i(z)) > 0 ? gen_m1: gen_1;
508 7 : GEN LT1 = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
509 7 : LT = mkvec4(gen_0, mkcomplex(gen_0, t), mkcomplex(LT1, t), LT1);
510 7 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
511 7 : J = parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB);
512 7 : J = gadd(J, parintnumadapt(f, LT1, Linf, NULL, NB));
513 : }
514 7 : else J = parintnumadapt(f, gen_0, Linf, NULL, NB);
515 14 : return gdiv(J, ggamma(s, prec2));
516 : }
517 28 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
518 28 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), ghalf) > 0) /* |Im(L)| > 1/2 */
519 14 : left = right = top = gmin(gmul2n(gabs(imag_i(L), prec2), -1), gen_1);
520 : else
521 : {
522 14 : res = gdiv(gpow(gneg(L), s, prec2), gmul(L, gpow(z, a, prec2)));
523 14 : left = gaddgs(gmax(gen_0, gneg(real_i(L))), 1);
524 14 : top = gaddgs(gabs(imag_i(L), prec2), 1);
525 14 : right = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
526 : }
527 28 : w = expIPiC(gsubgs(s, 1), prec2);
528 28 : mleft = gneg(left);
529 28 : if (gexpo(imag_i(z)) < MB && gexpo(imag_i(a)) < MB && gexpo(imag_i(s)) < MB
530 7 : && gcmpgs(real_i(z), 1) < 0)
531 : { /* (z, s, a) real, z < 1 */
532 7 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
533 7 : J = imag_i(gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
534 7 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mleft);
535 7 : J = gmul2n(gadd(J, imag_i(parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB))), 1);
536 7 : J = mulcxI(J);
537 : }
538 : else
539 : {
540 21 : GEN mtop = gneg(top);
541 21 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
542 21 : J = gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w);
543 21 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mkcomplex(mleft, mtop));
544 21 : J = gadd(J, parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB));
545 21 : LT = mkvec3(mkcomplex(mleft, mtop), mkcomplex(right, mtop), right);
546 21 : J = gadd(J, gmul(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
547 : }
548 28 : J = gadd(J, gmul(gsub(w, ginv(w)), parintnumadapt(f, right, Linf, NULL, NB)));
549 28 : J = gdiv(J, PiI2(prec2)); if (res) J = gadd(J, res);
550 28 : return gneg(gmul(ggamma(gsubsg(1, s), prec2), J));
551 : }
552 : /* lerchphi(z,-k,a)=
553 : * -1/(z-1)*sum(q=0,k,(z/(z-1))^q*sum(j=0,q,(-1)^j*(j+a)^k*binomial(q,j)))
554 : * zetahurwitz(-k,a)=-B(k+1,a)/(k+1) */
555 : GEN
556 56 : lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
557 : {
558 56 : pari_sp av = avma;
559 56 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchphi", z);
560 56 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchphi", s);
561 56 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchphi", a);
562 56 : return gerepileupto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
563 : }
564 :
565 : GEN
566 7 : lerchzeta(GEN s, GEN a, GEN lam, long prec)
567 : {
568 7 : pari_sp av = avma;
569 7 : GEN z = gexp(gmul(PiI2(prec), lam), prec);
570 7 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchzeta", z);
571 7 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchzeta", s);
572 7 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchzeta", a);
573 7 : if (hurwitz_cutoff(s, prec)) return lerchzetalarge(s, a, lam, prec);
574 7 : return gerepileupto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
575 : }
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