Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans2.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.11.0 lcov report (development 22851-e834f1b2f) Lines: 1006 1045 96.3 %
Date: 2018-07-16 05:36:59 Functions: 65 65 100.0 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                          (part 2)                              **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : GEN
      24      188676 : trans_fix_arg(long *prec, GEN *s0, GEN *sig, GEN *tau, pari_sp *av, GEN *res)
      25             : {
      26      188676 :   GEN p1, s = *s0 = cxtoreal(*s0);
      27             :   long l;
      28      188676 :   l = precision(s); if (!l) l = *prec;
      29      188676 :   if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
      30      188676 :   *res = cgetc(l); *av = avma;
      31      188676 :   if (typ(s) == t_COMPLEX)
      32             :   { /* s = sig + i t */
      33      175609 :     s = cxtofp(s, l+EXTRAPRECWORD);
      34      175609 :     *sig = gel(s,1);
      35      175609 :     *tau = gel(s,2);
      36             :   }
      37             :   else /* real number */
      38             :   {
      39       13067 :     *sig = s = gtofp(s, l+EXTRAPRECWORD);
      40       13067 :     *tau = gen_0;
      41       13067 :     p1 = trunc2nr(s, 0);
      42       13067 :     if (!signe(subri(s,p1))) *s0 = p1;
      43             :   }
      44      188676 :   *prec = l; return s;
      45             : }
      46             : 
      47             : /********************************************************************/
      48             : /**                                                                **/
      49             : /**                          ARCTANGENT                            **/
      50             : /**                                                                **/
      51             : /********************************************************************/
      52             : /* atan(b/a), real a and b, suitable for gerepileupto */
      53             : static GEN
      54         196 : atan2_agm(GEN a, GEN b, long prec)
      55         196 : { return gel(logagmcx(mkcomplex(a, b), prec), 2); }
      56             : static GEN
      57      499632 : mpatan(GEN x)
      58             : {
      59      499632 :   long l, l1, l2, n, m, i, lp, e, s, sx = signe(x);
      60             :   pari_sp av0, av;
      61             :   double alpha, beta, delta;
      62             :   GEN y, p1, p2, p3, p4, p5, unr;
      63             :   int inv;
      64             : 
      65      499632 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
      66      499569 :   l = lp = realprec(x);
      67      499569 :   if (absrnz_equal1(x)) { /* |x| = 1 */
      68        3677 :     y = Pi2n(-2, l+EXTRAPRECWORD); if (sx < 0) setsigne(y,-1);
      69        3677 :     return y;
      70             :   }
      71      495892 :   if (l > AGM_ATAN_LIMIT)
      72         175 :   { av = avma; return gerepileuptoleaf(av, atan2_agm(gen_1, x, l)); }
      73             : 
      74      495717 :   e = expo(x); inv = (e >= 0); /* = (|x| > 1 ) */
      75      495717 :   if (e > 0) lp += nbits2extraprec(e);
      76             : 
      77      495717 :   y = cgetr(lp); av0 = avma;
      78      495717 :   p1 = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD); setabssign(p1); /* p1 = |x| */
      79      495717 :   if (inv) p1 = invr(p1);
      80      495717 :   e = expo(p1);
      81      495717 :   if (e < -100)
      82        2669 :     alpha = 1.65149612947 - e; /* log_2(Pi) - e */
      83             :   else
      84      493048 :     alpha = log2(M_PI / atan(rtodbl(p1)));
      85      495717 :   beta = (double)(prec2nbits(l)>>1);
      86      495717 :   delta = 1 + beta - alpha/2;
      87      495717 :   if (delta <= 0) { n = 1; m = 0; }
      88             :   else
      89             :   {
      90      493093 :     double fi = alpha-2;
      91      493093 :     if (delta >= fi*fi)
      92             :     {
      93      484337 :       double t = 1 + sqrt(delta);
      94      484337 :       n = (long)t;
      95      484337 :       m = (long)(t - fi);
      96             :     }
      97             :     else
      98             :     {
      99        8756 :       n = (long)(1+beta/fi);
     100        8756 :       m = 0;
     101             :     }
     102             :   }
     103      495717 :   l2 = l + nbits2extraprec(m);
     104      495717 :   p2 = rtor(p1, l2); av = avma;
     105     4872976 :   for (i=1; i<=m; i++)
     106             :   {
     107     4377259 :     p5 = addsr(1, sqrr(p2)); setprec(p5,l2);
     108     4377259 :     p5 = addsr(1, sqrtr_abs(p5)); setprec(p5,l2);
     109     4377259 :     affrr(divrr(p2,p5), p2); avma = av;
     110             :   }
     111      495717 :   p3 = sqrr(p2); l1 = minss(LOWDEFAULTPREC+EXTRAPRECWORD, l2); /* l1 increases to l2 */;
     112      495717 :   unr = real_1(l2); setprec(unr,l1);
     113      495717 :   p4 = cgetr(l2); setprec(p4,l1);
     114      495717 :   affrr(divru(unr,2*n+1), p4);
     115      495717 :   s = 0; e = expo(p3); av = avma;
     116     5352108 :   for (i = n; i > 1; i--) /* n >= 1. i = 1 done outside for efficiency */
     117             :   {
     118     4856391 :     setprec(p3,l1); p5 = mulrr(p4,p3);
     119     4856391 :     l1 += dvmdsBIL(s - e, &s); if (l1 > l2) l1 = l2;
     120     4856391 :     setprec(unr,l1); p5 = subrr(divru(unr,2*i-1), p5);
     121     4856391 :     setprec(p4,l1); affrr(p5,p4); avma = av;
     122             :   }
     123      495717 :   setprec(p3, l2); p5 = mulrr(p4,p3); /* i = 1 */
     124      495717 :   setprec(unr,l2); p4 = subrr(unr, p5);
     125             : 
     126      495717 :   p4 = mulrr(p2,p4); shiftr_inplace(p4, m);
     127      495717 :   if (inv) p4 = subrr(Pi2n(-1, lp), p4);
     128      495717 :   if (sx < 0) togglesign(p4);
     129      495717 :   affrr_fixlg(p4,y); avma = av0; return y;
     130             : }
     131             : 
     132             : GEN
     133       19374 : gatan(GEN x, long prec)
     134             : {
     135             :   pari_sp av;
     136             :   GEN a, y;
     137             : 
     138       19374 :   switch(typ(x))
     139             :   {
     140       11114 :     case t_REAL: return mpatan(x);
     141             :     case t_COMPLEX: /* atan(x) = -i atanh(ix) */
     142        7672 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gatan(gel(x,1), prec);
     143        7441 :       av = avma; return gerepilecopy(av, mulcxmI(gatanh(mulcxI(x),prec)));
     144             :     default:
     145         588 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     146          28 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("atan","valuation", "<", gen_0, x);
     147          21 :       if (lg(y)==2) return gerepilecopy(av, y);
     148             :       /* lg(y) > 2 */
     149          14 :       a = integser(gdiv(derivser(y), gaddsg(1,gsqr(y))));
     150          14 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gatan(gel(y,2),prec));
     151          14 :       return gerepileupto(av, a);
     152             :   }
     153         560 :   return trans_eval("atan",gatan,x,prec);
     154             : }
     155             : /********************************************************************/
     156             : /**                                                                **/
     157             : /**                             ARCSINE                            **/
     158             : /**                                                                **/
     159             : /********************************************************************/
     160             : /* |x| < 1, x != 0 */
     161             : static GEN
     162          98 : mpasin(GEN x) {
     163          98 :   pari_sp av = avma;
     164          98 :   GEN z, a = sqrtr(subsr(1, sqrr(x)));
     165          98 :   if (realprec(x) > AGM_ATAN_LIMIT)
     166           7 :     z = atan2_agm(a, x, realprec(x));
     167             :   else
     168          91 :     z = mpatan(divrr(x, a));
     169          98 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     170             : }
     171             : 
     172             : static GEN mpacosh(GEN x);
     173             : GEN
     174        8183 : gasin(GEN x, long prec)
     175             : {
     176             :   long sx;
     177             :   pari_sp av;
     178             :   GEN a, y, p1;
     179             : 
     180        8183 :   switch(typ(x))
     181             :   {
     182         483 :     case t_REAL: sx = signe(x);
     183         483 :       if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
     184         476 :       if (absrnz_equal1(x)) { /* |x| = 1 */
     185          28 :         if (sx > 0) return Pi2n(-1, realprec(x)); /* 1 */
     186          14 :         y = Pi2n(-1, realprec(x)); setsigne(y, -1); return y; /* -1 */
     187             :       }
     188         448 :       if (expo(x) < 0) return mpasin(x);
     189         350 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
     190         350 :       gel(y,1) = Pi2n(-1, realprec(x));
     191         350 :       gel(y,2) = mpacosh(x);
     192         350 :       if (sx < 0) togglesign(gel(y,1)); else togglesign(gel(y,2));
     193         350 :       return y;
     194             : 
     195             :     case t_COMPLEX: /* asin(z) = -i asinh(iz) */
     196        7637 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gasin(gel(x,1), prec);
     197        7406 :       av = avma;
     198        7406 :       return gerepilecopy(av, mulcxmI(gasinh(mulcxI(x), prec)));
     199             :     default:
     200          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     201          42 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     202             :       /* lg(y) > 2*/
     203          35 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("asin","valuation", "<", gen_0, x);
     204          28 :       p1 = gsubsg(1,gsqr(y));
     205          28 :       if (gequal0(p1))
     206             :       {
     207          21 :         GEN t = Pi2n(-1,prec);
     208          21 :         if (gsigne(gel(y,2)) < 0) setsigne(t, -1);
     209          21 :         return gerepileupto(av, scalarser(t, varn(y), valp(p1)>>1));
     210             :       }
     211           7 :       p1 = gdiv(derivser(y), gsqrt(p1,prec));
     212           7 :       a = integser(p1);
     213           7 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gasin(gel(y,2),prec));
     214           7 :       return gerepileupto(av, a);
     215             :   }
     216          21 :   return trans_eval("asin",gasin,x,prec);
     217             : }
     218             : /********************************************************************/
     219             : /**                                                                **/
     220             : /**                             ARCCOSINE                          **/
     221             : /**                                                                **/
     222             : /********************************************************************/
     223             : static GEN
     224          14 : acos0(long e) { return Pi2n(-1, nbits2prec(e<0? -e: 1)); }
     225             : 
     226             : /* |x| < 1, x != 0 */
     227             : static GEN
     228         105 : mpacos(GEN x)
     229             : {
     230         105 :   pari_sp av = avma;
     231         105 :   GEN z, a = sqrtr(subsr(1, sqrr(x)));
     232         105 :   if (realprec(x) > AGM_ATAN_LIMIT)
     233          14 :     z = atan2_agm(x, a, realprec(x));
     234             :   else
     235             :   {
     236          91 :     z = mpatan(divrr(a, x));
     237          91 :     if (signe(x) < 0) z = addrr(mppi(realprec(z)), z);
     238             :   }
     239         105 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     240             : }
     241             : 
     242             : GEN
     243        7938 : gacos(GEN x, long prec)
     244             : {
     245             :   long sx;
     246             :   pari_sp av;
     247             :   GEN a, y, p1;
     248             : 
     249        7938 :   switch(typ(x))
     250             :   {
     251         252 :     case t_REAL: sx = signe(x);
     252         252 :       if (!sx) return acos0(expo(x));
     253         245 :       if (absrnz_equal1(x)) /* |x| = 1 */
     254          14 :         return sx > 0? real_0_bit( -(bit_prec(x)>>1) ) : mppi(realprec(x));
     255         231 :       if (expo(x) < 0) return mpacos(x);
     256             : 
     257         175 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); p1 = mpacosh(x);
     258         175 :       if (sx < 0) { gel(y,1) = mppi(realprec(x)); togglesign(p1); }
     259          91 :       else gel(y,1) = gen_0;
     260         175 :       gel(y,2) = p1; return y;
     261             : 
     262             :     case t_COMPLEX:
     263        7637 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gacos(gel(x,1), prec);
     264        7406 :       av = avma;
     265        7406 :       p1 = gadd(x, mulcxI(gsqrt(gsubsg(1,gsqr(x)), prec)));
     266        7406 :       y = glog(p1,prec); /* log(x + I*sqrt(1-x^2)) */
     267        7406 :       return gerepilecopy(av, mulcxmI(y));
     268             :     default:
     269          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     270          35 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("acos","valuation", "<", gen_0, x);
     271          28 :       if (lg(y) > 2)
     272             :       {
     273          21 :         p1 = gsubsg(1,gsqr(y));
     274          21 :         if (gequal0(p1)) { avma = av; return zeroser(varn(y), valp(p1)>>1); }
     275           7 :         p1 = integser(gdiv(gneg(derivser(y)), gsqrt(p1,prec)));
     276             :         /*y(t) = 1+O(t)*/
     277           7 :         if (gequal1(gel(y,2)) && !valp(y)) return gerepileupto(av, p1);
     278             :       }
     279           7 :       else p1 = y;
     280          14 :       a = (lg(y)==2 || valp(y))? Pi2n(-1, prec): gacos(gel(y,2),prec);
     281          14 :       return gerepileupto(av, gadd(a,p1));
     282             :   }
     283          14 :   return trans_eval("acos",gacos,x,prec);
     284             : }
     285             : /********************************************************************/
     286             : /**                                                                **/
     287             : /**                            ARGUMENT                            **/
     288             : /**                                                                **/
     289             : /********************************************************************/
     290             : 
     291             : /* we know that x and y are not both 0 */
     292             : static GEN
     293      488462 : mparg(GEN x, GEN y)
     294             : {
     295      488462 :   long prec, sx = signe(x), sy = signe(y);
     296             :   GEN z;
     297             : 
     298      488462 :   if (!sy)
     299             :   {
     300         112 :     if (sx > 0) return real_0_bit(expo(y) - expo(x));
     301          49 :     return mppi(realprec(x));
     302             :   }
     303      488350 :   prec = realprec(y); if (prec < realprec(x)) prec = realprec(x);
     304      488350 :   if (!sx)
     305             :   {
     306          14 :     z = Pi2n(-1, prec); if (sy < 0) setsigne(z,-1);
     307          14 :     return z;
     308             :   }
     309             : 
     310      488336 :   if (expo(x)-expo(y) > -2)
     311             :   {
     312      428056 :     z = mpatan(divrr(y,x)); if (sx > 0) return z;
     313      103031 :     return addrr_sign(z, signe(z), mppi(prec), sy);
     314             :   }
     315       60280 :   z = mpatan(divrr(x,y));
     316       60280 :   return addrr_sign(z, -signe(z), Pi2n(-1, prec), sy);
     317             : }
     318             : 
     319             : static GEN
     320      976924 : rfix(GEN x,long prec)
     321             : {
     322      976924 :   switch(typ(x))
     323             :   {
     324        2803 :     case t_INT: return itor(x, prec);
     325        5439 :     case t_FRAC: return fractor(x, prec);
     326      968682 :     case t_REAL: break;
     327           0 :     default: pari_err_TYPE("rfix (conversion to t_REAL)",x);
     328             :   }
     329      968682 :   return x;
     330             : }
     331             : 
     332             : static GEN
     333      488462 : cxarg(GEN x, GEN y, long prec)
     334             : {
     335      488462 :   pari_sp av = avma;
     336      488462 :   x = rfix(x,prec);
     337      488462 :   y = rfix(y,prec); return gerepileuptoleaf(av, mparg(x,y));
     338             : }
     339             : 
     340             : GEN
     341      489603 : garg(GEN x, long prec)
     342             : {
     343             :   long l;
     344      489603 :   if (gequal0(x)) pari_err_DOMAIN("arg", "argument", "=", gen_0, x);
     345      489603 :   switch(typ(x))
     346             :   {
     347        1141 :     case t_REAL: prec = realprec(x); /* fall through */
     348        1141 :     case t_INT: case t_FRAC: return (gsigne(x)>0)? real_0(prec): mppi(prec);
     349             :     case t_COMPLEX:
     350      488462 :       l = precision(x); if (l) prec = l;
     351      488462 :       return cxarg(gel(x,1),gel(x,2),prec);
     352             :   }
     353           0 :   return trans_eval("arg",garg,x,prec);
     354             : }
     355             : 
     356             : /********************************************************************/
     357             : /**                                                                **/
     358             : /**                      HYPERBOLIC COSINE                         **/
     359             : /**                                                                **/
     360             : /********************************************************************/
     361             : 
     362             : static GEN
     363        3584 : mpcosh(GEN x)
     364             : {
     365             :   pari_sp av;
     366             :   GEN z;
     367             : 
     368        3584 :   if (!signe(x)) { /* 1 + x */
     369           7 :     long e = expo(x);
     370           7 :     return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     371             :   }
     372        3577 :   av = avma;
     373        3577 :   z = mpexp(x); z = addrr(z, invr(z)); shiftr_inplace(z, -1);
     374        3577 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     375             : }
     376             : 
     377             : GEN
     378        3668 : gcosh(GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   pari_sp av;
     381             :   GEN y, p1;
     382             : 
     383        3668 :   switch(typ(x))
     384             :   {
     385        3584 :     case t_REAL: return mpcosh(x);
     386             :     case t_COMPLEX:
     387          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcos(gel(x,2),prec);
     388             :       /* fall through */
     389             :     case t_PADIC:
     390          21 :       av = avma; p1 = gexp(x,prec); p1 = gadd(p1, ginv(p1));
     391          21 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     392             :     default:
     393          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     394          28 :       if (gequal0(y) && valp(y) == 0) return gerepilecopy(av, y);
     395          28 :       p1 = gexp(y,prec); p1 = gadd(p1, ginv(p1));
     396          28 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     397             :   }
     398          21 :   return trans_eval("cosh",gcosh,x,prec);
     399             : }
     400             : /********************************************************************/
     401             : /**                                                                **/
     402             : /**                       HYPERBOLIC SINE                          **/
     403             : /**                                                                **/
     404             : /********************************************************************/
     405             : 
     406             : static GEN
     407          70 : mpsinh(GEN x)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410          70 :   long ex = expo(x), lx;
     411             :   GEN z, res;
     412             : 
     413          70 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(ex);
     414          70 :   lx = realprec(x); res = cgetr(lx); av = avma;
     415          70 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG)
     416             :   { /* y = e^x-1; e^x - e^(-x) = y(1 + 1/(y+1)) */
     417           7 :     GEN y = mpexpm1(x);
     418           7 :     z = addrs(y,1); if (lg(z) > lx+1) z = rtor(z,lx+1); /* e^x */
     419           7 :     z = mulrr(y, addsr(1,invr(z)));
     420             :   }
     421             :   else
     422             :   {
     423          63 :     z = mpexp(x);
     424          63 :     z = subrr(z, invr(z));
     425             :   }
     426          70 :   shiftr_inplace(z, -1);
     427          70 :   affrr(z, res); avma = av; return res;
     428             : }
     429             : 
     430             : GEN
     431        2016 : gsinh(GEN x, long prec)
     432             : {
     433             :   pari_sp av;
     434             :   GEN y, p1;
     435             : 
     436        2016 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438          70 :     case t_REAL: return mpsinh(x);
     439             :     case t_COMPLEX:
     440          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gsin(gel(x,2),prec));
     441             :       /* fall through */
     442             :     case t_PADIC:
     443          14 :       av = avma; p1 = gexp(x,prec); p1 = gsub(p1, ginv(p1));
     444          14 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     445             :     default:
     446        1918 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     447        1890 :       if (gequal0(y) && valp(y) == 0) return gerepilecopy(av, y);
     448        1890 :       p1 = gexp(y, prec); p1 = gsub(p1, ginv(p1));
     449        1890 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     450             :   }
     451          28 :   return trans_eval("sinh",gsinh,x,prec);
     452             : }
     453             : /********************************************************************/
     454             : /**                                                                **/
     455             : /**                      HYPERBOLIC TANGENT                        **/
     456             : /**                                                                **/
     457             : /********************************************************************/
     458             : 
     459             : static GEN
     460       77056 : mptanh(GEN x)
     461             : {
     462       77056 :   long lx, s = signe(x);
     463             :   GEN y;
     464             : 
     465       77056 :   if (!s) return real_0_bit(expo(x));
     466       77056 :   lx = realprec(x);
     467       77056 :   if (abscmprr(x, stor(prec2nbits(lx), LOWDEFAULTPREC)) >= 0) {
     468       24840 :     y = real_1(lx);
     469             :   } else {
     470       52216 :     pari_sp av = avma;
     471       52216 :     long ex = expo(x);
     472             :     GEN t;
     473       52216 :     if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     474       52216 :     t = exp1r_abs(gmul2n(x,1)); /* exp(|2x|) - 1 */
     475       52216 :     y = gerepileuptoleaf(av, divrr(t, addsr(2,t)));
     476             :   }
     477       77056 :   if (s < 0) togglesign(y); /* tanh is odd */
     478       77056 :   return y;
     479             : }
     480             : 
     481             : GEN
     482       77161 : gtanh(GEN x, long prec)
     483             : {
     484             :   pari_sp av;
     485             :   GEN y, t;
     486             : 
     487       77161 :   switch(typ(x))
     488             :   {
     489       77056 :     case t_REAL: return mptanh(x);
     490             :     case t_COMPLEX:
     491          35 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gtan(gel(x,2),prec));
     492             :       /* fall through */
     493             :     case t_PADIC:
     494          28 :       av = avma;
     495          28 :       t = gexp(gmul2n(x,1),prec);
     496          28 :       t = gdivsg(-2, gaddgs(t,1));
     497          28 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1,t));
     498             :     default:
     499          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     500          28 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     501          14 :       t = gexp(gmul2n(y, 1),prec);
     502          14 :       t = gdivsg(-2, gaddgs(t,1));
     503          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1,t));
     504             :   }
     505          35 :   return trans_eval("tanh",gtanh,x,prec);
     506             : }
     507             : 
     508             : static GEN
     509           7 : mpcotanh(GEN x)
     510             : {
     511           7 :   long lx, s = signe(x);
     512             :   GEN y;
     513             : 
     514           7 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, x);
     515             : 
     516           7 :   lx = realprec(x);
     517           7 :   if (abscmprr(x, stor(prec2nbits(lx), LOWDEFAULTPREC)) >= 0) {
     518           0 :     y = real_1(lx);
     519             :   } else {
     520           7 :     pari_sp av = avma;
     521           7 :     long ex = expo(x);
     522             :     GEN t;
     523           7 :     if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     524           7 :     t = exp1r_abs(gmul2n(x,1)); /* exp(|2x|) - 1 */
     525           7 :     y = gerepileuptoleaf(av, divrr(addsr(2,t), t));
     526             :   }
     527           7 :   if (s < 0) togglesign(y); /* cotanh is odd */
     528           7 :   return y;
     529             : }
     530             : 
     531             : GEN
     532          63 : gcotanh(GEN x, long prec)
     533             : {
     534             :   pari_sp av;
     535             :   GEN y, t;
     536             : 
     537          63 :   switch(typ(x))
     538             :   {
     539           7 :     case t_REAL: return mpcotanh(x);
     540             :     case t_COMPLEX:
     541          14 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gcotan(gel(x,2),prec));
     542             :       /* fall through */
     543             :     case t_PADIC:
     544          14 :       av = avma;
     545          14 :       t = gexpm1(gmul2n(x,1),prec);
     546          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1, gdivsg(2,t)));
     547             :     default:
     548          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     549          28 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     550          14 :       t = gexpm1(gmul2n(y,1),prec);
     551          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1, gdivsg(2,t)));
     552             :   }
     553           7 :   return trans_eval("cotanh",gcotanh,x,prec);
     554             : }
     555             : 
     556             : /********************************************************************/
     557             : /**                                                                **/
     558             : /**                     AREA HYPERBOLIC SINE                       **/
     559             : /**                                                                **/
     560             : /********************************************************************/
     561             : 
     562             : /* x != 0 */
     563             : static GEN
     564         483 : mpasinh(GEN x)
     565             : {
     566             :   GEN z, res;
     567             :   pari_sp av;
     568         483 :   long lx = realprec(x), ex = expo(x);
     569             : 
     570         483 :   res = cgetr(lx); av = avma;
     571         483 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     572         483 :   z = logr_abs( addrr_sign(x,1, sqrtr_abs( addrs(sqrr(x), 1) ), 1) );
     573         483 :   if (signe(x) < 0) togglesign(z);
     574         483 :   affrr(z, res); avma = av; return res;
     575             : }
     576             : 
     577             : GEN
     578       15715 : gasinh(GEN x, long prec)
     579             : {
     580             :   pari_sp av;
     581             :   GEN a, y, p1;
     582             : 
     583       15715 :   switch(typ(x))
     584             :   {
     585             :     case t_REAL:
     586         490 :       if (!signe(x)) return rcopy(x);
     587         483 :       return mpasinh(x);
     588             : 
     589             :     case t_COMPLEX:
     590       15036 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gasinh(gel(x,1), prec);
     591       14581 :       av = avma;
     592       14581 :       if (ismpzero(gel(x,1))) /* avoid cancellation */
     593         231 :         return gerepilecopy(av, mulcxI(gasin(gel(x,2), prec)));
     594       14350 :       p1 = gadd(x, gsqrt(gaddsg(1,gsqr(x)), prec));
     595       14350 :       y = glog(p1,prec); /* log (x + sqrt(1+x^2)) */
     596       14350 :       return gerepileupto(av, y);
     597             :     default:
     598         189 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     599         161 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     600         154 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("asinh","valuation", "<", gen_0, x);
     601         147 :       p1 = gaddsg(1,gsqr(y));
     602         147 :       if (gequal0(p1))
     603             :       {
     604          14 :         GEN t = PiI2n(-1,prec);
     605          14 :         if ( gsigne(imag_i(gel(y,2))) < 0 ) setsigne(gel(t,2), -1);
     606          14 :         return gerepileupto(av, scalarser(t, varn(y), valp(p1)>>1));
     607             :       }
     608         133 :       p1 = gdiv(derivser(y), gsqrt(p1,prec));
     609         133 :       a = integser(p1);
     610         133 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gasinh(gel(y,2),prec));
     611         133 :       return gerepileupto(av, a);
     612             :   }
     613          28 :   return trans_eval("asinh",gasinh,x,prec);
     614             : }
     615             : /********************************************************************/
     616             : /**                                                                **/
     617             : /**                     AREA HYPERBOLIC COSINE                     **/
     618             : /**                                                                **/
     619             : /********************************************************************/
     620             : 
     621             : /* |x| >= 1, return ach(|x|) */
     622             : static GEN
     623         728 : mpacosh(GEN x)
     624             : {
     625         728 :   pari_sp av = avma;
     626             :   GEN z;
     627         728 :   if (absrnz_equal1(x)) return real_0_bit(- bit_prec(x) >> 1);
     628         721 :   z = logr_abs( addrr_sign(x, 1, sqrtr( subrs(sqrr(x), 1) ), 1) );
     629         721 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     630             : }
     631             : 
     632             : GEN
     633        7980 : gacosh(GEN x, long prec)
     634             : {
     635             :   pari_sp av;
     636             :   GEN y, p1;
     637             : 
     638        7980 :   switch(typ(x))
     639             :   {
     640             :     case t_REAL: {
     641         266 :       long s = signe(x), e = expo(x);
     642             :       GEN a, b;
     643         266 :       if (s > 0 && e >= 0) return mpacosh(x);
     644             :       /* x < 1 */
     645         147 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); a = gen_0;
     646         147 :       if (s == 0) b = acos0(e);
     647         140 :       else if (e < 0) b = mpacos(x); /* -1 < x < 1 */
     648             :       else {
     649          91 :         if (!absrnz_equal1(x)) a = mpacosh(x);
     650          91 :         b = mppi(realprec(x));
     651             :       }
     652         147 :       gel(y,1) = a;
     653         147 :       gel(y,2) = b; return y;
     654             :     }
     655             :     case t_COMPLEX:
     656        7637 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gacosh(gel(x,1), prec);
     657        7406 :       av = avma;
     658        7406 :       p1 = gadd(x, gsqrt(gaddsg(-1,gsqr(x)), prec));
     659        7406 :       y = glog(p1,prec); /* log(x + sqrt(x^2-1)) */
     660        7406 :       if (signe(real_i(y)) < 0) y = gneg(y);
     661        7406 :       return gerepileupto(av, y);
     662             :     default: {
     663             :       GEN a;
     664             :       long v;
     665          77 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     666          49 :       v = valp(y);
     667          49 :       if (v < 0) pari_err_DOMAIN("acosh","valuation", "<", gen_0, x);
     668          42 :       if (gequal0(y))
     669             :       {
     670           7 :         if (!v) return gerepilecopy(av, y);
     671           7 :         return gerepileupto(av, gadd(y, PiI2n(-1, prec)));
     672             :       }
     673          35 :       p1 = gsubgs(gsqr(y),1);
     674          35 :       if (gequal0(p1)) { avma = av; return zeroser(varn(y), valp(p1)>>1); }
     675          21 :       p1 = gdiv(derivser(y), gsqrt(p1,prec));
     676          21 :       a = integser(p1);
     677          21 :       if (v)
     678           7 :         p1 = PiI2n(-1, prec); /* I Pi/2 */
     679             :       else
     680             :       {
     681          14 :         p1 = gel(y,2); if (gequal1(p1)) return gerepileupto(av,a);
     682           7 :         p1 = gacosh(p1, prec);
     683             :       }
     684          14 :       return gerepileupto(av, gadd(p1,a));
     685             :     }
     686             :   }
     687          28 :   return trans_eval("acosh",gacosh,x,prec);
     688             : }
     689             : /********************************************************************/
     690             : /**                                                                **/
     691             : /**                     AREA HYPERBOLIC TANGENT                    **/
     692             : /**                                                                **/
     693             : /********************************************************************/
     694             : 
     695             : /* |x| < 1, x != 0 */
     696             : static GEN
     697          98 : mpatanh(GEN x)
     698             : {
     699          98 :   pari_sp av = avma;
     700          98 :   long ex = expo(x);
     701             :   GEN z;
     702          98 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, realprec(x) + nbits2extraprec(-ex)-1);
     703          98 :   z = invr( subsr(1,x) ); shiftr_inplace(z, 1); /* 2/(1-x)*/
     704          98 :   z = logr_abs( addrs(z,-1) );
     705          98 :   shiftr_inplace(z, -1); return gerepileuptoleaf(av, z);
     706             : }
     707             : 
     708             : GEN
     709       15603 : gatanh(GEN x, long prec)
     710             : {
     711             :   long sx;
     712             :   pari_sp av;
     713             :   GEN a, y, z;
     714             : 
     715       15603 :   switch(typ(x))
     716             :   {
     717             :     case t_REAL:
     718         483 :       sx = signe(x);
     719         483 :       if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
     720         476 :       if (expo(x) < 0) return mpatanh(x);
     721             : 
     722         378 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
     723         378 :       av = avma;
     724         378 :       z = subrs(x,1);
     725         378 :       if (!signe(z)) pari_err_DOMAIN("atanh", "argument", "=", gen_1, x);
     726         364 :       z = invr(z); shiftr_inplace(z, 1); /* 2/(x-1)*/
     727         364 :       z = addrs(z,1);
     728         364 :       if (!signe(z)) pari_err_DOMAIN("atanh", "argument", "=", gen_m1, x);
     729         350 :       z = logr_abs(z);
     730         350 :       shiftr_inplace(z, -1); /* (1/2)log((1+x)/(x-1)) */
     731         350 :       gel(y,1) = gerepileuptoleaf(av, z);
     732         350 :       gel(y,2) = Pi2n(-1, realprec(x));
     733         350 :       if (sx > 0) togglesign(gel(y,2));
     734         350 :       return y;
     735             : 
     736             :     case t_COMPLEX: /* 2/(1-z) - 1 = (1+z) / (1-z) */
     737       15071 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gatanh(gel(x,1), prec);
     738       14616 :       av = avma; z = glog( gaddgs(gdivsg(2,gsubsg(1,x)),-1), prec );
     739       14616 :       return gerepileupto(av, gmul2n(z,-1));
     740             : 
     741             :     default:
     742          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     743          28 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("atanh","valuation", "<", gen_0, x);
     744          21 :       z = gdiv(derivser(y), gsubsg(1,gsqr(y)));
     745          14 :       a = integser(z);
     746          14 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gatanh(gel(y,2),prec));
     747          14 :       return gerepileupto(av, a);
     748             :   }
     749          21 :   return trans_eval("atanh",gatanh,x,prec);
     750             : }
     751             : /********************************************************************/
     752             : /**                                                                **/
     753             : /**               CACHE BERNOULLI NUMBERS B_2k                     **/
     754             : /**                                                                **/
     755             : /********************************************************************/
     756             : static GEN
     757     1765459 : bern(GEN B, long pr)
     758             : {
     759     1765459 :   if (typ(B) != t_REAL) return fractor(B, pr);
     760      906298 :   if (realprec(B) < pr) return rtor(B,pr);
     761           0 :   return B;
     762             : }
     763             : static const long BERN_MINNB = 5;
     764             : /* need B[2..2*nb] at least prec accuracy. If prec = 0, compute exactly */
     765             : void
     766      187605 : mpbern(long nb, long prec)
     767             : {
     768      187605 :   const pari_sp av = avma;
     769      187605 :   long n, pr, n_is_small = 1, lbern = 0;
     770             :   GEN B;
     771             :   pari_timer T;
     772             : 
     773             :   /* pr = accuracy for computation, prec = required accuracy for result */
     774      187605 :   if (prec)
     775             :   {
     776      186303 :     pr = prec;
     777      186303 :     incrprec(pr);
     778             :   }
     779             :   else
     780        1302 :     pr = prec = LONG_MAX; /* oo */
     781      187605 :   if (nb < BERN_MINNB) nb = BERN_MINNB;
     782      187605 :   if (bernzone)
     783             :   { /* don't recompute known Bernoulli */
     784             :     long i, min, max;
     785      187424 :     lbern = lg(bernzone);
     786      187424 :     if (lbern-1 < nb)
     787         538 :     { min = lbern-1; max = nb; }
     788             :     else
     789      186886 :     { min = nb; max = lbern-1; }
     790             :     /* skip B_2, ..., B_{2*MINNB}, always included as t_FRAC */
     791     7853864 :     for (n = BERN_MINNB+1; n <= min; n++)
     792             :     {
     793     7666630 :       GEN c = gel(bernzone,n);
     794             :       /* also stop if prec = 0 (compute exactly) */
     795     7666630 :       if (typ(c) == t_REAL && realprec(c) < prec) break;
     796             :     }
     797             :     /* B[1..n-1] are OK */
     798      374279 :     if (n > nb) return;
     799         569 :     B = cgetg_block(max+1, t_VEC);
     800         569 :     for (i = 1; i < n; i++) gel(B,i) = gel(bernzone,i);
     801             :     /* keep B[nb+1..max] */
     802         569 :     for (i = nb+1; i <= max; i++) gel(B,i) = gel(bernzone,i);
     803             :   }
     804             :   else
     805             :   {
     806         181 :     B = cgetg_block(nb+1, t_VEC);
     807         181 :     gel(B,1) = gclone(mkfrac(gen_1, utoipos(6)));
     808         181 :     gel(B,2) = gclone(mkfrac(gen_m1, utoipos(30)));
     809         181 :     gel(B,3) = gclone(mkfrac(gen_1, utoipos(42)));
     810         181 :     gel(B,4) = gel(B,2);
     811         181 :     gel(B,5) = gclone(mkfrac(utoipos(5), utoipos(66)));
     812         181 :     n = BERN_MINNB+1;
     813             :   }
     814         750 :   avma = av;
     815         750 :   if (DEBUGLEVEL) {
     816           0 :     err_printf("caching Bernoulli numbers 2 to 2*%ld, prec = %ld\n",
     817             :                nb, prec == LONG_MAX? 0: prec);
     818           0 :     timer_start(&T);
     819             :   }
     820             : 
     821             :   /* B_{2n} = (2n-1) / (4n+2) -
     822             :    * sum_{a = 1}^{n-1} (2n)...(2n+2-2a) / (2...(2a-1)2a) B_{2a} */
     823         750 :   n_is_small = 1;
     824       21228 :   for (; n <= nb; n++, avma = av)
     825             :   { /* compute and store B[n] = B_{2n} */
     826             :     GEN S;
     827       20478 :     if (n < lbern)
     828             :     {
     829        8410 :       GEN b = gel(bernzone,n);
     830        8410 :       if (typ(b)!=t_REAL || realprec(b)>=prec) { gel(B,n) = b; continue; }
     831             :     }
     832             :     /* Not cached, must compute */
     833             :     /* huge accuracy ? May as well compute exactly */
     834       24965 :     if (n_is_small && (prec == LONG_MAX ||
     835        4508 :                        2*n * log((double)2*n) < prec2nbits_mul(prec, M_LN2)))
     836        3861 :       S = bernfrac_using_zeta(2*n);
     837             :     else
     838             :     {
     839             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     840       13950 :       const ulong mul_overflow = 3037000500UL;
     841             : #else
     842        2646 :       const ulong mul_overflow = 46341UL;
     843             : #endif
     844       16596 :       ulong u = 8, v = 5, a = n-1, b = 2*n-3;
     845       16596 :       n_is_small = 0;
     846       16596 :       S = bern(gel(B,a), pr); /* B_2a */
     847             :       for (;;)
     848             :       { /* b = 2a-1, u = 2v-2, 2a + v = 2n+3 */
     849     3514322 :         if (a == 1) { S = mulri(S, muluu(u,v)); break; } /* a=b=1, v=2n+1, u=4n */
     850             :         /* beware overflow */
     851     1748863 :         S = (v <= mul_overflow)? mulru(S, u*v): mulri(S, muluu(u,v));
     852     1748863 :         S = (a <= mul_overflow)? divru(S, a*b): divri(S, muluu(a,b));
     853     1748863 :         u += 4; v += 2; a--; b -= 2;
     854     1748863 :         S = addrr(bern(gel(B,a), pr), S);
     855     1748863 :         if ((a & 127) == 0) S = gerepileuptoleaf(av, S);
     856             :       }
     857       16596 :       S = divru(subsr(2*n, S), 2*n+1);
     858       16596 :       shiftr_inplace(S, -2*n);
     859       16596 :       if (realprec(S) != prec) S = rtor(S, prec);
     860             :     }
     861       20457 :     gel(B,n) = gclone(S); /* S = B_2n */
     862             :   }
     863         750 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&T, "Bernoulli");
     864         750 :   swap(B, bernzone);
     865         750 :   if (B)
     866             :   { /* kill old non-reused values */
     867       44224 :     for (n = lbern-1; n; n--)
     868             :     {
     869       43655 :       if (gel(B,n) != gel(bernzone,n)) gunclone(gel(B,n));
     870             :     }
     871         569 :     killblock(B);
     872             :   }
     873         750 :   avma = av;
     874             : }
     875             : 
     876             : GEN
     877       12427 : bernfrac(long n)
     878             : {
     879             :   long k;
     880       12427 :   if (n < 0) pari_err_DOMAIN("bernfrac", "index", "<", gen_0, stoi(n));
     881       12420 :   if (n == 0) return gen_1;
     882       11118 :   if (n == 1) return mkfrac(gen_m1,gen_2);
     883        9823 :   if (odd(n)) return gen_0;
     884        8619 :   k = n >> 1;
     885        8619 :   if (!bernzone && k <= BERN_MINNB) mpbern(BERN_MINNB, 0);
     886        8619 :   if (bernzone && k < lg(bernzone))
     887             :   {
     888        6902 :     GEN B = gel(bernzone, k), C;
     889        6902 :     if (typ(B) != t_REAL) return B;
     890        1154 :     C = bernfrac_using_zeta(n);
     891        1154 :     gel(bernzone, k) = gclone(C);
     892        1154 :     gunclone(B); return C;
     893             :   }
     894        1717 :   return bernfrac_using_zeta(n);
     895             : }
     896             : 
     897             : /* mpbern as exact fractions */
     898             : static GEN
     899         168 : bernvec_old(long nb)
     900             : {
     901             :   long n, i;
     902             :   GEN y;
     903             : 
     904         168 :   if (nb < 0) return cgetg(1, t_VEC);
     905          24 :   if (nb > 46340 && BITS_IN_LONG == 32) pari_err_IMPL( "bernvec for n > 46340");
     906             : 
     907         168 :   y = cgetg(nb+2, t_VEC); gel(y,1) = gen_1;
     908         679 :   for (n = 1; n <= nb; n++)
     909             :   { /* compute y[n+1] = B_{2n} */
     910         511 :     pari_sp av = avma;
     911         511 :     GEN b = gmul2n(utoineg(2*n - 1), -1); /* 1 + (2n+1)B_1 = -(2n-1) /2 */
     912         511 :     GEN c = gen_1;
     913         511 :     ulong u1 = 2*n + 1, u2 = n, d1 = 1, d2 = 1;
     914             : 
     915        1113 :     for (i = 1; i < n; i++)
     916             :     {
     917         602 :       c = diviiexact(muliu(c, u1*u2), utoipos(d1*d2));/*= binomial(2n+1, 2*i) */
     918         602 :       b = gadd(b, gmul(c, gel(y,i+1)));
     919         602 :       u1 -= 2; u2--; d1++; d2 += 2;
     920             :     }
     921         511 :     gel(y,n+1) = gerepileupto(av, gdivgs(b, -(1+2*n)));
     922             :   }
     923         168 :   return y;
     924             : }
     925             : GEN
     926         175 : bernvec(long nb)
     927             : {
     928         175 :   long i, l = nb+2;
     929         175 :   GEN y = cgetg(l, t_VEC);
     930         175 :   if (nb < 20) return bernvec_old(nb);
     931           7 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(y,i) = bernfrac((i-1) << 1);
     932           7 :   return y;
     933             : }
     934             : 
     935             : /* x := pol_x(v); B_k(x) = \sum_{i=0}^k binomial(k, i) B_i x^{k-i} */
     936             : static GEN
     937        1295 : bernpol_i(long k, long v)
     938             : {
     939             :   GEN B, C;
     940             :   long i;
     941        1295 :   if (v < 0) v = 0;
     942        1295 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("bernpol", "index", "<", gen_0, stoi(k));
     943        1288 :   mpbern(k >> 1, 0); /* cache B_2, ..., B_2[k/2] */
     944        1288 :   C = vecbinomial(k);
     945        1288 :   B = cgetg(k + 3, t_POL);
     946        1288 :   for (i = 0; i <= k; ++i) gel(B, k-i+2) = gmul(gel(C,i+1), bernfrac(i));
     947        1288 :   B[1] = evalsigne(1) | evalvarn(v);
     948        1288 :   return B;
     949             : }
     950             : GEN
     951        1267 : bernpol(long k, long v) {
     952        1267 :   pari_sp av = avma;
     953        1267 :   return gerepileupto(av, bernpol_i(k, v));
     954             : }
     955             : /* x := pol_x(v); return 1^e + ... + x^e = x^e + (B_{e+1}(x) - B_{e+1})/(e+1) */
     956             : static GEN
     957          42 : faulhaber(long e, long v)
     958             : {
     959             :   GEN B;
     960          42 :   if (e == 0) return pol_x(v);
     961          28 :   B = RgX_integ(bernpol_i(e, v)); /* (B_{e+1}(x) - B_{e+1}) / (e+1) */
     962          28 :   gel(B,e+2) = gaddgs(gel(B,e+2), 1); /* add x^e, in place */
     963          28 :   return B;
     964             : }
     965             : /* sum_v T(v), T a polynomial expression in v */
     966             : GEN
     967          49 : sumformal(GEN T, long v)
     968             : {
     969          49 :   pari_sp av = avma, av2;
     970             :   long i, t, d;
     971             :   GEN R;
     972             : 
     973          49 :   T = simplify_shallow(T);
     974          49 :   t = typ(T);
     975          49 :   if (is_scalar_t(t))
     976          14 :     return gerepileupto(av, monomialcopy(T, 1, v < 0? 0: v));
     977          35 :   if (t != t_POL) pari_err_TYPE("sumformal [not a t_POL]", T);
     978          28 :   if (v < 0) v = varn(T);
     979          28 :   av2 = avma;
     980          28 :   R = gen_0;
     981          28 :   d = poldegree(T,v);
     982          91 :   for (i = d; i >= 0; i--)
     983             :   {
     984          63 :     GEN c = polcoeff0(T, i, v);
     985          63 :     if (gequal0(c)) continue;
     986          42 :     R = gadd(R, gmul(c, faulhaber(i, v)));
     987          42 :     if (gc_needed(av2,3))
     988             :     {
     989           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"sumformal, i = %ld/%ld", i,d);
     990           0 :       R = gerepileupto(av2, R);
     991             :     }
     992             :   }
     993          28 :   return gerepileupto(av, R);
     994             : }
     995             : 
     996             : /********************************************************************/
     997             : /**                                                                **/
     998             : /**                         EULER'S GAMMA                          **/
     999             : /**                                                                **/
    1000             : /********************************************************************/
    1001             : 
    1002             : /* x / (i*(i+1)) */
    1003             : GEN
    1004    29509652 : divrunu(GEN x, ulong i)
    1005             : {
    1006    29509652 :   if (i <= LOWMASK) /* i(i+1) < 2^BITS_IN_LONG*/
    1007    29509652 :     return divru(x, i*(i+1));
    1008             :   else
    1009           0 :     return divru(divru(x, i), i+1);
    1010             : }
    1011             : /* x / (i*(i+1)) */
    1012             : GEN
    1013      665866 : divgunu(GEN x, ulong i)
    1014             : {
    1015             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1016      571134 :   if (i < 3037000500L) /* i(i+1) < 2^63 */
    1017             : #else
    1018       94732 :   if (i < 46341L) /* i(i+1) < 2^31 */
    1019             : #endif
    1020      665866 :     return gdivgs(x, i*(i+1));
    1021             :   else
    1022           0 :     return gdivgs(gdivgs(x, i), i+1);
    1023             : }
    1024             : 
    1025             : /* arg(s+it) */
    1026             : double
    1027      181942 : darg(double s, double t)
    1028             : {
    1029             :   double x;
    1030      181942 :   if (!t) return (s>0)? 0.: M_PI;
    1031      171717 :   if (!s) return (t>0)? M_PI/2: -M_PI/2;
    1032      171710 :   x = atan(t/s);
    1033             :   return (s>0)? x
    1034      171710 :               : ((t>0)? x+M_PI : x-M_PI);
    1035             : }
    1036             : 
    1037             : void
    1038      181942 : dcxlog(double s, double t, double *a, double *b)
    1039             : {
    1040      181942 :   *a = log(s*s + t*t) / 2; /* log |s| = Re(log(s)) */
    1041      181942 :   *b = darg(s,t);          /* Im(log(s)) */
    1042      181942 : }
    1043             : 
    1044             : double
    1045       12838 : dabs(double s, double t) { return sqrt( s*s + t*t ); }
    1046             : double
    1047          35 : dnorm(double s, double t) { return s*s + t*t; }
    1048             : 
    1049             : #if 0
    1050             : /* x, z t_REAL. Compute unique x in ]-z,z] congruent to x mod 2z */
    1051             : static GEN
    1052             : red_mod_2z(GEN x, GEN z)
    1053             : {
    1054             :   GEN Z = gmul2n(z, 1), d = subrr(z, x);
    1055             :   /* require little accuracy */
    1056             :   if (!signe(d)) return x;
    1057             :   setprec(d, nbits2prec(expo(d) - expo(Z)));
    1058             :   return addrr(mulir(floorr(divrr(d, Z)), Z), x);
    1059             : }
    1060             : #endif
    1061             : 
    1062             : /* lngamma(1+z) = -Euler*z + sum_{i > 1} zeta(i)/i (-z)^i
    1063             :  * at relative precision prec, |z| < 1 is small */
    1064             : static GEN
    1065        2030 : lngamma1(GEN z, long prec)
    1066             : { /* sum_{i > l} |z|^(i-1) = |z|^l / (1-|z|) < 2^-B
    1067             :    * for l > (B+1) / |log2(|z|)| */
    1068        2030 :   long i, l = ceil((bit_accuracy(prec) + 1) / - dbllog2(z));
    1069        2030 :   GEN zet, me = mpeuler(prec), s = gen_0;
    1070        2030 :   setsigne(me, -1); /* -Euler */
    1071        2030 :   if (l <= 1) return gmul(me, z);
    1072        1855 :   zet = veczeta(gen_1, gen_2, l-1, prec); /* z[i] = zeta(i+1) */
    1073       15370 :   for (i = l; i > 1; i--)
    1074             :   {
    1075       13515 :     GEN c = divru(gel(zet,i-1), i);
    1076       13515 :     if (odd(i)) setsigne(c, -1);
    1077       13515 :     s = gadd(gmul(s,z), c);
    1078             :   }
    1079        1855 :   return gmul(z, gadd(gmul(s,z), me));
    1080             : }
    1081             : 
    1082             : static GEN
    1083      181858 : cxgamma(GEN s0, int dolog, long prec)
    1084             : {
    1085             :   GEN s, u, a, y, res, tes, sig, tau, invn2, p1, nnx, pi, pi2, sqrtpi2;
    1086             :   long i, lim, nn, esig, et;
    1087             :   pari_sp av, av2;
    1088      181858 :   int funeq = 0;
    1089             :   pari_timer T;
    1090             : 
    1091      181858 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_start(&T);
    1092      181858 :   s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
    1093             : 
    1094      181858 :   esig = expo(sig);
    1095      181858 :   et = signe(tau)? expo(tau): 0;
    1096      181858 :   if ((signe(sig) <= 0 || esig < -1) && et <= 16)
    1097             :   { /* s <--> 1-s */
    1098        3045 :     funeq = 1; s = gsubsg(1, s); sig = real_i(s);
    1099             :   }
    1100             : 
    1101             :   /* find "optimal" parameters [lim, nn] */
    1102      181858 :   if (esig > 300 || et > 300)
    1103          35 :   { /* |s| is HUGE ! Play safe and avoid inf / NaN */
    1104             :     GEN S, iS, l2, la, u;
    1105             :     double logla, l;
    1106             : 
    1107          35 :     S = gprec_w(s,LOWDEFAULTPREC);
    1108             :     /* l2 ~ |lngamma(s))|^2 */
    1109          35 :     l2 = gnorm(gmul(S, glog(S, LOWDEFAULTPREC)));
    1110          35 :     l = (prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - rtodbl(glog(l2,LOWDEFAULTPREC))/2) / 2.;
    1111          35 :     if (l < 0) l = 0.;
    1112             : 
    1113          35 :     iS = imag_i(S);
    1114          35 :     if (et > 0 && l > 0)
    1115          21 :     {
    1116          21 :       GEN t = gmul(iS, dbltor(M_PI / l)), logt = glog(t,LOWDEFAULTPREC);
    1117          21 :       la = gmul(t, logt);
    1118          21 :       if      (gcmpgs(la, 3) < 0)   { logla = log(3.); la = stoi(3); }
    1119          14 :       else if (gcmpgs(la, 150) > 0) { logla = rtodbl(logt); la = t; }
    1120           7 :       else logla = rtodbl(mplog(la));
    1121             :     }
    1122             :     else
    1123             :     {
    1124          14 :       logla = log(3.); la = stoi(3);
    1125             :     }
    1126          35 :     lim = (long)ceil(l / (1.+ logla));
    1127          35 :     if (lim == 0) lim = 1;
    1128             : 
    1129          35 :     u = gmul(la, dbltor((lim-0.5)/M_PI));
    1130          35 :     l2 = gsub(gsqr(u), gsqr(iS));
    1131          35 :     if (signe(l2) > 0)
    1132             :     {
    1133          14 :       l2 = gsub(gsqrt(l2,3), sig);
    1134          14 :       if (signe(l2) > 0) nn = itos( gceil(l2) ); else nn = 1;
    1135             :     }
    1136             :     else
    1137          21 :       nn = 1;
    1138             :   }
    1139             :   else
    1140             :   { /* |s| is moderate. Use floats  */
    1141      181823 :     double ssig = rtodbl(sig);
    1142      181823 :     double st = typ(s) == t_REAL? 0.0: rtodbl(imag_i(s));
    1143             :     double la, l,l2,u,v, rlogs, ilogs;
    1144             : 
    1145      181823 :     if (fabs(ssig-1) + fabs(st) < 1e-16)
    1146             :     { /* s ~ 1: loggamma(1+u) ~ - Euler * u, cancellation */
    1147        2506 :       if (funeq) /* s0 ~ 0: use lngamma(s0)+log(s0) = lngamma(s0+1) */
    1148             :       {
    1149           0 :         if (dolog)
    1150           0 :           y = gsub(lngamma1(s0,prec), glog(s0,prec));
    1151             :         else
    1152           0 :           y = gdiv(gexp(lngamma1(s0,prec), prec), s0);
    1153             :       }
    1154             :       else
    1155             :       {
    1156        5012 :         if (isint1(s0)) { avma = av; return dolog? real_0(prec): real_1(prec); }
    1157         805 :         y = lngamma1(gsubgs(s0,1),prec);
    1158         805 :         if (!dolog) y = gexp(y,prec);
    1159             :       }
    1160         805 :       avma = av; return affc_fixlg(y, res);
    1161             :     }
    1162      179317 :     dcxlog(ssig,st, &rlogs,&ilogs);
    1163             :     /* Re (s - 1/2) log(s) */
    1164      179317 :     u = (ssig - 0.5)*rlogs - st * ilogs;
    1165             :     /* Im (s - 1/2) log(s) */
    1166      179317 :     v = (ssig - 0.5)*ilogs + st * rlogs;
    1167             :     /* l2 = | (s - 1/2) log(s) - s + log(2Pi)/2 |^2 ~ |lngamma(s))|^2 */
    1168      179317 :     u = u - ssig + log(2.*M_PI)/2;
    1169      179317 :     v = v - st;
    1170      179317 :     l2 = u*u + v*v;
    1171      179317 :     if (l2 < 0.000001) l2 = 0.000001;
    1172      179317 :     l = (prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - log(l2)/2) / 2.;
    1173      179317 :     if (l < 0) l = 0.;
    1174             : 
    1175      179317 :     la = 3.; /* FIXME: heuristic... */
    1176      179317 :     if (st > 1 && l > 0)
    1177             :     {
    1178       63392 :       double t = st * M_PI / l;
    1179       63392 :       la = t * log(t);
    1180       63392 :       if (la < 3) la = 3.;
    1181       63392 :       if (la > 150) la = t;
    1182             :     }
    1183      179317 :     lim = (long)ceil(l / (1.+ log(la)));
    1184      179317 :     if (lim == 0) lim = 1;
    1185             : 
    1186      179317 :     u = (lim-0.5) * la / M_PI;
    1187      179317 :     l2 = u*u - st*st;
    1188      179317 :     if (l2 > 0)
    1189             :     {
    1190      165224 :       double t = ceil(sqrt(l2) - ssig);
    1191      165224 :       nn = (t < 1)? 1: (long)t;
    1192      165224 :       if (nn < 1) nn = 1;
    1193             :     }
    1194             :     else
    1195       14093 :       nn = 1;
    1196      179317 :     if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld], la = %lf\n",lim,nn,la);
    1197             :   }
    1198      179352 :   incrprec(prec);
    1199             : 
    1200      179352 :   av2 = avma;
    1201      179352 :   y = s;
    1202      179352 :   if (typ(s0) == t_INT)
    1203             :   {
    1204        2091 :     if (signe(s0) <= 0)
    1205           0 :       pari_err_DOMAIN("gamma","argument", "=",
    1206             :                        strtoGENstr("non-positive integer"), s0);
    1207        2091 :     if (is_bigint(s0)) {
    1208           7 :       for (i=1; i < nn; i++)
    1209             :       {
    1210           0 :         y = mulri(y, addiu(s0, i));
    1211           0 :         if (gc_needed(av2,3))
    1212             :         {
    1213           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1214           0 :           y = gerepileuptoleaf(av2, y);
    1215             :         }
    1216             :       }
    1217             :     } else {
    1218        2084 :       ulong ss = itou(s0);
    1219       17485 :       for (i=1; i < nn; i++)
    1220             :       {
    1221       15401 :         y = mulru(y, ss + i);
    1222       15401 :         if (gc_needed(av2,3))
    1223             :         {
    1224           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1225           0 :           y = gerepileuptoleaf(av2, y);
    1226             :         }
    1227             :       }
    1228             :     }
    1229        2091 :     if (dolog) y = logr_abs(y);
    1230             :   }
    1231             :   else
    1232             :   { /* Compute lngamma mod 2 I Pi */
    1233      177261 :     GEN sq = gsqr(s);
    1234      177261 :     pari_sp av3 = avma;
    1235     3307324 :     for (i = 1; i < nn - 1; i += 2)
    1236             :     {
    1237     3130063 :       y = gmul(y, gaddsg(i*(i + 1), gadd(gmulsg(2*i + 1, s), sq)));
    1238     3130063 :       if (gc_needed(av2,3))
    1239             :       {
    1240           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1241           0 :         y = gerepileupto(av3, y);
    1242             :       }
    1243             :     }
    1244      177261 :     if (!odd(nn)) y = gmul(y, gaddsg(nn - 1, s));
    1245      177261 :     if (dolog)
    1246             :     {
    1247        6321 :       if (typ(s) == t_REAL) y = logr_abs(y);
    1248             :       else
    1249             :       { /* fix imaginary part */
    1250         273 :         long prec0 = LOWDEFAULTPREC;
    1251         273 :         GEN s0 = gprec_w(s, prec0), y0 = s0, k;
    1252         273 :         y0 = garg(y0, prec0); /* Im log(s) at low accuracy */
    1253         273 :         for (i=1; i < nn; i++) y0 = gadd(y0, garg(gaddgs(s0,i), prec0));
    1254         273 :         y = glog(y, prec);
    1255         273 :         k = ground( gdiv(gsub(y0, imag_i(y)), Pi2n(1,prec0)) );
    1256         273 :         if (signe(k)) y = gadd(y, mulcxI(mulir(k, Pi2n(1, prec))));
    1257             :       }
    1258             :     }
    1259             :   }
    1260      179352 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_printf(&T,"product from 0 to N-1");
    1261             : 
    1262      179352 :   nnx = gaddgs(s, nn);
    1263      179352 :   a = ginv(nnx); invn2 = gsqr(a);
    1264      179352 :   av2 = avma;
    1265      179352 :   mpbern(lim,prec);
    1266      179352 :   tes = divrunu(bernreal(2*lim,prec), 2*lim-1); /* B2l / (2l-1) 2l*/
    1267      179352 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_printf(&T,"Bernoullis");
    1268     7939880 :   for (i = 2*lim-2; i > 1; i -= 2)
    1269             :   {
    1270     7760528 :     u = divrunu(bernreal(i,prec), i-1); /* Bi / i(i-1) */
    1271     7760528 :     tes = gadd(u, gmul(invn2,tes));
    1272     7760528 :     if (gc_needed(av2,3))
    1273             :     {
    1274           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1275           0 :       tes = gerepileupto(av2, tes);
    1276             :     }
    1277             :   }
    1278      179352 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
    1279             : 
    1280      179352 :   p1 = gsub(gmul(gsub(nnx, ghalf), glog(nnx,prec)), nnx);
    1281      179352 :   p1 = gadd(p1, gmul(tes, a));
    1282             : 
    1283      179352 :   pi = mppi(prec); pi2 = shiftr(pi, 1); sqrtpi2 = sqrtr(pi2);
    1284             : 
    1285      179352 :   if (dolog)
    1286             :   {
    1287        6354 :     if (funeq)
    1288             :     { /* recall that s = 1 - s0 */
    1289          14 :       GEN T = shiftr(sqrtpi2,-1); /* sqrt(2Pi)/2 */
    1290          14 :       if (typ(s) != t_REAL)
    1291             :       {
    1292             :         /* We compute log(sin(Pi s0)) so that it has branch cuts along
    1293             :         * (-oo, 0] and [1, oo).  To do this in a numerically stable way
    1294             :         * we must compute the log first then mangle its imaginary part.
    1295             :         * The rounding operation below is stable because we're rounding
    1296             :         * a number which is already within 1/4 of an integer. */
    1297             : 
    1298             :         /* z = log( sin(Pi s0) / (sqrt(2Pi)/2) ) */
    1299           7 :         GEN z = glog(gdiv(gsin(gmul(pi,s0),prec), T), prec);
    1300             :         /* b = (2 Re(s) - 1) / 4 */
    1301           7 :         GEN b = shiftr(subrs(shiftr(sig, 1), 1), -2);
    1302           7 :         y = gsub(y, z);
    1303           7 :         if (gsigne(imag_i(s)) > 0) togglesign(b);
    1304             :         /* z = 2Pi round( Im(z)/2Pi - b ) */
    1305           7 :         z = gmul(roundr(gsub(gdiv(imag_i(z), pi2), b)), pi2);
    1306           7 :         if (signe(z)) { /* y += I*z, z a t_REAL */
    1307           0 :           if (typ(y) == t_COMPLEX)
    1308           0 :             gel(y,2) = gadd(gel(y,2), z);
    1309             :           else
    1310           0 :             y = mkcomplex(y, z);
    1311             :         }
    1312             :       }
    1313             :       else
    1314             :       { /* s0 < 0, formula simplifies: imag(lngamma(s0)) = - Pi * floor(s0) */
    1315           7 :         GEN z = logr_abs(divrr(mpsin(gmul(pi,s0)), T));
    1316           7 :         y = gsub(y, z);
    1317           7 :         y = mkcomplex(y, mulri(pi, gfloor(s0)));
    1318             :       }
    1319          14 :       p1 = gneg(p1);
    1320             :     }
    1321             :     else /* y --> sqrt(2Pi) / y */
    1322        6340 :       y = gsub(logr_abs(sqrtpi2), y);
    1323        6354 :     y = gadd(p1, y);
    1324             :   }
    1325             :   else
    1326             :   {
    1327      172998 :     if (funeq)
    1328             :     { /* y --> y Pi/(sin(Pi s) * sqrt(2Pi)) = y sqrt(Pi/2)/sin(Pi s) */
    1329        3031 :       y = gdiv(gmul(shiftr(sqrtpi2,-1),y), gsin(gmul(pi,s0), prec));
    1330             :       /* don't use s above: sin(pi s0) = sin(pi s) and the former is
    1331             :        * more accurate, esp. if s0 ~ 0 */
    1332        3031 :       p1 = gneg(p1);
    1333             :     }
    1334             :     else /* y --> sqrt(2Pi) / y */
    1335      169967 :       y = gdiv(sqrtpi2, y);
    1336      172998 :     y = gmul(gexp(p1, prec), y);
    1337             :   }
    1338      179352 :   avma = av; return affc_fixlg(y, res);
    1339             : }
    1340             : 
    1341             : /* Gamma((m+1) / 2) */
    1342             : static GEN
    1343       11641 : gammahs(long m, long prec)
    1344             : {
    1345       11641 :   GEN y = cgetr(prec), z;
    1346       11641 :   pari_sp av = avma;
    1347       11641 :   long ma = labs(m);
    1348             : 
    1349       11641 :   if (ma > 200 + 50*(prec-2)) /* heuristic */
    1350             :   {
    1351           7 :     z = stor(m + 1, prec); shiftr_inplace(z, -1);
    1352           7 :     affrr(cxgamma(z,0,prec), y);
    1353           7 :     avma = av; return y;
    1354             :   }
    1355       11634 :   z = sqrtr( mppi(prec) );
    1356       11634 :   if (m)
    1357             :   {
    1358        3717 :     GEN p1 = mulu_interval(ma/2 + 1, ma);
    1359        3717 :     long v = vali(p1);
    1360        3717 :     p1 = shifti(p1, -v); v -= ma;
    1361        3717 :     if (m >= 0) z = mulri(z,p1);
    1362             :     else
    1363             :     {
    1364          63 :       z = divri(z,p1); v = -v;
    1365          63 :       if ((m&3) == 2) setsigne(z,-1);
    1366             :     }
    1367        3717 :     shiftr_inplace(z, v);
    1368             :   }
    1369       11634 :   affrr(z, y); avma = av; return y;
    1370             : }
    1371             : GEN
    1372          21 : ggammah(GEN x, long prec)
    1373             : {
    1374          21 :   switch(typ(x))
    1375             :   {
    1376             :     case t_INT:
    1377             :     {
    1378          14 :       long k = itos(x);
    1379          14 :       if (labs(k) > 962353) pari_err_OVERFLOW("gammah");
    1380          14 :       return gammahs(k<<1, prec);
    1381             :     }
    1382             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER: {
    1383           7 :       pari_sp av = avma;
    1384           7 :       return gerepileupto(av, ggamma(gadd(x,ghalf), prec));
    1385             :     }
    1386             :   }
    1387           0 :   return trans_eval("gammah",ggammah,x,prec);
    1388             : }
    1389             : 
    1390             : /* find n such that n+v_p(n!)>=k p^2/(p-1)^2 */
    1391             : static long
    1392          28 : nboft(long k, long p)
    1393             : {
    1394          28 :   pari_sp av = avma;
    1395             :   long s, n;
    1396             : 
    1397          28 :   if (k <= 0) return 0;
    1398          28 :   k = itou( gceil(gdiv(mului(k, sqru(p)), sqru(p-1))) );
    1399          28 :   avma = av;
    1400          28 :   for (s=0, n=0; n+s < k; n++, s += u_lval(n, p));
    1401          28 :   return n;
    1402             : }
    1403             : 
    1404             : /* Using Dwork's expansion, compute \Gamma(px+1)=-\Gamma(px) with x a unit.
    1405             :  * See p-Adic Gamma Functions and Dwork Cohomology, Maurizio Boyarsky
    1406             :  * Transactions of the AMS, Vol. 257, No. 2. (Feb., 1980), pp. 359-369.
    1407             :  * Inspired by a GP script by Fernando Rodriguez-Villegas */
    1408             : static GEN
    1409          28 : gadw(GEN x, long p)
    1410             : {
    1411          28 :   pari_sp ltop = avma;
    1412          28 :   GEN s, t, u = cgetg(p+1, t_VEC);
    1413          28 :   long j, k, kp, n = nboft(precp(x)+valp(x)+1, p);
    1414             : 
    1415          28 :   t = s = gaddsg(1, zeropadic(gel(x,2), n));
    1416          28 :   gel(u, 1) = s;
    1417          28 :   gel(u, 2) = s;
    1418          42 :   for (j = 2; j < p; ++j)
    1419          14 :     gel(u, j+1) = gdivgs(gel(u, j), j);
    1420         378 :   for (k = 1, kp = p; k < n; ++k, kp += p) /* kp = k*p */
    1421             :   {
    1422             :     GEN c;
    1423         350 :     gel(u, 1) = gdivgs(gadd(gel(u, 1), gel(u, p)), kp);
    1424         812 :     for (j = 1; j < p; ++j)
    1425         462 :       gel(u, j+1) = gdivgs(gadd(gel(u, j), gel(u, j+1)), kp + j);
    1426             : 
    1427         350 :     t = gmul(t, gaddgs(x, k-1));
    1428         350 :     c = leafcopy(gel(u,1)); setvalp(c, valp(c) + k); /* c = u[1] * p^k */
    1429         350 :     s = gadd(s, gmul(c, t));
    1430         350 :     if ((k&0xFL)==0) gerepileall(ltop, 3, &u,&s,&t);
    1431             :   }
    1432          28 :   return gneg(s);
    1433             : }
    1434             : 
    1435             : /*Use Dwork expansion*/
    1436             : /*This is a O(p*e*log(pe)) algorithm, should be used when p small
    1437             :  * If p==2 this is a O(pe) algorithm. */
    1438             : static GEN
    1439          28 : Qp_gamma_Dwork(GEN x, long p)
    1440             : {
    1441          28 :   pari_sp ltop = avma;
    1442          28 :   long k = padic_to_Fl(x, p);
    1443             :   GEN p1;
    1444             :   long j;
    1445          28 :   long px = precp(x);
    1446          28 :   if (p==2 && px)
    1447             :   {
    1448          14 :     x = shallowcopy(x);
    1449          14 :     setprecp(x, px+1);
    1450          14 :     gel(x,3) = shifti(gel(x,3),1);
    1451             :   }
    1452          28 :   if (k)
    1453             :   {
    1454          21 :     GEN x_k = gsubgs(x,k);
    1455          21 :     x = gdivgs(x_k, p);
    1456          21 :     p1 = gadw(x, p); if (!odd(k)) p1 = gneg(p1);
    1457          21 :     for (j = 1; j < k; ++j) p1 = gmul(p1, gaddgs(x_k, j));
    1458             :   }
    1459             :   else
    1460           7 :     p1 = gneg(gadw(gdivgs(x, p), p));
    1461          28 :   return gerepileupto(ltop, p1);
    1462             : }
    1463             : 
    1464             : /* Compute Qp_gamma using the definition. This is a O(x*M(log(pe))) algorithm.
    1465             :  * This should be used if x is very small. */
    1466             : static GEN
    1467          49 : Qp_gamma_Morita(long n, GEN p, long e)
    1468             : {
    1469          49 :   pari_sp ltop=avma;
    1470          49 :   GEN p2 = gaddsg((n&1)?-1:1, zeropadic(p, e));
    1471             :   long i;
    1472          49 :   long pp=is_bigint(p)? 0: itos(p);
    1473         154 :   for (i = 2; i < n; i++)
    1474         105 :     if (!pp || i%pp)
    1475             :     {
    1476          63 :       p2 = gmulgs(p2, i);
    1477          63 :       if ((i&0xFL) == 0xFL)
    1478           0 :         p2 = gerepileupto(ltop, p2);
    1479             :     }
    1480          49 :   return gerepileupto(ltop, p2);
    1481             : }
    1482             : 
    1483             : /* x\in\N: Gamma(-x)=(-1)^(1+x+x\p)*Gamma(1+x) */
    1484             : static GEN
    1485          28 : Qp_gamma_neg_Morita(long n, GEN p, long e)
    1486             : {
    1487          28 :   GEN g = ginv(Qp_gamma_Morita(n+1, p, e));
    1488          28 :   return ((n^sdivsi(n,p)) & 1)? g: gneg(g);
    1489             : }
    1490             : 
    1491             : /* p-adic Gamma function for x a p-adic integer */
    1492             : /* If n < p*e : use Morita's definition.
    1493             :  * Else : use Dwork's expansion.
    1494             :  * If both n and p are big : itos(p) will fail.
    1495             :  * TODO: handle p=2 better (Qp_gamma_Dwork is slow for p=2). */
    1496             : GEN
    1497          77 : Qp_gamma(GEN x)
    1498             : {
    1499          77 :   GEN n, m, N, p = gel(x,2);
    1500          77 :   long s, e = precp(x);
    1501          77 :   if (absequaliu(p, 2) && e == 2) e = 1;
    1502          77 :   if (valp(x) < 0) pari_err_DOMAIN("gamma","v_p(x)", "<", gen_0, x);
    1503          77 :   n = gtrunc(x);
    1504          77 :   m = gtrunc(gneg(x));
    1505          77 :   N = cmpii(n,m)<=0?n:m;
    1506          77 :   s = itos_or_0(N);
    1507          77 :   if (s && cmpsi(s, muliu(p,e)) < 0) /* s < p*e */
    1508          49 :     return (N == n) ? Qp_gamma_Morita(s,p,e): Qp_gamma_neg_Morita(s,p,e);
    1509          28 :   return Qp_gamma_Dwork(x, itos(p));
    1510             : }
    1511             : 
    1512             : /* gamma(1+x) - 1, |x| < 1 is "small" */
    1513             : GEN
    1514        1211 : ggamma1m1(GEN x, long prec) { return gexpm1(lngamma1(x, prec), prec); }
    1515             : 
    1516             : /* lngamma(y) with 0 constant term, using (lngamma y)' = y' psi(y) */
    1517             : static GEN
    1518       17661 : serlngamma0(GEN y, long prec)
    1519             : {
    1520             :   GEN t;
    1521       17661 :   if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("lngamma","valuation", "!=", gen_0, y);
    1522       17654 :   t = derivser(y);
    1523             :   /* don't compute psi if y'=0 */
    1524       17654 :   if (signe(t)) t = gmul(t, gpsi(y,prec));
    1525       17654 :   return integser(t);
    1526             : }
    1527             : 
    1528             : static GEN
    1529       17626 : serlngamma(GEN y, long prec)
    1530             : {
    1531             :   GEN z, y0, Y;
    1532       17626 :   if (lg(y) == 2) pari_err_DOMAIN("gamma", "argument", "=", gen_0,y);
    1533             :   /* exp(lngamma) */
    1534       17619 :   if (valp(y) > 0) return gdiv(gexp(glngamma(gaddgs(y,1),prec),prec),y);
    1535       17402 :   y0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    1536       17402 :   z = NULL; Y = y;
    1537       17402 :   if (isint(y0, &y0))
    1538             :   { /* fun eq. avoids log singularity of lngamma at negative ints */
    1539        7245 :     long s = signe(y0);
    1540             :     /* possible if y[2] is an inexact 0 */
    1541        7245 :     if (!s) return gdiv(gexp(glngamma(gaddgs(y,1),prec),prec),y);
    1542        7238 :     if (signe(y0) < 0) { Y = gsubsg(1, y); y0 = subsi(1, y0); }
    1543        7238 :     if (abscmpiu(y0, 50) < 0) z = mpfact(itos(y0)-1); /* more precise */
    1544             :   }
    1545       17395 :   if (!z) z = ggamma(y0,prec);
    1546       17395 :   z = gmul(z, gexp(serlngamma0(Y,prec),prec));
    1547       17395 :   if (Y != y)
    1548             :   {
    1549          77 :     GEN pi = mppi(prec);
    1550          77 :     z = gdiv(mpodd(y0)? pi: negr(pi),
    1551             :              gmul(z, gsin(gmul(pi,serchop0(y)), prec)));
    1552             :   }
    1553       17395 :   return z;
    1554             : }
    1555             : GEN
    1556      209202 : ggamma(GEN x, long prec)
    1557             : {
    1558             :   pari_sp av;
    1559             :   GEN y;
    1560             : 
    1561      209202 :   switch(typ(x))
    1562             :   {
    1563             :     case t_INT:
    1564        5467 :       if (signe(x) <= 0)
    1565           0 :         pari_err_DOMAIN("gamma","argument", "=",
    1566             :                          strtoGENstr("non-positive integer"), x);
    1567        5467 :       if (abscmpiu(x,481177) > 0) pari_err_OVERFLOW("gamma");
    1568        5467 :       return mpfactr(itos(x) - 1, prec);
    1569             : 
    1570             :     case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1571      173845 :       return cxgamma(x, 0, prec);
    1572             : 
    1573             :     case t_FRAC:
    1574             :     {
    1575       12194 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), c;
    1576             :       long m;
    1577       12194 :       if (absequaliu(b,2))
    1578             :       {
    1579       11627 :         if (is_bigint(a) || labs(m = itos(a)) > 962354)
    1580             :         {
    1581           0 :           pari_err_OVERFLOW("gamma");
    1582             :           return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1583             :         }
    1584       11627 :         return gammahs(m-1, prec);
    1585             :       }
    1586         567 :       av = avma; c = subii(a,b);
    1587         567 :       if (expi(c) - expi(b) < -50)
    1588             :       { /* x = 1 + c/b is close to 1 */
    1589           7 :         x = mkfrac(c,b);
    1590           7 :         if (lgefint(b) >= prec) x = fractor(x,prec);
    1591           7 :         y = mpexp(lngamma1(x, prec));
    1592             :       }
    1593         560 :       else if (signe(a) < 0 || cmpii(shifti(a,1), b) < 0)
    1594         217 :       { /* gamma will use functional equation x -> z = 1-x = -c/b >= 1/2.
    1595             :          * Gamma(x) = Pi / (sin(Pi z) * Gamma(z)) */
    1596         217 :         GEN z = mkfrac(negi(c), b), q = ground(z), r = gsub(z,q);
    1597         217 :         GEN pi = mppi(prec); /* |r| <= 1/2 */
    1598         217 :         z = fractor(z, prec+EXTRAPRECWORD);
    1599         217 :         y = divrr(pi, mulrr(mpsin(gmul(pi, r)), cxgamma(z, 0, prec)));
    1600         217 :         if (mpodd(q)) togglesign(y);
    1601             :       }
    1602             :       else
    1603             :       {
    1604         343 :         x = fractor(x, prec);
    1605         343 :         y = cxgamma(x, 0, prec);
    1606             :       }
    1607         567 :       return gerepileupto(av, y);
    1608             :     }
    1609             : 
    1610          70 :     case t_PADIC: return Qp_gamma(x);
    1611             :     default:
    1612       17626 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1613       17626 :       return gerepileupto(av, serlngamma(y, prec));
    1614             :   }
    1615           0 :   return trans_eval("gamma",ggamma,x,prec);
    1616             : }
    1617             : 
    1618             : GEN
    1619       19458 : mpfactr(long n, long prec)
    1620             : {
    1621       19458 :   GEN f = cgetr(prec);
    1622       19458 :   pari_sp av = avma;
    1623             : 
    1624       19458 :   if (n+1 > 350 + 70*(prec-2)) /* heuristic */
    1625         280 :     affrr(cxgamma(stor(n+1, prec), 0, prec), f);
    1626             :   else
    1627       19178 :     affir(mpfact(n), f);
    1628       19458 :   avma = av; return f;
    1629             : }
    1630             : 
    1631             : GEN
    1632        7595 : glngamma(GEN x, long prec)
    1633             : {
    1634        7595 :   pari_sp av = avma;
    1635             :   GEN y, y0, t;
    1636             : 
    1637        7595 :   switch(typ(x))
    1638             :   {
    1639             :     case t_INT:
    1640         161 :       if (signe(x) <= 0)
    1641           0 :         pari_err_DOMAIN("lngamma","argument", "=",
    1642             :                          strtoGENstr("non-positive integer"), x);
    1643         161 :       if (abscmpiu(x,200 + 50*(prec-2)) > 0) /* heuristic */
    1644          19 :         return cxgamma(x, 1, prec);
    1645         142 :       return gerepileuptoleaf(av, logr_abs( itor(mpfact(itos(x) - 1), prec) ));
    1646             :     case t_FRAC:
    1647             :     {
    1648         903 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), c = subii(a,b);
    1649         903 :       long e = expi(b) - expi(c);
    1650         903 :       if (e > 50)
    1651             :       {
    1652           7 :         x = mkfrac(c,b);
    1653           7 :         if (lgefint(b) >= prec) x = fractor(x,prec + nbits2nlong(e));
    1654           7 :         y = lngamma1(x, prec);
    1655             :       }
    1656         896 :       else if (signe(a) < 0 || cmpii(shifti(a,1), b) < 0)
    1657          21 :       { /* gamma will use functional equation x -> z = 1-x = -c/b >= 1/2.
    1658             :          * lngamma(x) = log |Pi / (sin(Pi z) * Gamma(z))| + I*Pi * floor(x) */
    1659          21 :         GEN z = mkfrac(negi(c), b), q = ground(z), r = gsub(z,q);
    1660          21 :         GEN pi = mppi(prec); /* |r| <= 1/2 */
    1661          21 :         z = fractor(z, prec+EXTRAPRECWORD);
    1662          21 :         y = subrr(logr_abs(divrr(pi, mpsin(gmul(pi, r)))), cxgamma(z, 1, prec));
    1663          21 :         if (signe(a) < 0) y = gadd(y, mkcomplex(gen_0, mulri(pi, gfloor(x))));
    1664             :       }
    1665             :       else
    1666             :       {
    1667         875 :         x = fractor(x, e > 1? prec+EXTRAPRECWORD: prec);
    1668         875 :         y = cxgamma(x, 1, prec);
    1669             :       }
    1670         903 :       return gerepileupto(av, y);
    1671             :     }
    1672             : 
    1673             :     case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1674        6251 :       return cxgamma(x, 1, prec);
    1675             : 
    1676             :     default:
    1677         273 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    1678         273 :       if (lg(y) == 2) pari_err_DOMAIN("lngamma", "argument", "=", gen_0,y);
    1679         266 :       t = serlngamma0(y,prec);
    1680         252 :       y0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    1681             :       /* no constant term if y0 = 1 or 2 */
    1682         252 :       if (!isint(y0,&y0) || signe(y0) <= 0 || abscmpiu(y0,2) > 2)
    1683           7 :         t = gadd(t, glngamma(y0,prec));
    1684         252 :       return gerepileupto(av, t);
    1685             : 
    1686           7 :     case t_PADIC: return gerepileupto(av, Qp_log(Qp_gamma(x)));
    1687             :   }
    1688           0 :   return trans_eval("lngamma",glngamma,x,prec);
    1689             : }
    1690             : /********************************************************************/
    1691             : /**                                                                **/
    1692             : /**                  PSI(x) = GAMMA'(x)/GAMMA(x)                   **/
    1693             : /**                                                                **/
    1694             : /********************************************************************/
    1695             : static GEN
    1696          42 : cxpsi(GEN s0, long prec)
    1697             : {
    1698             :   pari_sp av, av2;
    1699             :   GEN sum,z,a,res,tes,in2,sig,tau,s,unr,s2,sq;
    1700             :   long lim,nn,k;
    1701          42 :   const long la = 3;
    1702          42 :   int funeq = 0;
    1703             :   pari_timer T;
    1704             : 
    1705          42 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
    1706          42 :   s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
    1707          42 :   if (signe(sig) <= 0) { funeq = 1; s = gsub(gen_1, s); sig = real_i(s); }
    1708          42 :   if (typ(s0) == t_INT && signe(s0) <= 0)
    1709           0 :     pari_err_DOMAIN("psi","argument", "=",
    1710             :                     strtoGENstr("non-positive integer"), s0);
    1711             : 
    1712          42 :   if (expo(sig) > 300 || (typ(s) == t_COMPLEX && gexpo(gel(s,2)) > 300))
    1713           7 :   { /* |s| is HUGE. Play safe */
    1714           7 :     GEN L, S = gprec_w(s,LOWDEFAULTPREC), rS = real_i(S), iS = imag_i(S);
    1715             :     double l;
    1716             : 
    1717           7 :     l = rtodbl( gnorm(glog(S, 3)) );
    1718           7 :     l = log(l) / 2.;
    1719           7 :     lim = 2 + (long)ceil((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - l) / (2*(1+log((double)la))));
    1720           7 :     if (lim < 2) lim = 2;
    1721             : 
    1722           7 :     l = (2*lim-1)*la / (2.*M_PI);
    1723           7 :     L = gsub(dbltor(l*l), gsqr(iS));
    1724           7 :     if (signe(L) < 0) L = gen_0;
    1725             : 
    1726           7 :     L = gsub(gsqrt(L, 3), rS);
    1727           7 :     if (signe(L) > 0) nn = (long)ceil(rtodbl(L)); else nn = 1;
    1728           7 :     if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n",lim,nn);
    1729             :   }
    1730             :   else
    1731             :   {
    1732          35 :     double ssig = rtodbl(sig);
    1733          35 :     double st = typ(s) == t_REAL? 0.0: rtodbl(imag_i(s));
    1734             :     double l;
    1735             :     {
    1736             :       double rlog, ilog; /* log (s - Euler) */
    1737          35 :       dcxlog(ssig - 0.57721566, st, &rlog,&ilog);
    1738          35 :       l = dnorm(rlog,ilog);
    1739             :     }
    1740          35 :     if (l < 0.000001) l = 0.000001;
    1741          35 :     l = log(l) / 2.;
    1742          35 :     lim = 2 + (long)ceil((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - l) / (2*(1+log((double)la))));
    1743          35 :     if (lim < 2) lim = 2;
    1744             : 
    1745          35 :     l = (2*lim-1)*la / (2.*M_PI);
    1746          35 :     l = l*l - st*st;
    1747          35 :     if (l < 0.) l = 0.;
    1748          35 :     nn = (long)ceil( sqrt(l) - ssig );
    1749          35 :     if (nn < 1) nn = 1;
    1750          35 :     if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n",lim,nn);
    1751             :   }
    1752          42 :   incrprec(prec); unr = real_1(prec); /* one extra word of precision */
    1753          42 :   s2 = gmul2n(s, 1); sq = gsqr(s);
    1754          42 :   a = gdiv(unr, gaddgs(s, nn)); /* 1 / (s+n) */
    1755          42 :   av2 = avma; sum = gmul2n(a, -1);
    1756        1050 :   for (k = 0; k < nn - 1; k += 2)
    1757             :   {
    1758        1008 :     GEN tmp = gaddsg(k*(k + 1), gadd(gmulsg(2*k + 1, s), sq));
    1759        1008 :     sum = gadd(sum, gdiv(gaddsg(2*k + 1, s2), tmp));
    1760        1008 :     if ((k & 1023) == 0) sum = gerepileupto(av2, sum);
    1761             :   }
    1762          42 :   if (odd(nn)) sum = gadd(sum, gdiv(unr, gaddsg(nn - 1, s)));
    1763          42 :   z = gsub(glog(gaddgs(s, nn), prec), sum);
    1764          42 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 0 to N - 1");
    1765             : 
    1766          42 :   in2 = gsqr(a);
    1767          42 :   mpbern(lim,prec);
    1768          42 :   av2 = avma; tes = divru(bernreal(2*lim, prec), 2*lim);
    1769        2317 :   for (k=2*lim-2; k>=2; k-=2)
    1770             :   {
    1771        2275 :     tes = gadd(gmul(in2,tes), divru(bernreal(k, prec), k));
    1772        2275 :     if ((k & 255) == 0) tes = gerepileupto(av2, tes);
    1773             :   }
    1774          42 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
    1775          42 :   z = gsub(z, gmul(in2,tes));
    1776          42 :   if (funeq)
    1777             :   {
    1778          14 :     GEN pi = mppi(prec);
    1779          14 :     z = gadd(z, gmul(pi, gcotan(gmul(pi,s), prec)));
    1780             :   }
    1781          42 :   avma = av; return affc_fixlg(z, res);
    1782             : }
    1783             : 
    1784             : /* n > 0; return psi(1+x) + O(x^n), x = pol_x(v) */
    1785             : static GEN
    1786        6944 : serpsi1(long n, long v, long prec)
    1787             : {
    1788        6944 :   long i, l = n+3;
    1789        6944 :   GEN z, g, s = cgetg(l, t_SER);
    1790        6944 :   s[1] = evalsigne(1)|evalvalp(0)|evalvarn(v);
    1791        6944 :   g = mpeuler(prec); setsigne(g, -1);
    1792        6944 :   z = veczeta(gen_1, gen_2, n, prec); /* zeta(2..n) */
    1793        6944 :   gel(s,2) = g;
    1794       29428 :   for (i = 2; i < l-1; i++)
    1795             :   {
    1796       22484 :     GEN c = gel(z,i-1); /* zeta(i) */
    1797       22484 :     if (odd(i)) setsigne(c, -1);
    1798       22484 :     gel(s,i+1) = c;
    1799             :   }
    1800        6944 :   return s;
    1801             : }
    1802             : /* T an RgX, return T(X + z0) + O(X^L) */
    1803             : static GEN
    1804      956687 : tr(GEN T, GEN z0, long L)
    1805             : {
    1806      956687 :   GEN s = RgX_to_ser(RgX_translate(T, z0), L+3);
    1807      956687 :   setvarn(s, 0); return s;
    1808             : }
    1809             : /* z0 a complex number with Re(z0) > 1/2; return psi(z0+x) + O(x^L)
    1810             :  * using Luke's rational approximation for psi(x) */
    1811             : static GEN
    1812        4424 : serpsiz0(GEN z0, long L, long v, long prec)
    1813             : {
    1814             :   pari_sp av;
    1815             :   GEN A,A1,A2, B,B1,B2, Q;
    1816             :   long n;
    1817        4424 :   n = gprecision(z0); if (n) prec = n;
    1818        4424 :   z0 = gtofp(z0, prec + EXTRAPRECWORD);
    1819             :   /* Start from n = 3; in Luke's notation, A2 := A_{n-2}, A1 := A_{n-1},
    1820             :    * A := A_n. Same for B */
    1821        4424 :   av = avma;
    1822        4424 :   A2= gdivgs(mkpoln(2, gen_1, utoipos(6)), 2);
    1823        4424 :   B2 = scalarpol_shallow(utoipos(4), 0);
    1824        4424 :   A1= gdivgs(mkpoln(3, gen_1, utoipos(82), utoipos(96)), 6);
    1825        4424 :   B1 = mkpoln(2, utoipos(8), utoipos(28));
    1826        4424 :   A = gdivgs(mkpoln(4, gen_1, utoipos(387), utoipos(2906), utoipos(1920)), 12);
    1827        4424 :   B = mkpoln(3, utoipos(14), utoipos(204), utoipos(310));
    1828        4424 :   A2= tr(A2,z0, L);
    1829        4424 :   B2= tr(B2,z0, L);
    1830        4424 :   A1= tr(A1,z0, L);
    1831        4424 :   B1= tr(B1,z0, L);
    1832        4424 :   A = tr(A, z0, L);
    1833        4424 :   B = tr(B, z0, L); Q = gdiv(A, B);
    1834             :   /* work with z0+x as a variable */
    1835      308573 :   for (n = 4;; n++)
    1836      304149 :   {
    1837      308573 :     GEN Q0 = Q, a, b, r, c3,c2,c1,c0 = muluu(2*n-3, n+1);
    1838      308573 :     GEN u = subiu(muluu(n, 7*n-9), 6);
    1839      308573 :     GEN t = addiu(muluu(n, 7*n-19), 4);
    1840             :     /* c1=(2*n-1)*(3*(n-1)*z+7*n^2-9*n-6);
    1841             :      * c2=(2*n-3)*(z-n-1)*(-3*(n-1)*z+7*n^2-19*n+4);
    1842             :      * c3=(2*n-1)*(n-3)*(z-n)*(z-(n+1))*(z+(n-4)); */
    1843      308573 :     c1 = deg1pol_shallow(muluu(3*(n-1),2*n-1), muliu(u,2*n-1), 0);
    1844      308573 :     c2 = ZX_mul(deg1pol_shallow(utoipos(2*n-3), negi(muluu(2*n-3,n+1)), 0),
    1845      308573 :                 deg1pol_shallow(utoineg(3*(n-1)), t, 0));
    1846      308573 :     r = mkvec3(utoipos(n), utoipos(n+1), stoi(4-n));
    1847      308573 :     c3 = ZX_Z_mul(roots_to_pol(r,0), muluu(2*n-1,n-3));
    1848      308573 :     c1 = tr(c1, z0, L+3);
    1849      308573 :     c2 = tr(c2, z0, L+3);
    1850      308573 :     c3 = tr(c3, z0, L+3);
    1851             : 
    1852             :     /* A_{n+1}, B_{n+1} */
    1853      308573 :     a = gdiv(gadd(gadd(gmul(c1,A),gmul(c2,A1)),gmul(c3,A2)), c0);
    1854      308573 :     b = gdiv(gadd(gadd(gmul(c1,B),gmul(c2,B1)),gmul(c3,B2)), c0);
    1855      308573 :     Q = gdiv(a,b);
    1856      308573 :     if (gexpo(gsub(Q,Q0)) < -prec2nbits(prec)) break;
    1857      304149 :     A2 = A1; A1 = A; A = a;
    1858      304149 :     B2 = B1; B1 = B; B = b;
    1859      304149 :     if (gc_needed(av,1))
    1860             :     {
    1861           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"serpsiz0, n = %ld", n);
    1862           0 :       gerepileall(av, 7, &A,&A1,&A2, &B,&B1,&B2, &Q);
    1863             :     }
    1864             :   }
    1865        4424 :   Q = gmul(Q, gmul2n(gsubsg(1, ginv(tr(pol_x(v),z0, L))), 1));
    1866        4424 :   setvarn(Q, v);
    1867        4424 :   return gadd(negr(mpeuler(prec)), Q);
    1868             : }
    1869             : /* sum (-1)^k*H(m,k)x^k + O(x^L); L > 0;
    1870             :  * H(m,k) = (-1)^{k * \delta_{m > 0}} sum_{1<=i<m} 1/i^(k+1) */
    1871             : static GEN
    1872         756 : Hseries(long m, long L, long v, long prec)
    1873             : {
    1874         756 :   long i, k, bit, l = L+3, M = m < 0? 1-m: m;
    1875         756 :   pari_sp av = avma;
    1876         756 :   GEN H = cgetg(l, t_SER);
    1877         756 :   H[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(0);
    1878         756 :   prec++;
    1879         756 :   bit = -prec2nbits(prec);
    1880         756 :   for(k = 2; k < l; k++) gel(H,k) = gen_1; /* i=1 */
    1881         784 :   for (i = 2; i < M; i++)
    1882             :   {
    1883          28 :     GEN ik = invr(utor(i, prec));
    1884         203 :     for (k = 2; k < l; k++)
    1885             :     {
    1886         175 :       if (k > 2) { ik = divru(ik, i); if (expo(ik) < bit) break; }
    1887         175 :       gel(H,k) = gadd(gel(H,k), ik);
    1888             :     }
    1889          28 :     if (gc_needed(av,3))
    1890             :     {
    1891           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Hseries, i = %ld/%ld", i,M);
    1892           0 :       H = gerepilecopy(av, H);
    1893             :     }
    1894             :   }
    1895         756 :   if (m > 0)
    1896         742 :     for (k = 3; k < l; k+=2) togglesign_safe(&gel(H,k));
    1897         756 :   return H;
    1898             : }
    1899             : 
    1900             : static GEN
    1901       11382 : serpsi(GEN y, long prec)
    1902             : {
    1903       11382 :   GEN Q = NULL, z0, Y = y, Y2;
    1904       11382 :   long L = lg(y)-2, v  = varn(y), vy = valp(y);
    1905             : 
    1906       11382 :   if (!L) pari_err_DOMAIN("psi", "argument", "=", gen_0,y);
    1907       11375 :   if (vy < 0) pari_err_DOMAIN("psi", "series valuation", "<", gen_0,y);
    1908       11375 :   if (vy)
    1909          14 :     z0 = gen_0;
    1910             :   else
    1911             :   {
    1912       11361 :     z0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    1913       11361 :     (void)isint(z0, &z0);
    1914             :   }
    1915       11375 :   if (typ(z0) == t_INT && !is_bigint(z0))
    1916             :   {
    1917        6951 :     long m = itos(z0);
    1918        6951 :     if (abscmpiu(muluu(prec2nbits(prec),L), labs(m)) > 0)
    1919             :     { /* psi(m+x) = psi(1+x) + sum_{1 <= i < m} 1/(i+x) for m > 0
    1920             :                     psi(1+x) - sum_{0 <= i < -m} 1/(i+x) for m <= 0 */
    1921        6951 :       GEN H = NULL;
    1922        6951 :       if (m <= 0) L--; /* lose series accuracy due to 1/x term */
    1923        6951 :       if (L)
    1924             :       {
    1925        6944 :         Q = serpsi1(L, v, prec);
    1926        6944 :         if (m && m != 1) { H = Hseries(m, L, v, prec); Q = gadd(Q, H); }
    1927        6944 :         if (m <= 0) Q = gsub(Q, ginv(pol_x(v)));
    1928             :       }
    1929             :       else
    1930             :       {
    1931           7 :         Q = scalarser(gen_m1, v, 1);
    1932           7 :         setvalp(Q,-1);
    1933             :       }
    1934             :     }
    1935             :   }
    1936       11375 :   if (!Q)
    1937             :   { /* use psi(1-y)=psi(y)+Pi*cotan(Pi*y) ? */
    1938        4424 :     if (gcmp(real_i(z0),ghalf) < 0) { z0 = gsubsg(1,z0); Y = gsubsg(1,y); }
    1939        4424 :     Q = serpsiz0(z0, L, v, prec);
    1940             :   }
    1941       11375 :   Y2 = serchop0(Y); if (signe(Y2)) Q = gsubst(Q, v, Y2);
    1942             :   /* psi(z0 + Y2) = psi(Y) */
    1943       11375 :   if (Y != y)
    1944             :   { /* psi(y) = psi(Y) + Pi cotan(Pi Y) */
    1945          49 :     GEN pi = mppi(prec);
    1946          49 :     if (typ(z0) == t_INT) Y = Y2; /* in this case cotan(Pi*Y2) = cotan(Pi*Y) */
    1947          49 :     Q = gadd(Q, gmul(pi, gcotan(gmul(pi,Y), prec)));
    1948             :   }
    1949       11375 :   return Q;
    1950             : }
    1951             : 
    1952             : GEN
    1953       11438 : gpsi(GEN x, long prec)
    1954             : {
    1955             :   pari_sp av;
    1956             :   GEN y;
    1957       11438 :   switch(typ(x))
    1958             :   {
    1959          42 :     case t_REAL: case t_COMPLEX: return cxpsi(x,prec);
    1960             :     default:
    1961       11396 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1962       11382 :       return gerepileupto(av, serpsi(y,prec));
    1963             :   }
    1964          14 :   return trans_eval("psi",gpsi,x,prec);
    1965             : }

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