Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans2.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.0 lcov report (development 23328-a3379c31c) Lines: 1079 1123 96.1 %
Date: 2018-12-09 05:41:42 Functions: 83 84 98.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                          (part 2)                              **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : GEN
      24      262304 : trans_fix_arg(long *prec, GEN *s0, GEN *sig, GEN *tau, pari_sp *av, GEN *res)
      25             : {
      26      262304 :   GEN p1, s = *s0 = cxtoreal(*s0);
      27             :   long l;
      28      262304 :   l = precision(s); if (!l) l = *prec;
      29      262304 :   if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
      30      262304 :   *res = cgetc(l); *av = avma;
      31      262304 :   if (typ(s) == t_COMPLEX)
      32             :   { /* s = sig + i t */
      33      207424 :     s = cxtofp(s, l+EXTRAPRECWORD);
      34      207424 :     *sig = gel(s,1);
      35      207424 :     *tau = gel(s,2);
      36             :   }
      37             :   else /* real number */
      38             :   {
      39       54880 :     *sig = s = gtofp(s, l+EXTRAPRECWORD);
      40       54880 :     *tau = gen_0;
      41       54880 :     p1 = trunc2nr(s, 0);
      42       54880 :     if (!signe(subri(s,p1))) *s0 = p1;
      43             :   }
      44      262304 :   *prec = l; return s;
      45             : }
      46             : 
      47             : /********************************************************************/
      48             : /**                                                                **/
      49             : /**                          ARCTANGENT                            **/
      50             : /**                                                                **/
      51             : /********************************************************************/
      52             : /* atan(b/a), real a and b, suitable for gerepileupto */
      53             : static GEN
      54         196 : atan2_agm(GEN a, GEN b, long prec)
      55         196 : { return gel(logagmcx(mkcomplex(a, b), prec), 2); }
      56             : static GEN
      57      600522 : mpatan(GEN x)
      58             : {
      59      600522 :   long l, l1, l2, n, m, i, lp, e, s, sx = signe(x);
      60             :   pari_sp av0, av;
      61             :   double alpha, beta, delta;
      62             :   GEN y, p1, p2, p3, p4, p5, unr;
      63             :   int inv;
      64             : 
      65      600522 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
      66      600459 :   l = lp = realprec(x);
      67      600459 :   if (absrnz_equal1(x)) { /* |x| = 1 */
      68        3695 :     y = Pi2n(-2, l+EXTRAPRECWORD); if (sx < 0) setsigne(y,-1);
      69        3695 :     return y;
      70             :   }
      71      596764 :   if (l > AGM_ATAN_LIMIT)
      72         175 :   { av = avma; return gerepileuptoleaf(av, atan2_agm(gen_1, x, l)); }
      73             : 
      74      596589 :   e = expo(x); inv = (e >= 0); /* = (|x| > 1 ) */
      75      596589 :   if (e > 0) lp += nbits2extraprec(e);
      76             : 
      77      596589 :   y = cgetr(lp); av0 = avma;
      78      596589 :   p1 = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD); setabssign(p1); /* p1 = |x| */
      79      596589 :   if (inv) p1 = invr(p1);
      80      596589 :   e = expo(p1);
      81      596589 :   if (e < -100)
      82        7154 :     alpha = 1.65149612947 - e; /* log_2(Pi) - e */
      83             :   else
      84      589435 :     alpha = log2(M_PI / atan(rtodbl(p1)));
      85      596589 :   beta = (double)(prec2nbits(l)>>1);
      86      596589 :   delta = 1 + beta - alpha/2;
      87      596589 :   if (delta <= 0) { n = 1; m = 0; }
      88             :   else
      89             :   {
      90      591969 :     double fi = alpha-2;
      91      591969 :     if (delta >= fi*fi)
      92             :     {
      93      534593 :       double t = 1 + sqrt(delta);
      94      534593 :       n = (long)t;
      95      534593 :       m = (long)(t - fi);
      96             :     }
      97             :     else
      98             :     {
      99       57376 :       n = (long)(1+beta/fi);
     100       57376 :       m = 0;
     101             :     }
     102             :   }
     103      596589 :   l2 = l + nbits2extraprec(m);
     104      596589 :   p2 = rtor(p1, l2); av = avma;
     105     5400344 :   for (i=1; i<=m; i++)
     106             :   {
     107     4803755 :     p5 = addsr(1, sqrr(p2)); setprec(p5,l2);
     108     4803755 :     p5 = addsr(1, sqrtr_abs(p5)); setprec(p5,l2);
     109     4803755 :     affrr(divrr(p2,p5), p2); set_avma(av);
     110             :   }
     111      596589 :   p3 = sqrr(p2); l1 = minss(LOWDEFAULTPREC+EXTRAPRECWORD, l2); /* l1 increases to l2 */;
     112      596589 :   unr = real_1(l2); setprec(unr,l1);
     113      596589 :   p4 = cgetr(l2); setprec(p4,l1);
     114      596589 :   affrr(divru(unr,2*n+1), p4);
     115      596589 :   s = 0; e = expo(p3); av = avma;
     116     6270908 :   for (i = n; i > 1; i--) /* n >= 1. i = 1 done outside for efficiency */
     117             :   {
     118     5674319 :     setprec(p3,l1); p5 = mulrr(p4,p3);
     119     5674319 :     l1 += dvmdsBIL(s - e, &s); if (l1 > l2) l1 = l2;
     120     5674319 :     setprec(unr,l1); p5 = subrr(divru(unr,2*i-1), p5);
     121     5674319 :     setprec(p4,l1); affrr(p5,p4); set_avma(av);
     122             :   }
     123      596589 :   setprec(p3, l2); p5 = mulrr(p4,p3); /* i = 1 */
     124      596589 :   setprec(unr,l2); p4 = subrr(unr, p5);
     125             : 
     126      596589 :   p4 = mulrr(p2,p4); shiftr_inplace(p4, m);
     127      596589 :   if (inv) p4 = subrr(Pi2n(-1, lp), p4);
     128      596589 :   if (sx < 0) togglesign(p4);
     129      596589 :   affrr_fixlg(p4,y); set_avma(av0); return y;
     130             : }
     131             : 
     132             : GEN
     133       19374 : gatan(GEN x, long prec)
     134             : {
     135             :   pari_sp av;
     136             :   GEN a, y;
     137             : 
     138       19374 :   switch(typ(x))
     139             :   {
     140       11114 :     case t_REAL: return mpatan(x);
     141             :     case t_COMPLEX: /* atan(x) = -i atanh(ix) */
     142        7672 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gatan(gel(x,1), prec);
     143        7441 :       av = avma; return gerepilecopy(av, mulcxmI(gatanh(mulcxI(x),prec)));
     144             :     default:
     145         588 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     146          28 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("atan","valuation", "<", gen_0, x);
     147          21 :       if (lg(y)==2) return gerepilecopy(av, y);
     148             :       /* lg(y) > 2 */
     149          14 :       a = integser(gdiv(derivser(y), gaddsg(1,gsqr(y))));
     150          14 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gatan(gel(y,2),prec));
     151          14 :       return gerepileupto(av, a);
     152             :   }
     153         560 :   return trans_eval("atan",gatan,x,prec);
     154             : }
     155             : /********************************************************************/
     156             : /**                                                                **/
     157             : /**                             ARCSINE                            **/
     158             : /**                                                                **/
     159             : /********************************************************************/
     160             : /* |x| < 1, x != 0 */
     161             : static GEN
     162          98 : mpasin(GEN x) {
     163          98 :   pari_sp av = avma;
     164          98 :   GEN z, a = sqrtr(subsr(1, sqrr(x)));
     165          98 :   if (realprec(x) > AGM_ATAN_LIMIT)
     166           7 :     z = atan2_agm(a, x, realprec(x));
     167             :   else
     168          91 :     z = mpatan(divrr(x, a));
     169          98 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     170             : }
     171             : 
     172             : static GEN mpacosh(GEN x);
     173             : GEN
     174        8183 : gasin(GEN x, long prec)
     175             : {
     176             :   long sx;
     177             :   pari_sp av;
     178             :   GEN a, y, p1;
     179             : 
     180        8183 :   switch(typ(x))
     181             :   {
     182         483 :     case t_REAL: sx = signe(x);
     183         483 :       if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
     184         476 :       if (absrnz_equal1(x)) { /* |x| = 1 */
     185          28 :         if (sx > 0) return Pi2n(-1, realprec(x)); /* 1 */
     186          14 :         y = Pi2n(-1, realprec(x)); setsigne(y, -1); return y; /* -1 */
     187             :       }
     188         448 :       if (expo(x) < 0) return mpasin(x);
     189         350 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
     190         350 :       gel(y,1) = Pi2n(-1, realprec(x));
     191         350 :       gel(y,2) = mpacosh(x);
     192         350 :       if (sx < 0) togglesign(gel(y,1)); else togglesign(gel(y,2));
     193         350 :       return y;
     194             : 
     195             :     case t_COMPLEX: /* asin(z) = -i asinh(iz) */
     196        7637 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gasin(gel(x,1), prec);
     197        7406 :       av = avma;
     198        7406 :       return gerepilecopy(av, mulcxmI(gasinh(mulcxI(x), prec)));
     199             :     default:
     200          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     201          42 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     202             :       /* lg(y) > 2*/
     203          35 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("asin","valuation", "<", gen_0, x);
     204          28 :       p1 = gsubsg(1,gsqr(y));
     205          28 :       if (gequal0(p1))
     206             :       {
     207          21 :         GEN t = Pi2n(-1,prec);
     208          21 :         if (gsigne(gel(y,2)) < 0) setsigne(t, -1);
     209          21 :         return gerepileupto(av, scalarser(t, varn(y), valp(p1)>>1));
     210             :       }
     211           7 :       p1 = gdiv(derivser(y), gsqrt(p1,prec));
     212           7 :       a = integser(p1);
     213           7 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gasin(gel(y,2),prec));
     214           7 :       return gerepileupto(av, a);
     215             :   }
     216          21 :   return trans_eval("asin",gasin,x,prec);
     217             : }
     218             : /********************************************************************/
     219             : /**                                                                **/
     220             : /**                             ARCCOSINE                          **/
     221             : /**                                                                **/
     222             : /********************************************************************/
     223             : static GEN
     224          14 : acos0(long e) { return Pi2n(-1, nbits2prec(e<0? -e: 1)); }
     225             : 
     226             : /* |x| < 1, x != 0 */
     227             : static GEN
     228         105 : mpacos(GEN x)
     229             : {
     230         105 :   pari_sp av = avma;
     231         105 :   GEN z, a = sqrtr(subsr(1, sqrr(x)));
     232         105 :   if (realprec(x) > AGM_ATAN_LIMIT)
     233          14 :     z = atan2_agm(x, a, realprec(x));
     234             :   else
     235             :   {
     236          91 :     z = mpatan(divrr(a, x));
     237          91 :     if (signe(x) < 0) z = addrr(mppi(realprec(z)), z);
     238             :   }
     239         105 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     240             : }
     241             : 
     242             : GEN
     243        7938 : gacos(GEN x, long prec)
     244             : {
     245             :   long sx;
     246             :   pari_sp av;
     247             :   GEN a, y, p1;
     248             : 
     249        7938 :   switch(typ(x))
     250             :   {
     251         252 :     case t_REAL: sx = signe(x);
     252         252 :       if (!sx) return acos0(expo(x));
     253         245 :       if (absrnz_equal1(x)) /* |x| = 1 */
     254          14 :         return sx > 0? real_0_bit( -(bit_prec(x)>>1) ) : mppi(realprec(x));
     255         231 :       if (expo(x) < 0) return mpacos(x);
     256             : 
     257         175 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); p1 = mpacosh(x);
     258         175 :       if (sx < 0) { gel(y,1) = mppi(realprec(x)); togglesign(p1); }
     259          91 :       else gel(y,1) = gen_0;
     260         175 :       gel(y,2) = p1; return y;
     261             : 
     262             :     case t_COMPLEX:
     263        7637 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gacos(gel(x,1), prec);
     264        7406 :       av = avma;
     265        7406 :       p1 = gadd(x, mulcxI(gsqrt(gsubsg(1,gsqr(x)), prec)));
     266        7406 :       y = glog(p1,prec); /* log(x + I*sqrt(1-x^2)) */
     267        7406 :       return gerepilecopy(av, mulcxmI(y));
     268             :     default:
     269          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     270          35 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("acos","valuation", "<", gen_0, x);
     271          28 :       if (lg(y) > 2)
     272             :       {
     273          21 :         p1 = gsubsg(1,gsqr(y));
     274          21 :         if (gequal0(p1)) { set_avma(av); return zeroser(varn(y), valp(p1)>>1); }
     275           7 :         p1 = integser(gdiv(gneg(derivser(y)), gsqrt(p1,prec)));
     276             :         /*y(t) = 1+O(t)*/
     277           7 :         if (gequal1(gel(y,2)) && !valp(y)) return gerepileupto(av, p1);
     278             :       }
     279           7 :       else p1 = y;
     280          14 :       a = (lg(y)==2 || valp(y))? Pi2n(-1, prec): gacos(gel(y,2),prec);
     281          14 :       return gerepileupto(av, gadd(a,p1));
     282             :   }
     283          14 :   return trans_eval("acos",gacos,x,prec);
     284             : }
     285             : /********************************************************************/
     286             : /**                                                                **/
     287             : /**                            ARGUMENT                            **/
     288             : /**                                                                **/
     289             : /********************************************************************/
     290             : 
     291             : /* we know that x and y are not both 0 */
     292             : static GEN
     293      589352 : mparg(GEN x, GEN y)
     294             : {
     295      589352 :   long prec, sx = signe(x), sy = signe(y);
     296             :   GEN z;
     297             : 
     298      589352 :   if (!sy)
     299             :   {
     300         112 :     if (sx > 0) return real_0_bit(expo(y) - expo(x));
     301          49 :     return mppi(realprec(x));
     302             :   }
     303      589240 :   prec = realprec(y); if (prec < realprec(x)) prec = realprec(x);
     304      589240 :   if (!sx)
     305             :   {
     306          14 :     z = Pi2n(-1, prec); if (sy < 0) setsigne(z,-1);
     307          14 :     return z;
     308             :   }
     309             : 
     310      589226 :   if (expo(x)-expo(y) > -2)
     311             :   {
     312      532049 :     z = mpatan(divrr(y,x)); if (sx > 0) return z;
     313      104814 :     return addrr_sign(z, signe(z), mppi(prec), sy);
     314             :   }
     315       57177 :   z = mpatan(divrr(x,y));
     316       57177 :   return addrr_sign(z, -signe(z), Pi2n(-1, prec), sy);
     317             : }
     318             : 
     319             : static GEN
     320     1178704 : rfix(GEN x,long prec)
     321             : {
     322     1178704 :   switch(typ(x))
     323             :   {
     324        2831 :     case t_INT: return itor(x, prec);
     325        5607 :     case t_FRAC: return fractor(x, prec);
     326     1170266 :     case t_REAL: break;
     327           0 :     default: pari_err_TYPE("rfix (conversion to t_REAL)",x);
     328             :   }
     329     1170266 :   return x;
     330             : }
     331             : 
     332             : static GEN
     333      589352 : cxarg(GEN x, GEN y, long prec)
     334             : {
     335      589352 :   pari_sp av = avma;
     336      589352 :   x = rfix(x,prec);
     337      589352 :   y = rfix(y,prec); return gerepileuptoleaf(av, mparg(x,y));
     338             : }
     339             : 
     340             : GEN
     341      590493 : garg(GEN x, long prec)
     342             : {
     343             :   long l;
     344      590493 :   if (gequal0(x)) pari_err_DOMAIN("arg", "argument", "=", gen_0, x);
     345      590493 :   switch(typ(x))
     346             :   {
     347        1141 :     case t_REAL: prec = realprec(x); /* fall through */
     348        1141 :     case t_INT: case t_FRAC: return (gsigne(x)>0)? real_0(prec): mppi(prec);
     349             :     case t_COMPLEX:
     350      589352 :       l = precision(x); if (l) prec = l;
     351      589352 :       return cxarg(gel(x,1),gel(x,2),prec);
     352             :   }
     353           0 :   return trans_eval("arg",garg,x,prec);
     354             : }
     355             : 
     356             : /********************************************************************/
     357             : /**                                                                **/
     358             : /**                      HYPERBOLIC COSINE                         **/
     359             : /**                                                                **/
     360             : /********************************************************************/
     361             : /* 1 + x */
     362             : static GEN
     363           7 : mpcosh0(long e) { return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e); }
     364             : static GEN
     365        3584 : mpcosh(GEN x)
     366             : {
     367             :   pari_sp av;
     368             :   GEN z;
     369             : 
     370        3584 :   if (!signe(x)) return mpcosh0(expo(x));
     371        3577 :   av = avma;
     372        3577 :   z = mpexp(x); z = addrr(z, invr(z)); shiftr_inplace(z, -1);
     373        3577 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     374             : }
     375             : 
     376             : GEN
     377        3668 : gcosh(GEN x, long prec)
     378             : {
     379             :   pari_sp av;
     380             :   GEN y, p1;
     381             : 
     382        3668 :   switch(typ(x))
     383             :   {
     384        3584 :     case t_REAL: return mpcosh(x);
     385             :     case t_COMPLEX:
     386          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcos(gel(x,2),prec);
     387             :       /* fall through */
     388             :     case t_PADIC:
     389          21 :       av = avma; p1 = gexp(x,prec); p1 = gadd(p1, ginv(p1));
     390          21 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     391             :     default:
     392          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     393          28 :       if (gequal0(y) && valp(y) == 0) return gerepilecopy(av, y);
     394          28 :       p1 = gexp(y,prec); p1 = gadd(p1, ginv(p1));
     395          28 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     396             :   }
     397          21 :   return trans_eval("cosh",gcosh,x,prec);
     398             : }
     399             : /********************************************************************/
     400             : /**                                                                **/
     401             : /**                       HYPERBOLIC SINE                          **/
     402             : /**                                                                **/
     403             : /********************************************************************/
     404             : static GEN
     405           0 : mpsinh0(long e) { return real_0_bit(e); }
     406             : static GEN
     407       15365 : mpsinh(GEN x)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410       15365 :   long ex = expo(x), lx;
     411             :   GEN z, res;
     412             : 
     413       15365 :   if (!signe(x)) return mpsinh0(ex);
     414       15365 :   lx = realprec(x); res = cgetr(lx); av = avma;
     415       15365 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG)
     416             :   { /* y = e^x-1; e^x - e^(-x) = y(1 + 1/(y+1)) */
     417           7 :     GEN y = mpexpm1(x);
     418           7 :     z = addrs(y,1); if (realprec(z) > lx+1) z = rtor(z,lx+1); /* e^x */
     419           7 :     z = mulrr(y, addsr(1,invr(z)));
     420             :   }
     421             :   else
     422             :   {
     423       15358 :     z = mpexp(x);
     424       15358 :     z = subrr(z, invr(z));
     425             :   }
     426       15365 :   shiftr_inplace(z, -1);
     427       15365 :   affrr(z, res); set_avma(av); return res;
     428             : }
     429             : 
     430             : void
     431       15757 : mpsinhcosh(GEN x, GEN *s, GEN *c)
     432             : {
     433             :   pari_sp av;
     434       15757 :   long lx, ex = expo(x);
     435             :   GEN z, zi, S, C;
     436       15757 :   if (!signe(x))
     437             :   {
     438           0 :     *c = mpcosh0(ex);
     439           0 :     *s = mpsinh0(ex); return;
     440             :   }
     441       15757 :   lx = realprec(x);
     442       15757 :   *c = cgetr(lx);
     443       15757 :   *s = cgetr(lx); av = avma;
     444       15757 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG)
     445             :   { /* y = e^x-1; e^x - e^(-x) = y(1 + 1/(y+1)) */
     446           7 :     GEN y = mpexpm1(x);
     447           7 :     z = addrs(y,1); if (realprec(z) > lx+1) z = rtor(z,lx+1); /* e^x */
     448           7 :     zi = invr(z); /* z = exp(x), zi = exp(-x) */
     449           7 :     S = mulrr(y, addsr(1,zi));
     450             :   }
     451             :   else
     452             :   {
     453       15750 :     z = mpexp(x);
     454       15750 :     zi = invr(z);
     455       15750 :     S = subrr(z, zi);
     456             :   }
     457       15757 :   C = addrr(z, zi);
     458       15757 :   shiftr_inplace(S, -1); affrr(S, *s);
     459       15757 :   shiftr_inplace(C, -1); affrr(C, *c); set_avma(av);
     460             : }
     461             : 
     462             : GEN
     463       17318 : gsinh(GEN x, long prec)
     464             : {
     465             :   pari_sp av;
     466             :   GEN y, p1;
     467             : 
     468       17318 :   switch(typ(x))
     469             :   {
     470       15365 :     case t_REAL: return mpsinh(x);
     471             :     case t_COMPLEX:
     472          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gsin(gel(x,2),prec));
     473             :       /* fall through */
     474             :     case t_PADIC:
     475          14 :       av = avma; p1 = gexp(x,prec); p1 = gsub(p1, ginv(p1));
     476          14 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     477             :     default:
     478        1925 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     479        1897 :       if (gequal0(y) && valp(y) == 0) return gerepilecopy(av, y);
     480        1897 :       p1 = gexp(y, prec); p1 = gsub(p1, ginv(p1));
     481        1897 :       return gerepileupto(av, gmul2n(p1,-1));
     482             :   }
     483          28 :   return trans_eval("sinh",gsinh,x,prec);
     484             : }
     485             : /********************************************************************/
     486             : /**                                                                **/
     487             : /**                      HYPERBOLIC TANGENT                        **/
     488             : /**                                                                **/
     489             : /********************************************************************/
     490             : 
     491             : static GEN
     492       77056 : mptanh(GEN x)
     493             : {
     494       77056 :   long lx, s = signe(x);
     495             :   GEN y;
     496             : 
     497       77056 :   if (!s) return real_0_bit(expo(x));
     498       77056 :   lx = realprec(x);
     499       77056 :   if (abscmprr(x, utor(prec2nbits(lx), LOWDEFAULTPREC)) >= 0) {
     500       24840 :     y = real_1(lx);
     501             :   } else {
     502       52216 :     pari_sp av = avma;
     503       52216 :     long ex = expo(x);
     504             :     GEN t;
     505       52216 :     if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     506       52216 :     t = exp1r_abs(gmul2n(x,1)); /* exp(|2x|) - 1 */
     507       52216 :     y = gerepileuptoleaf(av, divrr(t, addsr(2,t)));
     508             :   }
     509       77056 :   if (s < 0) togglesign(y); /* tanh is odd */
     510       77056 :   return y;
     511             : }
     512             : 
     513             : GEN
     514       77161 : gtanh(GEN x, long prec)
     515             : {
     516             :   pari_sp av;
     517             :   GEN y, t;
     518             : 
     519       77161 :   switch(typ(x))
     520             :   {
     521       77056 :     case t_REAL: return mptanh(x);
     522             :     case t_COMPLEX:
     523          35 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gtan(gel(x,2),prec));
     524             :       /* fall through */
     525             :     case t_PADIC:
     526          28 :       av = avma;
     527          28 :       t = gexp(gmul2n(x,1),prec);
     528          28 :       t = gdivsg(-2, gaddgs(t,1));
     529          28 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1,t));
     530             :     default:
     531          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     532          28 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     533          14 :       t = gexp(gmul2n(y, 1),prec);
     534          14 :       t = gdivsg(-2, gaddgs(t,1));
     535          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1,t));
     536             :   }
     537          35 :   return trans_eval("tanh",gtanh,x,prec);
     538             : }
     539             : 
     540             : static GEN
     541           7 : mpcotanh(GEN x)
     542             : {
     543           7 :   long lx, s = signe(x);
     544             :   GEN y;
     545             : 
     546           7 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, x);
     547             : 
     548           7 :   lx = realprec(x);
     549           7 :   if (abscmprr(x, utor(prec2nbits(lx), LOWDEFAULTPREC)) >= 0) {
     550           0 :     y = real_1(lx);
     551             :   } else {
     552           7 :     pari_sp av = avma;
     553           7 :     long ex = expo(x);
     554             :     GEN t;
     555           7 :     if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     556           7 :     t = exp1r_abs(gmul2n(x,1)); /* exp(|2x|) - 1 */
     557           7 :     y = gerepileuptoleaf(av, divrr(addsr(2,t), t));
     558             :   }
     559           7 :   if (s < 0) togglesign(y); /* cotanh is odd */
     560           7 :   return y;
     561             : }
     562             : 
     563             : GEN
     564          63 : gcotanh(GEN x, long prec)
     565             : {
     566             :   pari_sp av;
     567             :   GEN y, t;
     568             : 
     569          63 :   switch(typ(x))
     570             :   {
     571           7 :     case t_REAL: return mpcotanh(x);
     572             :     case t_COMPLEX:
     573          14 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0, gcotan(gel(x,2),prec));
     574             :       /* fall through */
     575             :     case t_PADIC:
     576          14 :       av = avma;
     577          14 :       t = gexpm1(gmul2n(x,1),prec);
     578          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1, gdivsg(2,t)));
     579             :     default:
     580          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     581          28 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     582          14 :       t = gexpm1(gmul2n(y,1),prec);
     583          14 :       return gerepileupto(av, gaddsg(1, gdivsg(2,t)));
     584             :   }
     585           7 :   return trans_eval("cotanh",gcotanh,x,prec);
     586             : }
     587             : 
     588             : /********************************************************************/
     589             : /**                                                                **/
     590             : /**                     AREA HYPERBOLIC SINE                       **/
     591             : /**                                                                **/
     592             : /********************************************************************/
     593             : 
     594             : /* x != 0 */
     595             : static GEN
     596         483 : mpasinh(GEN x)
     597             : {
     598             :   GEN z, res;
     599             :   pari_sp av;
     600         483 :   long lx = realprec(x), ex = expo(x);
     601             : 
     602         483 :   res = cgetr(lx); av = avma;
     603         483 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, lx + nbits2extraprec(-ex)-1);
     604         483 :   z = logr_abs( addrr_sign(x,1, sqrtr_abs( addrs(sqrr(x), 1) ), 1) );
     605         483 :   if (signe(x) < 0) togglesign(z);
     606         483 :   affrr(z, res); set_avma(av); return res;
     607             : }
     608             : 
     609             : GEN
     610       15722 : gasinh(GEN x, long prec)
     611             : {
     612             :   pari_sp av;
     613             :   GEN a, y, p1;
     614             : 
     615       15722 :   switch(typ(x))
     616             :   {
     617             :     case t_REAL:
     618         490 :       if (!signe(x)) return rcopy(x);
     619         483 :       return mpasinh(x);
     620             : 
     621             :     case t_COMPLEX: {
     622             :       GEN a, b, d;
     623       15043 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gasinh(gel(x,1), prec);
     624       14588 :       av = avma;
     625       14588 :       if (ismpzero(gel(x,1))) /* avoid cancellation */
     626         231 :         return gerepilecopy(av, mulcxI(gasin(gel(x,2), prec)));
     627       14357 :       d = gsqrt(gaddsg(1,gsqr(x)), prec); /* Re(d) >= 0 */
     628       14357 :       a = gadd(d, x);
     629       14357 :       b = gsub(d, x);
     630             :       /* avoid cancellation as much as possible */
     631       14357 :       if (gprecision(a) < gprecision(b))
     632           7 :         y = gneg(glog(b,prec));
     633             :       else
     634       14350 :         y = glog(a,prec);
     635       14357 :       return gerepileupto(av, y); /* log (x + sqrt(1+x^2)) */
     636             :     }
     637             :     default:
     638         189 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     639         161 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
     640         154 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("asinh","valuation", "<", gen_0, x);
     641         147 :       p1 = gaddsg(1,gsqr(y));
     642         147 :       if (gequal0(p1))
     643             :       {
     644          14 :         GEN t = PiI2n(-1,prec);
     645          14 :         if ( gsigne(imag_i(gel(y,2))) < 0 ) setsigne(gel(t,2), -1);
     646          14 :         return gerepileupto(av, scalarser(t, varn(y), valp(p1)>>1));
     647             :       }
     648         133 :       p1 = gdiv(derivser(y), gsqrt(p1,prec));
     649         133 :       a = integser(p1);
     650         133 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gasinh(gel(y,2),prec));
     651         133 :       return gerepileupto(av, a);
     652             :   }
     653          28 :   return trans_eval("asinh",gasinh,x,prec);
     654             : }
     655             : /********************************************************************/
     656             : /**                                                                **/
     657             : /**                     AREA HYPERBOLIC COSINE                     **/
     658             : /**                                                                **/
     659             : /********************************************************************/
     660             : 
     661             : /* |x| >= 1, return ach(|x|) */
     662             : static GEN
     663         728 : mpacosh(GEN x)
     664             : {
     665         728 :   pari_sp av = avma;
     666             :   GEN z;
     667         728 :   if (absrnz_equal1(x)) return real_0_bit(- bit_prec(x) >> 1);
     668         721 :   z = logr_abs( addrr_sign(x, 1, sqrtr( subrs(sqrr(x), 1) ), 1) );
     669         721 :   return gerepileuptoleaf(av, z);
     670             : }
     671             : 
     672             : GEN
     673        7987 : gacosh(GEN x, long prec)
     674             : {
     675             :   pari_sp av;
     676             :   GEN y;
     677             : 
     678        7987 :   switch(typ(x))
     679             :   {
     680             :     case t_REAL: {
     681         266 :       long s = signe(x), e = expo(x);
     682             :       GEN a, b;
     683         266 :       if (s > 0 && e >= 0) return mpacosh(x);
     684             :       /* x < 1 */
     685         147 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); a = gen_0;
     686         147 :       if (s == 0) b = acos0(e);
     687         140 :       else if (e < 0) b = mpacos(x); /* -1 < x < 1 */
     688             :       else {
     689          91 :         if (!absrnz_equal1(x)) a = mpacosh(x);
     690          91 :         b = mppi(realprec(x));
     691             :       }
     692         147 :       gel(y,1) = a;
     693         147 :       gel(y,2) = b; return y;
     694             :     }
     695             :     case t_COMPLEX: {
     696             :       GEN a, b, d;
     697        7644 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gacosh(gel(x,1), prec);
     698        7413 :       av = avma;
     699        7413 :       d = gsqrt(gaddsg(-1,gsqr(x)), prec); /* Re(d) >= 0 */
     700        7413 :       a = gadd(x, d);
     701        7413 :       b = gsub(x, d);
     702             :       /* avoid cancellation as much as possible */
     703        7413 :       if (gprecision(a) < gprecision(b))
     704          14 :         y = glog(b,prec);
     705             :       else
     706        7399 :         y = glog(a,prec);
     707             :       /* y = \pm log(x + sqrt(x^2-1)) */
     708        7413 :       if (gsigne(real_i(y)) < 0) y = gneg(y);
     709        7413 :       return gerepileupto(av, y);
     710             :     }
     711             :     default: {
     712             :       GEN a, d;
     713             :       long v;
     714          77 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     715          49 :       v = valp(y);
     716          49 :       if (v < 0) pari_err_DOMAIN("acosh","valuation", "<", gen_0, x);
     717          42 :       if (gequal0(y))
     718             :       {
     719           7 :         if (!v) return gerepilecopy(av, y);
     720           7 :         return gerepileupto(av, gadd(y, PiI2n(-1, prec)));
     721             :       }
     722          35 :       d = gsubgs(gsqr(y),1);
     723          35 :       if (gequal0(d)) { set_avma(av); return zeroser(varn(y), valp(d)>>1); }
     724          21 :       d = gdiv(derivser(y), gsqrt(d,prec));
     725          21 :       a = integser(d);
     726          21 :       if (v)
     727           7 :         d = PiI2n(-1, prec); /* I Pi/2 */
     728             :       else
     729             :       {
     730          14 :         d = gel(y,2); if (gequal1(d)) return gerepileupto(av,a);
     731           7 :         d = gacosh(d, prec);
     732             :       }
     733          14 :       return gerepileupto(av, gadd(d,a));
     734             :     }
     735             :   }
     736          28 :   return trans_eval("acosh",gacosh,x,prec);
     737             : }
     738             : /********************************************************************/
     739             : /**                                                                **/
     740             : /**                     AREA HYPERBOLIC TANGENT                    **/
     741             : /**                                                                **/
     742             : /********************************************************************/
     743             : 
     744             : /* |x| < 1, x != 0 */
     745             : static GEN
     746          98 : mpatanh(GEN x)
     747             : {
     748          98 :   pari_sp av = avma;
     749          98 :   long ex = expo(x);
     750             :   GEN z;
     751          98 :   if (ex < 1 - BITS_IN_LONG) x = rtor(x, realprec(x) + nbits2extraprec(-ex)-1);
     752          98 :   z = invr( subsr(1,x) ); shiftr_inplace(z, 1); /* 2/(1-x)*/
     753          98 :   z = logr_abs( addrs(z,-1) );
     754          98 :   shiftr_inplace(z, -1); return gerepileuptoleaf(av, z);
     755             : }
     756             : 
     757             : GEN
     758       15603 : gatanh(GEN x, long prec)
     759             : {
     760             :   long sx;
     761             :   pari_sp av;
     762             :   GEN a, y, z;
     763             : 
     764       15603 :   switch(typ(x))
     765             :   {
     766             :     case t_REAL:
     767         483 :       sx = signe(x);
     768         483 :       if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
     769         476 :       if (expo(x) < 0) return mpatanh(x);
     770             : 
     771         378 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
     772         378 :       av = avma;
     773         378 :       z = subrs(x,1);
     774         378 :       if (!signe(z)) pari_err_DOMAIN("atanh", "argument", "=", gen_1, x);
     775         364 :       z = invr(z); shiftr_inplace(z, 1); /* 2/(x-1)*/
     776         364 :       z = addrs(z,1);
     777         364 :       if (!signe(z)) pari_err_DOMAIN("atanh", "argument", "=", gen_m1, x);
     778         350 :       z = logr_abs(z);
     779         350 :       shiftr_inplace(z, -1); /* (1/2)log((1+x)/(x-1)) */
     780         350 :       gel(y,1) = gerepileuptoleaf(av, z);
     781         350 :       gel(y,2) = Pi2n(-1, realprec(x));
     782         350 :       if (sx > 0) togglesign(gel(y,2));
     783         350 :       return y;
     784             : 
     785             :     case t_COMPLEX: /* 2/(1-z) - 1 = (1+z) / (1-z) */
     786       15071 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return gatanh(gel(x,1), prec);
     787       14616 :       av = avma; z = glog( gaddgs(gdivsg(2,gsubsg(1,x)),-1), prec );
     788       14616 :       return gerepileupto(av, gmul2n(z,-1));
     789             : 
     790             :     default:
     791          49 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
     792          28 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("atanh","valuation", "<", gen_0, x);
     793          21 :       z = gdiv(derivser(y), gsubsg(1,gsqr(y)));
     794          14 :       a = integser(z);
     795          14 :       if (!valp(y)) a = gadd(a, gatanh(gel(y,2),prec));
     796          14 :       return gerepileupto(av, a);
     797             :   }
     798          21 :   return trans_eval("atanh",gatanh,x,prec);
     799             : }
     800             : /********************************************************************/
     801             : /**                                                                **/
     802             : /**                         EULER'S GAMMA                          **/
     803             : /**                                                                **/
     804             : /********************************************************************/
     805             : /* 0 < a < b */
     806             : static GEN
     807       22938 : mulu_interval_step_i(ulong a, ulong b, ulong step)
     808             : {
     809             :   ulong k, l, N, n;
     810             :   long lx;
     811             :   GEN x;
     812             : 
     813       22938 :   n = 1 + (b-a) / step;
     814       22938 :   b -= (b-a) % step;
     815             :   /* step | b-a */
     816       22938 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
     817       22938 :   N = b + a;
     818      123602 :   for (k = a;; k += step)
     819             :   {
     820      224266 :     l = N - k; if (l <= k) break;
     821      100664 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
     822             :   }
     823       22938 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
     824       22938 :   setlg(x, lx); return x;
     825             : }
     826             : static GEN
     827       97974 : _mul(void *data, GEN x, GEN y)
     828             : {
     829       97974 :   long prec = (long)data;
     830             :   /* switch to t_REAL ? */
     831       97974 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) > prec) x = itor(x, prec);
     832       97974 :   if (typ(y) == t_INT && lgefint(y) > prec) y = itor(y, prec);
     833       97974 :   return mpmul(x, y);
     834             : }
     835             : static GEN
     836       22938 : mulu_interval_step_prec(long l, long m, long s, long prec)
     837             : {
     838       22938 :   GEN v = mulu_interval_step_i(l, m, s);
     839       22938 :   return gen_product(v, (void*)prec, &_mul);
     840             : }
     841             : 
     842             : /* x * (i*(i+1)) */
     843             : static GEN
     844     8433278 : muliunu(GEN x, ulong i)
     845             : {
     846     8433278 :   if (i & HIGHMASK) /* i(i+1) >= 2^BITS_IN_LONG*/
     847           0 :     return muliu(muliu(x, i), i+1);
     848             :   else
     849     8433278 :     return muliu(x, i*(i+1));
     850             : }
     851             : /* x / (i*(i+1)) */
     852             : GEN
     853    22316807 : divrunu(GEN x, ulong i)
     854             : {
     855    22316807 :   if (i & HIGHMASK) /* i(i+1) >= 2^BITS_IN_LONG*/
     856           0 :     return divru(divru(x, i), i+1);
     857             :   else
     858    22316807 :     return divru(x, i*(i+1));
     859             : }
     860             : /* x / (i*(i+1)) */
     861             : GEN
     862      663030 : divgunu(GEN x, ulong i)
     863             : {
     864             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     865      568566 :   if (i < 3037000500L) /* i(i+1) < 2^63 */
     866             : #else
     867       94464 :   if (i < 46341L) /* i(i+1) < 2^31 */
     868             : #endif
     869      663030 :     return gdivgs(x, i*(i+1));
     870             :   else
     871           0 :     return gdivgs(gdivgs(x, i), i+1);
     872             : }
     873             : 
     874             : /* arg(s+it) */
     875             : double
     876      255304 : darg(double s, double t)
     877             : {
     878             :   double x;
     879      255304 :   if (!t) return (s>0)? 0.: M_PI;
     880      203532 :   if (!s) return (t>0)? M_PI/2: -M_PI/2;
     881      203525 :   x = atan(t/s);
     882             :   return (s>0)? x
     883      203525 :               : ((t>0)? x+M_PI : x-M_PI);
     884             : }
     885             : 
     886             : void
     887      255304 : dcxlog(double s, double t, double *a, double *b)
     888             : {
     889      255304 :   *a = log(s*s + t*t) / 2; /* log |s| = Re(log(s)) */
     890      255304 :   *b = darg(s,t);          /* Im(log(s)) */
     891      255304 : }
     892             : 
     893             : double
     894       12838 : dabs(double s, double t) { return sqrt( s*s + t*t ); }
     895             : double
     896       25403 : dnorm(double s, double t) { return s*s + t*t; }
     897             : 
     898             : #if 0
     899             : /* x, z t_REAL. Compute unique x in ]-z,z] congruent to x mod 2z */
     900             : static GEN
     901             : red_mod_2z(GEN x, GEN z)
     902             : {
     903             :   GEN Z = gmul2n(z, 1), d = subrr(z, x);
     904             :   /* require little accuracy */
     905             :   if (!signe(d)) return x;
     906             :   setprec(d, nbits2prec(expo(d) - expo(Z)));
     907             :   return addrr(mulir(floorr(divrr(d, Z)), Z), x);
     908             : }
     909             : #endif
     910             : 
     911             : /* lngamma(1+z) = -Euler*z + sum_{i > 1} zeta(i)/i (-z)^i
     912             :  * at relative precision prec, |z| < 1 is small */
     913             : static GEN
     914        2279 : lngamma1(GEN z, long prec)
     915             : { /* sum_{i > l} |z|^(i-1) = |z|^l / (1-|z|) < 2^-B
     916             :    * for l > (B+1) / |log2(|z|)| */
     917        2279 :   long i, l = ceil((bit_accuracy(prec) + 1) / - dbllog2(z));
     918        2279 :   GEN zet, me = mpeuler(prec), s = gen_0;
     919        2279 :   setsigne(me, -1); /* -Euler */
     920        2279 :   if (l <= 1) return gmul(me, z);
     921        2104 :   zet = veczeta(gen_1, gen_2, l-1, prec); /* z[i] = zeta(i+1) */
     922       15924 :   for (i = l; i > 1; i--)
     923             :   {
     924       13820 :     GEN c = divru(gel(zet,i-1), i);
     925       13820 :     if (odd(i)) setsigne(c, -1);
     926       13820 :     s = gadd(gmul(s,z), c);
     927             :   }
     928        2104 :   return gmul(z, gadd(gmul(s,z), me));
     929             : }
     930             : /* B_i / (i(i-1)), i even. Sometimes NOT reduced (but gadd/gmul won't care)!*/
     931             : static GEN
     932     8433278 : bern_unu(long i)
     933     8433278 : { GEN B = bernfrac(i); return mkfrac(gel(B,1), muliunu(gel(B,2), i-1)); }
     934             : /* B_i / i, i even. Sometimes NOT reduced (but gadd/gmul won't care)!*/
     935             : static GEN
     936     1277694 : bern_u(long i)
     937     1277694 : { GEN B = bernfrac(i); return mkfrac(gel(B,1), muliu(gel(B,2), i)); }
     938             : /* sum_{i > 0} B_{2i}/(2i(2i-1)) * a^(i-1) */
     939             : static GEN
     940      227346 : lngamma_sum(GEN a, long N)
     941             : {
     942      227346 :   pari_sp av = avma;
     943      227346 :   GEN S = bern_unu(2*N);
     944             :   long i;
     945     8433278 :   for (i = 2*N-2; i > 0; i -= 2)
     946             :   {
     947     8205932 :     S = gadd(bern_unu(i), gmul(a,S));
     948     8205932 :     if (gc_needed(av,3))
     949             :     {
     950           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma: i = %ld", i);
     951           0 :       S = gerepileupto(av, S);
     952             :     }
     953             :   }
     954      227346 :   return S;
     955             : }
     956             : /* sum_{i > 0} B_{2i}/(2i) * a^i */
     957             : static GEN
     958       25410 : psi_sum(GEN a, long N)
     959             : {
     960       25410 :   pari_sp av = avma;
     961       25410 :   GEN S = bern_u(2*N);
     962             :   long i;
     963     1277694 :   for (i = 2*N-2; i > 0; i -= 2)
     964             :   {
     965     1252284 :     S = gadd(bern_u(i), gmul(a,S));
     966     1252284 :     if (gc_needed(av,3))
     967             :     {
     968           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"psi: i = %ld", i);
     969           0 :       S = gerepileupto(av, S);
     970             :     }
     971             :   }
     972       25410 :   return gmul(a,S);
     973             : }
     974             : static GEN
     975      230104 : cxgamma(GEN s0, int dolog, long prec)
     976             : {
     977             :   GEN s, a, y, res, sig, tau, p1, nnx, pi, pi2, sqrtpi2;
     978             :   long i, lim, N, esig, et;
     979             :   pari_sp av, av2;
     980      230104 :   int funeq = 0;
     981             :   pari_timer T;
     982             : 
     983      230104 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_start(&T);
     984      230104 :   s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
     985             : 
     986      230104 :   esig = expo(sig);
     987      230104 :   et = signe(tau)? expo(tau): 0;
     988      230104 :   if ((signe(sig) <= 0 || esig < -1) && et <= 16)
     989             :   { /* s <--> 1-s */
     990       30772 :     funeq = 1; s = gsubsg(1, s); sig = real_i(s);
     991             :   }
     992             : 
     993             :   /* find "optimal" parameters [lim, N] */
     994      230104 :   if (esig > 300 || et > 300)
     995          35 :   { /* |s| is HUGE ! Play safe and avoid inf / NaN */
     996             :     GEN S, iS, l2, la, u;
     997             :     double logla, l;
     998             : 
     999          35 :     S = gprec_w(s,LOWDEFAULTPREC);
    1000             :     /* l2 ~ |lngamma(s))|^2 */
    1001          35 :     l2 = gnorm(gmul(S, glog(S, LOWDEFAULTPREC)));
    1002          35 :     l = (prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - rtodbl(glog(l2,LOWDEFAULTPREC))/2) / 2.;
    1003          35 :     if (l < 0) l = 0.;
    1004             : 
    1005          35 :     iS = imag_i(S);
    1006          35 :     if (et > 0 && l > 0)
    1007          21 :     {
    1008          21 :       GEN t = gmul(iS, dbltor(M_PI / l)), logt = glog(t,LOWDEFAULTPREC);
    1009          21 :       la = gmul(t, logt);
    1010          21 :       if      (gcmpgs(la, 3) < 0)   { logla = log(3.); la = stoi(3); }
    1011          14 :       else if (gcmpgs(la, 150) > 0) { logla = rtodbl(logt); la = t; }
    1012           7 :       else logla = rtodbl(mplog(la));
    1013             :     }
    1014             :     else
    1015             :     {
    1016          14 :       logla = log(3.); la = stoi(3);
    1017             :     }
    1018          35 :     lim = (long)ceil(l / (1.+ logla));
    1019          35 :     if (lim == 0) lim = 1;
    1020             : 
    1021          35 :     u = gmul(la, dbltor((lim-0.5)/M_PI));
    1022          35 :     l2 = gsub(gsqr(u), gsqr(iS));
    1023          35 :     if (signe(l2) > 0)
    1024             :     {
    1025          14 :       l2 = gsub(gsqrt(l2,3), sig);
    1026          14 :       if (signe(l2) > 0) N = itos( gceil(l2) ); else N = 1;
    1027             :     }
    1028             :     else
    1029          21 :       N = 1;
    1030             :   }
    1031             :   else
    1032             :   { /* |s| is moderate. Use floats  */
    1033      230069 :     double ssig = rtodbl(sig);
    1034      230069 :     double st = typ(s) == t_REAL? 0.0: rtodbl(imag_i(s));
    1035             :     double la, l,l2,u,v, rlogs, ilogs;
    1036             : 
    1037      230069 :     if (fabs(ssig-1) + fabs(st) < 1e-16)
    1038             :     { /* s ~ 1: loggamma(1+u) ~ - Euler * u, cancellation */
    1039        2758 :       if (funeq) /* s0 ~ 0: use lngamma(s0)+log(s0) = lngamma(s0+1) */
    1040             :       {
    1041          28 :         if (dolog)
    1042           0 :           y = gsub(lngamma1(s0,prec), glog(s0,prec));
    1043             :         else
    1044          28 :           y = gdiv(gexp(lngamma1(s0,prec), prec), s0);
    1045             :       }
    1046             :       else
    1047             :       {
    1048        5488 :         if (isint1(s0)) { set_avma(av); return dolog? real_0(prec): real_1(prec); }
    1049        1026 :         y = lngamma1(gsubgs(s0,1),prec);
    1050        1026 :         if (!dolog) y = gexp(y,prec);
    1051             :       }
    1052        1054 :       set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
    1053             :     }
    1054      227311 :     dcxlog(ssig,st, &rlogs,&ilogs);
    1055             :     /* Re (s - 1/2) log(s) */
    1056      227311 :     u = (ssig - 0.5)*rlogs - st * ilogs;
    1057             :     /* Im (s - 1/2) log(s) */
    1058      227311 :     v = (ssig - 0.5)*ilogs + st * rlogs;
    1059             :     /* l2 = | (s - 1/2) log(s) - s + log(2Pi)/2 |^2 ~ |lngamma(s))|^2 */
    1060      227311 :     u = u - ssig + log(2.*M_PI)/2;
    1061      227311 :     v = v - st;
    1062      227311 :     l2 = u*u + v*v;
    1063      227311 :     if (l2 < 0.000001) l2 = 0.000001;
    1064      227311 :     l = (prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - log(l2)/2) / 2.;
    1065      227311 :     if (l < 0) l = 0.;
    1066             : 
    1067      227311 :     if (st > 1 && l > 0)
    1068       63840 :     {
    1069       63840 :       double t = st * M_PI / l;
    1070       63840 :       la = t * log(t);
    1071       63840 :       if (la < 4.) la = 4.;
    1072       63840 :       if (la > 150) la = t;
    1073             :     }
    1074             :     else
    1075      163471 :       la = 4.; /* heuristic */
    1076      227311 :     lim = (long)ceil(l / (1.+ log(la)));
    1077      227311 :     if (lim == 0) lim = 1;
    1078             : 
    1079      227311 :     u = (lim-0.5) * la / M_PI;
    1080      227311 :     l2 = u*u - st*st;
    1081      227311 :     if (l2 > 0)
    1082             :     {
    1083      217741 :       double t = ceil(sqrt(l2) - ssig);
    1084      217741 :       N = (t < 1)? 1: (long)t;
    1085      217741 :       if (N < 1) N = 1;
    1086             :     }
    1087             :     else
    1088        9570 :       N = 1;
    1089             :   }
    1090      227346 :   if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("lim, N: [%ld, %ld]\n",lim,N);
    1091      227346 :   incrprec(prec);
    1092             : 
    1093      227346 :   av2 = avma;
    1094      227346 :   y = s;
    1095      227346 :   if (typ(s0) == t_INT)
    1096             :   {
    1097        2143 :     ulong ss = itou_or_0(s0);
    1098        2143 :     if (signe(s0) <= 0)
    1099           0 :       pari_err_DOMAIN("gamma","argument", "=",
    1100             :                        strtoGENstr("non-positive integer"), s0);
    1101        2150 :     if (!ss || ss + (ulong)N < ss) {
    1102           7 :       for (i=1; i < N; i++)
    1103             :       {
    1104           0 :         y = mulri(y, addiu(s0, i));
    1105           0 :         if (gc_needed(av2,3))
    1106             :         {
    1107           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1108           0 :           y = gerepileuptoleaf(av2, y);
    1109             :         }
    1110             :       }
    1111             :     } else {
    1112       28932 :       for (i=1; i < N; i++)
    1113             :       {
    1114       26796 :         y = mulru(y, ss + i);
    1115       26796 :         if (gc_needed(av2,3))
    1116             :         {
    1117           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1118           0 :           y = gerepileuptoleaf(av2, y);
    1119             :         }
    1120             :       }
    1121             :     }
    1122        2143 :     if (dolog) y = logr_abs(y);
    1123             :   }
    1124             :   else
    1125             :   { /* Compute lngamma mod 2 I Pi */
    1126      225203 :     GEN sq = gsqr(s);
    1127      225203 :     pari_sp av3 = avma;
    1128     4728251 :     for (i = 1; i < N - 1; i += 2)
    1129             :     {
    1130     4503048 :       y = gmul(y, gaddsg(i*(i + 1), gadd(gmulsg(2*i + 1, s), sq)));
    1131     4503048 :       if (gc_needed(av2,3))
    1132             :       {
    1133           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gamma");
    1134           0 :         y = gerepileupto(av3, y);
    1135             :       }
    1136             :     }
    1137      225203 :     if (!odd(N)) y = gmul(y, gaddsg(N - 1, s));
    1138      225203 :     if (dolog)
    1139             :     {
    1140       25780 :       if (typ(s) == t_REAL) y = logr_abs(y);
    1141             :       else
    1142             :       { /* fix imaginary part */
    1143         273 :         long prec0 = LOWDEFAULTPREC;
    1144         273 :         GEN s0 = gprec_w(s, prec0), y0 = s0, k;
    1145         273 :         y0 = garg(y0, prec0); /* Im log(s) at low accuracy */
    1146         273 :         for (i=1; i < N; i++) y0 = gadd(y0, garg(gaddgs(s0,i), prec0));
    1147         273 :         y = glog(y, prec);
    1148         273 :         k = ground( gdiv(gsub(y0, imag_i(y)), Pi2n(1,prec0)) );
    1149         273 :         if (signe(k)) y = gadd(y, mulcxI(mulir(k, Pi2n(1, prec))));
    1150             :       }
    1151             :     }
    1152             :   }
    1153      227346 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_printf(&T,"product from 0 to N-1");
    1154      227346 :   constbern(lim);
    1155      227346 :   nnx = gaddgs(s, N); a = ginv(nnx);
    1156      227346 :   p1 = gsub(gmul(gsub(nnx, ghalf), glog(nnx,prec)), nnx);
    1157      227346 :   p1 = gadd(p1, gmul(a, lngamma_sum(gsqr(a), lim)));
    1158      227346 :   if (DEBUGLEVEL>5) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
    1159             : 
    1160      227346 :   pi = mppi(prec); pi2 = shiftr(pi, 1); sqrtpi2 = sqrtr(pi2);
    1161             : 
    1162      227346 :   if (dolog)
    1163             :   {
    1164       26026 :     if (funeq)
    1165             :     { /* recall that s = 1 - s0 */
    1166          14 :       GEN T = shiftr(sqrtpi2,-1); /* sqrt(2Pi)/2 */
    1167          14 :       if (typ(s) != t_REAL)
    1168             :       {
    1169             :         /* We compute log(sin(Pi s0)) so that it has branch cuts along
    1170             :         * (-oo, 0] and [1, oo).  To do this in a numerically stable way
    1171             :         * we must compute the log first then mangle its imaginary part.
    1172             :         * The rounding operation below is stable because we're rounding
    1173             :         * a number which is already within 1/4 of an integer. */
    1174             : 
    1175             :         /* z = log( sin(Pi s0) / (sqrt(2Pi)/2) ) */
    1176           7 :         GEN z = glog(gdiv(gsin(gmul(pi,s0),prec), T), prec);
    1177             :         /* b = (2 Re(s) - 1) / 4 */
    1178           7 :         GEN b = shiftr(subrs(shiftr(sig, 1), 1), -2);
    1179           7 :         y = gsub(y, z);
    1180           7 :         if (gsigne(imag_i(s)) > 0) togglesign(b);
    1181             :         /* z = 2Pi round( Im(z)/2Pi - b ) */
    1182           7 :         z = gmul(roundr(gsub(gdiv(imag_i(z), pi2), b)), pi2);
    1183           7 :         if (signe(z)) { /* y += I*z, z a t_REAL */
    1184           0 :           if (typ(y) == t_COMPLEX)
    1185           0 :             gel(y,2) = gadd(gel(y,2), z);
    1186             :           else
    1187           0 :             y = mkcomplex(y, z);
    1188             :         }
    1189             :       }
    1190             :       else
    1191             :       { /* s0 < 0, formula simplifies: imag(lngamma(s0)) = - Pi * floor(s0) */
    1192           7 :         GEN z = logr_abs(divrr(mpsin(gmul(pi,s0)), T));
    1193           7 :         y = gsub(y, z);
    1194           7 :         y = mkcomplex(y, mulri(pi, gfloor(s0)));
    1195             :       }
    1196          14 :       p1 = gneg(p1);
    1197             :     }
    1198             :     else /* y --> sqrt(2Pi) / y */
    1199       26012 :       y = gsub(logr_abs(sqrtpi2), y);
    1200       26026 :     y = gadd(p1, y);
    1201             :   }
    1202             :   else
    1203             :   {
    1204      201320 :     if (funeq)
    1205             :     { /* y --> y Pi/(sin(Pi s) * sqrt(2Pi)) = y sqrt(Pi/2)/sin(Pi s) */
    1206       30730 :       y = gdiv(gmul(shiftr(sqrtpi2,-1),y), gsin(gmul(pi,s0), prec));
    1207             :       /* don't use s above: sin(pi s0) = sin(pi s) and the former is
    1208             :        * more accurate, esp. if s0 ~ 0 */
    1209       30730 :       p1 = gneg(p1);
    1210             :     }
    1211             :     else /* y --> sqrt(2Pi) / y */
    1212      170590 :       y = gdiv(sqrtpi2, y);
    1213      201320 :     y = gmul(gexp(p1, prec), y);
    1214             :   }
    1215      227346 :   set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
    1216             : }
    1217             : 
    1218             : /* Theory says n > C * b^1.5 / log(b). Timings:
    1219             :  * b = 64*[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 500];
    1220             :  * n = [1450, 1930, 2750, 3400, 4070, 5000, 6000, 8800, 26000, 50000, 130000,
    1221             :  *      380000, 1300000, 6000000]; */
    1222             : static long
    1223       32340 : gamma2_n(long prec)
    1224             : {
    1225       32340 :   long b = bit_accuracy(prec);
    1226       32340 :   if (b <=  64) return 1450;
    1227       31773 :   if (b <= 128) return 1930;
    1228       29890 :   if (b <= 192) return 2750;
    1229       17117 :   if (b <= 256) return 3400;
    1230        6876 :   if (b <= 320) return 4070;
    1231        6444 :   if (b <= 384) return 5000;
    1232        3986 :   if (b <= 448) return 6000;
    1233        3786 :   return 10.0 * b * sqrt(b) / log(b);
    1234             : }
    1235             : 
    1236             : /* m even, Gamma((m+1) / 2) */
    1237             : static GEN
    1238       32340 : gammahs(long m, long prec)
    1239             : {
    1240       32340 :   GEN y = cgetr(prec), z;
    1241       32340 :   pari_sp av = avma;
    1242       32340 :   long ma = labs(m);
    1243             : 
    1244       32340 :   if (ma > gamma2_n(prec))
    1245             :   {
    1246           0 :     z = stor(m + 1, prec); shiftr_inplace(z, -1);
    1247           0 :     affrr(cxgamma(z,0,prec), y);
    1248           0 :     set_avma(av); return y;
    1249             :   }
    1250       32340 :   z = sqrtr( mppi(prec) );
    1251       32340 :   if (m)
    1252             :   {
    1253       18732 :     GEN t = mulu_interval_step_prec(1, ma-1, 2, prec + EXTRAPRECWORD);
    1254       18732 :     if (m >= 0) z = mpmul(z,t);
    1255             :     else
    1256             :     {
    1257         189 :       z = mpdiv(z,t);
    1258         189 :       if ((m&3) == 2) setsigne(z,-1);
    1259             :     }
    1260       18732 :     shiftr_inplace(z, -m/2);
    1261             :   }
    1262       32340 :   affrr(z, y); set_avma(av); return y;
    1263             : }
    1264             : GEN
    1265          28 : ggammah(GEN x, long prec)
    1266             : {
    1267          28 :   switch(typ(x))
    1268             :   {
    1269             :     case t_INT:
    1270             :     {
    1271          21 :       long k = itos_or_0(x);
    1272          21 :       if (!k && signe(x)) pari_err_OVERFLOW("gamma");
    1273          21 :       return gammahs(k * 2, prec);
    1274             :     }
    1275             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER: {
    1276           7 :       pari_sp av = avma;
    1277           7 :       return gerepileupto(av, ggamma(gadd(x,ghalf), prec));
    1278             :     }
    1279             :   }
    1280           0 :   return trans_eval("gammah",ggammah,x,prec);
    1281             : }
    1282             : 
    1283             : /* find n such that n+v_p(n!)>=k p^2/(p-1)^2 */
    1284             : static long
    1285          28 : nboft(long k, long p)
    1286             : {
    1287          28 :   pari_sp av = avma;
    1288             :   long s, n;
    1289             : 
    1290          28 :   if (k <= 0) return 0;
    1291          28 :   k = itou( gceil(gdiv(mului(k, sqru(p)), sqru(p-1))) );
    1292          28 :   set_avma(av);
    1293          28 :   for (s=0, n=0; n+s < k; n++, s += u_lval(n, p));
    1294          28 :   return n;
    1295             : }
    1296             : 
    1297             : /* Using Dwork's expansion, compute \Gamma(px+1)=-\Gamma(px) with x a unit.
    1298             :  * See p-Adic Gamma Functions and Dwork Cohomology, Maurizio Boyarsky
    1299             :  * Transactions of the AMS, Vol. 257, No. 2. (Feb., 1980), pp. 359-369.
    1300             :  * Inspired by a GP script by Fernando Rodriguez-Villegas */
    1301             : static GEN
    1302          28 : gadw(GEN x, long p)
    1303             : {
    1304          28 :   pari_sp ltop = avma;
    1305          28 :   GEN s, t, u = cgetg(p+1, t_VEC);
    1306          28 :   long j, k, kp, n = nboft(precp(x)+valp(x)+1, p);
    1307             : 
    1308          28 :   t = s = gaddsg(1, zeropadic(gel(x,2), n));
    1309          28 :   gel(u, 1) = s;
    1310          28 :   gel(u, 2) = s;
    1311          42 :   for (j = 2; j < p; ++j)
    1312          14 :     gel(u, j+1) = gdivgs(gel(u, j), j);
    1313         378 :   for (k = 1, kp = p; k < n; ++k, kp += p) /* kp = k*p */
    1314             :   {
    1315             :     GEN c;
    1316         350 :     gel(u, 1) = gdivgs(gadd(gel(u, 1), gel(u, p)), kp);
    1317         812 :     for (j = 1; j < p; ++j)
    1318         462 :       gel(u, j+1) = gdivgs(gadd(gel(u, j), gel(u, j+1)), kp + j);
    1319             : 
    1320         350 :     t = gmul(t, gaddgs(x, k-1));
    1321         350 :     c = leafcopy(gel(u,1)); setvalp(c, valp(c) + k); /* c = u[1] * p^k */
    1322         350 :     s = gadd(s, gmul(c, t));
    1323         350 :     if ((k&0xFL)==0) gerepileall(ltop, 3, &u,&s,&t);
    1324             :   }
    1325          28 :   return gneg(s);
    1326             : }
    1327             : 
    1328             : /*Use Dwork expansion*/
    1329             : /*This is a O(p*e*log(pe)) algorithm, should be used when p small
    1330             :  * If p==2 this is a O(pe) algorithm. */
    1331             : static GEN
    1332          28 : Qp_gamma_Dwork(GEN x, long p)
    1333             : {
    1334          28 :   pari_sp ltop = avma;
    1335          28 :   long k = padic_to_Fl(x, p);
    1336             :   GEN p1;
    1337             :   long j;
    1338          28 :   long px = precp(x);
    1339          28 :   if (p==2 && px)
    1340             :   {
    1341          14 :     x = shallowcopy(x);
    1342          14 :     setprecp(x, px+1);
    1343          14 :     gel(x,3) = shifti(gel(x,3),1);
    1344             :   }
    1345          28 :   if (k)
    1346             :   {
    1347          21 :     GEN x_k = gsubgs(x,k);
    1348          21 :     x = gdivgs(x_k, p);
    1349          21 :     p1 = gadw(x, p); if (!odd(k)) p1 = gneg(p1);
    1350          21 :     for (j = 1; j < k; ++j) p1 = gmul(p1, gaddgs(x_k, j));
    1351             :   }
    1352             :   else
    1353           7 :     p1 = gneg(gadw(gdivgs(x, p), p));
    1354          28 :   return gerepileupto(ltop, p1);
    1355             : }
    1356             : 
    1357             : /* Compute Qp_gamma using the definition. This is a O(x*M(log(pe))) algorithm.
    1358             :  * This should be used if x is very small. */
    1359             : static GEN
    1360          49 : Qp_gamma_Morita(long n, GEN p, long e)
    1361             : {
    1362          49 :   pari_sp ltop=avma;
    1363          49 :   GEN p2 = gaddsg((n&1)?-1:1, zeropadic(p, e));
    1364             :   long i;
    1365          49 :   long pp=is_bigint(p)? 0: itos(p);
    1366         154 :   for (i = 2; i < n; i++)
    1367         105 :     if (!pp || i%pp)
    1368             :     {
    1369          63 :       p2 = gmulgs(p2, i);
    1370          63 :       if ((i&0xFL) == 0xFL)
    1371           0 :         p2 = gerepileupto(ltop, p2);
    1372             :     }
    1373          49 :   return gerepileupto(ltop, p2);
    1374             : }
    1375             : 
    1376             : /* x\in\N: Gamma(-x)=(-1)^(1+x+x\p)*Gamma(1+x) */
    1377             : static GEN
    1378          28 : Qp_gamma_neg_Morita(long n, GEN p, long e)
    1379             : {
    1380          28 :   GEN g = ginv(Qp_gamma_Morita(n+1, p, e));
    1381          28 :   return ((n^sdivsi(n,p)) & 1)? g: gneg(g);
    1382             : }
    1383             : 
    1384             : /* p-adic Gamma function for x a p-adic integer */
    1385             : /* If n < p*e : use Morita's definition.
    1386             :  * Else : use Dwork's expansion.
    1387             :  * If both n and p are big : itos(p) will fail.
    1388             :  * TODO: handle p=2 better (Qp_gamma_Dwork is slow for p=2). */
    1389             : GEN
    1390          77 : Qp_gamma(GEN x)
    1391             : {
    1392          77 :   GEN n, m, N, p = gel(x,2);
    1393          77 :   long s, e = precp(x);
    1394          77 :   if (absequaliu(p, 2) && e == 2) e = 1;
    1395          77 :   if (valp(x) < 0) pari_err_DOMAIN("gamma","v_p(x)", "<", gen_0, x);
    1396          77 :   n = gtrunc(x);
    1397          77 :   m = gtrunc(gneg(x));
    1398          77 :   N = cmpii(n,m)<=0?n:m;
    1399          77 :   s = itos_or_0(N);
    1400          77 :   if (s && cmpsi(s, muliu(p,e)) < 0) /* s < p*e */
    1401          49 :     return (N == n) ? Qp_gamma_Morita(s,p,e): Qp_gamma_neg_Morita(s,p,e);
    1402          28 :   return Qp_gamma_Dwork(x, itos(p));
    1403             : }
    1404             : 
    1405             : /* gamma(1+x) - 1, |x| < 1 is "small" */
    1406             : GEN
    1407        1211 : ggamma1m1(GEN x, long prec) { return gexpm1(lngamma1(x, prec), prec); }
    1408             : 
    1409             : /* lngamma(y) with 0 constant term, using (lngamma y)' = y' psi(y) */
    1410             : static GEN
    1411       17724 : serlngamma0(GEN y, long prec)
    1412             : {
    1413             :   GEN t;
    1414       17724 :   if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("lngamma","valuation", "!=", gen_0, y);
    1415       17717 :   t = derivser(y);
    1416             :   /* don't compute psi if y'=0 */
    1417       17717 :   if (signe(t)) t = gmul(t, gpsi(y,prec));
    1418       17717 :   return integser(t);
    1419             : }
    1420             : 
    1421             : static GEN
    1422       17689 : serlngamma(GEN y, long prec)
    1423             : {
    1424             :   GEN z, y0, Y;
    1425       17689 :   if (lg(y) == 2) pari_err_DOMAIN("gamma", "argument", "=", gen_0,y);
    1426             :   /* exp(lngamma) */
    1427       17682 :   if (valp(y) > 0) return gdiv(gexp(glngamma(gaddgs(y,1),prec),prec),y);
    1428       17465 :   y0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    1429       17465 :   z = NULL; Y = y;
    1430       17465 :   if (isint(y0, &y0))
    1431             :   { /* fun eq. avoids log singularity of lngamma at negative ints */
    1432        7266 :     long s = signe(y0);
    1433             :     /* possible if y[2] is an inexact 0 */
    1434        7266 :     if (!s) return gdiv(gexp(glngamma(gaddgs(y,1),prec),prec),y);
    1435        7259 :     if (signe(y0) < 0) { Y = gsubsg(1, y); y0 = subsi(1, y0); }
    1436        7259 :     if (abscmpiu(y0, 50) < 0) z = mpfact(itos(y0)-1); /* more precise */
    1437             :   }
    1438       17458 :   if (!z) z = ggamma(y0,prec);
    1439       17458 :   z = gmul(z, gexp(serlngamma0(Y,prec),prec));
    1440       17458 :   if (Y != y)
    1441             :   {
    1442          77 :     GEN pi = mppi(prec);
    1443          77 :     z = gdiv(mpodd(y0)? pi: negr(pi),
    1444             :              gmul(z, gsin(gmul(pi,serchop0(y)), prec)));
    1445             :   }
    1446       17458 :   return z;
    1447             : }
    1448             : 
    1449             : static GEN
    1450        1456 : sqrtu(ulong a, long prec) { return sqrtr_abs(utor(a, prec)); }
    1451             : static GEN
    1452          70 : cbrtu(ulong a, long prec) { return sqrtnr_abs(utor(a, prec), 3); }
    1453             : /* N | 6 */
    1454             : static GEN
    1455        1211 : ellkprime(long N, GEN s2, GEN s3)
    1456             : {
    1457             :   GEN z;
    1458        1211 :   switch(N)
    1459             :   {
    1460         630 :     case 1: return shiftr(s2, -1);
    1461          28 :     case 2: return sqrtr_abs(shiftr(subrs(s2,1), 1));
    1462         469 :     case 3: return shiftr(mulrr(s2, addrs(s3, 1)), -2);
    1463             :     default: /* 6 */
    1464          84 :       z = mulrr(subrr(s3,s2), subsr(2,s3));
    1465          84 :       return mulrr(addsr(2,s2), sqrtr_abs(z));
    1466             :   }
    1467             : }
    1468             : 
    1469             : static GEN
    1470        1211 : ellKk(long N, GEN s2, GEN s3, long prec)
    1471        1211 : { return gdiv(Pi2n(-1,prec), agm(ellkprime(N,s2,s3), gen_1, prec)); }
    1472             : 
    1473             : /* Gamma(1/3) */
    1474             : static GEN
    1475         385 : G3(GEN s2, GEN s3, long prec)
    1476             : {
    1477         385 :   GEN A = ellKk(3, s2,s3, prec), pi = mppi(prec);
    1478         385 :   A = shiftr(divrs(powrs(mulrr(pi, A), 12), 27), 28);
    1479         385 :   return sqrtnr_abs(A, 36);
    1480             : }
    1481             : /* Gamma(1/4) */
    1482             : static GEN
    1483         518 : G4(GEN s2, long prec)
    1484             : {
    1485         518 :   GEN A = ellKk(1, s2,NULL, prec), pi = mppi(prec);
    1486         518 :   return shiftr(sqrtr_abs(mulrr(sqrtr_abs(pi), A)), 1);
    1487             : }
    1488             : 
    1489             : /* Gamma(n / 24), n = 1,5,7,11 */
    1490             : static GEN
    1491          84 : Gn24(long n, GEN s2, GEN s3, long prec)
    1492             : {
    1493          84 :   GEN A, B, C, t, t1, t2, t3, t4, pi = mppi(prec);
    1494          84 :   A = ellKk(1, s2,s3, prec);
    1495          84 :   B = ellKk(3, s2,s3, prec);
    1496          84 :   C = ellKk(6, s2,s3, prec);
    1497          84 :   t1 = sqrtr_abs(mulur(3, addsr(2, s3)));
    1498          84 :   t2 = sqrtr_abs(divrr(s3, pi));
    1499          84 :   t2 = mulrr(t2, shiftr(mulrr(addrr(s2,s3), A), 2));
    1500          84 :   t3 = mulrr(divur(3,pi), sqrr(B));
    1501          84 :   t3 = mulrr(addsr(2,s2), sqrtnr_abs(shiftr(powrs(t3, 3), 8), 9));
    1502          84 :   t4 = mulrr(mulrr(addsr(1, s2), subrr(s3, s2)), subsr(2, s3));
    1503          84 :   t4 = mulrr(mulrr(mulur(384, t4), pi), sqrr(C));
    1504          84 :   switch (n)
    1505             :   {
    1506          42 :     case 1: t = mulrr(mulrr(t1, t2), mulrr(t3, t4)); break;
    1507          14 :     case 5: t = divrr(mulrr(t2, t4), mulrr(t1, t3)); break;
    1508          14 :     case 7: t = divrr(mulrr(t3, t4), mulrr(t1, t2)); break;
    1509          14 :     default:t = divrr(mulrr(t1, t4), mulrr(t2, t3)); break;
    1510             :   }
    1511          84 :   return sqrtnr_abs(t, 4);
    1512             : }
    1513             : /* sin(x/2) = sqrt((1-c) / 2) > 0 given c = cos(x) */
    1514             : static GEN
    1515          28 : sinx2(GEN c)
    1516          28 : { c = subsr(1, c); shiftr_inplace(c,-1); return sqrtr_abs(c); }
    1517             : /* sin(Pi/12), given sqrt(3) */
    1518             : static GEN
    1519          21 : sin12(GEN s3)
    1520          21 : { GEN t = subsr(2, s3); shiftr_inplace(t, -2); return sqrtr_abs(t); }
    1521             : /* cos(Pi/12) = sin(5Pi/12), given sqrt(3) */
    1522             : static GEN
    1523          21 : cos12(GEN s3)
    1524          21 : { GEN t = addsr(2, s3); shiftr_inplace(t, -2); return sqrtr_abs(t); }
    1525             : /* 0 < n < d, (n, d) = 1, 2 < d | 24 */
    1526             : static GEN
    1527         987 : gammafrac24_s(long n, long d, long prec)
    1528             : {
    1529         987 :   GEN A, B, s2, s3, pi = mppi(prec);
    1530         987 :   s2 = sqrtu(2, prec);
    1531         987 :   s3 = d % 3? NULL: sqrtu(3, prec);
    1532         987 :   switch(d)
    1533             :   {
    1534             :     case 3:
    1535         287 :       A = G3(s2,s3,prec);
    1536         287 :       if (n == 1) return A;
    1537         133 :       return divrr(Pi2n(1, prec), mulrr(s3, A));
    1538             :     case 4:
    1539         490 :       A = G4(s2,prec);
    1540         490 :       if (n == 1) return A;
    1541         189 :       return divrr(mulrr(pi, s2), A);
    1542             :     case 6:
    1543          70 :       A = sqrr(G3(s2,s3,prec));
    1544          70 :       A = mulrr(A, sqrtr_abs(divsr(3, pi)));
    1545          70 :       A = divrr(A, cbrtu(2, prec));
    1546          70 :       if (n == 1) return A;
    1547          63 :       return divrr(Pi2n(1, prec), A);
    1548             :     case 8:
    1549          28 :       A = ellKk(1, s2,s3, prec);
    1550          28 :       B = ellKk(2, s2,s3, prec);
    1551          28 :       A = shiftr(sqrtr_abs(divrr(mulrr(addsr(1, s2), A), sqrtr_abs(pi))), 1);
    1552          28 :       B = shiftr(mulrr(sqrtr_abs(gmul(subrs(s2, 1), mulrr(s2, pi))), B), 3);
    1553          28 :       switch (n)
    1554             :       {
    1555             :         GEN t;
    1556           7 :         case 1: return sqrtr_abs(mulrr(A, B));
    1557           7 :         case 3: return sqrtr_abs(divrr(B, A));
    1558           7 :         case 5: A = sqrtr_abs(divrr(B, A));
    1559           7 :           t = sqrtr_abs(shiftr(addsr(1, shiftr(s2, -1)), -1)); /*sin(3Pi/8)*/
    1560           7 :           return divrr(pi, mulrr(t, A));
    1561           7 :         default: A = sqrtr_abs(mulrr(A, B));
    1562           7 :           t = sqrtr_abs(shiftr(subsr(1, shiftr(s2, -1)), -1)); /*sin(Pi/8)*/
    1563           7 :           return divrr(pi, mulrr(t, A));
    1564             :       }
    1565             :     case 12:
    1566          28 :       A = G3(s2,s3,prec);
    1567          28 :       B = G4(s2,prec);
    1568          28 :       switch (n)
    1569             :       {
    1570             :         GEN t2;
    1571             :         case 1: case 11:
    1572          14 :           t2 = shiftr(mulur(27, powrs(divrr(addsr(1,s3), pi), 4)), -2);
    1573          14 :           t2 = mulrr(sqrtnr_abs(t2, 8), mulrr(A, B));
    1574          14 :           if (n == 1) return t2;
    1575           7 :           return divrr(pi, mulrr(sin12(s3), t2));
    1576             :         case 5: case 7:
    1577          14 :           t2 = shiftr(divrs(powrs(mulrr(subrs(s3,1), pi), 4), 3), 2);
    1578          14 :           t2 = mulrr(sqrtnr_abs(t2, 8), divrr(B, A));
    1579          14 :           if (n == 5) return t2;
    1580           7 :           return divrr(pi, mulrr(cos12(s3), t2));
    1581             :       }
    1582             :     default: /* n = 24 */
    1583          84 :       if (n > 12)
    1584             :       {
    1585             :         GEN t;
    1586          28 :         n = 24 - n;
    1587          28 :         A = Gn24(n, s2,s3, prec);
    1588          28 :         switch(n)
    1589             :         { /* t = sin(n*Pi/24) */
    1590           7 :           case 1: t = cos12(s3); t = sinx2(t); break;
    1591           7 :           case 5: t = sin12(s3); t = sinx2(t); break;
    1592           7 :           case 7: t = sin12(s3); togglesign(t); t = sinx2(t); break;
    1593           7 :           default:t = cos12(s3); togglesign(t); t = sinx2(t); break; /* n=11 */
    1594             :         }
    1595          28 :         return divrr(pi, mulrr(A, t));
    1596             :       }
    1597          56 :       return Gn24(n, s2,s3, prec);
    1598             :   }
    1599             : }
    1600             : 
    1601             : /* (a,b) = 1. If 0 < x < b, m >= 0
    1602             : gamma(x/b + m) = gamma(x/b) * mulu_interval_step(x, x+(m-1)*b, b) / b^m
    1603             : gamma(x/b - m) = gamma(x/b) / mulu_interval_step(b-x, b*m-x, b) * (-b)^m */
    1604             : static GEN
    1605       33866 : gammafrac24(GEN a, GEN b, long prec)
    1606             : {
    1607             :   pari_sp av;
    1608             :   long A, B, m, x, bit;
    1609             :   GEN z0, z, t;
    1610       33866 :   if (!(A = itos_or_0(a)) || !(B = itos_or_0(b)) || B > 24) return NULL;
    1611       33789 :   switch(B)
    1612             :   {
    1613       32319 :     case 2: return gammahs(A-1, prec);
    1614             :     case 3: case 4: case 6: case 8: case 12: case 24:
    1615        1001 :       m = A / B;
    1616        1001 :       x = A % B; /* = A - m*B */
    1617        1001 :       if (x < 0) { x += B; m--; } /* now 0 < x < B, A/B = x/B + m */
    1618        1001 :       bit = bit_accuracy(prec);
    1619             :       /* Depending on B and prec, we must experimentally replace the 0.5
    1620             :        * by 0.4 to 2.0 for optimal value. Play safe. */
    1621        1001 :       if (labs(m) > 0.5 * bit * sqrt(bit) / log(bit)) return NULL;
    1622         987 :       z0 = cgetr(prec); av = avma;
    1623         987 :       prec += EXTRAPRECWORD;
    1624         987 :       z = gammafrac24_s(x, B, prec);
    1625         987 :       if (m)
    1626             :       {
    1627         301 :         if (m > 0)
    1628         287 :           t = mpdiv(mulu_interval_step(x, (m-1)*B + x, B), rpowuu(B,m,prec));
    1629             :         else
    1630             :         {
    1631          14 :           m = -m;
    1632          14 :           t = mpdiv(rpowuu(B,m,prec), mulu_interval_step(B-x, m*B - x, B));
    1633          14 :           if (odd(m)) togglesign(t);
    1634             :         }
    1635         301 :         z = mpmul(z,t);
    1636             :       }
    1637         987 :       affrr(z, z0); set_avma(av); return z0;
    1638             :   }
    1639         469 :   return NULL;
    1640             : }
    1641             : GEN
    1642      314818 : ggamma(GEN x, long prec)
    1643             : {
    1644             :   pari_sp av;
    1645             :   GEN y;
    1646             : 
    1647      314818 :   switch(typ(x))
    1648             :   {
    1649             :     case t_INT:
    1650       60802 :       if (signe(x) <= 0)
    1651           0 :         pari_err_DOMAIN("gamma","argument", "=",
    1652             :                          strtoGENstr("non-positive integer"), x);
    1653       60802 :       return mpfactr(itos(x) - 1, prec);
    1654             : 
    1655             :     case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1656      202391 :       return cxgamma(x, 0, prec);
    1657             : 
    1658             :     case t_FRAC:
    1659             :     {
    1660       33866 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), c = gammafrac24(a, b, prec);
    1661       33866 :       if (c) return c;
    1662         560 :       av = avma; c = subii(a,b);
    1663         560 :       if (expi(c) - expi(b) < -50)
    1664             :       { /* x = 1 + c/b is close to 1 */
    1665           7 :         x = mkfrac(c,b);
    1666           7 :         if (lgefint(b) >= prec) x = fractor(x,prec);
    1667           7 :         y = mpexp(lngamma1(x, prec));
    1668             :       }
    1669         553 :       else if (signe(a) < 0 || cmpii(shifti(a,1), b) < 0)
    1670         203 :       { /* gamma will use functional equation x -> z = 1-x = -c/b >= 1/2.
    1671             :          * Gamma(x) = Pi / (sin(Pi z) * Gamma(z)) */
    1672         203 :         GEN z = mkfrac(negi(c), b), q = ground(z), r = gsub(z,q);
    1673         203 :         GEN pi = mppi(prec); /* |r| <= 1/2 */
    1674         203 :         z = fractor(z, prec+EXTRAPRECWORD);
    1675         203 :         y = divrr(pi, mulrr(mpsin(gmul(pi, r)), cxgamma(z, 0, prec)));
    1676         203 :         if (mpodd(q)) togglesign(y);
    1677             :       }
    1678             :       else
    1679             :       {
    1680         350 :         x = fractor(x, prec);
    1681         350 :         y = cxgamma(x, 0, prec);
    1682             :       }
    1683         560 :       return gerepileupto(av, y);
    1684             :     }
    1685             : 
    1686          70 :     case t_PADIC: return Qp_gamma(x);
    1687             :     default:
    1688       17689 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1689       17689 :       return gerepileupto(av, serlngamma(y, prec));
    1690             :   }
    1691           0 :   return trans_eval("gamma",ggamma,x,prec);
    1692             : }
    1693             : 
    1694             : static GEN
    1695         503 : mpfactr_basecase(long n, long prec)
    1696             : {
    1697         503 :   GEN v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
    1698         503 :   long k, prec2 = prec + EXTRAPRECWORD;
    1699             :   GEN a;
    1700        4709 :   for (k = 1;; k++)
    1701        4206 :   {
    1702        4709 :     long m = n >> (k-1), l;
    1703        4709 :     if (m <= 2) break;
    1704        4206 :     l = (1 + (n >> k)) | 1;
    1705             :     /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
    1706        4206 :     a = mulu_interval_step_prec(l, m, 2, prec2);
    1707        4206 :     gel(v,k) = k == 1? a: gpowgs(a, k);
    1708             :   }
    1709         503 :   a = gel(v,--k); while (--k) a = mpmul(a, gel(v,k));
    1710         503 :   if (typ(a) == t_INT) a = itor(a, prec); else a = gprec_wtrunc(a, prec);
    1711         503 :   shiftr_inplace(a, factorial_lval(n, 2));
    1712         503 :   return a;
    1713             : }
    1714             : /* Theory says n > C * b^1.5 / log(b). Timings:
    1715             :  * b = [64, 128, 192, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384]
    1716             :  * n = [1930, 2650, 3300, 4270, 9000, 23000, 75000, 210000, 750000, 2400000] */
    1717             : static long
    1718         615 : mpfactr_n(long prec)
    1719             : {
    1720         615 :   long b = bit_accuracy(prec);
    1721         615 :   if (b <=  64) return 1930;
    1722          69 :   if (b <= 128) return 2650;
    1723          48 :   if (b <= 192) return 3300;
    1724          48 :   return b * sqrt(b);
    1725             : }
    1726             : static GEN
    1727        7882 : mpfactr_small(long n, long prec)
    1728             : {
    1729        7882 :   GEN f = cgetr(prec);
    1730        7882 :   pari_sp av = avma;
    1731        7882 :   if (n < 410)
    1732        7882 :     affir(mpfact(n), f);
    1733             :   else
    1734           0 :     affrr(mpfactr_basecase(n, prec), f);
    1735        7882 :   set_avma(av); return f;
    1736             : }
    1737             : GEN
    1738      105391 : mpfactr(long n, long prec)
    1739             : {
    1740      105391 :   GEN f = cgetr(prec);
    1741      105391 :   pari_sp av = avma;
    1742             : 
    1743      105391 :   if (n < 410)
    1744      104776 :     affir(mpfact(n), f);
    1745             :   else
    1746             :   {
    1747         615 :     long N = mpfactr_n(prec);
    1748         615 :     GEN z = n <= N? mpfactr_basecase(n, prec)
    1749         615 :                   : cxgamma(utor(n+1, prec), 0, prec);
    1750         615 :     affrr(z, f);
    1751             :   }
    1752      105391 :   set_avma(av); return f;
    1753             : }
    1754             : 
    1755             : /* First a little worse than mpfactr_n because of the extra logarithm.
    1756             :  * Asymptotically same. */
    1757             : static ulong
    1758        7882 : lngamma_n(long prec)
    1759             : {
    1760        7882 :   long b = bit_accuracy(prec);
    1761             :   double N;
    1762        7882 :   if (b <=  64) return 1450UL;
    1763        7882 :   if (b <= 128) return 2010UL;
    1764         301 :   if (b <= 192) return 2870UL;
    1765         301 :   N = b * sqrt(b);
    1766         301 :   if (b <= 256) return N/1.25;
    1767           0 :   if (b <= 512) return N/1.2;
    1768           0 :   if (b <= 2048) return N/1.1;
    1769           0 :   return N;
    1770             : }
    1771             : 
    1772             : GEN
    1773       35217 : glngamma(GEN x, long prec)
    1774             : {
    1775       35217 :   pari_sp av = avma;
    1776             :   GEN y, y0, t;
    1777             : 
    1778       35217 :   switch(typ(x))
    1779             :   {
    1780             :     case t_INT:
    1781             :     {
    1782             :       ulong n;
    1783        7889 :       if (signe(x) <= 0)
    1784           0 :         pari_err_DOMAIN("lngamma","argument", "=",
    1785             :                          strtoGENstr("non-positive integer"), x);
    1786        7889 :       n = itou_or_0(x);
    1787        7889 :       if (!n || n > lngamma_n(prec)) return cxgamma(x, 1, prec);
    1788        7882 :       return gerepileuptoleaf(av, logr_abs( mpfactr_small(n-1, prec) ));
    1789             :     }
    1790             :     case t_FRAC:
    1791             :     {
    1792        8253 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), c = subii(a,b);
    1793        8253 :       long e = expi(b) - expi(c);
    1794        8253 :       if (e > 50)
    1795             :       {
    1796           7 :         x = mkfrac(c,b);
    1797           7 :         if (lgefint(b) >= prec) x = fractor(x,prec + nbits2nlong(e));
    1798           7 :         y = lngamma1(x, prec);
    1799             :       }
    1800        8246 :       else if (signe(a) < 0 || cmpii(shifti(a,1), b) < 0)
    1801          21 :       { /* gamma will use functional equation x -> z = 1-x = -c/b >= 1/2.
    1802             :          * lngamma(x) = log |Pi / (sin(Pi z) * Gamma(z))| + I*Pi * floor(x) */
    1803          21 :         GEN z = mkfrac(negi(c), b), q = ground(z), r = gsub(z,q);
    1804          21 :         GEN pi = mppi(prec); /* |r| <= 1/2 */
    1805          21 :         z = fractor(z, prec+EXTRAPRECWORD);
    1806          21 :         y = subrr(logr_abs(divrr(pi, mpsin(gmul(pi, r)))), cxgamma(z, 1, prec));
    1807          21 :         if (signe(a) < 0) y = gadd(y, mkcomplex(gen_0, mulri(pi, gfloor(x))));
    1808             :       }
    1809             :       else
    1810             :       {
    1811        8225 :         x = fractor(x, e > 1? prec+EXTRAPRECWORD: prec);
    1812        8225 :         y = cxgamma(x, 1, prec);
    1813             :       }
    1814        8253 :       return gerepileupto(av, y);
    1815             :     }
    1816             : 
    1817             :     case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1818       18795 :       return cxgamma(x, 1, prec);
    1819             : 
    1820             :     default:
    1821         273 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    1822         273 :       if (lg(y) == 2) pari_err_DOMAIN("lngamma", "argument", "=", gen_0,y);
    1823         266 :       t = serlngamma0(y,prec);
    1824         252 :       y0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    1825             :       /* no constant term if y0 = 1 or 2 */
    1826         252 :       if (!isint(y0,&y0) || signe(y0) <= 0 || abscmpiu(y0,2) > 2)
    1827           7 :         t = gadd(t, glngamma(y0,prec));
    1828         252 :       return gerepileupto(av, t);
    1829             : 
    1830           7 :     case t_PADIC: return gerepileupto(av, Qp_log(Qp_gamma(x)));
    1831             :   }
    1832           0 :   return trans_eval("lngamma",glngamma,x,prec);
    1833             : }
    1834             : /********************************************************************/
    1835             : /**                                                                **/
    1836             : /**                  PSI(x) = GAMMA'(x)/GAMMA(x)                   **/
    1837             : /**                                                                **/
    1838             : /********************************************************************/
    1839             : static GEN
    1840       25410 : cxpsi(GEN s0, long prec)
    1841             : {
    1842             :   pari_sp av, av2;
    1843             :   GEN sum, z, a, res, sig, tau, s, unr, s2, sq;
    1844             :   long lim, nn, k;
    1845       25410 :   const long la = 3;
    1846       25410 :   int funeq = 0;
    1847             :   pari_timer T;
    1848             : 
    1849       25410 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
    1850       25410 :   s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
    1851       25410 :   if (signe(sig) <= 0) { funeq = 1; s = gsub(gen_1, s); sig = real_i(s); }
    1852       25410 :   if (typ(s0) == t_INT && signe(s0) <= 0)
    1853           0 :     pari_err_DOMAIN("psi","argument", "=",
    1854             :                     strtoGENstr("non-positive integer"), s0);
    1855             : 
    1856       25410 :   if (expo(sig) > 300 || (typ(s) == t_COMPLEX && gexpo(gel(s,2)) > 300))
    1857           7 :   { /* |s| is HUGE. Play safe */
    1858           7 :     GEN L, S = gprec_w(s,LOWDEFAULTPREC), rS = real_i(S), iS = imag_i(S);
    1859             :     double l;
    1860             : 
    1861           7 :     l = rtodbl( gnorm(glog(S, 3)) );
    1862           7 :     l = log(l) / 2.;
    1863           7 :     lim = 2 + (long)ceil((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - l) / (2*(1+log((double)la))));
    1864           7 :     if (lim < 2) lim = 2;
    1865             : 
    1866           7 :     l = (2*lim-1)*la / (2.*M_PI);
    1867           7 :     L = gsub(dbltor(l*l), gsqr(iS));
    1868           7 :     if (signe(L) < 0) L = gen_0;
    1869             : 
    1870           7 :     L = gsub(gsqrt(L, 3), rS);
    1871           7 :     if (signe(L) > 0) nn = (long)ceil(rtodbl(L)); else nn = 1;
    1872           7 :     if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n",lim,nn);
    1873             :   }
    1874             :   else
    1875             :   {
    1876       25403 :     double ssig = rtodbl(sig);
    1877       25403 :     double st = typ(s) == t_REAL? 0.0: rtodbl(imag_i(s));
    1878             :     double l;
    1879             :     {
    1880             :       double rlog, ilog; /* log (s - Euler) */
    1881       25403 :       dcxlog(ssig - 0.57721566, st, &rlog,&ilog);
    1882       25403 :       l = dnorm(rlog,ilog);
    1883             :     }
    1884       25403 :     if (l < 0.000001) l = 0.000001;
    1885       25403 :     l = log(l) / 2.;
    1886       25403 :     lim = 2 + (long)ceil((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) - l) / (2*(1+log((double)la))));
    1887       25403 :     if (lim < 2) lim = 2;
    1888             : 
    1889       25403 :     l = (2*lim-1)*la / (2.*M_PI);
    1890       25403 :     l = l*l - st*st;
    1891       25403 :     if (l < 0.) l = 0.;
    1892       25403 :     nn = (long)ceil( sqrt(l) - ssig );
    1893       25403 :     if (nn < 1) nn = 1;
    1894       25403 :     if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n",lim,nn);
    1895             :   }
    1896       25410 :   incrprec(prec); unr = real_1(prec); /* one extra word of precision */
    1897       25410 :   s2 = gmul2n(s, 1); sq = gsqr(s);
    1898       25410 :   a = gdiv(unr, gaddgs(s, nn)); /* 1 / (s+n) */
    1899       25410 :   av2 = avma; sum = gmul2n(a, -1);
    1900      615724 :   for (k = 0; k < nn - 1; k += 2)
    1901             :   {
    1902      590314 :     GEN tmp = gaddsg(k*(k + 1), gadd(gmulsg(2*k + 1, s), sq));
    1903      590314 :     sum = gadd(sum, gdiv(gaddsg(2*k + 1, s2), tmp));
    1904      590314 :     if ((k & 1023) == 0) sum = gerepileupto(av2, sum);
    1905             :   }
    1906       25410 :   if (odd(nn)) sum = gadd(sum, gdiv(unr, gaddsg(nn - 1, s)));
    1907       25410 :   z = gsub(glog(gaddgs(s, nn), prec), sum);
    1908       25410 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 0 to N - 1");
    1909       25410 :   constbern(lim);
    1910       25410 :   z = gsub(z, psi_sum(gsqr(a), lim));
    1911       25410 :   if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
    1912       25410 :   if (funeq)
    1913             :   {
    1914        4004 :     GEN pi = mppi(prec);
    1915        4004 :     z = gadd(z, gmul(pi, gcotan(gmul(pi,s), prec)));
    1916             :   }
    1917       25410 :   set_avma(av); return affc_fixlg(z, res);
    1918             : }
    1919             : 
    1920             : /* n > 0; return psi(1+x) + O(x^n), x = pol_x(v) */
    1921             : static GEN
    1922        6965 : serpsi1(long n, long v, long prec)
    1923             : {
    1924        6965 :   long i, l = n+3;
    1925        6965 :   GEN z, g, s = cgetg(l, t_SER);
    1926        6965 :   s[1] = evalsigne(1)|evalvalp(0)|evalvarn(v);
    1927        6965 :   g = mpeuler(prec); setsigne(g, -1);
    1928        6965 :   z = veczeta(gen_1, gen_2, n, prec); /* zeta(2..n) */
    1929        6965 :   gel(s,2) = g;
    1930       29533 :   for (i = 2; i < l-1; i++)
    1931             :   {
    1932       22568 :     GEN c = gel(z,i-1); /* zeta(i) */
    1933       22568 :     if (odd(i)) setsigne(c, -1);
    1934       22568 :     gel(s,i+1) = c;
    1935             :   }
    1936        6965 :   return s;
    1937             : }
    1938             : /* T an RgX, return T(X + z0) + O(X^L) */
    1939             : static GEN
    1940      957744 : tr(GEN T, GEN z0, long L)
    1941             : {
    1942      957744 :   GEN s = RgX_to_ser(RgX_translate(T, z0), L+3);
    1943      957744 :   setvarn(s, 0); return s;
    1944             : }
    1945             : /* z0 a complex number with Re(z0) > 1/2; return psi(z0+x) + O(x^L)
    1946             :  * using Luke's rational approximation for psi(x) */
    1947             : static GEN
    1948        4431 : serpsiz0(GEN z0, long L, long v, long prec)
    1949             : {
    1950             :   pari_sp av;
    1951             :   GEN A,A1,A2, B,B1,B2, Q;
    1952             :   long n;
    1953        4431 :   n = gprecision(z0); if (n) prec = n;
    1954        4431 :   z0 = gtofp(z0, prec + EXTRAPRECWORD);
    1955             :   /* Start from n = 3; in Luke's notation, A2 := A_{n-2}, A1 := A_{n-1},
    1956             :    * A := A_n. Same for B */
    1957        4431 :   av = avma;
    1958        4431 :   A2= gdivgs(mkpoln(2, gen_1, utoipos(6)), 2);
    1959        4431 :   B2 = scalarpol_shallow(utoipos(4), 0);
    1960        4431 :   A1= gdivgs(mkpoln(3, gen_1, utoipos(82), utoipos(96)), 6);
    1961        4431 :   B1 = mkpoln(2, utoipos(8), utoipos(28));
    1962        4431 :   A = gdivgs(mkpoln(4, gen_1, utoipos(387), utoipos(2906), utoipos(1920)), 12);
    1963        4431 :   B = mkpoln(3, utoipos(14), utoipos(204), utoipos(310));
    1964        4431 :   A2= tr(A2,z0, L);
    1965        4431 :   B2= tr(B2,z0, L);
    1966        4431 :   A1= tr(A1,z0, L);
    1967        4431 :   B1= tr(B1,z0, L);
    1968        4431 :   A = tr(A, z0, L);
    1969        4431 :   B = tr(B, z0, L); Q = gdiv(A, B);
    1970             :   /* work with z0+x as a variable */
    1971      308909 :   for (n = 4;; n++)
    1972      304478 :   {
    1973      308909 :     GEN Q0 = Q, a, b, r, c3,c2,c1,c0 = muluu(2*n-3, n+1);
    1974      308909 :     GEN u = subiu(muluu(n, 7*n-9), 6);
    1975      308909 :     GEN t = addiu(muluu(n, 7*n-19), 4);
    1976             :     /* c1=(2*n-1)*(3*(n-1)*z+7*n^2-9*n-6);
    1977             :      * c2=(2*n-3)*(z-n-1)*(-3*(n-1)*z+7*n^2-19*n+4);
    1978             :      * c3=(2*n-1)*(n-3)*(z-n)*(z-(n+1))*(z+(n-4)); */
    1979      308909 :     c1 = deg1pol_shallow(muluu(3*(n-1),2*n-1), muliu(u,2*n-1), 0);
    1980      308909 :     c2 = ZX_mul(deg1pol_shallow(utoipos(2*n-3), negi(muluu(2*n-3,n+1)), 0),
    1981      308909 :                 deg1pol_shallow(utoineg(3*(n-1)), t, 0));
    1982      308909 :     r = mkvec3(utoipos(n), utoipos(n+1), stoi(4-n));
    1983      308909 :     c3 = ZX_Z_mul(roots_to_pol(r,0), muluu(2*n-1,n-3));
    1984      308909 :     c1 = tr(c1, z0, L+3);
    1985      308909 :     c2 = tr(c2, z0, L+3);
    1986      308909 :     c3 = tr(c3, z0, L+3);
    1987             : 
    1988             :     /* A_{n+1}, B_{n+1} */
    1989      308909 :     a = gdiv(gadd(gadd(gmul(c1,A),gmul(c2,A1)),gmul(c3,A2)), c0);
    1990      308909 :     b = gdiv(gadd(gadd(gmul(c1,B),gmul(c2,B1)),gmul(c3,B2)), c0);
    1991      308909 :     Q = gdiv(a,b);
    1992      308909 :     if (gexpo(gsub(Q,Q0)) < -prec2nbits(prec)) break;
    1993      304478 :     A2 = A1; A1 = A; A = a;
    1994      304478 :     B2 = B1; B1 = B; B = b;
    1995      304478 :     if (gc_needed(av,1))
    1996             :     {
    1997           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"serpsiz0, n = %ld", n);
    1998           0 :       gerepileall(av, 7, &A,&A1,&A2, &B,&B1,&B2, &Q);
    1999             :     }
    2000             :   }
    2001        4431 :   Q = gmul(Q, gmul2n(gsubsg(1, ginv(tr(pol_x(v),z0, L))), 1));
    2002        4431 :   setvarn(Q, v);
    2003        4431 :   return gadd(negr(mpeuler(prec)), Q);
    2004             : }
    2005             : /* sum (-1)^k*H(m,k)x^k + O(x^L); L > 0;
    2006             :  * H(m,k) = (-1)^{k * \delta_{m > 0}} sum_{1<=i<m} 1/i^(k+1) */
    2007             : static GEN
    2008         756 : Hseries(long m, long L, long v, long prec)
    2009             : {
    2010         756 :   long i, k, bit, l = L+3, M = m < 0? 1-m: m;
    2011         756 :   pari_sp av = avma;
    2012         756 :   GEN H = cgetg(l, t_SER);
    2013         756 :   H[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v)|evalvalp(0);
    2014         756 :   prec++;
    2015         756 :   bit = -prec2nbits(prec);
    2016         756 :   for(k = 2; k < l; k++) gel(H,k) = gen_1; /* i=1 */
    2017         784 :   for (i = 2; i < M; i++)
    2018             :   {
    2019          28 :     GEN ik = invr(utor(i, prec));
    2020         203 :     for (k = 2; k < l; k++)
    2021             :     {
    2022         175 :       if (k > 2) { ik = divru(ik, i); if (expo(ik) < bit) break; }
    2023         175 :       gel(H,k) = gadd(gel(H,k), ik);
    2024             :     }
    2025          28 :     if (gc_needed(av,3))
    2026             :     {
    2027           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Hseries, i = %ld/%ld", i,M);
    2028           0 :       H = gerepilecopy(av, H);
    2029             :     }
    2030             :   }
    2031         756 :   if (m > 0)
    2032         742 :     for (k = 3; k < l; k+=2) togglesign_safe(&gel(H,k));
    2033         756 :   return H;
    2034             : }
    2035             : 
    2036             : static GEN
    2037       11410 : serpsi(GEN y, long prec)
    2038             : {
    2039       11410 :   GEN Q = NULL, z0, Y = y, Y2;
    2040       11410 :   long L = lg(y)-2, v  = varn(y), vy = valp(y);
    2041             : 
    2042       11410 :   if (!L) pari_err_DOMAIN("psi", "argument", "=", gen_0,y);
    2043       11403 :   if (vy < 0) pari_err_DOMAIN("psi", "series valuation", "<", gen_0,y);
    2044       11403 :   if (vy)
    2045          14 :     z0 = gen_0;
    2046             :   else
    2047             :   {
    2048       11389 :     z0 = simplify_shallow(gel(y,2));
    2049       11389 :     (void)isint(z0, &z0);
    2050             :   }
    2051       11403 :   if (typ(z0) == t_INT && !is_bigint(z0))
    2052             :   {
    2053        6972 :     long m = itos(z0);
    2054        6972 :     if (abscmpiu(muluu(prec2nbits(prec),L), labs(m)) > 0)
    2055             :     { /* psi(m+x) = psi(1+x) + sum_{1 <= i < m} 1/(i+x) for m > 0
    2056             :                     psi(1+x) - sum_{0 <= i < -m} 1/(i+x) for m <= 0 */
    2057        6972 :       GEN H = NULL;
    2058        6972 :       if (m <= 0) L--; /* lose series accuracy due to 1/x term */
    2059        6972 :       if (L)
    2060             :       {
    2061        6965 :         Q = serpsi1(L, v, prec);
    2062        6965 :         if (m && m != 1) { H = Hseries(m, L, v, prec); Q = gadd(Q, H); }
    2063        6965 :         if (m <= 0) Q = gsub(Q, ginv(pol_x(v)));
    2064             :       }
    2065             :       else
    2066             :       {
    2067           7 :         Q = scalarser(gen_m1, v, 1);
    2068           7 :         setvalp(Q,-1);
    2069             :       }
    2070             :     }
    2071             :   }
    2072       11403 :   if (!Q)
    2073             :   { /* use psi(1-y)=psi(y)+Pi*cotan(Pi*y) ? */
    2074        4431 :     if (gcmp(real_i(z0),ghalf) < 0) { z0 = gsubsg(1,z0); Y = gsubsg(1,y); }
    2075        4431 :     Q = serpsiz0(z0, L, v, prec);
    2076             :   }
    2077       11403 :   Y2 = serchop0(Y); if (signe(Y2)) Q = gsubst(Q, v, Y2);
    2078             :   /* psi(z0 + Y2) = psi(Y) */
    2079       11403 :   if (Y != y)
    2080             :   { /* psi(y) = psi(Y) + Pi cotan(Pi Y) */
    2081          56 :     GEN pi = mppi(prec);
    2082          56 :     if (typ(z0) == t_INT) Y = Y2; /* in this case cotan(Pi*Y2) = cotan(Pi*Y) */
    2083          56 :     Q = gadd(Q, gmul(pi, gcotan(gmul(pi,Y), prec)));
    2084             :   }
    2085       11403 :   return Q;
    2086             : }
    2087             : 
    2088             : GEN
    2089       58240 : gpsi(GEN x, long prec)
    2090             : {
    2091             :   pari_sp av;
    2092             :   GEN y;
    2093       58240 :   switch(typ(x))
    2094             :   {
    2095       25410 :     case t_REAL: case t_COMPLEX: return cxpsi(x,prec);
    2096             :     default:
    2097       32830 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2098       11410 :       return gerepileupto(av, serpsi(y,prec));
    2099             :   }
    2100       21420 :   return trans_eval("psi",gpsi,x,prec);
    2101             : }

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