Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 21342-bb34613) Lines: 1971 2020 97.6 %
Date: 2017-11-18 06:21:14 Functions: 144 146 98.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30       92196 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32       92196 :   gcatalan = geuler = gpi = bernzone = glog2 = NULL;
      33       92196 : }
      34             : 
      35             : void
      36       92605 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38       92605 :   if (gcatalan) gunclone(gcatalan);
      39       92866 :   if (geuler) gunclone(geuler);
      40       92866 :   if (gpi) gunclone(gpi);
      41       92866 :   if (bernzone) gunclone(bernzone);
      42       92866 :   if (glog2) gunclone(glog2);
      43       92866 : }
      44             : 
      45             : /********************************************************************/
      46             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      47             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      48             : /********************************************************************/
      49             : void
      50        6998 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      51             : {
      52        6998 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      53        6998 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54        6998 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55        6998 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56        6998 : }
      57             : static GEN
      58      575913 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      59             : static GEN
      60      170990 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      61             : 
      62             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      63             : static GEN
      64      170990 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      65             : {
      66      170990 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      67      170990 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      68      170990 :   return addii(u1, u2);
      69             : }
      70             : 
      71             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      72             : void
      73      335062 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      74             : {
      75             :   struct abpq_res L, R;
      76             :   GEN u1, u2;
      77             :   pari_sp av;
      78             :   long n;
      79      335062 :   switch(n2 - n1)
      80             :   {
      81             :     GEN b, p, q;
      82             :     case 1:
      83          40 :       r->P = A->p[n1];
      84          40 :       r->Q = A->q[n1];
      85          40 :       r->B = A->b[n1];
      86          40 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      87      171070 :       return;
      88             :     case 2:
      89       94131 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      90       94131 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      91       94131 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      92       94131 :       av = avma;
      93       94131 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      94       94131 :       return;
      95             : 
      96             :     case 3:
      97       76859 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      98       76859 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
      99       76859 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     100       76859 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     101       76859 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     102       76859 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     103       76859 :       av = avma;
     104       76859 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     105       76859 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     106       76859 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     107       76859 :       return;
     108             :   }
     109             : 
     110      164032 :   av = avma;
     111      164032 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     112      164032 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     113      164032 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     114             : 
     115      164032 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     116      164032 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     117      164032 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     118      164032 :   u1 = mulii3(R.B,R.Q,L.T);
     119      164032 :   u2 = mulii3(L.B,L.P,R.T);
     120      164032 :   r->T = addii(u1,u2);
     121      164032 :   avma = av;
     122      164032 :   r->P = icopy(r->P);
     123      164032 :   r->Q = icopy(r->Q);
     124      164032 :   r->B = icopy(r->B);
     125      164032 :   r->T = icopy(r->T);
     126             : }
     127             : 
     128             : /********************************************************************/
     129             : /**                                                                **/
     130             : /**                               PI                               **/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /********************************************************************/
     133             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     134             : static void
     135        4999 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     136             : {
     137        4999 :   GEN tmp = *old;
     138        4999 :   *old = c;
     139        4999 :   if (tmp) gunclone(tmp);
     140        4999 : }
     141             : 
     142             : /*                         ----
     143             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     144             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     145             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     146             :  *                         n>=0
     147             :  *
     148             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     149             : static GEN
     150        2250 : pi_ramanujan(long prec)
     151             : {
     152        2250 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     153        2250 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     154             :   long n, nmax, prec2;
     155             :   struct abpq_res R;
     156             :   struct abpq S;
     157             :   GEN D, u;
     158             : 
     159        2250 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     160             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     161        1912 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     162             : #else
     163         338 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     164             : #endif
     165        2250 :   abpq_init(&S, nmax);
     166        2250 :   S.a[0] = utoipos(A);
     167        2250 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     168       37048 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     169             :   {
     170       34798 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     171       34798 :     S.b[n] = gen_1;
     172       34798 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     173       34798 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     174             :   }
     175        2250 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     176        2250 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     177        2250 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     178             : }
     179             : 
     180             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     181             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     182             : static GEN
     183             : pi_brent_salamin(long prec)
     184             : {
     185             :   GEN A, B, C;
     186             :   pari_sp av2;
     187             :   long i, G;
     188             : 
     189             :   G = - prec2nbits(prec);
     190             :   incrprec(prec);
     191             : 
     192             :   A = real2n(-1, prec);
     193             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     194             :   setexpo(A, 0);
     195             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     196             :   for (i = 0;; i++)
     197             :   {
     198             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     199             :     pari_sp av3 = avma;
     200             :     if (expo(B_A) < G) break;
     201             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     202             :     b = mulrr(A,B);
     203             :     affrr(a, A);
     204             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); avma = av3;
     205             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     206             :     affrr(subrr(C, y), C); avma = av2;
     207             :   }
     208             :   shiftr_inplace(C, 2);
     209             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     210             : }
     211             : GEN
     212             : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216             :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218             :   tmp = cgetr_block(prec);
     219             :   av = avma;
     220             :   affrr(pi_brent_salamin(prec), tmp);
     221             :   swap_clone(&gpi, tmp);
     222             :   avma = av;  return gpi;
     223             : }
     224             : #endif
     225             : 
     226             : GEN
     227    10991134 : constpi(long prec)
     228             : {
     229             :   pari_sp av;
     230             :   GEN tmp;
     231    10991134 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     232             : 
     233        2250 :   av = avma;
     234        2250 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     235        2250 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     236        2250 :   avma = av; return gpi;
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240    10990443 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     241             : 
     242             : /* Pi * 2^n */
     243             : GEN
     244     4540680 : Pi2n(long n, long prec)
     245             : {
     246     4540680 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     247     4540680 :   return x;
     248             : }
     249             : 
     250             : /* I * Pi * 2^n */
     251             : GEN
     252        8203 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     253             : 
     254             : /* 2I * Pi */
     255             : GEN
     256        5173 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     257             : 
     258             : /********************************************************************/
     259             : /**                                                                **/
     260             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     261             : /**                                                                **/
     262             : /********************************************************************/
     263             : 
     264             : GEN
     265       20202 : consteuler(long prec)
     266             : {
     267             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     268             :   long l, n1, n, k, x;
     269             :   pari_sp av1, av2;
     270             : 
     271       20202 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     272             : 
     273         368 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     274             : 
     275         368 :   incrprec(prec);
     276             : 
     277         368 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, LOG2/4));
     278         368 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     279         368 :   b = real_1(l);
     280         368 :   v = real_1(l);
     281         368 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     282         368 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     283         368 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     284             :   {
     285         368 :     ulong xx = x*x;
     286         368 :     av2 = avma;
     287      125688 :     for (k=1; k<n1; k++)
     288             :     {
     289      125320 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     290      125320 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     291      125320 :       affrr(addrr(u,a), u);
     292      125320 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     293             :     }
     294         736 :     for (   ; k<=n; k++)
     295             :     {
     296         368 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     297         368 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     298         368 :       affrr(addrr(u,a), u);
     299         368 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     300             :     }
     301             :   }
     302             :   else
     303             :   {
     304           0 :     GEN xx = sqru(x);
     305           0 :     av2 = avma;
     306           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     307             :     {
     308           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     309           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     310           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     311           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     312             :     }
     313           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     314             :     {
     315           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     316           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     317           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     318           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     319             :     }
     320             :   }
     321         368 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     322         368 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     323         368 :   avma = av1; return geuler;
     324             : }
     325             : 
     326             : GEN
     327       20202 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     328             : 
     329             : /********************************************************************/
     330             : /**                                                                **/
     331             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     332             : /**                                                                **/
     333             : /********************************************************************/
     334             : /* 8G = 3\sum_{n>=0} 1/(binomial(2n,n)(2n+1)^2) + Pi log(2+sqrt(3)) */
     335             : static GEN
     336          14 : catalan(long prec)
     337             : {
     338          14 :   long i, nmax = prec2nbits(prec) >> 1;
     339             :   struct abpq_res R;
     340             :   struct abpq A;
     341             :   GEN u, v;
     342          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     343          14 :   A.a[0] = A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     344        6510 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     345             :   {
     346        6496 :     A.a[i] = gen_1;
     347        6496 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
     348        6496 :     A.p[i] = utoipos(i);
     349        6496 :     A.q[i] = utoipos((i<<2)+2);
     350             :   }
     351          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     352          14 :   u = mulur(3, rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec));
     353          14 :   v = mulrr(mppi(prec), logr_abs(addrs(sqrtr_abs(utor(3,prec)), 2)));
     354          14 :   u = addrr(u, v); shiftr_inplace(u, -3);
     355          14 :   return u;
     356             : }
     357             : 
     358             : GEN
     359          14 : constcatalan(long prec)
     360             : {
     361          14 :   pari_sp av = avma;
     362             :   GEN tmp;
     363          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     364          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     365          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     366          14 :   avma = av; return gcatalan;
     367             : }
     368             : 
     369             : GEN
     370          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     371             : 
     372             : /********************************************************************/
     373             : /**                                                                **/
     374             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     375             : /**                                                                **/
     376             : /********************************************************************/
     377             : static GEN
     378       62708 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   long i, l;
     381       62708 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     382       62708 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     383       62701 :   return y;
     384             : }
     385             : 
     386             : GEN
     387      454985 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     388             : {
     389      454985 :   pari_sp av = avma;
     390      454985 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     391      454985 :   switch(typ(x))
     392             :   {
     393      376973 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     394       15248 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     395           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     396          14 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     397             :     case t_VEC:
     398             :     case t_COL:
     399       62694 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     400          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     401             :   }
     402      392221 :   return gerepileupto(av, x);
     403             : }
     404             : 
     405             : /*******************************************************************/
     406             : /*                                                                 */
     407             : /*                            POWERING                             */
     408             : /*                                                                 */
     409             : /*******************************************************************/
     410             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     411             : static GEN
     412      198321 : mpexp0(GEN x)
     413             : {
     414      198321 :   long e = expo(x);
     415      198321 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     416             : }
     417             : static GEN
     418        2919 : powr0(GEN x)
     419        2919 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     420             : 
     421             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
     422             : static GEN
     423      116683 : scalarpol_get_1(GEN x)
     424             : {
     425      116683 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     426      116683 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     427      116683 :   gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
     428             : }
     429             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     430             : static GEN
     431     3355656 : gpowg0(GEN x)
     432             : {
     433             :   long lx, i;
     434             :   GEN y;
     435             : 
     436     3355656 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     439      668054 :       return gen_1;
     440             : 
     441           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     442             :     case t_COMPLEX: {
     443       16475 :       pari_sp av = avma;
     444       16475 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     445       16475 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     446       16475 :       if (a == gen_1) return b;
     447          14 :       if (b == gen_1) return a;
     448           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     449             :     }
     450             :     case t_INTMOD:
     451         119 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     452         119 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     453         119 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     454         119 :       return y;
     455             : 
     456        5775 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     457             : 
     458             :     case t_POLMOD:
     459         119 :       y = cgetg(3,t_POLMOD);
     460         119 :       gel(y,1) = gcopy(gel(x,1));
     461         119 :       gel(y,2) = scalarpol_get_1(gel(x,1)); return y;
     462             : 
     463             :     case t_RFRAC:
     464           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     465             :     case t_POL: case t_SER:
     466      116557 :       return scalarpol_get_1(x);
     467             : 
     468             :     case t_MAT:
     469          84 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     470          77 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     471          77 :       y = matid(lx-1);
     472          77 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     473          77 :       return y;
     474          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     475     2548438 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     476           7 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     477             :   }
     478           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     479             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     480             : }
     481             : 
     482             : static GEN
     483    40036710 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     484             : static GEN
     485    16204507 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     486             : static GEN
     487       52615 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     488             : static GEN
     489     4639965 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     490             : static GEN
     491     3098322 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     492             : static GEN
     493     7192527 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     494             : static GEN
     495     1272306 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     496             : static GEN
     497       24011 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     498             : 
     499             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     500             :  *
     501             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     502             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     503             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     504             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     505             : static GEN
     506    36134954 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     507             : {
     508             :   pari_sp av;
     509             :   GEN y;
     510             : 
     511    36134954 :   if (lgefint(a) == 3)
     512             :   { /* easy if |a| < 3 */
     513    32322357 :     ulong q = a[2];
     514    32322357 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     515    23944564 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     516    13814750 :     q = upowuu(q, N);
     517    13814750 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     518             :   }
     519     4468220 :   if (N <= 2) {
     520     2877600 :     if (N == 2) return sqri(a);
     521       12643 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     522             :   }
     523     1590620 :   av = avma;
     524     1590620 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     525     1590620 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     526             : }
     527             : /* a^n */
     528             : GEN
     529    36017967 : powiu(GEN a, ulong n)
     530             : {
     531             :   long s;
     532    36017967 :   if (!n) return gen_1;
     533    35599616 :   s = signe(a);
     534    35599616 :   if (!s) return gen_0;
     535    35586714 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     536             : }
     537             : GEN
     538    22341833 : powis(GEN a, long n)
     539             : {
     540             :   long s;
     541             :   GEN t, y;
     542    22341833 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     543      107047 :   s = signe(a);
     544      107047 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     545      107047 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     546      107047 :   if (is_pm1(a)) return t;
     547             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     548      106788 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     549      106788 :   gel(y,1) = t;
     550      106788 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     551      106788 :   return y;
     552             : }
     553             : GEN
     554    27230435 : powuu(ulong p, ulong N)
     555             : {
     556    27230435 :   pari_sp av = avma;
     557    27230435 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     558             :   ulong pN;
     559             :   GEN y;
     560    27230435 :   if (N <= 2)
     561             :   {
     562    18857931 :     if (N == 2) return sqru(p);
     563    15388220 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     564     4094760 :     return gen_1;
     565             :   }
     566     8372504 :   if (!p) return gen_0;
     567     8372504 :   pN = upowuu(p, N);
     568     8372504 :   if (pN) return utoipos(pN);
     569      755324 :   if (p == 2) return int2u(N);
     570      754601 :   P[2] = p; av = avma;
     571      754601 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     572      754601 :   return gerepileuptoint(av, y);
     573             : }
     574             : 
     575             : /* return 0 if overflow */
     576             : static ulong
     577     5179693 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     578             : ulong
     579    27646781 : upowuu(ulong p, ulong k)
     580             : {
     581             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     582    23705307 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     583    23705307 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     584    23705307 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     585    23705307 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     586    23705307 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     587    23705307 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     588    23705307 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     589    23705307 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     590    23705307 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     591    23705307 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     592    23705307 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     593    23705307 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     594    23705307 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     595    23705307 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     596    23705307 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     597    23705307 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     598    23705307 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     599    23705307 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     600             : #else
     601     3941474 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     602     3941474 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     603     3941474 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     604     3941474 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     605     3941474 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     606     3941474 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     607     3941474 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     608     3941474 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     609     3941474 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     610     3941474 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     611     3941474 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     612     3941474 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     613     3941474 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     614     3941474 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     615     3941474 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     616     3941474 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     617     3941474 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     618     3941474 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     619             : #endif
     620             : 
     621    27646781 :   if (p <= 2)
     622             :   {
     623     2735120 :     if (p < 2) return p;
     624     1609180 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     625             :   }
     626    24911661 :   switch(k)
     627             :   {
     628             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     629     1778833 :     case 0:  return 1;
     630     8077740 :     case 1:  return p;
     631     5179693 :     case 2:  return usqru(p);
     632     4630223 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     633      992750 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     634     1315687 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     635      796630 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     636      149609 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     637      127574 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     638      208695 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     639       71949 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     640       36273 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     641       53366 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     642       63394 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     643       67631 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     644       86265 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     645       19047 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     646       61376 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     647       15653 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     648       35286 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     649       10305 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     650       25034 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     651        7486 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     652      729575 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     653      715964 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     654       13151 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     655        4004 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     656             :   }
     657             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     658      351528 :   switch(p)
     659             :   {
     660       35934 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     661       21804 :       break;
     662         876 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     663          90 :       return 1UL<<(2*k);
     664       16386 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     665        3654 :       break;
     666         756 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     667          42 :       break;
     668       10470 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     669        1056 :       break;
     670      287106 :     default: return 0;
     671             :   }
     672             :   /* no overflow */
     673             :   {
     674       26556 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     675       26556 :     q *= q ;
     676       26556 :     return odd(k)? q*p: q;
     677             :   }
     678             : #else
     679       59399 :   return 0;
     680             : #endif
     681             : }
     682             : 
     683             : typedef struct {
     684             :   long prec, a;
     685             :   GEN (*sqr)(GEN);
     686             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     687             : } sr_muldata;
     688             : 
     689             : static GEN
     690      480984 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     691             : {
     692      480984 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     693      480984 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     694             :   { /* switch to t_REAL */
     695       18794 :     D->sqr   = &sqrr;
     696       18794 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     697             :   }
     698      480984 :   return D->sqr(x);
     699             : }
     700             : 
     701             : static GEN
     702      184398 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     703             : {
     704      184398 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     705      184398 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     706      184398 :   return D->mulug(D->a, x2);
     707             : }
     708             : 
     709             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     710             : GEN
     711      128532 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     712             : {
     713             :   pari_sp av;
     714             :   GEN y, z;
     715             :   sr_muldata D;
     716             : 
     717      128532 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     718      128532 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     719      128532 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     720      127671 :   z = cgetr(prec);
     721      127671 :   av = avma;
     722      127671 :   D.sqr   = &sqri;
     723      127671 :   D.mulug = &mului;
     724      127671 :   D.prec = prec;
     725      127671 :   D.a = (long)a;
     726      127671 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     727      127671 :   mpaff(y, z); avma = av; return z;
     728             : }
     729             : 
     730             : GEN
     731     5386244 : powrs(GEN x, long n)
     732             : {
     733     5386244 :   pari_sp av = avma;
     734             :   GEN y;
     735     5386244 :   if (!n) return powr0(x);
     736     5386244 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     737     5386244 :   if (n < 0) y = invr(y);
     738     5386244 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     739             : }
     740             : GEN
     741      602742 : powru(GEN x, ulong n)
     742             : {
     743      602742 :   pari_sp av = avma;
     744             :   GEN y;
     745      602742 :   if (!n) return powr0(x);
     746      600327 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     747      600327 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     748             : }
     749             : 
     750             : GEN
     751       24011 : powersr(GEN x, long n)
     752             : {
     753       24011 :   long prec = realprec(x);
     754       24011 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     755             : }
     756             : 
     757             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     758             : GEN
     759           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     760             : {
     761           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     762           0 :   return powrs(x, s>>1);
     763             : }
     764             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     765             : GEN
     766       21610 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     767             : {
     768       21610 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     769        5929 :   return powru(x, s>>1);
     770             : }
     771             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     772             : GEN
     773         504 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     774             : {
     775             :   long z;
     776         504 :   if (!n) return powr0(x);
     777           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     778           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     779           0 :   x = powrs(x, n);
     780           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     781           0 :   return sqrtnr(x, d);
     782             : }
     783             : 
     784             : /* assume x != 0 */
     785             : static GEN
     786      505083 : pow_monome(GEN x, long n)
     787             : {
     788      505083 :   long i, d, dx = degpol(x);
     789             :   GEN A, b, y;
     790             : 
     791      505083 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     792             : 
     793      505083 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     794           8 :   {
     795             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     796           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     797           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     798           9 :     d += 2;
     799             :   }
     800             :   else
     801      505074 :     d = dx*n + 2;
     802      505083 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     803      505076 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     804      505076 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     805      505076 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     806      505076 :   if (!y) y = A;
     807             :   else {
     808       20433 :     GEN c = denom(b);
     809       20433 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     810       20433 :     gel(y,2) = A;
     811             :   }
     812      505076 :   gel(A,d) = b; return y;
     813             : }
     814             : 
     815             : /* x t_PADIC */
     816             : static GEN
     817       41099 : powps(GEN x, long n)
     818             : {
     819       41099 :   long e = n*valp(x), v;
     820       41099 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     821             :   pari_sp av;
     822             : 
     823       41099 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     824          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     825          77 :     return zeropadic(p, e);
     826             :   }
     827       41015 :   v = z_pval(n, p);
     828             : 
     829       41015 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     830       41015 :   mod = gel(x,3);
     831       41015 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     832             :   else
     833             :   {
     834       39965 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     835       39965 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     836       39965 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     837             :   }
     838       41015 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     839       41015 :   gel(y,2) = icopy(p);
     840       41015 :   gel(y,3) = mod;
     841             : 
     842       41015 :   av = avma; t = gel(x,4);
     843       41015 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     844       41015 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     845       41015 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     846       41015 :   return y;
     847             : }
     848             : /* x t_PADIC */
     849             : static GEN
     850         161 : powp(GEN x, GEN n)
     851             : {
     852             :   long v;
     853         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     854             : 
     855         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     856             : 
     857         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     858          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     859           7 :     return zeropadic(p, 0);
     860             :   }
     861         147 :   v = Z_pval(n, p);
     862             : 
     863         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     864         147 :   mod = gel(x,3);
     865         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     866             :   else
     867             :   {
     868          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     869          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     870             :   }
     871         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     872         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     873         147 :   gel(y,3) = mod;
     874         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     875         147 :   return y;
     876             : }
     877             : static GEN
     878       28496 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     879             : {
     880       28496 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     881       28496 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     882       28496 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     883        2758 :     a = powgi(a, n);
     884             :   else {
     885       25738 :     pari_sp av = avma;
     886       25738 :     GEN p = NULL;
     887       25738 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     888             :     {
     889        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     890        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     891             :       {
     892        7595 :         ulong pp = p[2];
     893        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     894        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     895             :       }
     896             :       else
     897           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     898        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     899        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     900             :     }
     901             :     else
     902             :     {
     903       18136 :       avma = av;
     904       18136 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     905             :     }
     906             :   }
     907       28496 :   gel(z,2) = a; return z;
     908             : }
     909             : 
     910             : GEN
     911    96261249 : gpowgs(GEN x, long n)
     912             : {
     913             :   long m;
     914             :   pari_sp av;
     915             :   GEN y;
     916             : 
     917    96261249 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     918    92991333 :   if (n == 1)
     919    45497391 :     switch (typ(x)) {
     920      757177 :       case t_QFI: return redimag(x);
     921          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     922    44740200 :       default: return gcopy(x);
     923             :     }
     924    47493942 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     925    43861841 :   switch(typ(x))
     926             :   {
     927    22295837 :     case t_INT: return powis(x,n);
     928     5385733 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     929             :     case t_INTMOD:
     930       21504 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     931       21504 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     932       21504 :       return y;
     933             :     case t_FRAC:
     934             :     {
     935      220728 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     936      220728 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     937      220728 :       if (n < 0) {
     938          14 :         n = -n;
     939          14 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     940           7 :         swap(a, b);
     941             :       }
     942      220721 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     943      220721 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     944      220721 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     945      220721 :       return y;
     946             :     }
     947       41099 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     948             :     case t_RFRAC:
     949             :     {
     950      192549 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     951      192549 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     952      192549 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     953      192549 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     954      192549 :       return gerepileupto(av,y);
     955             :     }
     956             :     case t_POLMOD: {
     957       28489 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     958       28489 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     959             :     }
     960             :     case t_POL:
     961      549715 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     962             :     default: {
     963    15170819 :       pari_sp av = avma;
     964    15170819 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     965    15170820 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     966    15170820 :       return gerepileupto(av,y);
     967             :     }
     968             :   }
     969             : }
     970             : 
     971             : /* n a t_INT */
     972             : GEN
     973    83845323 : powgi(GEN x, GEN n)
     974             : {
     975             :   GEN y;
     976             : 
     977    83845323 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     978             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     979         340 :   switch(typ(x))
     980             :   {
     981             :     case t_INTMOD:
     982          49 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     983          49 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     984          49 :       return y;
     985          58 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     986         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     987             : 
     988             :     case t_INT:
     989          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     990          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     991           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     992           7 :       return gen_0;
     993             :     case t_FRAC:
     994           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     995             : 
     996          14 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     997           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     998             :     default: {
     999           9 :       pari_sp av = avma;
    1000           9 :       y = gen_pow(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1001           9 :       if (signe(n) < 0) y = ginv(y);
    1002           9 :       return gerepileupto(av,y);
    1003             :     }
    1004             :   }
    1005             : }
    1006             : 
    1007             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1008             : static GEN
    1009         336 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1010             : {
    1011             :   long lx, mi, i, j, d;
    1012         336 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1013         336 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1014         336 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1015         336 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1016        2170 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1017             :   {
    1018        1834 :     pari_sp av = avma;
    1019        1834 :     GEN s = gen_0;
    1020       15442 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1021             :     {
    1022       13608 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1023       13608 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1024             :     }
    1025        1834 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1026             :   }
    1027         336 :   return y;
    1028             : }
    1029             : 
    1030             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1031             : static GEN
    1032         336 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1033             : {
    1034             :   GEN y, c, lead;
    1035         336 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1036         336 :   lead = gel(x,2);
    1037         336 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1038          91 :   x = ser_normalize(x);
    1039          91 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1040          84 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1041             :   else
    1042           7 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1043          91 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1044             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1045          91 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1046          91 :   return y;
    1047             : }
    1048             : 
    1049             : static long
    1050         350 : val_from_i(GEN E)
    1051             : {
    1052         350 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1053         343 :   return itos(E);
    1054             : }
    1055             : 
    1056             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1057             : static GEN
    1058         357 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1059             : {
    1060         357 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1061             :   long e;
    1062             : 
    1063         357 :   if (!signe(x))
    1064             :   {
    1065          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1066          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1067             :   }
    1068         336 :   if (typ(E) != t_INT)
    1069           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1070         329 :   e = val_from_i(E);
    1071         329 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1072         329 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1073         329 :   setvalp(y, e); return y;
    1074             : }
    1075             : 
    1076             : static GEN
    1077         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1078             : {
    1079         126 :   pari_sp av = avma;
    1080             :   long i, lx;
    1081             :   GEN y;
    1082         126 :   switch(typ(n))
    1083             :   {
    1084             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1085          84 :       break;
    1086             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1087          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1088          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1089          35 :       return y;
    1090           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1091             :   }
    1092          84 :   n = real_i(n);
    1093          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1094          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1095             : 
    1096          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1097          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1098           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1099           7 :   avma = av; return real_0_bit(itos(x));
    1100             : }
    1101             : 
    1102             : GEN
    1103    13204829 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1104             : {
    1105    13204829 :   long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
    1106             :   pari_sp av;
    1107             :   GEN y;
    1108             : 
    1109    13204829 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1110     2237272 :   tx = typ(x);
    1111     2237272 :   if (is_matvec_t(tx))
    1112             :   {
    1113          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1114          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1115          49 :     return y;
    1116             :   }
    1117     2237223 :   av = avma;
    1118     2237223 :   switch (tx)
    1119             :   {
    1120          14 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1121             :     case t_SER:
    1122          84 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1123          35 :       if (valp(x))
    1124          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1125             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1126          14 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1127           7 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1128             :   }
    1129     2237139 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1130     2237083 :   if (tn == t_FRAC)
    1131             :   {
    1132     1946597 :     GEN z, d = gel(n,2), a = gel(n,1);
    1133             :     long D;
    1134     1946597 :     switch (tx)
    1135             :     {
    1136             :     case t_INTMOD:
    1137             :       {
    1138          21 :         GEN p = gel(x,1);
    1139          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1140          14 :         y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1141          14 :         av = avma;
    1142          14 :         z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1143          14 :         if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1144           7 :         gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1145           7 :         return y;
    1146             :       }
    1147             : 
    1148             :     case t_PADIC:
    1149          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1150           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1151             : 
    1152             :     case t_FFELT:
    1153          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1154             :     default:
    1155     1946541 :       D = itos_or_0(d);
    1156     1946541 :       if (!D) break;
    1157     1946541 :       if (D == 2)
    1158             :       {
    1159     1716472 :         GEN y = gsqrt(x,prec), t = shifti(subiu(a,1), -1);
    1160     1716472 :         if (signe(t)) y = gmul(y, powgi(x,t));
    1161     1716472 :         return gerepileupto(av, y);
    1162             :       }
    1163      230069 :       if (is_real_t(tx) && gsigne(x) > 0)
    1164             :       {
    1165      229184 :         prec += nbits2extraprec(expi(a));
    1166      229184 :         if (tx != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    1167      229184 :         z = sqrtnr(x, D);
    1168      229184 :         if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
    1169      229184 :         return gerepileuptoleaf(av, z);
    1170             :       }
    1171             :     }
    1172             :   }
    1173      291371 :   i = precision(n);
    1174      291371 :   if (i) prec = i;
    1175      291371 :   prec0 = prec;
    1176      291371 :   if (!gprecision(x))
    1177             :   {
    1178       36071 :     long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
    1179       36071 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
    1180             :   }
    1181      291371 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1182      291315 :   y = gexp(y,prec);
    1183      291315 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1184       30954 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1185             : }
    1186             : 
    1187             : GEN
    1188       25357 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1189             : {
    1190             :   long i, l;
    1191             :   GEN V;
    1192       25357 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1193       25329 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1194       25329 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1195       25329 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1196       25329 :   return V;
    1197             : }
    1198             : 
    1199             : GEN
    1200       52622 : gpowers(GEN x, long n)
    1201             : {
    1202       52622 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1203       52615 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1204             : }
    1205             : 
    1206             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1207             : GEN
    1208       22914 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1209             : {
    1210       22914 :   pari_sp av = avma;
    1211       22914 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1212       22914 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1213             :   long i;
    1214       22914 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1215       22914 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1216       22914 :   return gerepileupto(av, v);
    1217             : }
    1218             : 
    1219             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1220             : static GEN
    1221       81580 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1222             : {
    1223       81580 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_VEC), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1224       81580 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1225             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1226             : 
    1227       81580 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1228       81580 :   if (odd(N4)) N8++;
    1229      109913 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1230             :   {
    1231       28333 :     GEN t = v[i];
    1232       28333 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1233       28333 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1234             :   }
    1235       81580 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1236       81580 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1237       81580 :   return RU;
    1238             : }
    1239             : 
    1240             : /* as above, N arbitrary */
    1241             : GEN
    1242      134050 : grootsof1(long N, long prec)
    1243             : {
    1244             :   GEN z, RU, *v;
    1245             :   long i, k;
    1246             : 
    1247      134050 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1248       52470 :   if (N == 1) return mkvec(gen_1);
    1249       33983 :   k = (N+3)>>1;
    1250       33983 :   RU = cgetg(N+1,t_VEC);
    1251       33983 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1252       33983 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1253       33983 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1254       33983 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1255       33983 :   return RU;
    1256             : }
    1257             : 
    1258             : /********************************************************************/
    1259             : /**                                                                **/
    1260             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1261             : /**                                                                **/
    1262             : /********************************************************************/
    1263             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1264             : GEN
    1265        1477 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1266             : {
    1267        1477 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1268             :   GEN z;
    1269             :   long ez;
    1270             :   pari_sp av;
    1271             : 
    1272        1477 :   switch(e)
    1273             :   {
    1274           7 :     case 1: return gen_1;
    1275         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1276          14 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1277          70 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1278          35 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1279        1267 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1280             :   }
    1281        1267 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1282        1267 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1283             :   for(;;)
    1284             :   {
    1285             :     GEN mod;
    1286        4634 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1287        4634 :     if (ez > e) ez = e;
    1288        4634 :     mod = int2n(ez);
    1289        4634 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1290        4634 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1291        4634 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1292        3367 :     if (ez < e) ez--;
    1293        3367 :     if (gc_needed(av,2))
    1294             :     {
    1295           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1296           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1297             :     }
    1298        3367 :   }
    1299             : }
    1300             : 
    1301             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1302             : GEN
    1303        1736 : Qp_sqrt(GEN x)
    1304             : {
    1305        1736 :   long pp, e = valp(x);
    1306        1736 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1307             : 
    1308        1736 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1309        1736 :   if (e & 1) return NULL;
    1310             : 
    1311        1722 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1312        1722 :   pp = precp(x);
    1313        1722 :   mod = gel(x,3);
    1314        1722 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1315        1722 :   e >>= 1;
    1316        1722 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1317        1722 :   if (!z) return NULL;
    1318        1673 :   if (absequaliu(p,2))
    1319             :   {
    1320         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1321         805 :     mod = int2n(pp);
    1322             :   }
    1323         868 :   else mod = icopy(mod);
    1324        1673 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1325        1673 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1326        1673 :   gel(y,3) = mod;
    1327        1673 :   gel(y,4) = z; return y;
    1328             : }
    1329             : 
    1330             : GEN
    1331         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1332             : {
    1333         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1334         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1335             :   long j, np;
    1336         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1337         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1338           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1339         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1340           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1341         350 :   np = nbrows(fn);
    1342         350 :   btop = avma;
    1343        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1344             :   {
    1345             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1346        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1347        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1348        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1349        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1350             :     else
    1351             :     {
    1352         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1353         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1354         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1355         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1356             :     }
    1357        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1358        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1359        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1360        1050 :     m = pr;
    1361        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1362           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1363             :   }
    1364         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1365             : }
    1366             : 
    1367             : static GEN
    1368        2317 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1369             : {
    1370        2317 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1371             :   ulong mask;
    1372             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1373             : 
    1374        2317 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1375        2317 :   a = leafcopy(b);
    1376        2317 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1377        2317 :   if (e & 1)
    1378           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), x);
    1379        2310 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1380        2310 :   lta = gel(a,2);
    1381        2310 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1382          84 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1383        2310 :   gel(x,2) = ltx;
    1384        2310 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1385        2310 :   setlg(x,3);
    1386        2310 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1387        2310 :   lold = 1;
    1388       10559 :   while (mask > 1)
    1389             :   {
    1390        5939 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1391        5939 :     long l = lold << 1, lx;
    1392             : 
    1393        5939 :     if (mask & 1) l--;
    1394        5939 :     mask >>= 1;
    1395        5939 :     setlg(a, l + 2);
    1396        5939 :     setlg(x, l + 2);
    1397        5939 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1398        5939 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1399        5939 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1400        5939 :     y = normalize(y);
    1401        5939 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1402        5939 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1403        5939 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1404        5939 :     lold = l;
    1405             :   }
    1406        2310 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1407        2310 :   return x;
    1408             : }
    1409             : 
    1410             : GEN
    1411     7817219 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1412             : {
    1413             :   pari_sp av;
    1414             :   GEN y;
    1415             : 
    1416     7817219 :   switch(typ(x))
    1417             :   {
    1418             :     case t_INT:
    1419     2268087 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1420     2268080 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1421     7321096 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1422             : 
    1423             :     case t_INTMOD:
    1424             :     {
    1425          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1426          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1427          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1428          21 :       if (!a)
    1429             :       {
    1430           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1431           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1432             :       }
    1433          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1434             :     }
    1435             : 
    1436             :     case t_COMPLEX:
    1437             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1438      478635 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1439      478635 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1440      478635 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1441             : 
    1442      478635 :       r = cxnorm(x);
    1443      478635 :       if (typ(r) == t_INTMOD) pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1444      478635 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1445      478635 :       if (!signe(r))
    1446         117 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1447      478518 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1448             :       {
    1449             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1450             :          * positive numbers = 0 */
    1451       47853 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1452       47853 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1453       47853 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1454             :         /* v = 0 is impossible */
    1455       47853 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1456             :       } else {
    1457      430665 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1458      430665 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1459      430665 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1460           7 :           v = u;
    1461             :         else
    1462      430658 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1463             :       }
    1464      478635 :       gel(y,1) = u;
    1465      478635 :       gel(y,2) = v; return y;
    1466             :     }
    1467             : 
    1468             :     case t_PADIC:
    1469          49 :       y = Qp_sqrt(x);
    1470          49 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1471          28 :       return y;
    1472             : 
    1473          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1474             : 
    1475             :     default:
    1476       17327 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1477        2317 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1478             :   }
    1479       15010 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1480             : }
    1481             : /********************************************************************/
    1482             : /**                                                                **/
    1483             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1484             : /**                                                                **/
    1485             : /********************************************************************/
    1486             : static void
    1487           7 : bug_logp(GEN p)
    1488             : {
    1489           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1490           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1491           0 : }
    1492             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1493             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1494             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1495             : static GEN
    1496       24864 : palogaux(GEN x)
    1497             : {
    1498             :   long i, k, e, pp, t;
    1499       24864 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1500       24864 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    1501             : 
    1502       24864 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1503       24864 :   if (!signe(y))
    1504             :   {
    1505         861 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1506         861 :     if (is2) v--;
    1507         861 :     return zeropadic(p, v);
    1508             :   }
    1509             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1510       24003 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1511       24003 :   if (!e) bug_logp(p);
    1512       23996 :   if (is2)
    1513        2450 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1514             :   else
    1515       21546 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1516       23996 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1517             : 
    1518       23996 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1519       23996 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1520       23996 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1521       23996 :   pp = precp(y) + e;
    1522       23996 :   if (is2) pp--;
    1523             :   else
    1524             :   {
    1525             :     GEN p1;
    1526       21546 :     for (p1=utoipos(e); abscmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1527       21546 :     pp -= 2;
    1528             :   }
    1529       23996 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1530       23996 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1531           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1532       23996 :   if (k > 1)
    1533             :   {
    1534       22659 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1535      122538 :     while (k > 2)
    1536             :     {
    1537       77220 :       k -= 2;
    1538       77220 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1539             :     }
    1540       22659 :     y = gmul(s,y);
    1541             :   }
    1542       23996 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1543       23996 :   return y;
    1544             : }
    1545             : 
    1546             : GEN
    1547       24871 : Qp_log(GEN x)
    1548             : {
    1549       24871 :   pari_sp av = avma;
    1550       24871 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1551             : 
    1552       24871 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1553       24864 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1554       24864 :   if (absequaliu(p,2))
    1555        2926 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1556       21938 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1557       12855 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1558             :   else
    1559             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1560        9083 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subiu(p,1);
    1561        9083 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1562        9083 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1563        9083 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1564             :   }
    1565       24857 :   return gerepileupto(av,y);
    1566             : }
    1567             : 
    1568             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1569             : 
    1570             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1571             : static GEN
    1572         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1573             : {
    1574         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1575         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1576         854 :   long v = valp(x), va;
    1577         854 :   if (v)
    1578             :   {
    1579             :     long z;
    1580         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1581         161 :     if (z) return NULL;
    1582          91 :     x = leafcopy(x);
    1583          91 :     setvalp(x,0);
    1584             :   }
    1585             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1586         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1587         749 :   a = Qp_log(x);
    1588         749 :   va = valp(a) - e;
    1589         749 :   if (va <= 0)
    1590             :   {
    1591         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1592             :     /* all accuracy lost */
    1593         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1594             :   }
    1595             :   else
    1596             :   {
    1597         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1598         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1599         462 :     if (!a) return NULL;
    1600             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1601             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1602         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1603         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1604             :   }
    1605         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1606             : }
    1607             : 
    1608             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1609             : static GEN
    1610         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1611             : {
    1612             :   pari_sp av;
    1613         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1614         616 :   long v = valp(x);
    1615         616 :   if (v)
    1616             :   {
    1617             :     long z;
    1618          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1619          84 :     if (z) return NULL;
    1620             :   }
    1621         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1622         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1623         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1624         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1625         609 :   if (!a) return NULL;
    1626         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1627         595 :   if (zetan)
    1628             :   {
    1629          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1630          14 :     *zetan = Z;
    1631             :   }
    1632         595 :   avma = av; return r;
    1633             : }
    1634             : 
    1635             : GEN
    1636        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1637             : {
    1638             :   pari_sp av, tetpil;
    1639             :   GEN q, p;
    1640             :   long e;
    1641        1183 :   if (absequaliu(n, 2))
    1642             :   {
    1643          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1644          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1645          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1646             :   }
    1647        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1648        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1649             :   {
    1650         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1651         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1652         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1653         203 :     avma = av; return zeropadic(p, itos(q));
    1654             :   }
    1655             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1656         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1657         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1658         637 :   if (is_pm1(q))
    1659             :   { /* finished */
    1660          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1661          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1662          21 :     if (zetan)
    1663          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1664          21 :                                    : gen_1;
    1665          21 :     return x;
    1666             :   }
    1667         616 :   tetpil = avma;
    1668             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1669         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1670         616 :   if (!x) return NULL;
    1671         595 :   if (zetan)
    1672             :   {
    1673             :     GEN *gptr[2];
    1674          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1675             :     {
    1676           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1677             :     }
    1678          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1679          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1680          14 :     return x;
    1681             :   }
    1682         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1683             : }
    1684             : 
    1685             : GEN
    1686       10803 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1687             : {
    1688       10803 :   pari_sp ltop = avma;
    1689             :   GEN x, b, q;
    1690             :   long s, k, e;
    1691       10803 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1692       10803 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1693       10803 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1694       10796 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1695       10796 :   s = signe(a);
    1696       10796 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1697       10789 :   if (!s) return gen_0;
    1698       10789 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1699       10360 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1700       10360 :   if (k == 0)
    1701             :   {
    1702             :     long flag;
    1703         291 :     if (n > e) {avma = ltop; return gen_1;}
    1704         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); avma = ltop;
    1705         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1706             :   }
    1707       10069 :   if (e < n*(BITS_IN_LONG - 1))
    1708             :   {
    1709             :     ulong s, xs, qs;
    1710        2864 :     s = 1 + e/n; xs = 1UL << s;
    1711        2864 :     qs = itou(shifti(a, -nm1*s));
    1712       20270 :     while (qs < xs) {
    1713       14549 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1714       14549 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1715       14549 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1716       14542 :       qs = itou(q);
    1717             :     }
    1718        2864 :     return utoi(xs);
    1719             :   }
    1720        7205 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1721        7205 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1722        7205 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1723       22892 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1724             :   {
    1725        8482 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1726        8482 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1727             :   }
    1728        7205 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1729             : }
    1730             : 
    1731             : ulong
    1732         429 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1733             : {
    1734             :   ulong x, s, q;
    1735         429 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1736         429 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1737         429 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1738         429 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1739         429 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1740        1694 :   while (q < x) {
    1741             :     ulong X;
    1742         836 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1743         836 :     X = upowuu(x, nm1);
    1744         836 :     q = X? a/X: 0;
    1745             :   }
    1746         429 :   return x;
    1747             : }
    1748             : 
    1749             : static ulong
    1750      231196 : cubic_prec_mask(long n)
    1751             : {
    1752      231196 :   long a = n, i;
    1753      231196 :   ulong mask = 0;
    1754     1295656 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1755             :   {
    1756     1295656 :     long c = a%3;
    1757     1295656 :     if (c) mask += 3 - c;
    1758     1295656 :     a = (a+2)/3;
    1759     1526852 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1760     1064460 :   }
    1761             : }
    1762             : 
    1763             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1764             : GEN
    1765      283659 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1766             : {
    1767             :   pari_sp av;
    1768             :   GEN x, b;
    1769             :   long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
    1770             :   ulong mask;
    1771             : 
    1772      283659 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1773      283093 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1774             : 
    1775      264130 :   prec = realprec(a);
    1776      264130 :   B = prec2nbits(prec);
    1777      264130 :   eextra = expu(n)-1;
    1778      264130 :   n1 = n+1;
    1779      264130 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1780      264130 :   v = expo(a) / n;
    1781      264130 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1782             : 
    1783      264130 :   b = rtor(a, DEFAULTPREC);
    1784      264130 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1785      264130 :   if (prec == DEFAULTPREC)
    1786             :   {
    1787       59898 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1788       59898 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1789             :   }
    1790      204232 :   mask = cubic_prec_mask(B + 63);
    1791      204232 :   eold = 1;
    1792             :   for(;;)
    1793             :   { /* reach 64 */
    1794     1007941 :     long enew = eold * 3;
    1795     1007941 :     enew -= mask % 3;
    1796     1007941 :     if (enew > 64) break; /* back up one step */
    1797      803709 :     mask /= 3;
    1798      803709 :     eold = enew;
    1799      803709 :   }
    1800             :   for(;;)
    1801             :   {
    1802      339839 :     long pr, enew = eold * 3;
    1803             :     GEN y, z;
    1804      339839 :     enew -= mask % 3;
    1805      339839 :     mask /= 3;
    1806      339839 :     pr = nbits2prec(enew + eextra);
    1807      339839 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1808      339839 :     x = rtor(x, pr);
    1809      339839 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1810      339839 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1811      339839 :     shiftr_inplace(z,1);
    1812      339839 :     x = mulrr(x, subsr(1,z));
    1813      339839 :     if (mask == 1)
    1814             :     {
    1815      204232 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1816      204232 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1817             :     }
    1818      135607 :     eold = enew;
    1819      135607 :   }
    1820             : }
    1821             : 
    1822             : static void
    1823       47686 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1824             : {
    1825       47686 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1826       47686 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1827       47686 : }
    1828             : 
    1829             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1830             : static GEN
    1831       93241 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1832             : {
    1833             :   pari_sp av;
    1834             :   GEN x;
    1835             :   long eold, n1, n2, B;
    1836             :   ulong mask;
    1837             : 
    1838       93241 :   B = prec2nbits(prec);
    1839       93241 :   n1 = n+1;
    1840       93241 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1841             : 
    1842       93241 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1843       93241 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1844       26964 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1845       26964 :   eold = 1;
    1846             :   for(;;)
    1847             :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1848      131386 :     long enew = eold * 3;
    1849      131386 :     enew -= mask % 3;
    1850      131386 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1851      104422 :     mask /= 3;
    1852      104422 :     eold = enew;
    1853      104422 :   }
    1854             :   for(;;)
    1855             :   {
    1856       47686 :     long pr, enew = eold * 3;
    1857             :     GEN y, z;
    1858       47686 :     enew -= mask % 3;
    1859       47686 :     mask /= 3;
    1860       47686 :     pr = nbits2prec(enew);
    1861       47686 :     x = cxtofp(x, pr);
    1862       47686 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1863       47686 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1864       47686 :     shiftc_inplace(z,1);
    1865       47686 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1866       47686 :     if (mask == 1) return gerepileupto(av, gprec_w(x,prec));
    1867       20722 :     eold = enew;
    1868       20722 :   }
    1869             : }
    1870             : 
    1871             : /* exp(2iPi/d) */
    1872             : GEN
    1873      238533 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1874             : {
    1875      238533 :   switch(n)
    1876             :   {
    1877       27783 :     case 1: return gen_1;
    1878       20644 :     case 2: return gen_m1;
    1879       33497 :     case 4: return gen_I();
    1880             :     case 3: case 6: case 12:
    1881             :     {
    1882        8902 :       pari_sp av = avma;
    1883        8902 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    1884        8902 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    1885        8902 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    1886        8902 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    1887        8902 :       return gerepilecopy(av, a);
    1888             :     }
    1889             :     case 8:
    1890             :     {
    1891       54466 :       pari_sp av = avma;
    1892       54466 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    1893       54466 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    1894       54466 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    1895             :     }
    1896             :   }
    1897       93241 :   return sqrtnof1(n, prec);
    1898             : }
    1899             : /* e(a/b) */
    1900             : GEN
    1901       20664 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    1902             : {
    1903       20664 :   long g = cgcd(a,b);
    1904             :   GEN z;
    1905       20664 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1906       20664 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1907       20664 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    1908       20664 :   if (a < 0) { z = gconj(z); a = -a; }
    1909       20664 :   return gpowgs(z, a);
    1910             : }
    1911             : 
    1912             : /* initializes powers of e(a/b) */
    1913             : GEN
    1914       23912 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    1915             : {
    1916       23912 :   long g = cgcd(a,b);
    1917       23912 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1918       23912 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1919       23912 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    1920       23912 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    1921             : }
    1922             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    1923             : GEN
    1924    11864398 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    1925             : {
    1926    11864398 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    1927    11864398 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    1928    11864398 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    1929    11864398 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    1930    11864398 :   return gel(vz, a + 1);
    1931             : }
    1932             : 
    1933             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    1934             : GEN
    1935        3528 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    1936             : {
    1937        3528 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    1938           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    1939             : }
    1940             : 
    1941             : GEN
    1942        3508 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1943             : {
    1944             :   long i, lx, tx;
    1945             :   pari_sp av;
    1946             :   GEN y, z;
    1947        3508 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1948        3508 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1949        3508 :   if (is_pm1(n))
    1950             :   {
    1951          70 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1952          70 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1953             :   }
    1954        3438 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1955        3438 :   tx = typ(x);
    1956        3438 :   if (is_matvec_t(tx))
    1957             :   {
    1958           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1959           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1960           7 :     return y;
    1961             :   }
    1962        3431 :   av = avma;
    1963        3431 :   switch(tx)
    1964             :   {
    1965             :   case t_INTMOD:
    1966             :     {
    1967         168 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1968         168 :       z = gen_0;
    1969         168 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1970         168 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1971         168 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1972         147 :       if (!s) {
    1973          14 :         if (zetan) {avma=av; return gen_0;}
    1974           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1975           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1976             :       }
    1977         133 :       gel(y,2) = s;
    1978         133 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1979         133 :       return y;
    1980             :     }
    1981             : 
    1982             :   case t_PADIC:
    1983          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1984          49 :     if (!y) {
    1985           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1986           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1987             :     }
    1988          42 :     return y;
    1989             : 
    1990         196 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1991             : 
    1992             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1993        2696 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1994        2696 :     if (isint1(x))
    1995           7 :       y = real_1(prec);
    1996        2689 :     else if (gequal0(x))
    1997             :     {
    1998             :       long b;
    1999          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    2000          21 :       if (isinexactreal(x))
    2001          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2002             :       else
    2003           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2004          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2005             :       {
    2006           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2007           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2008             :       }
    2009             :       else
    2010          14 :         y = real_0_bit(b);
    2011             :     }
    2012             :     else
    2013             :     {
    2014        2668 :       long nn = itos_or_0(n);
    2015        2668 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2016        2668 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2017        1021 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2018             :       else
    2019        1647 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2020        2668 :       y = gerepileupto(av, y);
    2021             :     }
    2022        2696 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2023        2696 :     return y;
    2024             : 
    2025             :   case t_QUAD:
    2026           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2027             : 
    2028             :   default:
    2029         308 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2030         308 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2031             :   }
    2032           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2033             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2034             : }
    2035             : 
    2036             : /********************************************************************/
    2037             : /**                                                                **/
    2038             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2039             : /**                                                                **/
    2040             : /********************************************************************/
    2041             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2042             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2043             : GEN
    2044     6889189 : exp1r_abs(GEN x)
    2045             : {
    2046     6889189 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2047             :   GEN y, p2, X;
    2048             :   pari_sp av;
    2049             :   double d;
    2050             : 
    2051     6889189 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2052             : 
    2053     6883465 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2054     6883465 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2055     6883465 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2056     6883465 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2057     6883465 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2058             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2059             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2060             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    2061             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2062             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2063             :   * accuracy needed, so
    2064             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2065             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2066             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2067             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2068             :   *
    2069             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2070             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2071             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2072             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2073             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2074             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2075     6883465 :   b += m;
    2076     6883465 :   d = m-dbllog2(x)-1/LOG2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2077     6883465 :   n = (long)(b / d);
    2078     6883465 :   if (n > 1)
    2079     6876555 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2080     6883465 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2081             : 
    2082     6883465 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2083     6883465 :   if (n == 1) p2 = X;
    2084             :   else
    2085             :   {
    2086     6883465 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2087     6883465 :     GEN unr = real_1(L);
    2088             :     pari_sp av2;
    2089             : 
    2090     6883465 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2091    97875917 :     for (i=n; i>=2; i--, avma = av2)
    2092             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2093             :       GEN p1, p3;
    2094    90992452 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2095    90992452 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    2096    90992452 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2097    90992452 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2098             :     }
    2099     6883465 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2100             :   }
    2101             : 
    2102    76015547 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2103             :   {
    2104    69132082 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2105    69132082 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2106             :   }
    2107     6883465 :   affrr_fixlg(p2,y); avma = av; return y;
    2108             : }
    2109             : 
    2110             : GEN
    2111        8970 : mpexpm1(GEN x)
    2112             : {
    2113        8970 :   long sx = signe(x);
    2114             :   GEN y, z;
    2115             :   pari_sp av;
    2116        8970 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2117        8963 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2118             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2119        4149 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    2120        4149 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    2121        4149 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    2122             : }
    2123             : 
    2124             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2125             : GEN
    2126       10552 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2127             : {
    2128       10552 :   switch(typ(x))
    2129             :   {
    2130        4053 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2131        4994 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2132          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2133             :     default:
    2134             :     {
    2135        1491 :       pari_sp av = avma;
    2136             :       long ey;
    2137             :       GEN y;
    2138        1491 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2139        1470 :       ey = valp(y);
    2140        1470 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2141        1470 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2142        1463 :       if (ey)
    2143         336 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2144             :       else
    2145             :       {
    2146        1127 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2147        1127 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2148        1127 :         gel(y,2) = e1;
    2149        1127 :         return gerepilecopy(av, y);
    2150             :       }
    2151             :     }
    2152             :   }
    2153          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2154             : }
    2155             : /********************************************************************/
    2156             : /**                                                                **/
    2157             : /**                             EXP(X)                             **/
    2158             : /**                                                                **/
    2159             : /********************************************************************/
    2160             : 
    2161             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    2162             : static GEN
    2163     6828708 : modlog2(GEN x, long *sh)
    2164             : {
    2165     6828708 :   double d = rtodbl(x), da = fabs(d);
    2166     6828708 :   long q = (long) ((da + (LOG2/2))/LOG2);
    2167     6828708 :   if (da > LOG2 * LONG_MAX)
    2168          14 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    2169     6828694 :   if (d < 0) q = -q;
    2170     6828694 :   *sh = q;
    2171     6828694 :   if (q) {
    2172     6535322 :     long l = realprec(x) + 1;
    2173     6535322 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    2174     6535322 :     if (!signe(x)) return NULL;
    2175             :   }
    2176     6828694 :   return x;
    2177             : }
    2178             : 
    2179             : static GEN
    2180     6828017 : mpexp_basecase(GEN x)
    2181             : {
    2182     6828017 :   pari_sp av = avma;
    2183     6828017 :   long sh, l = realprec(x);
    2184             :   GEN y, z;
    2185             : 
    2186     6828017 :   y = modlog2(x, &sh);
    2187     6828003 :   if (!y) { avma = av; return real2n(sh, l); }
    2188     6828003 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2189     6828003 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2190     6828003 :   if (sh) {
    2191     6534631 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2192     6534631 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2193             :   }
    2194             : #ifdef DEBUG
    2195             : {
    2196             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2197             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2198             :     pari_err_BUG("exp");
    2199             : }
    2200             : #endif
    2201     6828003 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2202             : }
    2203             : 
    2204             : GEN
    2205     7026338 : mpexp(GEN x)
    2206             : {
    2207     7026338 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2208     7026338 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2209             :   GEN a, t, z;
    2210             :   ulong mask;
    2211             : 
    2212     7026338 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2213             :   {
    2214     7025647 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2215     6827326 :     return mpexp_basecase(x);
    2216             :   }
    2217         691 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2218         691 :   x = modlog2(x, &sh);
    2219         691 :   if (!x) { avma = (pari_sp)(z+lg(z)); return real2n(sh, l); }
    2220         691 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2221         691 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2222         691 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2223         691 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2224         691 :   x = addrs(x,1);
    2225         691 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2226         691 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2227         691 :   t = NULL;
    2228             :   for(;;)
    2229             :   {
    2230         728 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2231         728 :     mask >>= 1;
    2232         728 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2233         728 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2234         728 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2235         728 :     if (mask == 1) break;
    2236          37 :     affrr(t, a); avma = (pari_sp)a;
    2237          37 :   }
    2238         691 :   affrr(t,z);
    2239         691 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2240         691 :   avma = (pari_sp)z; return z;
    2241             : }
    2242             : 
    2243             : static long
    2244       20234 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2245             : {
    2246       20234 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2247       20234 :   GEN p = gel(x,2);
    2248       20234 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    2249       20234 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2250       20206 :   if (is2)
    2251             :   {
    2252        6514 :     n--; e--; k = n/e;
    2253        6514 :     if (n%e == 0) k--;
    2254             :   }
    2255             :   else
    2256             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2257       13692 :     GEN r, t = subiu(p, 1);
    2258       13692 :     k = itos(dvmdii(subiu(muliu(t,n), 1), subiu(muliu(t,e), 1), &r));
    2259       13692 :     if (!signe(r)) k--;
    2260             :   }
    2261       20206 :   return k;
    2262             : }
    2263             : 
    2264             : static GEN
    2265       21634 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2266             : {
    2267             :   long k;
    2268             :   pari_sp av;
    2269             :   GEN y;
    2270             : 
    2271       21634 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2272       20164 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2273       20164 :   if (k < 0) return NULL;
    2274       20157 :   av = avma;
    2275       20157 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2276       20157 :   return gerepileupto(av, y);
    2277             : }
    2278             : 
    2279             : GEN
    2280       21172 : Qp_exp(GEN x)
    2281             : {
    2282       21172 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2283       21172 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2284       21165 :   return y;
    2285             : }
    2286             : 
    2287             : static GEN
    2288          49 : cos_p(GEN x)
    2289             : {
    2290             :   long k;
    2291             :   pari_sp av;
    2292             :   GEN x2, y;
    2293             : 
    2294          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2295          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2296          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2297          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2298          21 :   if (k & 1) k--;
    2299         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2300             :   {
    2301          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2302          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2303             :   }
    2304          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2305             : }
    2306             : static GEN
    2307          63 : sin_p(GEN x)
    2308             : {
    2309             :   long k;
    2310             :   pari_sp av;
    2311             :   GEN x2, y;
    2312             : 
    2313          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2314          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2315          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2316          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2317          28 :   if (k & 1) k--;
    2318         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2319             :   {
    2320         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2321         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2322             :   }
    2323          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2324             : }
    2325             : 
    2326             : static GEN
    2327     1263051 : cxexp(GEN x, long prec)
    2328             : {
    2329     1263051 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2330     1263051 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2331             :   long l;
    2332     1263051 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2333     1263051 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2334     1263051 :   if (gequal0(r)) { gel(y,1) = r; gel(y,2) = r; return y; }
    2335     1263051 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2336     1263051 :   tetpil = avma;
    2337     1263051 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2338     1263051 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2339     1263051 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2340     1263051 :   return y;
    2341             : }
    2342             : 
    2343             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2344             : GEN
    2345       17367 : serchop0(GEN s)
    2346             : {
    2347       17367 :   long i, l = lg(s);
    2348             :   GEN y;
    2349       17367 :   if (l == 2) return s;
    2350       17367 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2351       17367 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2352       17367 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2353       17367 :   return normalize(y);
    2354             : }
    2355             : 
    2356             : static GEN
    2357       31682 : serexp(GEN x, long prec)
    2358             : {
    2359             :   pari_sp av;
    2360             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2361             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2362             : 
    2363       31682 :   ex = valp(x);
    2364       31682 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2365       31675 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2366       24185 :   lx = lg(x);
    2367       24185 :   if (ex)
    2368             :   {
    2369       17199 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2370       17199 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2371       17199 :     mi += ex-2;
    2372       17199 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2373             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2374       17199 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2375       17199 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2376       17199 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2377       83237 :     for (   ; i<ly; i++)
    2378             :     {
    2379       66038 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2380     2061787 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2381     1995749 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2382       66038 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2383             :     }
    2384       17199 :     return y;
    2385             :   }
    2386        6986 :   av = avma;
    2387        6986 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2388             : }
    2389             : 
    2390             : GEN
    2391     5209940 : gexp(GEN x, long prec)
    2392             : {
    2393     5209940 :   switch(typ(x))
    2394             :   {
    2395     3740262 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2396     1263051 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2397          49 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2398             :     default:
    2399             :     {
    2400      206578 :       pari_sp av = avma;
    2401             :       GEN y;
    2402      206578 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2403       23233 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2404             :     }
    2405             :   }
    2406      183345 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2407             : }
    2408             : 
    2409             : /********************************************************************/
    2410             : /**                                                                **/
    2411             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2412             : /**                                                                **/
    2413             : /********************************************************************/
    2414             : static int
    2415     3447894 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2416             : {
    2417     3447894 :   GEN d = subrr(b, a);
    2418     3447894 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2419             : }
    2420             : /* assume x > 0 */
    2421             : static GEN
    2422      251966 : agm1r_abs(GEN x)
    2423             : {
    2424      251966 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2425      251966 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2426      251966 :   pari_sp av = avma;
    2427             : 
    2428      251966 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2429      251966 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2430     3699860 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2431             :   {
    2432     3195928 :     GEN a = a1;
    2433     3195928 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2434     3195928 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2435             :   }
    2436      251966 :   affrr_fixlg(a1,y); avma = av; return y;
    2437             : }
    2438             : 
    2439             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2440             : 
    2441             : static void
    2442       15609 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2443             : {
    2444       15609 :   long l = precision(x);
    2445       15609 :   if (l) *prec = l;
    2446       15609 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2447       15609 :   S->cnt = 0;
    2448       15609 :   S->ex = LONG_MAX;
    2449       15609 : }
    2450             : 
    2451             : static long
    2452       15609 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2453             : {
    2454       15609 :   long rotate = 0;
    2455       15609 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2456             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2457             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2458        1477 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2459         987 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2460        1477 :     x = gneg(x);
    2461             :   }
    2462       15609 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2463       15609 :   return rotate;
    2464             : }
    2465             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2466             : static int
    2467      226336 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2468             : {
    2469      226336 :   GEN d = gsub(b, a);
    2470      226336 :   long ex = S->ex;
    2471      226336 :   S->ex = gexpo(d);
    2472      226336 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2473             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2474      214651 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2475             :   else
    2476        7898 :     if (S->cnt++) return 0;
    2477      210727 :   return 1;
    2478             : }
    2479             : static GEN
    2480       15567 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2481             : {
    2482             :   struct agmcx_gap_t S;
    2483             :   GEN a1, b1;
    2484       15567 :   pari_sp av = avma;
    2485             :   long rotate;
    2486       15567 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2487       15567 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2488       15567 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2489      241603 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2490             :   {
    2491      210469 :     GEN a = a1;
    2492      210469 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2493      210469 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2494             :   }
    2495       15567 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2496       15567 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2497             : }
    2498             : 
    2499             : GEN
    2500          42 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2501             : {
    2502             :   struct agmcx_gap_t S;
    2503          42 :   pari_sp av = avma;
    2504          42 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2505             :   long rotate;
    2506          42 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2507          42 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2508          42 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2509          42 :   t = gmul(r, t);
    2510          42 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2511         342 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2512             :   {
    2513         258 :     GEN a = a1, b = b1;
    2514         258 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2515         258 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2516         258 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2517         258 :     t = gmul(r, t);
    2518             :   }
    2519          42 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2520          42 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2521          42 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2522             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2523          42 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2524          42 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2525             : }
    2526             : 
    2527             : static long
    2528          49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2529             : {
    2530          49 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2531          49 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2532        9849 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2533             :   {
    2534        9800 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2535             :     long ei;
    2536        9800 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2537        9800 :     b = polcoeff_i(B, i-2 + d, v);
    2538        9800 :     ei = gexpo(a);
    2539        9800 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2540        9800 :     e = maxss(e, ei);
    2541             :   }
    2542          49 :   return e;
    2543             : }
    2544             : 
    2545             : static GEN
    2546          14 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2547             : {
    2548          14 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2549          14 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2550             :   for(;;)
    2551             :   {
    2552          77 :     GEN a = a1, p1;
    2553          77 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2554          77 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2555          77 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2556          77 :     if (isinexactreal(p1))
    2557             :     {
    2558          49 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2559          49 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2560          42 :       eold = e;
    2561             :     }
    2562             :     else
    2563             :     {
    2564          28 :       long ep = valp(p1)-valp(b1);
    2565          28 :       if (ep >= l && gequal0(p1)) break;
    2566             :     }
    2567          63 :   }
    2568          14 :   return a1;
    2569             : }
    2570             : 
    2571             : /* agm(1,x) */
    2572             : static GEN
    2573        9158 : agm1(GEN x, long prec)
    2574             : {
    2575             :   GEN y;
    2576             :   pari_sp av;
    2577             : 
    2578        9158 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2579        9158 :   switch(typ(x))
    2580             :   {
    2581             :     case t_INT:
    2582          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2583          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2584             : 
    2585        3691 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2586             : 
    2587             :     case t_COMPLEX:
    2588        5306 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2589        5124 :       return agm1cx(x, prec);
    2590             : 
    2591             :     case t_PADIC:
    2592             :     {
    2593          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2594          14 :       long l = precp(x);
    2595          14 :       av = avma;
    2596             :       for(;;)
    2597             :       {
    2598          28 :         GEN a = a1, p1;
    2599             :         long ep;
    2600          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2601          28 :         a = gmul(a,b1);
    2602          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2603          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2604          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2605          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2606          14 :       }
    2607             :     }
    2608             : 
    2609             :     default:
    2610         119 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2611          14 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2612             :   }
    2613         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2614             : }
    2615             : 
    2616             : GEN
    2617        8864 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2618             : {
    2619             :   pari_sp av;
    2620        8864 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2621             :   {
    2622          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2623           7 :     swap(x, y);
    2624             :   }
    2625        8857 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2626        8857 :   av = avma;
    2627        8857 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2628             : }
    2629             : 
    2630             : /********************************************************************/
    2631             : /**                                                                **/
    2632             : /**                             LOG(X)                             **/
    2633             : /**                                                                **/
    2634             : /********************************************************************/
    2635             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2636             : static GEN
    2637        4734 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2638             : {
    2639             :   long i, nmax;
    2640        4734 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2641        4734 :   double d = ((double)v) / u;
    2642             :   struct abpq_res R;
    2643             :   struct abpq A;
    2644             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2645        4734 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2646        4734 :   abpq_init(&A, nmax);
    2647        4734 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2648        4734 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2649        4734 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2650      382319 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2651             :   {
    2652      377585 :     A.a[i] = gen_1;
    2653      377585 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2654      377585 :     A.p[i] = u2;
    2655      377585 :     A.q[i] = v2;
    2656             :   }
    2657        4734 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2658        4734 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2659             : }
    2660             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499); faster than logagmr_abs()
    2661             :  * and Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) */
    2662             : static GEN
    2663        2367 : log2_split(long prec)
    2664             : {
    2665        2367 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2666        2367 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2667        2367 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2668        2367 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2669             : }
    2670             : GEN
    2671     9460514 : constlog2(long prec)
    2672             : {
    2673             :   pari_sp av;
    2674             :   GEN tmp;
    2675     9460514 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2676             : 
    2677        2367 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2678        2367 :   av = avma;
    2679        2367 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2680        2367 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2681        2367 :   avma = av; return glog2;
    2682             : }
    2683             : 
    2684             : GEN
    2685     9460514 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2686             : 
    2687             : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
    2688             : static GEN
    2689      248317 : logagmr_abs(GEN q)
    2690             : {
    2691      248317 :   long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
    2692      248317 :   GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
    2693      248317 :   pari_sp av = avma;
    2694             : 
    2695      248317 :   incrprec(prec);
    2696      248317 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2697      248317 :   Q = rtor(q,prec);
    2698      248317 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2699             : 
    2700      248317 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2701             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2702      248317 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2703      248317 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2704      248317 :   affrr_fixlg(y, z); avma = av; return z;
    2705             : }
    2706             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2707             : GEN
    2708     3024087 : logr_abs(GEN X)
    2709             : {
    2710             :   pari_sp ltop;
    2711     3024087 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2712             :   GEN z, x, y;
    2713             :   ulong u;
    2714             :   double d;
    2715             : 
    2716             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2717             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2718             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2719             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2720     3024087 :   EX = expo(X);
    2721     3024087 :   u = uel(X,2);
    2722     3024087 :   k = 2;
    2723     3024087 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2724     1777531 :     EX++; u = ~u;
    2725     1777531 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2726             :   } else { /* choose x - 1 */
    2727     1246556 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2728     1246556 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2729             :   }
    2730     3024087 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2731     2898437 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2732     2898437 :   L = l+1;
    2733     2898437 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2734     5008359 :   if (b > 24*a*log2(L) &&
    2735     2358239 :       prec2nbits(l) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT)) return logagmr_abs(X);
    2736             : 
    2737     2650120 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2)); ltop = avma;
    2738             : 
    2739             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2740             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2741             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2742             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2743             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2744             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2745             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2746             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2747             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2748             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2749             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2750             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
    2751             :   * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2752             :   * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2753     2650120 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2754             : 
    2755     2650120 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2756     2650120 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2757     2650120 :   x = rtor(X,L);
    2758     2650120 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2759             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2760     2650120 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2761             : 
    2762     2650120 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2763     2650120 :   L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2764             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2765             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2766             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2767             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2768             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2769     2650120 :   d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2770     2650120 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2771     2650120 :   k |= 1;
    2772     2650120 :   if (k >= 3)
    2773             :   {
    2774     2645943 :     GEN S, T, y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2775     2645943 :     pari_sp av = avma;
    2776     2645943 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2777     2645943 :     S = x;
    2778     2645943 :     setprec(S,  l1);
    2779     2645943 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S); /* destroy x, not needed anymore */
    2780    43727177 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2781             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2782    43727177 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2783    43727177 :       if (k == 1) break;
    2784             : 
    2785    41081234 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2786    41081234 :       setprec(S, l1);
    2787    41081234 :       setprec(unr,l1);
    2788    41081234 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); avma = av;
    2789    41081234 :     }
    2790             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2791     2645943 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2792             :   }
    2793     2650120 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2794     2650120 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2795     2650120 :   affrr_fixlg(y, z); avma = ltop; return z;
    2796             : }
    2797             : 
    2798             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2799             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2800             : GEN
    2801       10401 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2802             : {
    2803       10401 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2804             :   long lim, e, ea, eb;
    2805       10401 :   pari_sp av = avma;
    2806       10401 :   int neg = 0;
    2807             : 
    2808       10401 :   incrprec(prec);
    2809       10401 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2810       10401 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2811       10401 :   Q = gtofp(q, prec);
    2812       10401 :   a = gel(Q,1);
    2813       10401 :   b = gel(Q,2);
    2814       10401 :   if (gequal0(a)) {
    2815           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2816           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2817           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2818           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2819             :   }
    2820       10401 :   ea = expo(a);
    2821       10401 :   eb = expo(b);
    2822       10401 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2823       10401 :   shiftr_inplace(a, e);
    2824       10401 :   shiftr_inplace(b, e);
    2825             : 
    2826             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2827       10401 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2828       10401 :   a = gel(y,1);
    2829       10401 :   b = gel(y,2);
    2830       10401 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2831       10401 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2832       17763 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2833        7362 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2834       10401 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2835       10401 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2836             : }
    2837             : 
    2838             : GEN
    2839      106557 : mplog(GEN x)
    2840             : {
    2841      106557 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2842      106557 :   return logr_abs(x);
    2843             : }
    2844             : 
    2845             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2846             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2847             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2848             : GEN
    2849        1316 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2850             : {
    2851             :   GEN q, z, p1;
    2852             :   pari_sp av;
    2853             :   ulong mask;
    2854        1316 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2855        1316 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2856        1316 :   av = avma;
    2857        1316 :   p1 = subiu(p, 1);
    2858        1316 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2859        1316 :   q = p; z = remii(x, p);
    2860        7714 :   while (mask > 1)
    2861             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    2862        5082 :     GEN w, t, qold = q;
    2863        5082 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    2864        1316 :       q = pe;
    2865             :     else
    2866             :     {
    2867        3766 :       q = sqri(q);
    2868        3766 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    2869             :     }
    2870        5082 :     mask >>= 1;
    2871             :     /* q <= qold^2 */
    2872        5082 :     if (lgefint(q) == 3)
    2873             :     {
    2874        4935 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    2875        4935 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2876        4935 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    2877        4935 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    2878        4935 :       z = utoi(Z);
    2879             :     }
    2880             :     else
    2881             :     {
    2882         147 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2883         147 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    2884         147 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    2885             :     }
    2886             :   }
    2887        1316 :   return gerepileuptoint(av, z);
    2888             : }
    2889             : 
    2890             : GEN
    2891        1197 : teichmullerinit(long p, long n)
    2892             : {
    2893             :   GEN t, pn, g, v;
    2894             :   ulong gp, tp;
    2895             :   long a, m;
    2896             : 
    2897        1197 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    2898        1197 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    2899             : 
    2900        1197 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    2901        1197 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    2902        1197 :   pn = powuu(p, n);
    2903        1197 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    2904        1197 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    2905        1197 :   gel(v, 1) = gen_1;
    2906        1197 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    2907        2842 :   for (a = 1; a < m; a++)
    2908             :   {
    2909        1645 :     gel(v, tp) = t;
    2910        1645 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    2911        1645 :     if (a < m-1)
    2912             :     {
    2913         896 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    2914         896 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    2915             :     }
    2916             :   }
    2917        1197 :   return v;
    2918             : }
    2919             : 
    2920             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    2921             : GEN
    2922         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    2923             : {
    2924             :   GEN p, q, y, z;
    2925         238 :   long n, tx = typ(x);
    2926             : 
    2927         238 :   if (!tab)
    2928             :   {
    2929         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    2930             :     {
    2931           7 :       p = gel(x,1);
    2932           7 :       q = gel(x,2);
    2933           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    2934           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    2935             :     }
    2936             :   }
    2937         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2938         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    2939         231 :   z = gel(x,4);
    2940         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    2941         231 :   p = gel(x,2);
    2942         231 :   q = gel(x,3);
    2943         231 :   n = precp(x);
    2944         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    2945         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    2946         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    2947         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    2948         231 :   if (tab)
    2949             :   {
    2950         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    2951         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2952         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    2953         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2954         112 :     z = remii(z, q);
    2955             :   }
    2956             :   else
    2957         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    2958         231 :   gel(y,4) = z;
    2959         231 :   return y;
    2960             : }
    2961             : GEN
    2962           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    2963             : 
    2964             : GEN
    2965     2524722 : glog(GEN x, long prec)
    2966             : {
    2967             :   pari_sp av, tetpil;
    2968             :   GEN y, p1;
    2969             :   long l;
    2970             : 
    2971     2524722 :   switch(typ(x))
    2972             :   {
    2973             :     case t_REAL:
    2974     1670026 :       if (signe(x) >= 0)
    2975             :       {
    2976     1413329 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2977     1413315 :         return logr_abs(x);
    2978             :       }
    2979      256697 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    2980             : 
    2981             :     case t_FRAC:
    2982             :     {
    2983             :       GEN a, b;
    2984             :       long e1, e2;
    2985      125764 :       av = avma;
    2986      125764 :       a = gel(x,1);
    2987      125764 :       b = gel(x,2);
    2988      125764 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    2989      125764 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    2990      125764 :       x = fractor(x, prec);
    2991      125764 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    2992             :     }
    2993             :     case t_COMPLEX:
    2994      473023 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    2995      470447 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2996      470447 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    2997             :       {
    2998        4961 :         GEN a = gel(x,2), b;
    2999        4961 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    3000        4961 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    3001        4961 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    3002        4961 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3003             :       }
    3004      465486 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3005      455281 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3006      455281 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3007      455281 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3008      455281 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3009             : 
    3010         364 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3011             :     default:
    3012      255545 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3013          49 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3014          49 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3015          42 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3016          42 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3017          42 :       return gerepileupto(av, p1);
    3018             :   }
    3019      255496 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3020             : }
    3021             : /********************************************************************/
    3022             : /**                                                                **/
    3023             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3024             : /**                                                                **/
    3025             : /********************************************************************/
    3026             : 
    3027             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3028             : static GEN
    3029     4292380 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3030             : {
    3031     4292380 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3032             :   GEN y, p2, x2;
    3033             :   double d;
    3034             : 
    3035     4292380 :   n = 0;
    3036     4292380 :   if (a >= 0)
    3037             :   {
    3038             :     long p;
    3039             :     GEN q;
    3040     3412144 :     if (a > 30)
    3041             :     {
    3042         672 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3043         672 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    3044         672 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3045         672 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    3046         672 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3047         672 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    3048             :     } else {
    3049     3411472 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3050     3411472 :       p = l;
    3051             :     }
    3052     3412144 :     if (signe(q))
    3053             :     {
    3054     3412144 :       x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3055     3412144 :       a = expo(x);
    3056     3412144 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3057     3412144 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    3058             :     }
    3059             :   }
    3060             :   /* a < 0 */
    3061     4292380 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3062     4292380 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3063             : 
    3064     4101576 :   b = prec2nbits(l);
    3065     4101576 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3066      177062 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3067      177062 :     return y;
    3068             :   }
    3069             : 
    3070     3924514 :   y = cgetr(l);
    3071     3924514 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3072     3924514 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3073     3924514 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3074     3924514 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3075             : 
    3076     3924514 :   b += m;
    3077     3924514 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/LOG2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3078     3924514 :   n = (long)(b / d);
    3079     3924514 :   if (n > 1)
    3080     3896975 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3081     3924514 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3082             : 
    3083             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3084             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3085             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3086             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3087             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3088             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    3089             :   * accuracy needed, so
    3090             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3091             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3092             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3093             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3094             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    3095             :   *
    3096             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3097             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3098             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3099             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3100             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3101             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3102     3924514 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3103     3924514 :   x2 = sqrr(x);
    3104     3924514 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    3105             :   else
    3106             :   {
    3107     3924514 :     GEN unr = real_1(L);
    3108             :     pari_sp av;
    3109     3924514 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3110             : 
    3111     3924514 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    3112    24893746 :     for (i=n; i>=2; i--)
    3113             :     {
    3114             :       GEN p1;
    3115    20969232 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    3116    20969232 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    3117    20969232 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    3118    20969232 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    3119    20969232 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); avma = av;
    3120             :     }
    3121     3924514 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    3122     3924514 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    3123             :   }
    3124             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3125    36053559 :   for (i=1; i<=m; i++)
    3126             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    3127    32129045 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    3128    32129045 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    3129    32129045 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    3130             :   }
    3131     3924514 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    3132             : }
    3133             : 
    3134             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3135             : static GEN
    3136     2858554 : mpaut(GEN x)
    3137             : {
    3138     2858554 :   pari_sp av = avma;
    3139     2858554 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3140     2858554 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3141     2667757 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    3142             : }
    3143             : 
    3144             : /********************************************************************/
    3145             : /**                            COSINE                              **/
    3146             : /********************************************************************/
    3147             : 
    3148             : GEN
    3149     2683559 : mpcos(GEN x)
    3150             : {
    3151             :   long mod8;
    3152             :   pari_sp av;
    3153             :   GEN y,p1;
    3154             : 
    3155     2683559 :   if (!signe(x)) {
    3156           8 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3157           8 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3158           8 :     return real_1(l);
    3159             :   }
    3160             : 
    3161     2683551 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3162     2683551 :   switch(mod8)
    3163             :   {
    3164      740011 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    3165      677368 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3166      663025 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    3167      603147 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    3168             :   }
    3169     2683551 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3170             : }
    3171             : 
    3172             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3173             :  * cancellation */
    3174             : static GEN
    3175       12369 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3176             : {
    3177       35945 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3178       14301 :                                           : fractor(x, prec);
    3179             : }
    3180             : 
    3181             : GEN
    3182       93346 : gcos(GEN x, long prec)
    3183             : {
    3184             :   pari_sp av;
    3185             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3186             :   long i;
    3187             : 
    3188       93346 :   switch(typ(x))
    3189             :   {
    3190       92681 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3191             :     case t_COMPLEX:
    3192          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcosh(gel(x,2), prec);
    3193          28 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3194          28 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3195          28 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3196          28 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3197          28 :       u1 = subrr(v1, r); /* = - I*sin(I*Im(x)) */
    3198          28 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3199          28 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3200          28 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3201             : 
    3202             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3203         546 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3204         546 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3205             : 
    3206          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3207          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3208          42 :       return y;
    3209             : 
    3210             :     default:
    3211          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3212          21 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3213          21 :       if (valp(y) < 0)
    3214           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3215          14 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3216          14 :       return gerepilecopy(av,v);
    3217             :   }
    3218           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3219             : }
    3220             : /********************************************************************/
    3221             : /**                             SINE                               **/
    3222             : /********************************************************************/
    3223             : 
    3224             : GEN
    3225      126884 : mpsin(GEN x)
    3226             : {
    3227             :   long mod8;
    3228             :   pari_sp av;
    3229             :   GEN y,p1;
    3230             : 
    3231      126884 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3232             : 
    3233      126764 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3234      126764 :   switch(mod8)
    3235             :   {
    3236       74215 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3237       15591 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3238       21759 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3239       15199 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3240             :   }
    3241      126764 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3242             : }
    3243             : 
    3244             : GEN
    3245      130496 : gsin(GEN x, long prec)
    3246             : {
    3247             :   pari_sp av;
    3248             :   GEN r, u, v, y, v1, u1;
    3249             :   long i;
    3250             : 
    3251      130496 :   switch(typ(x))
    3252             :   {
    3253      115292 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3254             :     case t_COMPLEX:
    3255        3612 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gsinh(gel(x,2),prec));
    3256        3584 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3257        3584 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3258        3584 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3259        3584 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3260        3584 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3261        3584 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3262        3584 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3263        3584 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3264             : 
    3265             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3266       11354 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3267       11354 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3268             : 
    3269          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3270          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3271          42 :       return y;
    3272             : 
    3273             :     default:
    3274         189 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3275         182 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3276         182 :       if (valp(y) < 0)
    3277           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3278         175 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3279         175 :       return gerepilecopy(av,u);
    3280             :   }
    3281           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3282             : }
    3283             : /********************************************************************/
    3284             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3285             : /********************************************************************/
    3286             : 
    3287             : void
    3288     1500054 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3289             : {
    3290             :   long mod8;
    3291             :   pari_sp av, tetpil;
    3292             :   GEN p1, *gptr[2];
    3293             : 
    3294     1500054 :   if (!signe(x))
    3295             :   {
    3296       22899 :     long e = expo(x);
    3297       22899 :     *s = real_0_bit(e);
    3298       22899 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3299       45798 :     return;
    3300             :   }
    3301             : 
    3302     1477155 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3303     1477155 :   switch(mod8)
    3304             :   {
    3305      346954 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3306      101223 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3307      305134 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3308      104457 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3309      228222 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3310      122772 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3311      157848 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3312      110545 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3313             :   }
    3314     1477155 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3315     1477155 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3316             : }
    3317             : 
    3318             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3319             : void
    3320        4910 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3321             : {
    3322             :   long mod8;
    3323             :   pari_sp av, tetpil;
    3324             :   GEN p1, *gptr[2];
    3325             : 
    3326        4910 :   if (!signe(x))
    3327             :   {
    3328           0 :     long e = expo(x);
    3329           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3330           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3331           0 :     return;
    3332             :   }
    3333        4910 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3334        4910 :   switch(mod8)
    3335             :   {
    3336        4490 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3337          42 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3338           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3339           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3340         287 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3341          77 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3342           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3343           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3344             :   }
    3345        4910 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3346        4910 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3347             : }
    3348             : 
    3349             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3350             : GEN
    3351      121643 : expIr(GEN x)
    3352             : {
    3353      121643 :   pari_sp av = avma;
    3354      121643 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3355      121643 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3356      121643 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3357      119305 :   return v;
    3358             : }
    3359             : 
    3360             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3361             : static GEN
    3362        4910 : expm1_Ir(GEN x)
    3363             : {
    3364        4910 :   pari_sp av = avma;
    3365        4910 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3366        4910 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3367        4910 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3368        4910 :   return v;
    3369             : }
    3370             : 
    3371             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3372             : GEN
    3373        5001 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3374             : {
    3375        5001 :   pari_sp av = avma;
    3376        5001 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3377        5001 :   long l = precision(z);
    3378        5001 :   if (l) prec = l;
    3379        5001 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3380        5001 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3381        5001 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3382        4910 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3383        4826 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3384        4826 :   Y = expm1_Ir(y);
    3385             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3386        4826 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3387             : }
    3388             : 
    3389             : void
    3390     1267720 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3391             : {
    3392             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3393             :   pari_sp av, tetpil;
    3394             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3395             :   GEN *gptr[4];
    3396             : 
    3397     1267720 :   switch(typ(x))
    3398             :   {
    3399             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3400         448 :       *s = cgetr(prec);
    3401         448 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3402         448 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3403         448 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3404     1268168 :       affrr_fixlg(pc,*c); avma = av; return;
    3405             : 
    3406             :     case t_REAL:
    3407     1266782 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3408             : 
    3409             :     case t_COMPLEX:
    3410         154 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3411         154 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3412         154 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3413         154 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3414         154 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3415         154 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3416         154 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3417         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3418         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3419         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3420         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3421         154 :       avma = av; return;
    3422             : 
    3423             :     case t_QUAD:
    3424           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3425           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3426             : 
    3427             :     default:
    3428         336 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3429         336 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3430             : 
    3431         336 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3432         336 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3433         336 :       if (ex2 > lx)
    3434             :       {
    3435          98 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3436          98 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3437          98 :         return;
    3438             :       }
    3439         238 :       if (!ex)
    3440             :       {
    3441          56 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3442          56 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3443          56 :         p1 = gmul(v1,v);
    3444          56 :         p2 = gmul(u1,u);
    3445          56 :         p3 = gmul(v1,u);
    3446          56 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3447          56 :         *c = gsub(p1,p2);
    3448          56 :         *s = gadd(p3,p4);
    3449          56 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3450          56 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3451          56 :         return;
    3452             :       }
    3453             : 
    3454         182 :       ly = lx+2*ex;
    3455         182 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3456         182 :       mi += ex-2;
    3457         182 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3458         182 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3459         182 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3460         182 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3461         182 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3462         182 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3463        2611 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3464             :       {
    3465        2429 :         long ii = i-ex;
    3466        2429 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3467        5740 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3468        3311 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3469        2429 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3470        2429 :         if (ii < lx)
    3471             :         {
    3472        2240 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3473        4935 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3474        2695 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3475        2240 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3476        2240 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3477             :         }
    3478             :       }
    3479         182 :       return;
    3480             :   }
    3481           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3482             : }
    3483             : 
    3484             : /********************************************************************/
    3485             : /**                                                                **/
    3486             : /**                              SINC                              **/
    3487             : /**                                                                **/
    3488             : /********************************************************************/
    3489             : static GEN
    3490      107436 : mpsinc(GEN x)
    3491             : {
    3492      107436 :   pari_sp av = avma;
    3493             :   GEN s, c;
    3494             : 
    3495      107436 :   if (!signe(x)) {
    3496           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3497           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3498           0 :     return real_1(l);
    3499             :   }
    3500             : 
    3501      107436 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3502      107436 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3503             : }
    3504             : 
    3505             : GEN
    3506      107506 : gsinc(GEN x, long prec)
    3507             : {
    3508             :   pari_sp av;
    3509             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3510             :   long i;
    3511             : 
    3512      107506 :   switch(typ(x))
    3513             :   {
    3514      107429 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3515             :     case t_COMPLEX:
    3516          28 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3517             :       {
    3518          14 :         av = avma;
    3519          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(gel(x,2),prec),gel(x,2)));
    3520             :       }
    3521          14 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3522          14 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3523          14 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3524          14 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3525          14 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3526          14 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3527          14 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3528          14 :       avma = av; return y;
    3529             : 
    3530             :     case t_INT:
    3531           7 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3532             :     case t_FRAC:
    3533           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3534           7 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3535             : 
    3536             :     case t_PADIC:
    3537          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3538          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3539          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3540           7 :       return gerepileuptoleaf(av,gdiv(y,x));
    3541             : 
    3542             :     default:
    3543          14 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3544          14 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3545          14 :       if (valp(y) < 0)
    3546           7 :         pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3547           7 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3548           7 :       return gerepilecopy(av,gdiv(u,y));
    3549             :   }
    3550           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3551             : }
    3552             : 
    3553             : /********************************************************************/
    3554             : /**                                                                **/
    3555             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3556             : /**                                                                **/
    3557             : /********************************************************************/
    3558             : static GEN
    3559          35 : mptan(GEN x)
    3560             : {
    3561          35 :   pari_sp av = avma;
    3562             :   GEN s, c;
    3563             : 
    3564          35 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3565          35 :   if (!signe(c))
    3566           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3567          35 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3568             : }
    3569             : 
    3570             : GEN
    3571         105 : gtan(GEN x, long prec)
    3572             : {
    3573             :   pari_sp av;
    3574             :   GEN y, s, c;
    3575             : 
    3576         105 :   switch(typ(x))
    3577             :   {
    3578          28 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3579             : 
    3580             :     case t_COMPLEX: {
    3581          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3582          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3583          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3584          14 :       return gerepileupto(av, y);
    3585             :     }
    3586             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3587           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3588           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3589             : 
    3590             :     case t_PADIC:
    3591          14 :       av = avma;
    3592          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3593             : 
    3594             :     default:
    3595          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3596          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3597          21 :       if (valp(y) < 0)
    3598           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3599          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3600          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3601             :   }
    3602           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3603             : }
    3604             : 
    3605             : static GEN
    3606          35 : mpcotan(GEN x)
    3607             : {
    3608          35 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3609             :   GEN s,c;
    3610             : 
    3611          35 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3612          35 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3613             : }
    3614             : 
    3615             : GEN
    3616         154 : gcotan(GEN x, long prec)
    3617             : {
    3618             :   pari_sp av;
    3619             :   GEN y, s, c;
    3620             : 
    3621         154 :   switch(typ(x))
    3622             :   {
    3623             :     case t_REAL:
    3624          28 :       return mpcotan(x);
    3625             : 
    3626             :     case t_COMPLEX:
    3627          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3628          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3629          21 :         gel(z,1) = gen_0;
    3630          21 :         av = avma;
    3631          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3632          21 :         return z;
    3633             :       }
    3634          21 :       av = avma;
    3635          21 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3636          21 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3637             : 
    3638             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3639           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3640           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3641             : 
    3642             :     case t_PADIC:
    3643          14 :       av = avma;
    3644          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3645             : 
    3646             :     default:
    3647          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3648          56 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3649          56 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3650          49 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3651          49 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3652             :   }
    3653           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3654             : }

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