Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.18.1 lcov report (development 30005-fc14bb602a) Lines: 2220 2285 97.2 %
Date: 2025-02-18 09:22:46 Functions: 168 169 99.4 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
      24             : 
      25             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      26             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      27             : #else
      28             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      29             : #endif
      30             : 
      31             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      32             : void
      33      337970 : pari_init_floats(void)
      34             : {
      35      337970 :   gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
      36      337970 : }
      37             : 
      38             : void
      39      336457 : pari_close_floats(void)
      40             : {
      41      336457 :   guncloneNULL(gcatalan);
      42      335640 :   guncloneNULL(geuler);
      43      334368 :   guncloneNULL(gpi);
      44      334114 :   guncloneNULL(glog2);
      45      333968 :   guncloneNULL(zetazone);
      46      333469 :   guncloneNULL_deep(bernzone);
      47      333234 :   guncloneNULL_deep(eulerzone);
      48      332766 : }
      49             : 
      50             : /********************************************************************/
      51             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      52             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      53             : /********************************************************************/
      54             : void
      55     5484604 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      56             : {
      57     5484604 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      58     5495454 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      59     5500581 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      60     5500734 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      61     5500914 : }
      62             : static GEN
      63   163451471 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      64             : 
      65             : /* T_{n1,n1+1} */
      66             : static GEN
      67    37549658 : T2(struct abpq *A, long n1)
      68             : {
      69    37549658 :   GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      70    37597191 :   GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
      71    37603808 :   return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
      72             : }
      73             : 
      74             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      75             : void
      76    70535870 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      77             : {
      78             :   struct abpq_res L, R;
      79             :   GEN u1, u2;
      80             :   pari_sp av;
      81             :   long n;
      82    70535870 :   switch(n2 - n1)
      83             :   {
      84             :     GEN b, q;
      85          63 :     case 1:
      86          63 :       r->P = A->p[n1];
      87          63 :       r->Q = A->q[n1];
      88          63 :       r->B = A->b[n1];
      89          63 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      90    37745920 :       return;
      91    23063980 :     case 2:
      92    23063980 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      93    22901838 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      94    22874129 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      95    22881227 :       av = avma;
      96    22881227 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
      97    22921429 :       return;
      98             : 
      99    15033705 :     case 3:
     100    15033705 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
     101    14971074 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     102    14961382 :       r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
     103    14959886 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     104    14952891 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     105    14961765 :       av = avma;
     106    14961765 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     107    14942982 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
     108    14962080 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     109    14824428 :       return;
     110             :   }
     111             : 
     112    32438122 :   av = avma;
     113    32438122 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     114    32438122 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     115    32466647 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     116             : 
     117    32497807 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     118    32279417 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     119    32235343 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     120    32265115 :   u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
     121    32192533 :   u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
     122    32207396 :   r->T = addii(u1,u2);
     123    32220262 :   set_avma(av);
     124    32204521 :   r->P = icopy(r->P);
     125    32513500 :   r->Q = icopy(r->Q);
     126    32568422 :   r->B = icopy(r->B);
     127    32570125 :   r->T = icopy(r->T);
     128             : }
     129             : 
     130             : /********************************************************************/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /**                               PI                               **/
     133             : /**                                                                **/
     134             : /********************************************************************/
     135             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     136             : static void
     137       83878 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     138       83878 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
     139             : 
     140             : /*                         ----
     141             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     142             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     143             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     144             :  *                         n>=0
     145             :  *
     146             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     147             : static GEN
     148       41339 : pi_ramanujan(long prec)
     149             : {
     150       41339 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     151       41339 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     152             :   long n, nmax, prec2;
     153             :   struct abpq_res R;
     154             :   struct abpq S;
     155             :   GEN D, u;
     156             : 
     157       41339 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     158             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     159       40811 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     160             : #else
     161         525 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     162             : #endif
     163       41339 :   abpq_init(&S, nmax);
     164       41338 :   S.a[0] = utoipos(A);
     165       41334 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     166      322905 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     167             :   {
     168      281597 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     169      281500 :     S.b[n] = gen_1;
     170      281500 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     171      281602 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     172             :   }
     173       41308 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPREC64;
     174       41339 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     175       41334 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     176             : }
     177             : 
     178             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     179             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     180             : static GEN
     181             : pi_brent_salamin(long prec)
     182             : {
     183             :   GEN A, B, C;
     184             :   pari_sp av2;
     185             :   long i, G;
     186             : 
     187             :   G = - prec2nbits(prec);
     188             :   incrprec(prec);
     189             : 
     190             :   A = real2n(-1, prec);
     191             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     192             :   setexpo(A, 0);
     193             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     194             :   for (i = 0;; i++)
     195             :   {
     196             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     197             :     pari_sp av3 = avma;
     198             :     if (expo(B_A) < G) break;
     199             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     200             :     b = mulrr(A,B);
     201             :     affrr(a, A);
     202             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
     203             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     204             :     affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
     205             :   }
     206             :   shiftr_inplace(C, 2);
     207             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     208             : }
     209             : #endif
     210             : 
     211             : GEN
     212    46134202 : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216    46134202 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218       41067 :   av = avma;
     219       41067 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     220       41347 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     221       41345 :   return gc_const(av, gpi);
     222             : }
     223             : 
     224             : GEN
     225    46133804 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     226             : 
     227             : /* Pi * 2^n */
     228             : GEN
     229    31251755 : Pi2n(long n, long prec)
     230             : {
     231    31251755 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     232    31251720 :   return x;
     233             : }
     234             : 
     235             : /* I * Pi * 2^n */
     236             : GEN
     237      280190 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     238             : 
     239             : /* 2I * Pi */
     240             : GEN
     241      267723 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     242             : 
     243             : /********************************************************************/
     244             : /**                                                                **/
     245             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     246             : /**                                                                **/
     247             : /********************************************************************/
     248             : 
     249             : GEN
     250       57674 : consteuler(long prec)
     251             : {
     252             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     253             :   long l, n1, n, k, x;
     254             :   pari_sp av1, av2;
     255             : 
     256       57674 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     257             : 
     258         501 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     259             : 
     260         501 :   incrprec(prec);
     261             : 
     262         501 :   l = prec+EXTRAPREC64; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
     263         501 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     264         501 :   b = real_1(l);
     265         501 :   v = real_1(l);
     266         501 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     267         501 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     268         501 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     269             :   {
     270         501 :     ulong xx = x*x;
     271         501 :     av2 = avma;
     272      165353 :     for (k=1; k<n1; k++)
     273             :     {
     274      164852 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     275      164882 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     276      164886 :       affrr(addrr(u,a), u);
     277      164872 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     278             :     }
     279        1002 :     for (   ; k<=n; k++)
     280             :     {
     281         501 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     282         501 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     283         501 :       affrr(addrr(u,a), u);
     284         501 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     285             :     }
     286             :   }
     287             :   else
     288             :   {
     289           0 :     GEN xx = sqru(x);
     290           0 :     av2 = avma;
     291           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     292             :     {
     293           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     294           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     295           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     296           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     297             :     }
     298           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     299             :     {
     300           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     301           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     302           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     303           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     304             :     }
     305             :   }
     306         501 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     307         501 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     308         501 :   return gc_const(av1, geuler);
     309             : }
     310             : 
     311             : GEN
     312       57674 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     313             : 
     314             : /********************************************************************/
     315             : /**                                                                **/
     316             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     317             : /**                                                                **/
     318             : /********************************************************************/
     319             : /*        inf  256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
     320             :  * 64 G = SUM  ------------------------------------------
     321             :  *        i=1             i^3 (2i-1) (6i)!^2           */
     322             : static GEN
     323          14 : catalan(long prec)
     324             : {
     325          14 :   long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
     326             :   struct abpq_res R;
     327             :   struct abpq A;
     328             :   GEN u;
     329          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     330          14 :   A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     331        1750 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     332             :   {
     333        1736 :     A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
     334        1736 :     A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
     335        1736 :     A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
     336        1736 :     A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
     337             :   }
     338          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     339          14 :   u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
     340          14 :   shiftr_inplace(u, -6); return u;
     341             : }
     342             : 
     343             : GEN
     344          14 : constcatalan(long prec)
     345             : {
     346          14 :   pari_sp av = avma;
     347             :   GEN tmp;
     348          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     349          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     350          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     351          14 :   return gc_const(av, gcatalan);
     352             : }
     353             : 
     354             : GEN
     355          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     356             : 
     357             : /********************************************************************/
     358             : /**                                                                **/
     359             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     360             : /**                                                                **/
     361             : /********************************************************************/
     362             : static GEN
     363     2007019 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     364     6515549 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
     365             : static GEN
     366         329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
     367         735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
     368             : 
     369             : GEN
     370     3876168 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     371             : {
     372     3876168 :   pari_sp av = avma;
     373     3876168 :   if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     374     3876193 :   switch(typ(x))
     375             :   {
     376     1611728 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     377      257390 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     378           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     379          14 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     380     2007005 :     case t_VEC:
     381             :     case t_COL:
     382     2007005 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     383          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x);
     384             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
     385             :   }
     386     1869133 :   return gerepileupto(av, x);
     387             : }
     388             : 
     389             : GEN
     390        1967 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
     391             :               GEN x, long prec)
     392             : {
     393        1967 :   pari_sp av = avma;
     394        1967 :   if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     395        1967 :   switch(typ(x))
     396             :   {
     397         343 :     case t_INT:    x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
     398        1260 :     case t_FRAC:   x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
     399           0 :     case t_QUAD:   x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
     400          70 :     case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     401         259 :     case t_VEC:
     402             :     case t_COL:
     403         259 :     case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
     404          35 :     default: pari_err_TYPE(fun,x);
     405             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
     406             :   }
     407        1673 :   return gerepileupto(av, x);
     408             : }
     409             : 
     410             : /*******************************************************************/
     411             : /*                                                                 */
     412             : /*                            POWERING                             */
     413             : /*                                                                 */
     414             : /*******************************************************************/
     415             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     416             : static GEN
     417      147079 : mpexp0(GEN x)
     418             : {
     419      147079 :   long e = expo(x);
     420      147079 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     421             : }
     422             : static GEN
     423       21139 : powr0(GEN x)
     424       21139 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     425             : 
     426             : /* assume typ(x) = t_VEC */
     427             : static int
     428          49 : is_ext_qfr(GEN x)
     429          35 : { return lg(x) == 3 && typ(gel(x,1)) == t_QFB && !qfb_is_qfi(gel(x,1))
     430          84 :                     && typ(gel(x,2)) == t_REAL; }
     431             : 
     432             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
     433             : static GEN
     434      375048 : scalarpol_get_1(GEN x)
     435             : {
     436      375048 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     437      375048 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     438      375048 :   gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
     439             : }
     440             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     441             : static GEN
     442     2727769 : gpowg0(GEN x)
     443             : {
     444             :   long lx, i;
     445             :   GEN y;
     446             : 
     447     2727769 :   switch(typ(x))
     448             :   {
     449     2307024 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     450     2307024 :       return gen_1;
     451             : 
     452           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     453       38105 :     case t_COMPLEX: {
     454       38105 :       pari_sp av = avma;
     455       38105 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     456       38105 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     457       38105 :       if (a == gen_1) return b;
     458          14 :       if (b == gen_1) return a;
     459           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     460             :     }
     461         133 :     case t_INTMOD:
     462         133 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     463         133 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     464         133 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     465         133 :       return y;
     466             : 
     467        7287 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     468             : 
     469        1536 :     case t_POLMOD:
     470        1536 :       retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
     471             : 
     472          28 :     case t_RFRAC:
     473          28 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     474      373484 :     case t_POL: case t_SER:
     475      373484 :       return scalarpol_get_1(x);
     476             : 
     477          84 :     case t_MAT:
     478          84 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     479          77 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     480          77 :       y = matid(lx-1);
     481         252 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     482          77 :       return y;
     483          21 :     case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
     484             :     /* fall through handle extended t_QFB */
     485          28 :     case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
     486          49 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     487             :   }
     488          12 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     489             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     490             : }
     491             : 
     492             : static GEN
     493     6389352 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     494             : static GEN
     495     4157652 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     496             : static GEN
     497      785143 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     498             : static GEN
     499    81883820 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     500             : static GEN
     501    29989046 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     502             : static GEN
     503    16314092 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     504             : static GEN
     505     7153196 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     506             : static GEN
     507       14196 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     508             : 
     509             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     510             :  *
     511             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     512             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     513             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     514             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     515             : static GEN
     516   111323082 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     517             : {
     518             :   pari_sp av;
     519             :   GEN y;
     520             : 
     521   111323082 :   if (lgefint(a) == 3)
     522             :   { /* easy if |a| < 3 */
     523   109765424 :     ulong q = a[2];
     524   109765424 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     525   100465343 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     526    74964600 :     q = upowuu(q, N);
     527    74967819 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     528             :   }
     529    32703896 :   if (N <= 2) {
     530     1830631 :     if (N == 2) return sqri(a);
     531       18563 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     532             :   }
     533    30873265 :   av = avma;
     534    30873265 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     535    30873518 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     536             : }
     537             : /* a^n */
     538             : GEN
     539   111170097 : powiu(GEN a, ulong n)
     540             : {
     541             :   long s;
     542   111170097 :   if (!n) return gen_1;
     543   110019415 :   s = signe(a);
     544   110019415 :   if (!s) return gen_0;
     545   109937903 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     546             : }
     547             : GEN
     548    21279957 : powis(GEN a, long n)
     549             : {
     550             :   long s;
     551             :   GEN t, y;
     552    21279957 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     553      630382 :   s = signe(a);
     554      630382 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     555      630381 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     556      630381 :   if (is_pm1(a)) return t;
     557             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     558      627861 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     559      627860 :   gel(y,1) = t;
     560      627860 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     561      627859 :   return y;
     562             : }
     563             : GEN
     564    45284170 : powuu(ulong p, ulong N)
     565             : {
     566             :   pari_sp av;
     567             :   ulong pN;
     568             :   GEN y;
     569    45284170 :   if (!p) return gen_0;
     570    45284093 :   if (N <= 2)
     571             :   {
     572    39956959 :     if (N == 2) return sqru(p);
     573    37898723 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     574     4930974 :     return gen_1;
     575             :   }
     576     5327134 :   pN = upowuu(p, N);
     577     5327147 :   if (pN) return utoipos(pN);
     578      986878 :   if (p == 2) return int2u(N);
     579      973469 :   av = avma;
     580      973469 :   y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
     581      973469 :   return gerepileuptoint(av, y);
     582             : }
     583             : 
     584             : /* return 0 if overflow */
     585             : static ulong
     586    21529410 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     587             : ulong
     588   112070662 : upowuu(ulong p, ulong k)
     589             : {
     590             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     591    96185550 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     592    96185550 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     593    96185550 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     594    96185550 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     595    96185550 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     596    96185550 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     597    96185550 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     598    96185550 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     599    96185550 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     600    96185550 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     601    96185550 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     602    96185550 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     603    96185550 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     604    96185550 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     605    96185550 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     606    96185550 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     607    96185550 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     608    96185550 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     609             : #else
     610    15885112 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     611    15885112 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     612    15885112 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     613    15885112 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     614    15885112 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     615    15885112 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     616    15885112 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     617    15885112 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     618    15885112 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     619    15885112 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     620    15885112 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     621    15885112 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     622    15885112 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     623    15885112 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     624    15885112 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     625    15885112 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     626    15885112 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     627    15885112 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     628             : #endif
     629             : 
     630   112070662 :   if (p <= 2)
     631             :   {
     632     9719452 :     if (p < 2) return p;
     633     9172688 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     634             :   }
     635   102351210 :   switch(k)
     636             :   {
     637             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     638     8717476 :     case 0:  return 1;
     639    26831112 :     case 1:  return p;
     640    21529408 :     case 2:  return usqru(p);
     641     4166304 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     642    11526152 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     643     2336218 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     644     6982461 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     645      614440 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     646      915328 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     647      650751 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     648     4992555 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     649      376535 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     650     4795857 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     651      107248 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     652     4753564 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     653      166124 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     654      105741 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     655      107681 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     656       53989 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     657       80675 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     658       42207 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     659       70373 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     660       39403 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     661      826994 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     662      772974 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     663       81929 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     664       39351 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     665             :   }
     666             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     667     1499807 :   switch(p)
     668             :   {
     669      221569 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     670      161749 :       break;
     671       17034 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     672         780 :       return 1UL<<(2*k);
     673      637551 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     674       20316 :       break;
     675       49650 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     676        9180 :       break;
     677       56830 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     678        3045 :       break;
     679      517173 :     default: return 0;
     680             :   }
     681             :   /* no overflow */
     682             :   {
     683      194290 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     684      194290 :     q *= q ;
     685      194290 :     return odd(k)? q*p: q;
     686             :   }
     687             : #else
     688      222218 :   return 0;
     689             : #endif
     690             : }
     691             : 
     692             : GEN
     693       12017 : upowers(ulong x, long n)
     694             : {
     695             :   long i;
     696       12017 :   GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
     697       12017 :   uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
     698       12017 :   uel(p,2) = x;
     699       91465 :   for (i = 3; i <= n; i++)
     700       79448 :     uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
     701       12017 :   return p;
     702             : }
     703             : 
     704             : typedef struct {
     705             :   long prec, a;
     706             :   GEN (*sqr)(GEN);
     707             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     708             : } sr_muldata;
     709             : 
     710             : static GEN
     711     1617907 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     712             : {
     713     1617907 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     714     1617907 :   if (typ(x) == t_INT && lg2prec(lgefint(x)) >= D->prec)
     715             :   { /* switch to t_REAL */
     716      158021 :     D->sqr   = &sqrr;
     717      158021 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     718             :   }
     719     1617907 :   return D->sqr(x);
     720             : }
     721             : 
     722             : static GEN
     723      627925 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     724             : {
     725      627925 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     726      627925 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     727      627925 :   return D->mulug(D->a, x2);
     728             : }
     729             : 
     730             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     731             : GEN
     732      445066 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     733             : {
     734             :   pari_sp av;
     735             :   GEN y, z;
     736             :   sr_muldata D;
     737             : 
     738      445066 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     739      445066 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     740      445066 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     741      439932 :   z = cgetr(prec);
     742      439932 :   av = avma;
     743      439932 :   D.sqr   = &sqri;
     744      439932 :   D.mulug = &mului;
     745      439932 :   D.prec = prec;
     746      439932 :   D.a = (long)a;
     747      439932 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     748      439932 :   mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
     749             : }
     750             : 
     751             : GEN
     752     5103671 : powrs(GEN x, long n)
     753             : {
     754     5103671 :   pari_sp av = avma;
     755             :   GEN y;
     756     5103671 :   if (!n) return powr0(x);
     757     5103671 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     758     5104461 :   if (n < 0) y = invr(y);
     759     5104154 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     760             : }
     761             : GEN
     762     6137188 : powru(GEN x, ulong n)
     763             : {
     764     6137188 :   pari_sp av = avma;
     765             :   GEN y;
     766     6137188 :   if (!n) return powr0(x);
     767     6116567 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     768     6116414 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     769             : }
     770             : 
     771             : GEN
     772       14196 : powersr(GEN x, long n)
     773             : {
     774       14196 :   long prec = realprec(x);
     775       14196 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     776             : }
     777             : 
     778             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     779             : GEN
     780           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     781             : {
     782           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     783           0 :   return powrs(x, s>>1);
     784             : }
     785             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     786             : GEN
     787      120407 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     788             : {
     789      120407 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     790        8002 :   return powru(x, s>>1);
     791             : }
     792             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     793             : GEN
     794         518 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     795             : {
     796             :   long z;
     797         518 :   if (!n) return powr0(x);
     798           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     799           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     800           0 :   x = powrs(x, n);
     801           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     802           0 :   return sqrtnr(x, d);
     803             : }
     804             : 
     805             : /* assume x != 0 */
     806             : static GEN
     807      647028 : pow_monome(GEN x, long n)
     808             : {
     809      647028 :   long i, d, dx = degpol(x);
     810             :   GEN A, b, y;
     811             : 
     812      647028 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     813             : 
     814      647028 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     815           8 :   {
     816             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     817           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     818           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     819           9 :     d += 2;
     820             :   }
     821             :   else
     822      647019 :     d = dx*n + 2;
     823      647028 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     824      647021 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     825     6138156 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     826      647021 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     827      647021 :   if (!y) y = A;
     828             :   else {
     829       20482 :     GEN c = denom_i(b);
     830       20482 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     831       20482 :     gel(y,2) = A;
     832             :   }
     833      647021 :   gel(A,d) = b; return y;
     834             : }
     835             : 
     836             : /* q*p^v */
     837             : static GEN
     838     1317011 : mulpowu(GEN q, GEN p, ulong v)
     839             : {
     840     1317011 :   pari_sp av = avma;
     841     1317011 :   if (v == 0) return icopy(q);
     842       86758 :   return gerepileuptoint(av, mulii(q, powiu(p,v)));
     843             : }
     844             : 
     845             : /* x t_PADIC, n != 0 */
     846             : static GEN
     847     1316947 : powps(GEN x, long n)
     848             : {
     849     1316947 :   long e = valp(x), v;
     850     1316947 :   GEN p = padic_p(x);
     851             : 
     852     1316947 :   if (e)
     853             :   {
     854         658 :     pari_sp av = avma;
     855         658 :     e = itos_or_0(mulss(e, n));
     856         658 :     if (!e) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     857         658 :     set_avma(av);
     858             :   }
     859     1316947 :   if (!signe(padic_u(x))) {
     860          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     861          77 :     return zeropadic(p, e);
     862             :   }
     863     1316863 :   v = z_pval(n, p);
     864     1316865 :   if (v && precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     865     1316865 :   retmkpadic_i(Fp_pows(padic_u(x), n, _pd), icopy(p),
     866             :                mulpowu(padic_pd(x), p, v), e, precp(x) + v);
     867             : }
     868             : /* x t_PADIC */
     869             : static GEN
     870         161 : powp(GEN x, GEN n)
     871             : {
     872         161 :   GEN p = padic_p(x);
     873             :   long v;
     874             : 
     875         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     876         161 :   if (!signe(padic_u(x))) {
     877          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     878           7 :     return zeropadic(p, 0);
     879             :   }
     880         147 :   v = Z_pval(n, p);
     881         147 :   retmkpadic_i(Fp_pow(padic_u(x), n, _pd), icopy(p),
     882             :                mulpowu(padic_pd(x), p, v), 0, precp(x) + v);
     883             : }
     884             : static GEN
     885       23893 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     886             : {
     887       23893 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     888       23893 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     889       23893 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     890        1269 :     a = powgi(a, n);
     891             :   else {
     892       22624 :     pari_sp av = avma;
     893       22624 :     GEN p = NULL;
     894       22624 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     895             :     {
     896        8771 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     897        8771 :       if (lgefint(p) == 3)
     898             :       {
     899        8764 :         ulong pp = p[2];
     900        8764 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     901        8764 :         a = Flx_to_ZX(a);
     902             :       }
     903             :       else
     904           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     905        8771 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     906        8771 :       a = gerepileupto(av, a);
     907             :     }
     908             :     else
     909             :     {
     910       13853 :       set_avma(av);
     911       13853 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     912             :     }
     913             :   }
     914       23893 :   gel(z,2) = a; return z;
     915             : }
     916             : 
     917             : GEN
     918   117074810 : gpowgs(GEN x, long n)
     919             : {
     920             :   long m;
     921             :   pari_sp av;
     922             :   GEN y;
     923             : 
     924   117074810 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     925   115208559 :   if (n == 1)
     926             :   {
     927    73973156 :     long t = typ(x);
     928    73973156 :     if (is_scalar_t(t)) return gcopy(x);
     929      717611 :     switch(t)
     930             :     {
     931      664513 :       case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: case t_MAT: case t_VECSMALL:
     932      664513 :         return gcopy(x);
     933          21 :       case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
     934             :       /* fall through handle extended t_QFB */
     935       53084 :       case t_QFB: return qfbred(x);
     936             :     }
     937          14 :     pari_err_TYPE("gpow", x);
     938             :   }
     939    41235533 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     940    32761366 :   switch(typ(x))
     941             :   {
     942    21098416 :     case t_INT: return powis(x,n);
     943     5094790 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     944       29368 :     case t_INTMOD:
     945       29368 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     946       29368 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     947       29368 :       return y;
     948      378487 :     case t_FRAC:
     949             :     {
     950      378487 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     951      378487 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     952      378487 :       if (n < 0) {
     953        3045 :         n = -n;
     954        3045 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     955        2821 :         swap(a, b);
     956             :       }
     957      378263 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     958      378263 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     959      378263 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     960      378263 :       return y;
     961             :     }
     962     1316947 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     963      248997 :     case t_RFRAC:
     964             :     {
     965      248997 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     966      248997 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     967      248997 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     968      248997 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     969      248997 :       return gerepileupto(av,y);
     970             :     }
     971       23886 :     case t_POLMOD: {
     972       23886 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     973       23886 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     974             :     }
     975           7 :     case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow", x);
     976             :     /* fall through handle extended t_QFB */
     977     1318303 :     case t_QFB: return qfbpows(x, n);
     978     1355126 :     case t_POL:
     979     1355126 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     980             :     default: {
     981     2605144 :       pari_sp av = avma;
     982     2605144 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     983     2605168 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     984     2605176 :       return gerepileupto(av,y);
     985             :     }
     986             :   }
     987             : }
     988             : 
     989             : /* n a t_INT */
     990             : GEN
     991   104610646 : powgi(GEN x, GEN n)
     992             : {
     993             :   GEN y;
     994             : 
     995   104610646 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     996             :   /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
     997       25543 :   switch(typ(x))
     998             :   {
     999       25256 :     case t_INTMOD:
    1000       25256 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
    1001       25261 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
    1002       25268 :       return y;
    1003         101 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
    1004         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
    1005             : 
    1006          35 :     case t_INT:
    1007          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
    1008          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
    1009           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
    1010           7 :       return gen_0;
    1011           7 :     case t_FRAC:
    1012           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
    1013             : 
    1014           0 :     case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow",x);
    1015             :     /* fall through handle extended t_QFB */
    1016          18 :     case t_QFB: return qfbpow(x, n);
    1017           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
    1018           7 :     default: {
    1019           7 :       pari_sp av = avma;
    1020           7 :       y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1021           7 :       if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
    1022           7 :       return gerepilecopy(av,y);
    1023             :     }
    1024             :   }
    1025             : }
    1026             : 
    1027             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1028             : static GEN
    1029        8022 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1030             : {
    1031             :   long lx, mi, i, j, d;
    1032        8022 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1033        8022 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
    1034       74347 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1035        8022 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1036      111741 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1037             :   {
    1038      103719 :     pari_sp av = avma;
    1039      103719 :     GEN s = gen_0;
    1040      494319 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1041             :     {
    1042      390600 :       GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
    1043      390600 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1044             :     }
    1045      103719 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
    1046             :   }
    1047        8022 :   return y;
    1048             : }
    1049             : 
    1050             : /* we suppose n != 0, valser(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1051             : static GEN
    1052        8127 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1053             : {
    1054             :   GEN y, c, lead;
    1055        8127 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1056        8022 :   lead = gel(x,2);
    1057        8022 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1058        7567 :   x = ser_normalize(x);
    1059        7567 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1060         210 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1061             :   else
    1062        7357 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1063        7567 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1064             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1065        7567 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1066        7567 :   return y;
    1067             : }
    1068             : 
    1069             : static long
    1070        8036 : val_from_i(GEN E)
    1071             : {
    1072        8036 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1073        8029 :   return itos(E);
    1074             : }
    1075             : 
    1076             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1077             : static GEN
    1078        8043 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1079             : {
    1080        8043 :   GEN y, E = gmulsg(valser(x), q);
    1081             :   long e;
    1082             : 
    1083        8043 :   if (!signe(x))
    1084             :   {
    1085          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1086          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1087             :   }
    1088        8022 :   if (typ(E) != t_INT)
    1089           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1090        8015 :   e = val_from_i(E);
    1091        8015 :   y = leafcopy(x); setvalser(y, 0);
    1092        8015 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1093        8015 :   setvalser(y, e); return y;
    1094             : }
    1095             : 
    1096             : static GEN
    1097         126 : gpow0(GEN z, GEN x, long prec)
    1098             : {
    1099         126 :   pari_sp av = avma;
    1100         126 :   switch(typ(x))
    1101             :   {
    1102          84 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1103          84 :       break;
    1104          35 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1105         105 :       pari_APPLY_same(gpow0(z,gel(x,i),prec));
    1106           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,x)", x);
    1107             :   }
    1108          84 :   x = real_i(x);
    1109          84 :   if (gsigne(x) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,x)", "x", "<=", gen_0, x);
    1110          77 :   if (!precision(z)) return gcopy(z);
    1111             : 
    1112          14 :   z = ground(gmulsg(gexpo(z),x));
    1113          14 :   if (is_bigint(z) || uel(z,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1114           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1115           7 :   set_avma(av); return real_0_bit(itos(z));
    1116             : }
    1117             : 
    1118             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    1119             : static GEN
    1120    18859497 : modlog2(GEN x, long *sh)
    1121             : {
    1122    18859497 :   double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
    1123             :   long q;
    1124    18859515 :   if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
    1125    18859606 :   q = d < 0 ? - (long) qd: (long) qd;
    1126    18859606 :   *sh = q;
    1127    18859606 :   if (q) {
    1128    15624022 :     long l = realprec(x) + EXTRAPRECWORD;
    1129    15624022 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    1130    15623816 :     if (!signe(x)) return NULL;
    1131             :   }
    1132    18859400 :   return x;
    1133             : }
    1134             : 
    1135             : /* x^n, n a t_FRAC */
    1136             : static GEN
    1137    10528971 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
    1138             : {
    1139    10528971 :   GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
    1140    10528971 :   long D = itos_or_0(d);
    1141    10528644 :   if (D == 2)
    1142             :   {
    1143     8930289 :     GEN y = gsqrt(x,prec);
    1144     8930539 :     if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
    1145     8931085 :     return y;
    1146             :   }
    1147     1598355 :   if (D && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
    1148             :   { /* x^n = x^q * x^(r/D) */
    1149     1594192 :     GEN z, r, q = truedvmdis(a, D, &r);
    1150     1594203 :     if (typ(x) == t_REAL)
    1151             :     {
    1152      171858 :       z = sqrtnr(x, D);
    1153      171858 :       if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
    1154      171858 :       if (signe(q)) z = gmul(z, powgi(x, q));
    1155             :     }
    1156             :     else
    1157             :     {
    1158     1422345 :       GEN X = x;
    1159     1422345 :       x = gtofp(x, prec + nbits2extraprec(expi(r)));
    1160     1422345 :       z = sqrtnr(x, D);
    1161     1422345 :       if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
    1162     1422345 :       if (signe(q))
    1163             :       {
    1164       17068 :         long e = typ(X)==t_INT? expi(X): maxuu(expi(gel(X,1)), expi(gel(X,2)));
    1165       17068 :         z = gmul(z, powgi(cmpiu(muliu(q,e), realprec(x)) > 0? x: X, q));
    1166             :       }
    1167             :     }
    1168     1594203 :     return z;
    1169             :   }
    1170        4163 :   return NULL;
    1171             : }
    1172             : 
    1173             : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
    1174             :  * log(x) must be computed to evaluate x^n */
    1175             : long
    1176      192848 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
    1177             : {
    1178      192848 :   GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    1179      192848 :   long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
    1180      192848 :   e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
    1181      192848 :   return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
    1182             : }
    1183             : GEN
    1184     5520675 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
    1185             : {
    1186     5520675 :   GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
    1187     5521698 :   long sh, p = realprec(logx);
    1188     5521698 :   switch(typ(a))
    1189             :   {
    1190       49882 :     case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
    1191     5378134 :     case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
    1192     5378013 :                  if (xa) break;
    1193             :     default:
    1194       93732 :       xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
    1195       93743 :       if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
    1196             :       else
    1197             :       {
    1198       93743 :         if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setprec(xa, prec);
    1199       93743 :         xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
    1200             :       }
    1201             :   }
    1202     5521542 :   if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
    1203     5521542 :   if (gexpo(xb) > 30)
    1204             :   {
    1205     5184326 :     GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
    1206     5183308 :     shiftr_inplace(P, 1);
    1207     5181333 :     q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    1208     5159310 :     xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2  */
    1209     5182712 :     sh = Mod4(q);
    1210             :   }
    1211             :   else
    1212             :   {
    1213      336888 :     long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
    1214      336886 :     if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    1215      336878 :     sh = q & 3;
    1216             :   }
    1217     5518558 :   if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setprec(xb, prec);
    1218     5518558 :   mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
    1219     5523978 :   return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
    1220             : }
    1221             : 
    1222             : GEN
    1223    21646898 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1224             : {
    1225    21646898 :   long i, prec0, tx, tn = typ(n);
    1226             :   pari_sp av;
    1227             :   GEN y;
    1228             : 
    1229    21646898 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1230     6109817 :   tx = typ(x);
    1231     6109901 :   if (is_matvec_t(tx)) pari_APPLY_same(gpow(gel(x,i),n,prec));
    1232     6109873 :   av = avma;
    1233     6109873 :   switch (tx)
    1234             :   {
    1235          28 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1236        7560 :     case t_SER:
    1237        7560 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1238         140 :       if (valser(x))
    1239          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1240             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1241         119 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1242         112 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1243             :   }
    1244     6102303 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1245     6102235 :   if (tn == t_FRAC)
    1246             :   {
    1247     5154477 :     GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
    1248     5154477 :     switch (tx)
    1249             :     {
    1250     1481235 :     case t_INT:
    1251     1481235 :       if (signe(x) < 0)
    1252             :       {
    1253          42 :         if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
    1254             :         {
    1255          21 :           z = powgi(z, a);
    1256          21 :           if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
    1257     5150261 :           return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
    1258             :         }
    1259          21 :         break;
    1260             :       }
    1261     1481193 :       if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
    1262     1479233 :       break;
    1263       70030 :     case t_FRAC:
    1264       70030 :       if (signe(gel(x,1)) < 0)
    1265             :       {
    1266          28 :         if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
    1267           7 :           return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
    1268          21 :         break;
    1269             :       }
    1270       70002 :       if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
    1271       68630 :       break;
    1272             : 
    1273          21 :     case t_INTMOD:
    1274          21 :       p = gel(x,1);
    1275          21 :       if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1276          14 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1277          14 :       av = avma;
    1278          14 :       z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1279          14 :       if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1280           7 :       gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1281           7 :       return y;
    1282             : 
    1283          14 :     case t_PADIC:
    1284          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1285           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1286             : 
    1287          21 :     case t_FFELT:
    1288          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1289             :     }
    1290     5151061 :     z = powfrac(x, n, prec);
    1291     5151223 :     if (z) return gerepileupto(av, z);
    1292             :   }
    1293      951868 :   if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
    1294             :   {
    1295      180997 :     long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
    1296      180996 :     return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
    1297             :   }
    1298      770871 :   if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, padic_p(n), precp(n));
    1299      770871 :   i = precision(n);
    1300      770872 :   if (i) prec = i;
    1301      770872 :   prec0 = prec;
    1302      770872 :   if (!gprecision(x))
    1303             :   {
    1304       39472 :     long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
    1305       39472 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
    1306             :   }
    1307      770872 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1308      770844 :   y = gexp(y,prec);
    1309      770844 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1310       29246 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1311             : }
    1312             : GEN
    1313       11683 : powPis(GEN s, long prec)
    1314             : {
    1315       11683 :   pari_sp av = avma;
    1316             :   GEN x;
    1317       11683 :   if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
    1318         490 :   x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
    1319         490 :   return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
    1320             : }
    1321             : GEN
    1322       12187 : pow2Pis(GEN s, long prec)
    1323             : {
    1324       12187 :   pari_sp av = avma;
    1325             :   GEN x;
    1326       12187 :   if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
    1327        1876 :   x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
    1328        1876 :   return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
    1329             : }
    1330             : 
    1331             : GEN
    1332      208017 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1333             : {
    1334             :   long i, l;
    1335             :   GEN V;
    1336      208017 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1337      193535 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1338      193535 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1339     7604437 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1340      193588 :   return V;
    1341             : }
    1342             : 
    1343             : GEN
    1344      785147 : gpowers(GEN x, long n)
    1345             : {
    1346      785147 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1347      785140 :   return gen_powers(x, n, 0, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1348             : }
    1349             : 
    1350             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1351             : GEN
    1352       39711 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1353             : {
    1354       39711 :   pari_sp av = avma;
    1355       39711 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1356       39711 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1357             :   long i;
    1358       39711 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1359     6737729 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1360       39711 :   return gerepileupto(av, v);
    1361             : }
    1362             : 
    1363             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1364             : static GEN
    1365     1005892 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1366             : {
    1367     1005892 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1368     1005892 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1369             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1370             : 
    1371     1005892 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1372     1005893 :   if (odd(N4)) N8++;
    1373     1115196 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1374             :   {
    1375      109304 :     GEN t = v[i];
    1376      109304 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1377      109304 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1378             :   }
    1379     2541802 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1380     4077704 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1381     1005887 :   return RU;
    1382             : }
    1383             : 
    1384             : /* as above, N arbitrary */
    1385             : GEN
    1386     1171938 : grootsof1(long N, long prec)
    1387             : {
    1388             :   GEN z, RU, *v;
    1389             :   long i, k;
    1390             : 
    1391     1171938 :   if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
    1392     1171924 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1393      166032 :   if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
    1394       45613 :   k = (N+1)>>1;
    1395       45613 :   RU = cgetg(N+1,t_COL);
    1396       45613 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1397       45613 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1398      108658 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1399       45613 :   if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
    1400      154271 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1401       45613 :   return RU;
    1402             : }
    1403             : 
    1404             : /********************************************************************/
    1405             : /**                                                                **/
    1406             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1407             : /**                                                                **/
    1408             : /********************************************************************/
    1409             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1410             : GEN
    1411      144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1412             : {
    1413      144690 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1414             :   GEN z;
    1415             :   long ez;
    1416             :   pari_sp av;
    1417             : 
    1418      144690 :   switch(e)
    1419             :   {
    1420           7 :     case 1: return gen_1;
    1421         161 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1422          28 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1423       71064 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1424       35133 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1425       73430 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1426             :   }
    1427       73430 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1428       73430 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1429             :   for(;;)
    1430       47978 :   {
    1431             :     GEN mod;
    1432      121408 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1433      121408 :     if (ez > e) ez = e;
    1434      121408 :     mod = int2n(ez);
    1435      121408 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1436      121408 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1437      121408 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1438       47978 :     if (ez < e) ez--;
    1439       47978 :     if (gc_needed(av,2))
    1440             :     {
    1441           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1442           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1443             :     }
    1444             :   }
    1445             : }
    1446             : 
    1447             : static GEN
    1448        1834 : Up_sqrt(GEN u, GEN p, GEN pd, long d, long D)
    1449        1834 : { retmkpadic(Zp_sqrt(u, p, d), icopy(p), icopy(pd), 0, D); }
    1450             : 
    1451             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1452             : GEN
    1453        1862 : Qp_sqrt(GEN x)
    1454             : {
    1455        1862 :   long D, d, e = valp(x);
    1456        1862 :   GEN y, mod, p = padic_p(x);
    1457             : 
    1458        1862 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1459        1848 :   if (e & 1) return NULL;
    1460             : 
    1461        1834 :   mod = padic_pd(x); D = d = precp(x); e >>= 1;
    1462        1834 :   if (absequaliu(p,2)) { D = (d <= 3) ? 1 : d-1; mod = int2n(D); }
    1463        1834 :   y = Up_sqrt(padic_u(x), p, mod, d, D);
    1464        1834 :   if (!padic_u(y)) return NULL;
    1465        1778 :   setvalp(y, e); return y;
    1466             : }
    1467             : 
    1468             : GEN
    1469         420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1470             : {
    1471         420 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1472         420 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1473             :   long j, np;
    1474         420 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1475         420 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1476           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1477         420 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1478           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1479         420 :   np = nbrows(fn);
    1480         420 :   btop = avma;
    1481        1680 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1482             :   {
    1483             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1484        1260 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1485        1260 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1486        1260 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1487        1260 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1488             :     else
    1489             :     {
    1490        1134 :       if (odd(v)) return NULL;
    1491        1134 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1492        1134 :       if (!bp)    return NULL;
    1493        1134 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1494             :     }
    1495        1260 :     mp = powiu(p, e);
    1496        1260 :     pr = mulii(m, mp);
    1497        1260 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1498        1260 :     m = pr;
    1499        1260 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1500           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1501             :   }
    1502         420 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1503             : }
    1504             : 
    1505             : static GEN
    1506       18739 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1507             : {
    1508       18739 :   long e = valser(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1509             :   ulong mask;
    1510             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1511             : 
    1512       18739 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1513       18739 :   a = leafcopy(b);
    1514       18739 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1515       18739 :   if (e & 1)
    1516          14 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
    1517       18725 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalser(0);
    1518       18725 :   lta = gel(a,2);
    1519       18725 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1520       14833 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1521       18718 :   gel(x,2) = ltx;
    1522      316771 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1523       18718 :   setlg(x,3);
    1524       18718 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1525       18718 :   lold = 1;
    1526       96715 :   while (mask > 1)
    1527             :   {
    1528       77997 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1529       77997 :     long l = lold << 1, lx;
    1530             : 
    1531       77997 :     if (mask & 1) l--;
    1532       77997 :     mask >>= 1;
    1533       77997 :     setlg(a, l + 2);
    1534       77997 :     setlg(x, l + 2);
    1535       77997 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1536      376050 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1537       77997 :     y += lold; setvalser(y, lold);
    1538       77997 :     y = normalizeser(y);
    1539       77997 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1540       77997 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1541      376043 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1542       77997 :     lold = l;
    1543             :   }
    1544       18718 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalser(e >> 1);
    1545       18718 :   return x;
    1546             : }
    1547             : 
    1548             : GEN
    1549    62737313 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1550             : {
    1551             :   pari_sp av;
    1552             :   GEN y;
    1553             : 
    1554    62737313 :   switch(typ(x))
    1555             :   {
    1556     5535223 :     case t_INT:
    1557     5535223 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1558     5535153 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1559    55989618 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1560             : 
    1561          35 :     case t_INTMOD:
    1562             :     {
    1563          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1564          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1565          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1566          21 :       if (!a)
    1567             :       {
    1568           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1569           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1570             :       }
    1571          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1572             :     }
    1573             : 
    1574     6464096 :     case t_COMPLEX:
    1575             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1576     6464096 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1577     6464096 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1578     6464096 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1579             : 
    1580     6464097 :       r = cxnorm(x);
    1581     6464087 :       if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
    1582           0 :         pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1583     6464087 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1584     6464092 :       if (!signe(r))
    1585          67 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1586     6464025 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1587             :       {
    1588             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1589             :          * positive numbers = 0 */
    1590      191475 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1591      191476 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1592      191476 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1593             :         /* v = 0 is impossible */
    1594      191476 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1595             :       } else {
    1596     6272550 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1597     6272553 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1598     6272553 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1599           7 :           v = u;
    1600             :         else
    1601     6272546 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1602             :       }
    1603     6464095 :       gel(y,1) = u;
    1604     6464095 :       gel(y,2) = v; return y;
    1605             :     }
    1606             : 
    1607          63 :     case t_PADIC:
    1608          63 :       y = Qp_sqrt(x);
    1609          63 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1610          42 :       return y;
    1611             : 
    1612        7161 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1613             : 
    1614      274386 :     default:
    1615      274386 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1616       18739 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1617             :   }
    1618      255647 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1619             : }
    1620             : /********************************************************************/
    1621             : /**                                                                **/
    1622             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1623             : /**                                                                **/
    1624             : /********************************************************************/
    1625             : 
    1626             : static GEN
    1627      304135 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
    1628             : {
    1629      304135 :   if (!signe(a))
    1630        1316 :     return zeropadic(p, e);
    1631             :   else
    1632             :   {
    1633      302819 :     long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
    1634      302819 :     retmkpadic(icopy(a), icopy(p), powiu(p, d), v, d);
    1635             :   }
    1636             : }
    1637             : 
    1638             : GEN
    1639      196211 : Qp_log(GEN x)
    1640             : {
    1641      196211 :   pari_sp av = avma;
    1642      196211 :   GEN y, p = padic_p(x), a = padic_u(x);
    1643      196211 :   long e = precp(x);
    1644             : 
    1645      196211 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1646      196190 :   if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
    1647       75508 :     y = Zp_log(a, p, e);
    1648             :   else
    1649             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1650      120682 :     GEN q = padic_pd(x), t = subiu(p, 1);
    1651      120682 :     a = Fp_pow(a, t, q);
    1652      120682 :     y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
    1653             :   }
    1654      196190 :   return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
    1655             : }
    1656             : 
    1657             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1658             : 
    1659             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1660             : static GEN
    1661         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1662             : {
    1663         854 :   pari_sp av = avma;
    1664         854 :   GEN a, p = padic_p(x), n = powiu(p,e);
    1665         854 :   long v = valp(x), va;
    1666         854 :   if (v)
    1667             :   {
    1668             :     long z;
    1669         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1670         161 :     if (z) return NULL;
    1671          91 :     x = leafcopy(x);
    1672          91 :     setvalp(x,0);
    1673             :   }
    1674             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1675         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(padic_u(x)) != 1) return NULL;
    1676         749 :   a = Qp_log(x);
    1677         749 :   va = valp(a) - e;
    1678         749 :   if (va <= 0)
    1679             :   {
    1680         287 :     if (signe(padic_u(a))) return NULL;
    1681             :     /* all accuracy lost */
    1682         119 :     a = cvtop(remii(padic_u(x),p), p, 1);
    1683             :   }
    1684             :   else
    1685             :   {
    1686         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1687         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1688         462 :     if (!a) return NULL;
    1689             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1690             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1691         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1692             :   }
    1693         581 :   if (v) setvalp(a,v);
    1694         581 :   return gerepileupto(av,a);
    1695             : }
    1696             : 
    1697             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1698             : static GEN
    1699        2002 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1700             : {
    1701             :   pari_sp av;
    1702        2002 :   GEN Z, a, r, p = padic_p(x), u = padic_u(x);
    1703        2002 :   long v = valp(x);
    1704        2002 :   if (v)
    1705             :   {
    1706             :     long z;
    1707          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1708          84 :     if (z) return NULL;
    1709             :   }
    1710        1995 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1711        1995 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1712        1995 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1713        1995 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(u, n, p, zetan);
    1714        1995 :   if (!a) return NULL;
    1715        1995 :   affii(Zp_sqrtnlift(u, n, a, p, precp(x)), padic_u(r));
    1716        1995 :   if (zetan)
    1717             :   {
    1718          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), padic_u(Z));
    1719          14 :     *zetan = Z;
    1720             :   }
    1721        1995 :   return gc_const(av,r);
    1722             : }
    1723             : 
    1724             : GEN
    1725        2534 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1726             : {
    1727             :   pari_sp av, tetpil;
    1728             :   GEN q, p;
    1729             :   long e;
    1730        2534 :   if (absequaliu(n, 2))
    1731             :   {
    1732          35 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1733          35 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1734          28 :     return Qp_sqrt(x);
    1735             :   }
    1736        2499 :   av = avma; p = padic_p(x);
    1737        2499 :   if (!signe(padic_u(x)))
    1738             :   {
    1739         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1740         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1741         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1742         203 :     set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
    1743             :   }
    1744             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1745        2296 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1746        2296 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1747        2023 :   if (is_pm1(q))
    1748             :   { /* finished */
    1749          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1750          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1751          21 :     if (zetan)
    1752          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1753          28 :                                    : gen_1;
    1754          21 :     return x;
    1755             :   }
    1756        2002 :   tetpil = avma;
    1757             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1758        2002 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1759        2002 :   if (!x) return NULL;
    1760        1995 :   if (zetan)
    1761             :   {
    1762             :     GEN *gptr[2];
    1763          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1764             :     {
    1765           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1766             :     }
    1767          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1768          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1769          14 :     return x;
    1770             :   }
    1771        1981 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1772             : }
    1773             : 
    1774             : GEN
    1775       27301 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1776             : {
    1777       27301 :   pari_sp av = avma;
    1778             :   GEN x, b, q;
    1779             :   long s, k, e;
    1780       27301 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1781       27301 :   if (n == 2) return sqrtint(a);
    1782       23059 :   if (typ(a) != t_INT)
    1783             :   {
    1784          35 :     if (typ(a) == t_REAL)
    1785             :     {
    1786             :       long e;
    1787          14 :       switch(signe(a))
    1788             :       {
    1789           0 :         case 0: return gen_0;
    1790           7 :         case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
    1791             :       }
    1792           7 :       e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
    1793           7 :       if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
    1794           0 :         a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
    1795             :       else
    1796           7 :         a = sqrtnint(truncr(a),n);
    1797             :     }
    1798             :     else
    1799             :     {
    1800          21 :       GEN b = gfloor(a);
    1801          21 :       if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
    1802          14 :       if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
    1803           7 :       a = sqrtnint(b, n);
    1804             :     }
    1805          14 :     return gerepileuptoint(av, a);
    1806             :   }
    1807       23024 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1808       23017 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1809       20861 :   s = signe(a);
    1810       20861 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1811       20861 :   if (!s) return gen_0;
    1812       20784 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1813       14553 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1814       14553 :   if (k == 0)
    1815             :   {
    1816             :     long flag;
    1817         291 :     if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
    1818         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
    1819         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1820             :   }
    1821       14262 :   if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
    1822             :   {
    1823             :     ulong xs, qs;
    1824        7128 :     b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
    1825        7128 :     x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1826        7128 :     xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
    1827             :     for(;;) {
    1828       14078 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1829       14078 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1830       14071 :       qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
    1831        6950 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1832             :     }
    1833        7128 :     return utoi(xs);
    1834             :   }
    1835        7134 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1836        7134 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1837        7134 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1838       15994 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1839             :   {
    1840        8860 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1841        8860 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1842             :   }
    1843        7134 :   return gerepileuptoleaf(av, x);
    1844             : }
    1845             : 
    1846             : ulong
    1847        8114 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1848             : {
    1849             :   ulong x, s, q;
    1850        8114 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1851        8114 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1852        8114 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1853        8114 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1854        8114 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1855       21073 :   while (q < x) {
    1856             :     ulong X;
    1857       12959 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1858       12959 :     X = upowuu(x, nm1);
    1859       12959 :     q = X? a/X: 0;
    1860             :   }
    1861        8114 :   return x;
    1862             : }
    1863             : 
    1864             : static ulong
    1865     1734863 : cubic_prec_mask(long n)
    1866             : {
    1867     1734863 :   long a = n, i;
    1868     1734863 :   ulong mask = 0;
    1869     1734863 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1870     8249092 :   {
    1871     9983955 :     long c = a%3;
    1872     9983955 :     if (c) mask += 3 - c;
    1873     9983955 :     a = (a+2)/3;
    1874     9983955 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1875             :   }
    1876             : }
    1877             : 
    1878             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1879             : GEN
    1880     2798389 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1881             : {
    1882             :   pari_sp av;
    1883             :   GEN x, b;
    1884             :   long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
    1885             :   ulong mask;
    1886     2798389 :   double K = n, X;
    1887             : 
    1888     2798389 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1889     2797694 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1890             : 
    1891     2450431 :   prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
    1892     2450431 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1893     2450442 :   b = rtor(a, DEFAULTPREC);
    1894     2450457 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1895     2450456 :   if (prec == DEFAULTPREC)
    1896             :   {
    1897      754005 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1898      754006 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1899             :   }
    1900     1696451 :   X = rtodbl(x);
    1901     1696451 :   K = (K*K-1) / (12*X*X); /* |x_{n+1} - x| < K |x_n - x|^3 */
    1902     1696451 :   eextra = dblexpo(K);
    1903     1696451 :   n1 = n+1;
    1904     1696451 :   n2 = 2*n;
    1905     1696451 :   B = prec2nbits(prec);
    1906     1696451 :   mask = cubic_prec_mask(B + 63);
    1907     1696451 :   eold = 1;
    1908             :   for(;;)
    1909     6763893 :   { /* reach 64 */
    1910     8460344 :     long enew = eold * 3;
    1911     8460344 :     enew -= mask % 3;
    1912     8460344 :     if (enew > 64) break; /* back up one step */
    1913     6763893 :     mask /= 3;
    1914     6763893 :     eold = enew;
    1915             :   }
    1916             :   for(;;)
    1917     1318106 :   {
    1918     3014557 :     long pr, enew = eold * 3;
    1919             :     GEN y, z;
    1920     3014557 :     enew -= mask % 3;
    1921     3014557 :     mask /= 3;
    1922     3014557 :     pr = nbits2prec(enew + eextra);
    1923     3014557 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1924     3014557 :     x = rtor(x, pr);
    1925     3014557 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1926     3014557 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1927     3014557 :     shiftr_inplace(z,1);
    1928     3014557 :     x = subrr(x, mulrr(x,z));
    1929     3014557 :     if (mask == 1)
    1930             :     {
    1931     1696451 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1932     1696451 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1933             :     }
    1934     1318106 :     eold = enew;
    1935             :   }
    1936             : }
    1937             : 
    1938             : static void
    1939       55425 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1940             : {
    1941       55425 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1942       55425 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1943       55425 : }
    1944             : 
    1945             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1946             : static GEN
    1947      554155 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1948             : {
    1949             :   pari_sp av;
    1950             :   GEN x;
    1951             :   long eold, n1, n2, B;
    1952             :   ulong mask;
    1953             : 
    1954      554155 :   B = prec2nbits(prec);
    1955      554155 :   n1 = n+1;
    1956      554155 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1957             : 
    1958      554155 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1959      554156 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1960       38412 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1961       38412 :   eold = 1;
    1962             :   for(;;)
    1963      150080 :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1964      188492 :     long enew = eold * 3;
    1965      188492 :     enew -= mask % 3;
    1966      188492 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1967      150080 :     mask /= 3;
    1968      150080 :     eold = enew;
    1969             :   }
    1970             :   for(;;)
    1971       17013 :   {
    1972       55425 :     long pr, enew = eold * 3;
    1973             :     GEN y, z;
    1974       55425 :     enew -= mask % 3;
    1975       55425 :     mask /= 3;
    1976       55425 :     pr = nbits2prec(enew);
    1977       55425 :     x = cxtofp(x, pr);
    1978       55425 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1979       55425 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1980       55425 :     shiftc_inplace(z,1);
    1981       55425 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1982       55425 :     if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
    1983       17013 :     eold = enew;
    1984             :   }
    1985             : }
    1986             : 
    1987             : /* exp(2iPi/d) */
    1988             : GEN
    1989     2161709 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1990             : {
    1991     2161709 :   switch(n)
    1992             :   {
    1993       15421 :     case 1: return gen_1;
    1994        4081 :     case 2: return gen_m1;
    1995      696302 :     case 4: return gen_I();
    1996       42253 :     case 3: case 6: case 12:
    1997             :     {
    1998       42253 :       pari_sp av = avma;
    1999       42253 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    2000       42253 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    2001       42253 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    2002       42253 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    2003       42253 :       return gerepilecopy(av, a);
    2004             :     }
    2005      849501 :     case 8:
    2006             :     {
    2007      849501 :       pari_sp av = avma;
    2008      849501 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    2009      849464 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    2010      849476 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    2011             :     }
    2012             :   }
    2013      554151 :   return sqrtnof1(n, prec);
    2014             : }
    2015             : /* e(a/b) */
    2016             : GEN
    2017       14616 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    2018             : {
    2019       14616 :   long g = cgcd(a,b);
    2020             :   GEN z;
    2021       14616 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    2022       14616 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    2023       14616 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    2024       14616 :   if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
    2025       14616 :   return gpowgs(z, a);
    2026             : }
    2027             : 
    2028             : /* initializes powers of e(a/b) */
    2029             : GEN
    2030       15575 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    2031             : {
    2032       15575 :   long g = cgcd(a,b);
    2033       15575 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    2034       15575 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    2035       15575 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    2036       15575 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    2037             : }
    2038             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    2039             : GEN
    2040    12939507 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    2041             : {
    2042    12939507 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    2043    12939507 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    2044    12939507 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    2045    12939507 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    2046    12939507 :   return gel(vz, a + 1);
    2047             : }
    2048             : 
    2049             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    2050             : GEN
    2051        4536 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    2052             : {
    2053        4536 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    2054           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    2055             : }
    2056             : 
    2057             : GEN
    2058       42992 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    2059             : {
    2060             :   long i, tx;
    2061             :   pari_sp av;
    2062             :   GEN y, z;
    2063       42992 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    2064       42992 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    2065       42992 :   if (is_pm1(n))
    2066             :   {
    2067          70 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    2068          70 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    2069             :   }
    2070       42922 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    2071       42922 :   tx = typ(x);
    2072       42936 :   if (is_matvec_t(tx)) pari_APPLY_same(gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec));
    2073       42915 :   av = avma;
    2074       42915 :   switch(tx)
    2075             :   {
    2076         182 :   case t_INTMOD:
    2077             :     {
    2078         182 :       GEN p = gel(x,1), s;
    2079         182 :       z = gen_0;
    2080         182 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    2081         182 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    2082         182 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    2083         161 :       if (!s) {
    2084          35 :         if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
    2085          28 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    2086          14 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    2087             :       }
    2088         126 :       gel(y,2) = s;
    2089         126 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    2090         126 :       return y;
    2091             :     }
    2092             : 
    2093          56 :   case t_PADIC:
    2094          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    2095          49 :     if (!y) {
    2096           7 :       if (zetan) return gen_0;
    2097           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    2098             :     }
    2099          42 :     return y;
    2100             : 
    2101         616 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    2102             : 
    2103       41431 :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    2104       41431 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    2105       41431 :     if (isint1(x))
    2106           7 :       y = real_1(prec);
    2107       41424 :     else if (gequal0(x))
    2108             :     {
    2109             :       long b;
    2110          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    2111          21 :       if (isinexactreal(x))
    2112          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2113             :       else
    2114           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2115          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2116             :       {
    2117           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2118           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2119             :       }
    2120             :       else
    2121          14 :         y = real_0_bit(b);
    2122             :     }
    2123             :     else
    2124             :     {
    2125       41403 :       long nn = itos_or_0(n);
    2126       41403 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2127       41403 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2128       31161 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2129             :       else
    2130       10242 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2131       41403 :       y = gerepileupto(av, y);
    2132             :     }
    2133       41431 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2134       41431 :     return y;
    2135             : 
    2136           7 :   case t_QUAD:
    2137           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2138             : 
    2139         623 :   default:
    2140         623 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2141         623 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2142             :   }
    2143           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2144             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2145             : }
    2146             : 
    2147             : /********************************************************************/
    2148             : /**                                                                **/
    2149             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2150             : /**                                                                **/
    2151             : /********************************************************************/
    2152             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2153             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2154             : GEN
    2155    18842347 : exp1r_abs(GEN x)
    2156             : {
    2157    18842347 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2158             :   GEN y, p2, X;
    2159             :   pari_sp av;
    2160             :   double d;
    2161             : 
    2162    18842162 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2163             : 
    2164    18826394 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2165    18825723 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2166    18825723 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2167    18825723 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2168             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2169             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2170             :   * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
    2171             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2172             :   * bit operations with n ~ b/e, |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
    2173             :   * b bits of accuracy needed, so
    2174             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2175             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2176             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2177             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2178             :   *
    2179             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2180             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2181             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2182             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2183             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2184             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2185    18825723 :   d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2186    18826848 :   while (d <= 0) { d++; m++; } /* d < 0 can occur from expm1 */
    2187    18826842 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2188    18826843 :   b += m;
    2189    18826843 :   n = (long)(b / d); /* > 0 */
    2190    18826843 :   if (n == 1)
    2191      744052 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log ~ const in small ranges */
    2192    20186459 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2193             : 
    2194    18826843 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2195    18827212 :   if (n == 1) p2 = X;
    2196             :   else
    2197             :   {
    2198    18827212 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2199    18827014 :     GEN unr = real_1(L);
    2200             :     pari_sp av2;
    2201             : 
    2202    18826609 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2203   351785252 :     for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
    2204             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2205             :       GEN p1, p3;
    2206   333055571 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2207   333543949 :       l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(p3), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
    2208   333425706 :       if (l1>L) l1=L;
    2209   333425706 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2210   332823161 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2211             :     }
    2212    18824983 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2213             :   }
    2214             : 
    2215    18827536 :   B = prec2nbits(L);
    2216   202696728 :   for (i = 1; i <= m; i++)
    2217             :   {
    2218   183870323 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2219   183870323 :     if (expo(p2) < -B)
    2220           0 :       shiftr_inplace(p2, 1); /* 2 + p2 ~ 2 and may blow up accuracy */
    2221             :     else
    2222   183870323 :       p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2223             :   }
    2224    18826405 :   affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
    2225             : }
    2226             : 
    2227             : GEN
    2228       24683 : mpexpm1(GEN x)
    2229             : {
    2230       24683 :   const long s = 6;
    2231       24683 :   long B, l, sx = signe(x);
    2232             :   GEN y, z;
    2233             :   pari_sp av;
    2234       24683 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2235       24676 :   l = realprec(x);
    2236       24676 :   if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, BITS_IN_LONG<<s))
    2237             :   {
    2238           6 :     long e = expo(x);
    2239           6 :     if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
    2240           6 :     return subrs(mpexp(x), 1);
    2241             :   }
    2242       24670 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2243       10298 :   B = prec2nbits(l);
    2244       10298 :   if (cmpsr(-B, x) > 0) return real_m1(l);
    2245             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2246       10291 :   av = avma; y = exp1r_abs(x); /* > 0 */
    2247       10291 :   if (expo(y) >= -B) { z = addsr(1, y); y = divrr(y, z); }
    2248       10291 :   setsigne(y, -1);
    2249       10291 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    2250             : }
    2251             : 
    2252             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2253             : GEN
    2254       26506 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2255             : {
    2256       26506 :   switch(typ(x))
    2257             :   {
    2258        4220 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2259       20172 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2260          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2261        2100 :     default:
    2262             :     {
    2263        2100 :       pari_sp av = avma;
    2264             :       long ey;
    2265             :       GEN y;
    2266        2100 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2267        2079 :       ey = valser(y);
    2268        2079 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2269        2079 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2270        2072 :       if (ey)
    2271         511 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2272             :       else
    2273             :       {
    2274        1561 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2275        1561 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2276        1561 :         gel(y,2) = e1;
    2277        1561 :         return gerepilecopy(av, y);
    2278             :       }
    2279             :     }
    2280             :   }
    2281          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2282             : }
    2283             : /********************************************************************/
    2284             : /**                                                                **/
    2285             : /**                             EXP(X)                             **/
    2286             : /**                                                                **/
    2287             : /********************************************************************/
    2288             : static GEN
    2289    18765459 : mpexp_basecase(GEN x)
    2290             : {
    2291    18765459 :   pari_sp av = avma;
    2292    18765459 :   long sh, l = realprec(x);
    2293             :   GEN y, z;
    2294             : 
    2295    18765459 :   y = modlog2(x, &sh);
    2296    18765526 :   if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
    2297    18765526 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2298    18764396 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2299    18764711 :   if (sh) {
    2300    15530472 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2301    15530281 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2302             :   }
    2303             : #ifdef DEBUG
    2304             : {
    2305             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2306             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2307             :     pari_err_BUG("exp");
    2308             : }
    2309             : #endif
    2310    18764887 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2311             : }
    2312             : 
    2313             : GEN
    2314    18912300 : mpexp(GEN x)
    2315             : {
    2316    18912300 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2317    18912300 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2318             :   GEN a, t, z;
    2319             :   ulong mask;
    2320             : 
    2321    18912300 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (BITS_IN_LONG<<s) + 2))
    2322             :   {
    2323    18912466 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2324    18765387 :     return mpexp_basecase(x);
    2325             :   }
    2326          11 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2327          13 :   x = modlog2(x, &sh);
    2328          13 :   if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
    2329          13 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2330          13 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2331         168 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2332          13 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2333          13 :   x = addrs(x,1);
    2334          13 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPREC64) x = rtor(x, l+EXTRAPREC64);
    2335          13 :   a = rtor(a, l+EXTRAPREC64); /*append 0s */
    2336          13 :   t = NULL;
    2337             :   for(;;)
    2338             :   {
    2339          14 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2340          14 :     mask >>= 1;
    2341          14 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2342          14 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2343          14 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2344          14 :     if (mask == 1) break;
    2345           1 :     affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
    2346             :   }
    2347          13 :   affrr(t,z);
    2348          13 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2349          13 :   return gc_const((pari_sp)z, z);
    2350             : }
    2351             : 
    2352             : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
    2353             : long
    2354          98 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2355             : {
    2356          98 :   long e = valp(x), n = precp(x);
    2357             :   ulong a, b, q, r, p, t;
    2358             : 
    2359          98 :   if (e < 1) return -1;
    2360          77 :   if (e > n) return 1;
    2361          77 :   p = itos_or_0(padic_p(x));
    2362          77 :   if (!p) return n / e + 1;
    2363          77 :   if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
    2364             :   /* n >= e > 0, n = qe + r */
    2365             :   /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
    2366          63 :   t = p - 1;
    2367          63 :   if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
    2368           0 :   q = n / e;
    2369           0 :   r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
    2370           0 :   a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
    2371           0 :   b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
    2372           0 :   return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
    2373             : }
    2374             : 
    2375             : static GEN
    2376      109545 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2377             : {
    2378      109545 :   pari_sp av = avma;
    2379      109545 :   GEN p = padic_p(x), a = padic_u(x), z;
    2380      109545 :   long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
    2381      109545 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2382      107949 :   if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
    2383      107942 :   z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
    2384      107945 :   return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
    2385             : }
    2386             : 
    2387             : GEN
    2388      109083 : Qp_exp(GEN x)
    2389             : {
    2390      109083 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2391      109085 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2392      109078 :   return y;
    2393             : }
    2394             : 
    2395             : static GEN
    2396          49 : cos_p(GEN x)
    2397             : {
    2398             :   long k;
    2399             :   pari_sp av;
    2400             :   GEN x2, y;
    2401             : 
    2402          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2403          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2404          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2405          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2406          21 :   if (k & 1) k--;
    2407         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2408             :   {
    2409          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2410          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2411             :   }
    2412          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2413             : }
    2414             : static GEN
    2415          63 : sin_p(GEN x)
    2416             : {
    2417             :   long k;
    2418             :   pari_sp av;
    2419             :   GEN x2, y;
    2420             : 
    2421          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2422          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2423          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2424          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2425          28 :   if (k & 1) k--;
    2426         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2427             :   {
    2428         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2429         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2430             :   }
    2431          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2432             : }
    2433             : 
    2434             : static GEN
    2435     4689703 : cxexp(GEN x, long prec)
    2436             : {
    2437     4689703 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2438     4689622 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2439             :   long l;
    2440     4689622 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2441     4689717 :   if (gequal0(gel(x,1)))
    2442             :   {
    2443      346696 :     gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
    2444      346715 :     return y;
    2445             :   }
    2446     4343009 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2447     4343111 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2448     4343388 :   tetpil = avma;
    2449     4343388 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2450     4343242 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2451     4343263 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2452     4343318 :   return y;
    2453             : }
    2454             : 
    2455             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2456             : GEN
    2457       37576 : serchop0(GEN s)
    2458             : {
    2459       37576 :   long i, l = lg(s);
    2460             :   GEN y;
    2461       37576 :   if (l == 2) return s;
    2462       37576 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2463       37576 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2464      164990 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2465       37576 :   return normalizeser(y);
    2466             : }
    2467             : 
    2468             : GEN
    2469          42 : serchop_i(GEN s, long n)
    2470             : {
    2471          42 :   long i, m, l = lg(s);
    2472             :   GEN y;
    2473          42 :   if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
    2474             :   {
    2475          14 :     if (valser(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalser(s,n); }
    2476          14 :     return s;
    2477             :   }
    2478          28 :   m = n - valser(s); if (m < 0) return s;
    2479          21 :   if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
    2480          14 :   y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalser(y, valser(y)+m);
    2481          42 :   for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
    2482          14 :   return normalizeser(y);
    2483             : }
    2484             : GEN
    2485          42 : serchop(GEN s, long n)
    2486             : {
    2487          42 :   pari_sp av = avma;
    2488          42 :   if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
    2489          42 :   return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
    2490             : }
    2491             : 
    2492             : static GEN
    2493       83433 : serexp(GEN x, long prec)
    2494             : {
    2495       83433 :   long i, j, lx, ly, mi, e = valser(x);
    2496             :   GEN y, xd, yd;
    2497             :   pari_sp av;
    2498             : 
    2499       83433 :   if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2500       83426 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2501       70497 :   lx = lg(x);
    2502       70497 :   if (e)
    2503             :   {
    2504             :     GEN X;
    2505       55699 :     ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
    2506      566888 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2507       55699 :     mi += e-2;
    2508       55699 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
    2509             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2510       55699 :     xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
    2511       55699 :     X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
    2512       55699 :     X = isint1(X)? NULL: X;
    2513       55699 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2514       56070 :     for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2515      664615 :     for (     ; i < ly; i++)
    2516             :     {
    2517      608916 :       GEN t = gel(yd,i-e);
    2518      608916 :       long J = minss(i, mi);
    2519      608916 :       av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
    2520     2578765 :       for (j = e + 1; j <= J; j++)
    2521     1969849 :         t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
    2522      608916 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
    2523             :     }
    2524       55699 :     return y;
    2525             :   }
    2526       14798 :   av = avma;
    2527       14798 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2528             : }
    2529             : 
    2530             : static GEN
    2531     1468579 : expQ(GEN x, long prec)
    2532             : {
    2533     1468579 :   GEN p, q, z, z0 = NULL;
    2534             :   pari_sp av;
    2535     1468579 :   long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
    2536             :   double ex;
    2537             :   struct abpq_res R;
    2538             :   struct abpq S;
    2539             : 
    2540     1468577 :   if (typ(x) == t_INT)
    2541             :   {
    2542       24687 :     if (!signe(x)) return real_1(prec);
    2543       24616 :     p = x; q = gen_1;
    2544       24616 :     e = expi(p);
    2545       24618 :     if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
    2546             :   }
    2547             :   else
    2548             :   {
    2549     1443890 :     long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
    2550     1443890 :     p = gel(x,1); ep = expi(p);
    2551     1443890 :     q = gel(x,2); eq = expi(q);
    2552     1443890 :     if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
    2553       14637 :     e = ep - eq;
    2554       14637 :     if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
    2555             :   }
    2556       39255 :   if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPREC64; b += BITS_IN_LONG; }
    2557       39255 :   z = cgetr(prec); av = avma;
    2558       39253 :   if (e > 0)
    2559             :   { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
    2560        2478 :     long v = minss(e, vali(p));
    2561        2478 :     if (v) p = shifti(p, -v);
    2562        2478 :     if (e - v) q = shifti(q, e - v);
    2563             :   }
    2564       39253 :   s = signe(p);
    2565       39253 :   if (s < 0) p = negi(p);
    2566       39256 :   ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e,  x / 2^e < 2 */
    2567       39257 :   nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
    2568       39257 :   abpq_init(&S, nmax);
    2569       39280 :   S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
    2570     3369388 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
    2571             :   {
    2572     3330139 :     S.a[n] = gen_1;
    2573     3330139 :     S.b[n] = gen_1;
    2574     3330139 :     S.p[n] = p;
    2575     3330139 :     S.q[n] = muliu(q, n);
    2576             :   }
    2577       39249 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
    2578       39258 :   if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
    2579       39258 :   if (e > 0)
    2580             :   {
    2581       17136 :     q = z; while (e--) q = sqrr(q);
    2582        2478 :     if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
    2583             :   }
    2584       39258 :   return gc_const(av,z);
    2585             : }
    2586             : 
    2587             : GEN
    2588    18583719 : gexp(GEN x, long prec)
    2589             : {
    2590    18583719 :   switch(typ(x))
    2591             :   {
    2592     1468579 :     case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
    2593    11075376 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2594     4689637 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2595          70 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2596     1350057 :     default:
    2597             :     {
    2598     1350057 :       pari_sp av = avma;
    2599             :       GEN y;
    2600     1350057 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2601       66563 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2602             :     }
    2603             :   }
    2604     1284203 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2605             : }
    2606             : 
    2607             : /********************************************************************/
    2608             : /**                                                                **/
    2609             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2610             : /**                                                                **/
    2611             : /********************************************************************/
    2612             : static int
    2613    15785691 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2614             : {
    2615    15785691 :   GEN d = subrr(b, a);
    2616    15785650 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2617             : }
    2618             : /* assume x > 0 */
    2619             : static GEN
    2620     1070030 : agm1r_abs(GEN x)
    2621             : {
    2622     1070030 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2623     1070030 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2624     1070029 :   pari_sp av = avma;
    2625             : 
    2626     1070029 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2627     1070028 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2628    15785716 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2629             :   {
    2630    14715664 :     GEN a = a1;
    2631    14715664 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2632    14715731 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2633             :   }
    2634     1069985 :   affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
    2635             : }
    2636             : 
    2637             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2638             : 
    2639             : static void
    2640      366075 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2641             : {
    2642      366075 :   long l = precision(x);
    2643      366075 :   if (l) *prec = l;
    2644      366075 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2645      366075 :   S->cnt = 0;
    2646      366075 :   S->ex = LONG_MAX;
    2647      366075 : }
    2648             : 
    2649             : static long
    2650      366075 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2651             : {
    2652      366075 :   long rotate = 0;
    2653      366075 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2654             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2655             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2656       11655 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2657       11137 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2658       11655 :     x = gneg(x);
    2659             :   }
    2660      366075 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2661      366075 :   return rotate;
    2662             : }
    2663             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2664             : static int
    2665     5540946 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2666             : {
    2667     5540946 :   GEN d = gsub(b, a);
    2668     5540946 :   long ex = S->ex;
    2669     5540946 :   S->ex = gexpo(d);
    2670     5540946 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2671             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2672     5279147 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2673             :   else
    2674      209085 :     if (S->cnt++) return 0;
    2675     5174871 :   return 1;
    2676             : }
    2677             : static GEN
    2678      337326 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2679             : {
    2680             :   struct agmcx_gap_t S;
    2681             :   GEN a1, b1;
    2682      337326 :   pari_sp av = avma;
    2683             :   long rotate;
    2684      337326 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2685      337326 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2686      337326 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2687     5358931 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2688             :   {
    2689     5021605 :     GEN a = a1;
    2690     5021605 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2691     5021605 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2692             :   }
    2693      337326 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2694      337326 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2695             : }
    2696             : 
    2697             : GEN
    2698       28749 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2699             : {
    2700             :   struct agmcx_gap_t S;
    2701       28749 :   pari_sp av = avma;
    2702       28749 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2703             :   long rotate;
    2704       28749 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2705       28749 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2706       28749 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2707       28749 :   t = gmul(r, t);
    2708       28749 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2709      182015 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2710             :   {
    2711      153266 :     GEN a = a1, b = b1;
    2712      153266 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2713      153266 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2714      153266 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2715      153266 :     t = gmul(r, t);
    2716             :   }
    2717       28749 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2718       28749 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2719       28749 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2720             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2721       28749 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2722       28749 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2723             : }
    2724             : 
    2725             : static long
    2726          49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2727             : {
    2728          49 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valser(B) - valser(A);
    2729          49 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2730        9849 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2731             :   {
    2732        9800 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2733             :     long ei;
    2734        9800 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2735        9800 :     b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
    2736        9800 :     ei = gexpo(a);
    2737        9800 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2738        9800 :     e = maxss(e, ei);
    2739             :   }
    2740          49 :   return e;
    2741             : }
    2742             : 
    2743             : static GEN
    2744          21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2745             : {
    2746          21 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2747          21 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2748             :   for(;;)
    2749          84 :   {
    2750         105 :     GEN a = a1, p1;
    2751         105 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2752         105 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2753         105 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2754         105 :     if (isinexactreal(p1))
    2755             :     {
    2756          49 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2757          49 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2758          42 :       eold = e;
    2759             :     }
    2760          56 :     else if (valser(p1)-valser(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
    2761             :   }
    2762          21 :   return a1;
    2763             : }
    2764             : 
    2765             : /* agm(1,x) */
    2766             : static GEN
    2767      112168 : agm1(GEN x, long prec)
    2768             : {
    2769             :   GEN y;
    2770             :   pari_sp av;
    2771             : 
    2772      112168 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2773      112168 :   switch(typ(x))
    2774             :   {
    2775          28 :     case t_INT:
    2776          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2777          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2778             : 
    2779       74620 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2780             : 
    2781       37380 :     case t_COMPLEX:
    2782       37380 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2783       37345 :       return agm1cx(x, prec);
    2784             : 
    2785          14 :     case t_PADIC:
    2786             :     {
    2787          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2788          14 :       long l = precp(x);
    2789          14 :       av = avma;
    2790             :       for(;;)
    2791          14 :       {
    2792          28 :         GEN a = a1, p1;
    2793             :         long ep;
    2794          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2795          28 :         a = gmul(a,b1);
    2796          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2797          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2798          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2799          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2800             :       }
    2801             :     }
    2802             : 
    2803         126 :     default:
    2804         126 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2805          21 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2806             :   }
    2807         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2808             : }
    2809             : 
    2810             : GEN
    2811      111986 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2812             : {
    2813             :   pari_sp av;
    2814      111986 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2815             :   {
    2816          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2817           7 :     swap(x, y);
    2818             :   }
    2819      111979 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2820      111979 :   av = avma;
    2821      111979 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2822             : }
    2823             : 
    2824             : /* b2 != 0 */
    2825             : static GEN
    2826          35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
    2827          35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
    2828             : GEN
    2829          28 : ellK(GEN k, long prec)
    2830             : {
    2831          28 :   pari_sp av = avma;
    2832          28 :   GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
    2833          28 :   if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
    2834          21 :   return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
    2835             : }
    2836             : 
    2837             : static int
    2838          84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2839             : {
    2840          84 :   GEN d = gsub(b, a);
    2841          84 :   return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
    2842             : }
    2843             : 
    2844             : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
    2845             :  * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
    2846             :  * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
    2847             : static GEN
    2848          14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
    2849             : {
    2850          14 :   long L = -prec2nbits(prec) + 16;
    2851          14 :   GEN c = gen_0;
    2852          84 :   while (magm_gap(a, b, L))
    2853             :   {
    2854          70 :     GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
    2855          70 :     a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2856          70 :     b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
    2857             :   }
    2858          14 :   return gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2859             : }
    2860             : 
    2861             : GEN
    2862          21 : ellE(GEN k, long prec)
    2863             : {
    2864          21 :   pari_sp av = avma;
    2865          21 :   GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
    2866          21 :   if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
    2867          14 :   return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
    2868             : }
    2869             : 
    2870             : /********************************************************************/
    2871             : /**                                                                **/
    2872             : /**                             LOG(X)                             **/
    2873             : /**                                                                **/
    2874             : /********************************************************************/
    2875             : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
    2876             :  * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
    2877             :  * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
    2878             : static GEN
    2879       42030 : log2_split(long prec)
    2880             : {
    2881       42030 :   GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
    2882       42009 :   GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
    2883       42027 :   GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
    2884       42025 :   shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
    2885       42023 :   shiftr_inplace(w, 3);
    2886       42023 :   return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
    2887             : }
    2888             : GEN
    2889    28793144 : constlog2(long prec)
    2890             : {
    2891             :   pari_sp av;
    2892             :   GEN tmp;
    2893    28793144 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2894             : 
    2895       41932 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2896       42029 :   av = avma;
    2897       42029 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPREC64), tmp);
    2898       42023 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2899       42027 :   return gc_const(av,glog2);
    2900             : }
    2901             : 
    2902             : GEN
    2903    28793133 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2904             : 
    2905             : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
    2906             : static GEN
    2907      995448 : logagmr_abs(GEN q)
    2908             : {
    2909      995448 :   long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
    2910      995448 :   GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
    2911      995445 :   pari_sp av = avma;
    2912             : 
    2913      995445 :   incrprec(prec);
    2914      995445 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2915      995445 :   Q = rtor(q,prec);
    2916      995448 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2917             : 
    2918      995448 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2919             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2920      995452 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2921      995450 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2922      995451 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
    2923             : }
    2924             : 
    2925             : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
    2926             : static GEN
    2927    11896945 : logr_aux(GEN y)
    2928             : {
    2929    11896945 :   long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2930             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2931             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2932             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2933             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2934             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2935    11896945 :   double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2936    11896897 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2937    11896845 :   k |= 1;
    2938    11896845 :   if (k >= 3)
    2939             :   {
    2940    11864736 :     GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2941    11865020 :     pari_sp av = avma;
    2942    11865020 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2943    11865057 :     setprec(S,  l1);
    2944    11865030 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
    2945   213820450 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2946             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2947   213820450 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2948   213951960 :       if (k == 1) break;
    2949             : 
    2950   202086895 :       l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s + incs, &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
    2951   202073605 :       if (l1>L) l1=L;
    2952   202073605 :       setprec(S, l1);
    2953   202066602 :       setprec(unr,l1);
    2954   202047108 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
    2955             :     }
    2956             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2957    11865065 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2958             :   }
    2959    11897156 :   return y;
    2960             : }
    2961             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2962             : GEN
    2963    13714211 : logr_abs(GEN X)
    2964             : {
    2965    13714211 :   long EX, L, m, k, a, b, l = lg(X), p = realprec(X);
    2966             :   GEN z, x, y;
    2967             :   ulong u;
    2968             :   double d;
    2969             : 
    2970             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2971             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2972             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2973             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2974    13714211 :   EX = expo(X);
    2975    13714211 :   u = uel(X,2);
    2976    13714211 :   k = 2;
    2977    13714211 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2978     7756500 :     EX++; u = ~u;
    2979     7869500 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2980             :   } else { /* choose x - 1 */
    2981     5957711 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2982     7322843 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2983             :   }
    2984    13714211 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(p)): real_0(p);
    2985    12892501 :   a = bit_accuracy(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2986    12892594 :   L = p+EXTRAPRECWORD;
    2987    12892594 :   b = prec2nbits(L - (bit_accuracy(k))); /* take loss of accuracy into account */
    2988    12892588 :   if (b > 24*a*log2(prec2lg(L)) && p > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
    2989             : 
    2990    11897201 :   z = cgetr(EX? p: p - bit_accuracy(k));
    2991             : 
    2992             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2993             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2994             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2995             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2996             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2997             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2998             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2999             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    3000             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    3001             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    3002             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    3003             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
    3004             :   * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    3005             :   * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    3006    11897209 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    3007             : 
    3008    11897209 :   if (m > b-a) m = b-a;
    3009    11897209 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    3010    11897199 :   x = rtor(X,L);
    3011    11897180 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    3012             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    3013    70113462 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    3014             : 
    3015    11896997 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    3016    11896921 :   y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
    3017    11897090 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    3018    11896984 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(p+EXTRAPRECWORD)));
    3019    11896747 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
    3020             : }
    3021             : 
    3022             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    3023             :  * prec [disregard input accuracy] */
    3024             : GEN
    3025      299939 : logagmcx(GEN q, long prec)
    3026             : {
    3027      299939 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    3028             :   long lim, e, ea, eb;
    3029      299939 :   pari_sp av = avma;
    3030      299939 :   int neg = 0;
    3031             : 
    3032      299939 :   incrprec(prec);
    3033      299939 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    3034      299939 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    3035      299939 :   Q = gtofp(q, prec);
    3036      299939 :   a = gel(Q,1);
    3037      299939 :   b = gel(Q,2);
    3038      299939 :   if (gequal0(a)) {
    3039           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    3040           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    3041           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    3042           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    3043             :   }
    3044      299939 :   ea = expo(a);
    3045      299939 :   eb = expo(b);
    3046      299939 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    3047      299939 :   shiftr_inplace(a, e);
    3048      299939 :   shiftr_inplace(b, e);
    3049             : 
    3050             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    3051      299939 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    3052      299939 :   a = gel(y,1);
    3053      299939 :   b = gel(y,2);
    3054      299939 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    3055      299939 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    3056      418458 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    3057      118519 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    3058      299939 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    3059      299939 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    3060             : }
    3061             : 
    3062             : GEN
    3063      203804 : mplog(GEN x)
    3064             : {
    3065      203804 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    3066      203804 :   return logr_abs(x);
    3067             : }
    3068             : 
    3069             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    3070             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    3071             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    3072             : GEN
    3073       10815 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    3074             : {
    3075             :   GEN q, z, p1;
    3076             :   pari_sp av;
    3077             :   ulong mask;
    3078       10815 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    3079       10136 :   if (e == 1) return icopy(x);
    3080       10136 :   av = avma;
    3081       10136 :   p1 = subiu(p, 1);
    3082       10136 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    3083       10136 :   q = p; z = remii(x, p);
    3084       35504 :   while (mask > 1)
    3085             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    3086       25368 :     GEN w, t, qold = q;
    3087       25368 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    3088       10136 :       q = pe;
    3089             :     else
    3090             :     {
    3091       15232 :       q = sqri(q);
    3092       15232 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    3093             :     }
    3094       25368 :     mask >>= 1;
    3095             :     /* q <= qold^2 */
    3096       25368 :     if (lgefint(q) == 3)
    3097             :     {
    3098       24382 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    3099       24382 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3100       24382 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    3101       24382 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    3102       24382 :       z = utoi(Z);
    3103             :     }
    3104             :     else
    3105             :     {
    3106         986 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3107         986 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    3108         986 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    3109             :     }
    3110             :   }
    3111       10136 :   return gerepileuptoint(av, z);
    3112             : }
    3113             : 
    3114             : GEN
    3115        1225 : teichmullerinit(long p, long n)
    3116             : {
    3117             :   GEN t, pn, g, v;
    3118             :   ulong gp, tp;
    3119             :   long a, m;
    3120             : 
    3121        1225 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    3122        1225 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    3123             : 
    3124        1225 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    3125        1225 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    3126        1225 :   pn = powuu(p, n);
    3127        1225 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    3128        1225 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    3129        1225 :   gel(v, 1) = gen_1;
    3130        1225 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    3131        3031 :   for (a = 1; a < m; a++)
    3132             :   {
    3133        1806 :     gel(v, tp) = t;
    3134        1806 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    3135        1806 :     if (a < m-1)
    3136             :     {
    3137        1029 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    3138        1029 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    3139             :     }
    3140             :   }
    3141        1225 :   return v;
    3142             : }
    3143             : 
    3144             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    3145             : GEN
    3146        5803 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    3147             : {
    3148             :   GEN p, q, z;
    3149        5803 :   long n, tx = typ(x);
    3150             : 
    3151        5803 :   if (!tab)
    3152             :   {
    3153        5691 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    3154             :     {
    3155           7 :       p = gel(x,1);
    3156           7 :       q = gel(x,2);
    3157           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    3158           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    3159             :     }
    3160             :   }
    3161         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3162        5796 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    3163        5796 :   z = padic_u(x);
    3164        5796 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    3165        5796 :   p = padic_p(x);
    3166        5796 :   q = padic_pd(x);
    3167        5796 :   n = precp(x);
    3168        5796 :   if (tab)
    3169             :   {
    3170         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    3171         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3172         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    3173         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3174             :   }
    3175        5796 :   retmkpadic(tab? remii(z, q): Zp_teichmuller(z, p, n, q),
    3176             :              icopy(p), icopy(q), 0, n);
    3177             : }
    3178             : GEN
    3179        5565 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    3180             : 
    3181             : GEN
    3182    17886683 : glog(GEN x, long prec)
    3183             : {
    3184             :   pari_sp av, tetpil;
    3185             :   GEN y, p1;
    3186             :   long l;
    3187             : 
    3188    17886683 :   switch(typ(x))
    3189             :   {
    3190    10304015 :     case t_REAL:
    3191    10304015 :       if (signe(x) >= 0)
    3192             :       {
    3193     8635702 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3194     8635695 :         return logr_abs(x);
    3195             :       }
    3196     1668313 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    3197             : 
    3198      517117 :     case t_FRAC:
    3199             :     {
    3200             :       GEN a, b;
    3201             :       long e1, e2;
    3202      517117 :       av = avma;
    3203      517117 :       a = gel(x,1);
    3204      517117 :       b = gel(x,2);
    3205      517117 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    3206      517117 :       if (e2 > e1) prec += nbits2extraprec(e2 - e1);
    3207      517117 :       x = fractor(x, prec);
    3208      517117 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    3209             :     }
    3210     4732241 :     case t_COMPLEX:
    3211     4732241 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    3212     4721809 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3213     4721812 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    3214             :       {
    3215       70296 :         GEN a = gel(x,2), b;
    3216       70296 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    3217       70297 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    3218       70297 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    3219       70297 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3220             :       }
    3221     4651527 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3222     4351772 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3223     4351777 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3224     4351771 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3225     4351763 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3226             : 
    3227         322 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3228     2332988 :     default:
    3229     2332988 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3230         140 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3231         140 :       if (valser(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3232         133 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3233         133 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3234         133 :       return gerepileupto(av, p1);
    3235             :   }
    3236     2333166 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3237             : }
    3238             : 
    3239             : static GEN
    3240          63 : mplog1p(GEN x)
    3241             : {
    3242             :   long ex, a, b, l, L;
    3243          63 :   if (!signe(x)) return rcopy(x);
    3244          63 :   ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
    3245          42 :   a = -ex;
    3246          42 :   b = realprec(x); L = b+1;
    3247          42 :   if (b > a*log2(L) && b > LOGAGM_LIMIT)
    3248             :   {
    3249           0 :     x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
    3250           0 :     if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
    3251           0 :     return logagmr_abs(x);
    3252             :   }
    3253          42 :   x = rtor(x, L);
    3254          42 :   x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
    3255          42 :   if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
    3256          42 :   shiftr_inplace(x,1); return x;
    3257             : }
    3258             : 
    3259             : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
    3260             : static GEN
    3261          14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
    3262             : {
    3263             :   pari_sp av;
    3264          14 :   GEN z, a, b = gel(x,2);
    3265             :   long l;
    3266          14 :   if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
    3267          14 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3268          14 :   if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
    3269          14 :   a = gel(x,1);
    3270          14 :   z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    3271          14 :   a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
    3272          14 :   a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
    3273          14 :   gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
    3274          14 :   gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
    3275             : }
    3276             : static GEN
    3277         133 : log1p_i(GEN x, long prec)
    3278             : {
    3279         133 :   switch(typ(x))
    3280             :   {
    3281          63 :     case t_REAL: return mplog1p(x);
    3282          14 :     case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
    3283           7 :     case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
    3284          49 :     default:
    3285             :     {
    3286             :       long ey;
    3287             :       GEN y;
    3288          49 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    3289          21 :       ey = valser(y);
    3290          21 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
    3291          21 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    3292          14 :       if (ey)
    3293           7 :         return glog(gaddgs(y,1),prec);
    3294             :       else
    3295             :       {
    3296           7 :         GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
    3297           7 :         y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
    3298           7 :         return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
    3299             :       }
    3300             :     }
    3301             :   }
    3302          28 :   return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
    3303             : }
    3304             : GEN
    3305         119 : glog1p(GEN x, long prec)
    3306             : {
    3307         119 :   pari_sp av = avma;
    3308         119 :   return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
    3309             : }
    3310             : /********************************************************************/
    3311             : /**                                                                **/
    3312             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3313             : /**                                                                **/
    3314             : /********************************************************************/
    3315             : 
    3316             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3317             : static GEN
    3318    17426070 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3319             : {
    3320    17426070 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3321             :   GEN y, u, x2;
    3322             :   double d;
    3323             : 
    3324    17426070 :   n = 0;
    3325    17426070 :   if (a >= 0)
    3326             :   {
    3327             :     long p;
    3328             :     GEN q;
    3329    10195899 :     if (a > 30)
    3330             :     {
    3331      684652 :       GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3332      684652 :       z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
    3333      684652 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3334      684652 :       shiftr_inplace(P, 1);
    3335      684652 :       q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3336      684652 :       p = l+EXTRAPREC64; x = rtor(x,p);
    3337             :     } else {
    3338     9511247 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3339     9511248 :       p = l;
    3340             :     }
    3341    10200059 :     if (signe(q))
    3342             :     {
    3343    10195900 :       GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3344    10195771 :       long b = expo(y);
    3345    10195771 :       if (a - b < 7) x = y;
    3346             :       else
    3347             :       {
    3348     6115209 :         p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
    3349     6115215 :         x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
    3350             :       }
    3351    10195729 :       a = b;
    3352    10195729 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3353    10195729 :       n = Mod4(q);
    3354             :     }
    3355             :   }
    3356             :   /* a < 0 */
    3357    17430035 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3358    17430035 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3359             : 
    3360    17430035 :   b = prec2nbits(l);
    3361    17425256 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3362     1384359 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3363     1384357 :     return y;
    3364             :   }
    3365             : 
    3366    16040897 :   y = cgetr(l);
    3367    16042768 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3368    16042768 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3369    16042768 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3370    16042768 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3371             : 
    3372    16042492 :   b += m;
    3373    16042492 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3374    16042457 :   n = (long)(b / d);
    3375    16042457 :   if (n > 1)
    3376    15984511 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3377    34560972 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3378             : 
    3379             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3380             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3381             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3382             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3383             :   *   ~ (b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3384             :   * bit operations with n ~ b/2e, |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
    3385             :   * b bits of accuracy needed, so
    3386             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3387             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3388             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3389             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3390             :   *
    3391             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3392             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3393             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3394             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3395             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3396             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3397    16042457 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3398    16043179 :   x2 = sqrr(x);
    3399    16046296 :   if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
    3400             :   else
    3401             :   {
    3402    16046296 :     GEN un = real_1(L);
    3403             :     pari_sp av;
    3404    16043701 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3405             : 
    3406    16043794 :     u = cgetr(L); av = avma;
    3407   240148677 :     for (i = n; i >= 2; i--)
    3408             :     {
    3409             :       GEN t;
    3410   224109783 :       setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
    3411   224800562 :       l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(t), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
    3412   224624634 :       if (l1 > L) l1 = L;
    3413   224624634 :       if (i != n) t = mulrr(t,u);
    3414   224989210 :       setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
    3415   224392967 :       setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
    3416             :     }
    3417    16038894 :     shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
    3418    16040602 :     setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
    3419             :   }
    3420             :   /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3421   143148918 :   for (i = 1; i <= m; i++)
    3422             :   { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
    3423   127141022 :     GEN q = sqrr(u);
    3424   127366680 :     shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
    3425   127208263 :     shiftr_inplace(u, 1);
    3426   127101156 :     if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
    3427             :   }
    3428    16007896 :   affrr_fixlg(u, y); return y;
    3429             : }
    3430             : 
    3431             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3432             : static GEN
    3433    15723434 : mpaut(GEN x)
    3434             : {
    3435    15723434 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3436    15730056 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3437    15730056 :   return sqrtr_abs(t);
    3438             : }
    3439             : 
    3440             : /********************************************************************/
    3441             : /**                            COSINE                              **/
    3442             : /********************************************************************/
    3443             : 
    3444             : GEN
    3445     2745065 : mpcos(GEN x)
    3446             : {
    3447             :   long mod8;
    3448             :   pari_sp av;
    3449             :   GEN y, z;
    3450             : 
    3451     2745065 :   if (!signe(x)) {
    3452          75 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3453          75 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3454          75 :     return real_1(l);
    3455             :   }
    3456     2744990 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
    3457     2744968 :   switch(mod8)
    3458             :   {
    3459      760050 :     case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
    3460      688605 :     case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
    3461      682283 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
    3462      614030 :     default:        y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
    3463             :   }
    3464     2745001 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3465             : }
    3466             : 
    3467             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3468             :  * cancellation */
    3469             : static GEN
    3470       13259 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3471             : {
    3472       13259 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3473       26505 :                                           : fractor(x, prec);
    3474             : }
    3475             : 
    3476             : GEN
    3477      154855 : gcos(GEN x, long prec)
    3478             : {
    3479             :   pari_sp av;
    3480             :   GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
    3481             :   long i;
    3482             : 
    3483      154855 :   switch(typ(x))
    3484             :   {
    3485      153573 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3486          42 :     case t_COMPLEX:
    3487          42 :       a = gel(x,1);
    3488          42 :       b = gel(x,2);
    3489          42 :       if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
    3490          28 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3491          28 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3492          28 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3493          28 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
    3494          28 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3495          28 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3496          28 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3497          28 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3498             : 
    3499        1156 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3500        1156 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3501        1156 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3502             : 
    3503          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3504          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3505          42 :       return y;
    3506             : 
    3507          35 :     default:
    3508          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3509          28 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3510          28 :       if (valser(y) < 0)
    3511           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3512          21 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3513          21 :       return gerepilecopy(av,v);
    3514             :   }
    3515           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3516             : }
    3517             : /********************************************************************/
    3518             : /**                             SINE                               **/
    3519             : /********************************************************************/
    3520             : 
    3521             : GEN
    3522      834951 : mpsin(GEN x)
    3523             : {
    3524             :   long mod8;
    3525             :   pari_sp av;
    3526             :   GEN y, z;
    3527             : 
    3528      834951 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3529      834742 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
    3530      834721 :   switch(mod8)
    3531             :   {
    3532      311656 :     case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
    3533      131325 :     case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
    3534      264274 :     case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
    3535      127466 :     default:        y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
    3536             :   }
    3537      834753 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3538             : }
    3539             : 
    3540             : GEN
    3541     1252126 : gsin(GEN x, long prec)
    3542             : {
    3543             :   pari_sp av;
    3544             :   GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
    3545             :   long i;
    3546             : 
    3547     1252126 :   switch(typ(x))
    3548             :   {
    3549      829769 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3550      416959 :     case t_COMPLEX:
    3551      416959 :       a = gel(x,1);
    3552      416959 :       b = gel(x,2);
    3553      416959 :       if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
    3554      410974 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3555      410974 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3556      410974 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3557      410974 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
    3558      410974 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3559      410974 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3560      410974 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3561      410974 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3562             : 
    3563        5118 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3564        5118 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3565        5118 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3566             : 
    3567          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3568          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3569          42 :       return y;
    3570             : 
    3571         231 :     default:
    3572         231 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3573         224 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3574         224 :       if (valser(y) < 0)
    3575           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3576         217 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3577         217 :       return gerepilecopy(av,u);
    3578             :   }
    3579           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3580             : }
    3581             : /********************************************************************/
    3582             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3583             : /********************************************************************/
    3584             : 
    3585             : void
    3586    13830924 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3587             : {
    3588             :   long mod8;
    3589             :   pari_sp av, tetpil;
    3590             :   GEN z, *gptr[2];
    3591             : 
    3592    13830924 :   if (!signe(x))
    3593             :   {
    3594        4492 :     long e = expo(x);
    3595        4492 :     *s = real_0_bit(e);
    3596        4492 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3597        4492 :     return;
    3598             :   }
    3599             : 
    3600    13826432 :   av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
    3601    13829013 :   switch(mod8)
    3602             :   {
    3603     4457075 :     case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
    3604      688597 :     case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
    3605     1043814 :     case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3606      644106 :     case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
    3607     3751798 :     case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3608      675405 :     case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
    3609     1893189 :     case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
    3610      677769 :     case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
    3611             :   }
    3612    13829093 :   gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3613             : }
    3614             : 
    3615             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3616             : void
    3617       20130 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3618             : {
    3619             :   long mod8;
    3620             :   pari_sp av, tetpil;
    3621             :   GEN z, *gptr[2];
    3622             : 
    3623       20130 :   if (!signe(x))
    3624             :   {
    3625           0 :     long e = expo(x);
    3626           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3627           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3628           0 :     return;
    3629             :   }
    3630       20130 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
    3631       20130 :   switch(mod8)
    3632             :   {
    3633        6912 :     case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
    3634        1844 :     case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
    3635        1591 :     case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3636        1881 :     case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
    3637        2295 :     case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3638        2062 :     case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
    3639        1650 :     case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
    3640        1895 :     case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
    3641             :   }
    3642       20130 :   gptr[0] = s; gptr[1] = c;
    3643       20130 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3644             : }
    3645             : 
    3646             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3647             : GEN
    3648      882269 : expIr(GEN x)
    3649             : {
    3650      882269 :   pari_sp av = avma;
    3651      882269 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3652      882269 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3653      882277 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3654      879125 :   return v;
    3655             : }
    3656             : 
    3657             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3658             : static GEN
    3659       20130 : expm1_Ir(GEN x)
    3660             : {
    3661       20130 :   pari_sp av = avma;
    3662       20130 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3663       20130 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3664       20130 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3665       20130 :   return v;
    3666             : }
    3667             : 
    3668             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3669             : GEN
    3670       20186 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3671             : {
    3672       20186 :   pari_sp av = avma;
    3673       20186 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3674       20186 :   long l = precision(z);
    3675       20186 :   if (l) prec = l;
    3676       20186 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3677       20186 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3678       20186 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3679       20130 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3680       19997 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3681       19997 :   Y = expm1_Ir(y);
    3682             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3683       19997 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3684             : }
    3685             : 
    3686             : void
    3687     4699045 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3688             : {
    3689             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3690             :   pari_sp av, tetpil;
    3691             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3692             :   GEN *gptr[4];
    3693             : 
    3694     4699045 :   switch(typ(x))
    3695             :   {
    3696        6955 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3697        6955 :       *s = cgetr(prec);
    3698        6955 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3699        6949 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3700        6957 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3701     4699294 :       affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
    3702             : 
    3703     4687470 :     case t_REAL:
    3704     4687470 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3705             : 
    3706        4130 :     case t_COMPLEX:
    3707        4130 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3708        4130 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3709        4130 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3710        4130 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3711        4130 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3712        4130 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3713        4130 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3714        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3715        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3716        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3717        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3718        4130 :       set_avma(av); return;
    3719             : 
    3720           0 :     case t_QUAD:
    3721           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3722           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3723             : 
    3724         490 :     default:
    3725         490 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3726         518 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3727             : 
    3728         518 :       ex = valser(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3729         518 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3730         518 :       if (ex2 > lx)
    3731             :       {
    3732          98 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3733          98 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
    3734          98 :         return;
    3735             :       }
    3736         420 :       if (!ex)
    3737             :       {
    3738         105 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3739         105 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3740         105 :         p1 = gmul(v1,v);
    3741         105 :         p2 = gmul(u1,u);
    3742         105 :         p3 = gmul(v1,u);
    3743         105 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3744         105 :         *c = gsub(p1,p2);
    3745         105 :         *s = gadd(p3,p4);
    3746         105 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3747         105 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3748         105 :         return;
    3749             :       }
    3750             : 
    3751         315 :       ly = lx+2*ex;
    3752        3066 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3753         315 :       mi += ex-2;
    3754         315 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3755         315 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3756         315 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(y));
    3757         315 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3758         637 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3759         644 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3760        3577 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3761             :       {
    3762        3262 :         long ii = i-ex;
    3763        3262 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3764        7476 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3765        4214 :           p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3766        3262 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3767        3262 :         if (ii < lx)
    3768             :         {
    3769        2940 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3770        6202 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3771        3262 :             p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3772        2940 :           p1 = gdivgu(p1,i-2);
    3773        2940 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3774             :         }
    3775             :       }
    3776         315 :       return;
    3777             :   }
    3778           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3779             : }
    3780             : 
    3781             : /********************************************************************/
    3782             : /**                                                                **/
    3783             : /**                              SINC                              **/
    3784             : /**                                                                **/
    3785             : /********************************************************************/
    3786             : static GEN
    3787     2319450 : mpsinc(GEN x)
    3788             : {
    3789     2319450 :   pari_sp av = avma;
    3790             :   GEN s, c;
    3791             : 
    3792     2319450 :   if (!signe(x)) {
    3793           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3794           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3795           0 :     return real_1(l);
    3796             :   }
    3797             : 
    3798     2319450 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3799     2319450 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3800             : }
    3801             : 
    3802             : GEN
    3803     2319562 : gsinc(GEN x, long prec)
    3804             : {
    3805             :   pari_sp av;
    3806             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3807             :   long i;
    3808             : 
    3809     2319562 :   switch(typ(x))
    3810             :   {
    3811     2319429 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3812          49 :     case t_COMPLEX:
    3813          49 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3814             :       {
    3815          28 :         av = avma; x = gel(x,2);
    3816          28 :         if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
    3817          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
    3818             :       }
    3819          21 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3820          21 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3821          21 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3822          21 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3823          21 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3824          21 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3825          21 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3826          21 :       return gc_const(av,y);
    3827             : 
    3828          14 :     case t_INT:
    3829          14 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3830             :     case t_FRAC:
    3831          21 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3832          21 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3833             : 
    3834          21 :     case t_PADIC:
    3835          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, padic_p(x), valp(x));
    3836          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3837          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3838           7 :       return gerepileupto(av, gdiv(y,x));
    3839             : 
    3840          35 :     default:
    3841             :     {
    3842             :       long ex;
    3843          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3844          35 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3845          35 :       ex = valser(y);
    3846          35 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3847          28 :       if (ex)
    3848             :       {
    3849          28 :         gsincos(y,&u,&v,prec);
    3850          28 :         y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
    3851          28 :         if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
    3852          28 :         return y;
    3853             :       }
    3854             :       else
    3855             :       {
    3856           0 :         GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
    3857           0 :         if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
    3858           0 :         gsincos(y1,&u,&v,prec);
    3859           0 :         z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
    3860           0 :         y = gaddsg(1, y10);
    3861           0 :         u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
    3862           0 :         return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
    3863             :       }
    3864             :     }
    3865             :   }
    3866           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3867             : }
    3868             : 
    3869             : /********************************************************************/
    3870             : /**                                                                **/
    3871             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3872             : /**                                                                **/
    3873             : /********************************************************************/
    3874             : static GEN
    3875         133 : mptan(GEN x)
    3876             : {
    3877         133 :   pari_sp av = avma;
    3878             :   GEN s, c;
    3879             : 
    3880         133 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3881         133 :   if (!signe(c))
    3882           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3883         133 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3884             : }
    3885             : 
    3886             : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
    3887             : static int
    3888        4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
    3889             : {
    3890        4018 :   long b, p = precision(ix);
    3891        4018 :   if (!p) p = prec;
    3892        4018 :   b = prec2nbits(p);
    3893        4018 :   return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
    3894             : }
    3895             : /* \pm I */
    3896             : static GEN
    3897          35 : real_I(long s, long prec)
    3898             : {
    3899          35 :   GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3900          35 :   gel(z,1) = real_0(prec);
    3901          35 :   gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
    3902             : }
    3903             : 
    3904             : GEN
    3905         224 : gtan(GEN x, long prec)
    3906             : {
    3907             :   pari_sp av;
    3908             :   GEN y, s, c;
    3909             : 
    3910         224 :   switch(typ(x))
    3911             :   {
    3912         126 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3913             : 
    3914          42 :     case t_COMPLEX: {
    3915          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3916          28 :       if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
    3917          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3918          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
    3919             :     }
    3920           7 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3921           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3922           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3923             : 
    3924          14 :     case t_PADIC:
    3925          14 :       av = avma;
    3926          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3927             : 
    3928          35 :     default:
    3929          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3930          28 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3931          28 :       if (valser(y) < 0)
    3932           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3933          21 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3934          21 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3935             :   }
    3936           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3937             : }
    3938             : 
    3939             : static GEN
    3940          70 : mpcotan(GEN x)
    3941             : {
    3942          70 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3943             :   GEN s,c;
    3944             : 
    3945          70 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3946          70 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3947             : }
    3948             : 
    3949             : GEN
    3950        4214 : gcotan(GEN x, long prec)
    3951             : {
    3952             :   pari_sp av;
    3953             :   GEN y, s, c;
    3954             : 
    3955        4214 :   switch(typ(x))
    3956             :   {
    3957          63 :     case t_REAL:
    3958          63 :       return mpcotan(x);
    3959             : 
    3960        4011 :     case t_COMPLEX:
    3961        4011 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3962          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3963          21 :         gel(z,1) = gen_0; av = avma;
    3964          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3965          21 :         return z;
    3966             :       }
    3967        3990 :       if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
    3968        3969 :       av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
    3969        3969 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3970             : 
    3971           7 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3972           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3973           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3974             : 
    3975          14 :     case t_PADIC:
    3976          14 :       av = avma;
    3977          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3978             : 
    3979         119 :     default:
    3980         119 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3981         112 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3982         112 :       if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3983         105 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3984         105 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3985             :   }
    3986           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3987             : }

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