Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
24 :
25 : #ifdef LONG_IS_64BIT
26 : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
27 : #else
28 : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
29 : #endif
30 :
31 : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
32 : void
33 326345 : pari_init_floats(void)
34 : {
35 326345 : gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
36 326345 : }
37 :
38 : void
39 324941 : pari_close_floats(void)
40 : {
41 324941 : guncloneNULL(gcatalan);
42 323757 : guncloneNULL(geuler);
43 322079 : guncloneNULL(gpi);
44 321732 : guncloneNULL(glog2);
45 321539 : guncloneNULL(zetazone);
46 320773 : guncloneNULL_deep(bernzone);
47 320584 : guncloneNULL_deep(eulerzone);
48 320166 : }
49 :
50 : /********************************************************************/
51 : /** GENERIC BINARY SPLITTING **/
52 : /** (Haible, Papanikolaou) **/
53 : /********************************************************************/
54 : void
55 5484637 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
56 : {
57 5484637 : A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
58 5497136 : A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
59 5501166 : A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
60 5501329 : A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
61 5501673 : }
62 : static GEN
63 163802587 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
64 :
65 : /* T_{n1,n1+1} */
66 : static GEN
67 37589068 : T2(struct abpq *A, long n1)
68 : {
69 37589068 : GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
70 37639200 : GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
71 37640432 : return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
72 : }
73 :
74 : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
75 : void
76 70558973 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
77 : {
78 : struct abpq_res L, R;
79 : GEN u1, u2;
80 : pari_sp av;
81 : long n;
82 70558973 : switch(n2 - n1)
83 : {
84 : GEN b, q;
85 62 : case 1:
86 62 : r->P = A->p[n1];
87 62 : r->Q = A->q[n1];
88 62 : r->B = A->b[n1];
89 62 : r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
90 37805055 : return;
91 23067136 : case 2:
92 23067136 : r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
93 22914304 : r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
94 22897248 : r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
95 22904947 : av = avma;
96 22904947 : r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
97 22952930 : return;
98 :
99 15035154 : case 3:
100 15035154 : q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
101 14974727 : b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
102 14970151 : r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
103 14969660 : r->Q = mulii(A->q[n1], q);
104 14958564 : r->B = mulii(A->b[n1], b);
105 14970426 : av = avma;
106 14970426 : u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
107 14945071 : u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
108 14967838 : r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
109 14852063 : return;
110 : }
111 :
112 32456621 : av = avma;
113 32456621 : n = (n1 + n2) >> 1;
114 32456621 : abpq_sum(&L, n1, n, A);
115 32490777 : abpq_sum(&R, n, n2, A);
116 :
117 32517485 : r->P = mulii(L.P, R.P);
118 32292770 : r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
119 32234143 : r->B = mulii(L.B, R.B);
120 32296780 : u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
121 32185917 : u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
122 32212609 : r->T = addii(u1,u2);
123 32219536 : set_avma(av);
124 32200261 : r->P = icopy(r->P);
125 32517642 : r->Q = icopy(r->Q);
126 32562292 : r->B = icopy(r->B);
127 32568293 : r->T = icopy(r->T);
128 : }
129 :
130 : /********************************************************************/
131 : /** **/
132 : /** PI **/
133 : /** **/
134 : /********************************************************************/
135 : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
136 : static void
137 83867 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
138 83867 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
139 :
140 : /* ----
141 : * 53360 (640320)^(1/2) \ (6n)! (545140134 n + 13591409)
142 : * -------------------- = / ------------------------------
143 : * Pi ---- (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
144 : * n>=0
145 : *
146 : * Ramanujan's formula + binary splitting */
147 : static GEN
148 41333 : pi_ramanujan(long prec)
149 : {
150 41333 : const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
151 41333 : const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
152 : long n, nmax, prec2;
153 : struct abpq_res R;
154 : struct abpq S;
155 : GEN D, u;
156 :
157 41333 : nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
158 : #ifdef LONG_IS_64BIT
159 40810 : D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
160 : #else
161 523 : D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
162 : #endif
163 41330 : abpq_init(&S, nmax);
164 41329 : S.a[0] = utoipos(A);
165 41328 : S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
166 323043 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
167 : {
168 281736 : S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
169 281675 : S.b[n] = gen_1;
170 281675 : S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
171 281700 : S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
172 : }
173 41307 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPREC64;
174 41332 : u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
175 41328 : return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
176 : }
177 :
178 : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
179 : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
180 : static GEN
181 : pi_brent_salamin(long prec)
182 : {
183 : GEN A, B, C;
184 : pari_sp av2;
185 : long i, G;
186 :
187 : G = - prec2nbits(prec);
188 : incrprec(prec);
189 :
190 : A = real2n(-1, prec);
191 : B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
192 : setexpo(A, 0);
193 : C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
194 : for (i = 0;; i++)
195 : {
196 : GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
197 : pari_sp av3 = avma;
198 : if (expo(B_A) < G) break;
199 : a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
200 : b = mulrr(A,B);
201 : affrr(a, A);
202 : affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
203 : y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
204 : affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
205 : }
206 : shiftr_inplace(C, 2);
207 : return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
208 : }
209 : #endif
210 :
211 : GEN
212 46137597 : constpi(long prec)
213 : {
214 : pari_sp av;
215 : GEN tmp;
216 46137597 : if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
217 :
218 41060 : av = avma;
219 41060 : tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
220 41334 : swap_clone(&gpi,tmp);
221 41336 : return gc_const(av, gpi);
222 : }
223 :
224 : GEN
225 46137124 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
226 :
227 : /* Pi * 2^n */
228 : GEN
229 31257845 : Pi2n(long n, long prec)
230 : {
231 31257845 : GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
232 31258447 : return x;
233 : }
234 :
235 : /* I * Pi * 2^n */
236 : GEN
237 280190 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
238 :
239 : /* 2I * Pi */
240 : GEN
241 267723 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
242 :
243 : /********************************************************************/
244 : /** **/
245 : /** EULER CONSTANT **/
246 : /** **/
247 : /********************************************************************/
248 :
249 : GEN
250 57674 : consteuler(long prec)
251 : {
252 : GEN u,v,a,b,tmpeuler;
253 : long l, n1, n, k, x;
254 : pari_sp av1, av2;
255 :
256 57674 : if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
257 :
258 501 : av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
259 :
260 501 : incrprec(prec);
261 :
262 501 : l = prec+EXTRAPREC64; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
263 501 : a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
264 501 : b = real_1(l);
265 501 : v = real_1(l);
266 501 : n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
267 501 : n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
268 501 : if (x < SQRTVERYBIGINT)
269 : {
270 501 : ulong xx = x*x;
271 501 : av2 = avma;
272 165398 : for (k=1; k<n1; k++)
273 : {
274 164897 : affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
275 164912 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
276 164903 : affrr(addrr(u,a), u);
277 164878 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
278 : }
279 1002 : for ( ; k<=n; k++)
280 : {
281 501 : affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
282 501 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
283 501 : affrr(addrr(u,a), u);
284 501 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
285 : }
286 : }
287 : else
288 : {
289 0 : GEN xx = sqru(x);
290 0 : av2 = avma;
291 0 : for (k=1; k<n1; k++)
292 : {
293 0 : affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
294 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
295 0 : affrr(addrr(u,a), u);
296 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
297 : }
298 0 : for ( ; k<=n; k++)
299 : {
300 0 : affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
301 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
302 0 : affrr(addrr(u,a), u);
303 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
304 : }
305 : }
306 501 : divrrz(u,v,tmpeuler);
307 501 : swap_clone(&geuler,tmpeuler);
308 501 : return gc_const(av1, geuler);
309 : }
310 :
311 : GEN
312 57674 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
313 :
314 : /********************************************************************/
315 : /** **/
316 : /** CATALAN CONSTANT **/
317 : /** **/
318 : /********************************************************************/
319 : /* inf 256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
320 : * 64 G = SUM ------------------------------------------
321 : * i=1 i^3 (2i-1) (6i)!^2 */
322 : static GEN
323 14 : catalan(long prec)
324 : {
325 14 : long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
326 : struct abpq_res R;
327 : struct abpq A;
328 : GEN u;
329 14 : abpq_init(&A, nmax);
330 14 : A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
331 1750 : for (i = 1; i <= nmax; i++)
332 : {
333 1736 : A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
334 1736 : A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
335 1736 : A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
336 1736 : A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
337 : }
338 14 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
339 14 : u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
340 14 : shiftr_inplace(u, -6); return u;
341 : }
342 :
343 : GEN
344 14 : constcatalan(long prec)
345 : {
346 14 : pari_sp av = avma;
347 : GEN tmp;
348 14 : if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
349 14 : tmp = gclone(catalan(prec));
350 14 : swap_clone(&gcatalan,tmp);
351 14 : return gc_const(av, gcatalan);
352 : }
353 :
354 : GEN
355 14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
356 :
357 : /********************************************************************/
358 : /** **/
359 : /** TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
360 : /** **/
361 : /********************************************************************/
362 : static GEN
363 2006654 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
364 6514254 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
365 : static GEN
366 329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
367 735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
368 :
369 : GEN
370 3875939 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
371 : {
372 3875939 : pari_sp av = avma;
373 3875939 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
374 3875957 : switch(typ(x))
375 : {
376 1611857 : case t_INT: x = f(itor(x,prec),prec); break;
377 257391 : case t_FRAC: x = f(fractor(x, prec),prec); break;
378 7 : case t_QUAD: x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
379 14 : case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
380 2006639 : case t_VEC:
381 : case t_COL:
382 2006639 : case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
383 49 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
384 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
385 : }
386 1869247 : return gerepileupto(av, x);
387 : }
388 :
389 : GEN
390 1967 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
391 : GEN x, long prec)
392 : {
393 1967 : pari_sp av = avma;
394 1967 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
395 1967 : switch(typ(x))
396 : {
397 343 : case t_INT: x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
398 1260 : case t_FRAC: x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
399 0 : case t_QUAD: x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
400 70 : case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
401 259 : case t_VEC:
402 : case t_COL:
403 259 : case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
404 35 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
405 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
406 : }
407 1673 : return gerepileupto(av, x);
408 : }
409 :
410 : /*******************************************************************/
411 : /* */
412 : /* POWERING */
413 : /* */
414 : /*******************************************************************/
415 : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
416 : static GEN
417 146775 : mpexp0(GEN x)
418 : {
419 146775 : long e = expo(x);
420 146775 : return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
421 : }
422 : static GEN
423 21133 : powr0(GEN x)
424 21133 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
425 :
426 : /* assume typ(x) = t_VEC */
427 : static int
428 49 : is_ext_qfr(GEN x)
429 35 : { return lg(x) == 3 && typ(gel(x,1)) == t_QFB && !qfb_is_qfi(gel(x,1))
430 84 : && typ(gel(x,2)) == t_REAL; }
431 :
432 : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
433 : static GEN
434 374138 : scalarpol_get_1(GEN x)
435 : {
436 374138 : GEN y = cgetg(3,t_POL);
437 374138 : y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
438 374138 : gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
439 : }
440 : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
441 : static GEN
442 2722051 : gpowg0(GEN x)
443 : {
444 : long lx, i;
445 : GEN y;
446 :
447 2722051 : switch(typ(x))
448 : {
449 2302215 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
450 2302215 : return gen_1;
451 :
452 7 : case t_QUAD: x++; /*fall through*/
453 38105 : case t_COMPLEX: {
454 38105 : pari_sp av = avma;
455 38105 : GEN a = gpowg0(gel(x,1));
456 38105 : GEN b = gpowg0(gel(x,2));
457 38105 : if (a == gen_1) return b;
458 14 : if (b == gen_1) return a;
459 7 : return gerepileupto(av, gmul(a,b));
460 : }
461 133 : case t_INTMOD:
462 133 : y = cgetg(3,t_INTMOD);
463 133 : gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
464 133 : gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
465 133 : return y;
466 :
467 7287 : case t_FFELT: return FF_1(x);
468 :
469 1536 : case t_POLMOD:
470 1536 : retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
471 :
472 28 : case t_RFRAC:
473 28 : return scalarpol_get_1(gel(x,2));
474 372574 : case t_POL: case t_SER:
475 372574 : return scalarpol_get_1(x);
476 :
477 84 : case t_MAT:
478 84 : lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
479 77 : if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
480 77 : y = matid(lx-1);
481 252 : for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
482 77 : return y;
483 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
484 : /* fall through handle extended t_QFB */
485 28 : case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
486 49 : case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
487 : }
488 12 : pari_err_TYPE("gpow",x);
489 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
490 : }
491 :
492 : static GEN
493 6370035 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
494 : static GEN
495 4147994 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
496 : static GEN
497 779474 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
498 : static GEN
499 81857642 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
500 : static GEN
501 29973546 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
502 : static GEN
503 16300927 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
504 : static GEN
505 7148210 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
506 : static GEN
507 14196 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
508 :
509 : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
510 : *
511 : * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
512 : * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
513 : * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
514 : * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
515 : static GEN
516 111168492 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
517 : {
518 : pari_sp av;
519 : GEN y;
520 :
521 111168492 : if (lgefint(a) == 3)
522 : { /* easy if |a| < 3 */
523 109622118 : ulong q = a[2];
524 109622118 : if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
525 100332255 : if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
526 74910788 : q = upowuu(q, N);
527 74913786 : if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
528 : }
529 32686445 : if (N <= 2) {
530 1829409 : if (N == 2) return sqri(a);
531 18541 : a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
532 : }
533 30857036 : av = avma;
534 30857036 : y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
535 30857218 : setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
536 : }
537 : /* a^n */
538 : GEN
539 111017193 : powiu(GEN a, ulong n)
540 : {
541 : long s;
542 111017193 : if (!n) return gen_1;
543 109858257 : s = signe(a);
544 109858257 : if (!s) return gen_0;
545 109783377 : return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
546 : }
547 : GEN
548 21221547 : powis(GEN a, long n)
549 : {
550 : long s;
551 : GEN t, y;
552 21221547 : if (n >= 0) return powiu(a, n);
553 630385 : s = signe(a);
554 630385 : if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
555 630386 : t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
556 630386 : if (is_pm1(a)) return t;
557 : /* n < 0, |a| > 1 */
558 627866 : y = cgetg(3,t_FRAC);
559 627865 : gel(y,1) = t;
560 627865 : gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
561 627861 : return y;
562 : }
563 : GEN
564 45279034 : powuu(ulong p, ulong N)
565 : {
566 : pari_sp av;
567 : ulong pN;
568 : GEN y;
569 45279034 : if (!p) return gen_0;
570 45278957 : if (N <= 2)
571 : {
572 39950159 : if (N == 2) return sqru(p);
573 37863725 : if (N == 1) return utoipos(p);
574 4931391 : return gen_1;
575 : }
576 5328798 : pN = upowuu(p, N);
577 5328815 : if (pN) return utoipos(pN);
578 986930 : if (p == 2) return int2u(N);
579 973512 : av = avma;
580 973512 : y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
581 973505 : return gerepileuptoint(av, y);
582 : }
583 :
584 : /* return 0 if overflow */
585 : static ulong
586 21514965 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
587 : ulong
588 111890317 : upowuu(ulong p, ulong k)
589 : {
590 : #ifdef LONG_IS_64BIT
591 96029249 : const ulong CUTOFF3 = 2642245;
592 96029249 : const ulong CUTOFF4 = 65535;
593 96029249 : const ulong CUTOFF5 = 7131;
594 96029249 : const ulong CUTOFF6 = 1625;
595 96029249 : const ulong CUTOFF7 = 565;
596 96029249 : const ulong CUTOFF8 = 255;
597 96029249 : const ulong CUTOFF9 = 138;
598 96029249 : const ulong CUTOFF10 = 84;
599 96029249 : const ulong CUTOFF11 = 56;
600 96029249 : const ulong CUTOFF12 = 40;
601 96029249 : const ulong CUTOFF13 = 30;
602 96029249 : const ulong CUTOFF14 = 23;
603 96029249 : const ulong CUTOFF15 = 19;
604 96029249 : const ulong CUTOFF16 = 15;
605 96029249 : const ulong CUTOFF17 = 13;
606 96029249 : const ulong CUTOFF18 = 11;
607 96029249 : const ulong CUTOFF19 = 10;
608 96029249 : const ulong CUTOFF20 = 9;
609 : #else
610 15861068 : const ulong CUTOFF3 = 1625;
611 15861068 : const ulong CUTOFF4 = 255;
612 15861068 : const ulong CUTOFF5 = 84;
613 15861068 : const ulong CUTOFF6 = 40;
614 15861068 : const ulong CUTOFF7 = 23;
615 15861068 : const ulong CUTOFF8 = 15;
616 15861068 : const ulong CUTOFF9 = 11;
617 15861068 : const ulong CUTOFF10 = 9;
618 15861068 : const ulong CUTOFF11 = 7;
619 15861068 : const ulong CUTOFF12 = 6;
620 15861068 : const ulong CUTOFF13 = 5;
621 15861068 : const ulong CUTOFF14 = 4;
622 15861068 : const ulong CUTOFF15 = 4;
623 15861068 : const ulong CUTOFF16 = 3;
624 15861068 : const ulong CUTOFF17 = 3;
625 15861068 : const ulong CUTOFF18 = 3;
626 15861068 : const ulong CUTOFF19 = 3;
627 15861068 : const ulong CUTOFF20 = 3;
628 : #endif
629 :
630 111890317 : if (p <= 2)
631 : {
632 9645686 : if (p < 2) return p;
633 9098922 : return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
634 : }
635 102244631 : switch(k)
636 : {
637 : ulong p2, p3, p4, p5, p8;
638 8699195 : case 0: return 1;
639 26807422 : case 1: return p;
640 21514956 : case 2: return usqru(p);
641 4149599 : case 3: if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
642 11516964 : case 4: if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
643 2330986 : case 5: if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
644 6978368 : case 6: if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
645 612227 : case 7: if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
646 913005 : case 8: if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
647 649876 : case 9: if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
648 4990181 : case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
649 375314 : case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
650 4794647 : case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
651 106768 : case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
652 4752867 : case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
653 165535 : case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
654 105172 : p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
655 107183 : case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
656 53571 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
657 80498 : case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
658 42049 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
659 70014 : case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
660 39126 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
661 827064 : case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
662 773050 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
663 81441 : case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
664 38938 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
665 : }
666 : #ifdef LONG_IS_64BIT
667 1498603 : switch(p)
668 : {
669 221120 : case 3: if (k > 40) return 0;
670 161258 : break;
671 17034 : case 4: if (k > 31) return 0;
672 780 : return 1UL<<(2*k);
673 637316 : case 5: if (k > 27) return 0;
674 20187 : break;
675 49650 : case 6: if (k > 24) return 0;
676 9180 : break;
677 56253 : case 7: if (k > 22) return 0;
678 2822 : break;
679 517230 : default: return 0;
680 : }
681 : /* no overflow */
682 : {
683 193447 : ulong q = upowuu(p, k >> 1);
684 193448 : q *= q ;
685 193448 : return odd(k)? q*p: q;
686 : }
687 : #else
688 221918 : return 0;
689 : #endif
690 : }
691 :
692 : GEN
693 12017 : upowers(ulong x, long n)
694 : {
695 : long i;
696 12017 : GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
697 12017 : uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
698 12017 : uel(p,2) = x;
699 91465 : for (i = 3; i <= n; i++)
700 79448 : uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
701 12017 : return p;
702 : }
703 :
704 : typedef struct {
705 : long prec, a;
706 : GEN (*sqr)(GEN);
707 : GEN (*mulug)(ulong,GEN);
708 : } sr_muldata;
709 :
710 : static GEN
711 1617900 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
712 : {
713 1617900 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
714 1617900 : if (typ(x) == t_INT && lg2prec(lgefint(x)) >= D->prec)
715 : { /* switch to t_REAL */
716 158021 : D->sqr = &sqrr;
717 158021 : D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
718 : }
719 1617900 : return D->sqr(x);
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 627918 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
724 : {
725 627918 : GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
726 627918 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
727 627918 : return D->mulug(D->a, x2);
728 : }
729 :
730 : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
731 : GEN
732 445059 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
733 : {
734 : pari_sp av;
735 : GEN y, z;
736 : sr_muldata D;
737 :
738 445059 : if (a == 1) return real_1(prec);
739 445059 : if (a == 2) return real2n(n, prec);
740 445059 : if (n == 1) return utor(a, prec);
741 439925 : z = cgetr(prec);
742 439925 : av = avma;
743 439925 : D.sqr = &sqri;
744 439925 : D.mulug = &mului;
745 439925 : D.prec = prec;
746 439925 : D.a = (long)a;
747 439925 : y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
748 439925 : mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
749 : }
750 :
751 : GEN
752 5103267 : powrs(GEN x, long n)
753 : {
754 5103267 : pari_sp av = avma;
755 : GEN y;
756 5103267 : if (!n) return powr0(x);
757 5103267 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
758 5103772 : if (n < 0) y = invr(y);
759 5103607 : return gerepileuptoleaf(av,y);
760 : }
761 : GEN
762 6128777 : powru(GEN x, ulong n)
763 : {
764 6128777 : pari_sp av = avma;
765 : GEN y;
766 6128777 : if (!n) return powr0(x);
767 6108162 : y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
768 6108064 : return gerepileuptoleaf(av,y);
769 : }
770 :
771 : GEN
772 14196 : powersr(GEN x, long n)
773 : {
774 14196 : long prec = realprec(x);
775 14196 : return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
776 : }
777 :
778 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
779 : GEN
780 0 : powrshalf(GEN x, long s)
781 : {
782 0 : if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
783 0 : return powrs(x, s>>1);
784 : }
785 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
786 : GEN
787 119877 : powruhalf(GEN x, ulong s)
788 : {
789 119877 : if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
790 7820 : return powru(x, s>>1);
791 : }
792 : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
793 : GEN
794 518 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
795 : {
796 : long z;
797 518 : if (!n) return powr0(x);
798 0 : z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
799 0 : if (d == 1) return powrs(x, n);
800 0 : x = powrs(x, n);
801 0 : if (d == 2) return sqrtr(x);
802 0 : return sqrtnr(x, d);
803 : }
804 :
805 : /* assume x != 0 */
806 : static GEN
807 634783 : pow_monome(GEN x, long n)
808 : {
809 634783 : long i, d, dx = degpol(x);
810 : GEN A, b, y;
811 :
812 634782 : if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
813 :
814 634782 : if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
815 8 : {
816 : LOCAL_HIREMAINDER;
817 9 : d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
818 9 : if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
819 9 : d += 2;
820 : }
821 : else
822 634773 : d = dx*n + 2;
823 634782 : if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
824 634775 : A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
825 6092245 : for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
826 634773 : b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
827 634774 : if (!y) y = A;
828 : else {
829 20482 : GEN c = denom_i(b);
830 20482 : gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
831 20482 : gel(y,2) = A;
832 : }
833 634774 : gel(A,d) = b; return y;
834 : }
835 :
836 : /* x t_PADIC */
837 : static GEN
838 1316941 : powps(GEN x, long n)
839 : {
840 1316941 : long e = n*valp(x), v;
841 1316941 : GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
842 : pari_sp av;
843 :
844 1316941 : if (!signe(gel(x,4))) {
845 84 : if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
846 77 : return zeropadic(p, e);
847 : }
848 1316857 : v = z_pval(n, p);
849 :
850 1316857 : y = cgetg(5,t_PADIC);
851 1316856 : mod = gel(x,3);
852 1316856 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
853 : else
854 : {
855 86688 : if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
856 86688 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
857 86688 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
858 : }
859 1316857 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
860 1316856 : gel(y,2) = icopy(p);
861 1316855 : gel(y,3) = mod;
862 :
863 1316855 : av = avma; t = gel(x,4);
864 1316855 : if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
865 1316855 : t = Fp_powu(t, n, mod);
866 1316861 : gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
867 1316860 : return y;
868 : }
869 : /* x t_PADIC */
870 : static GEN
871 161 : powp(GEN x, GEN n)
872 : {
873 : long v;
874 161 : GEN y, mod, p = gel(x,2);
875 :
876 161 : if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
877 :
878 161 : if (!signe(gel(x,4))) {
879 14 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
880 7 : return zeropadic(p, 0);
881 : }
882 147 : v = Z_pval(n, p);
883 :
884 147 : y = cgetg(5,t_PADIC);
885 147 : mod = gel(x,3);
886 147 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
887 : else
888 : {
889 70 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
890 70 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
891 : }
892 147 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
893 147 : gel(y,2) = icopy(p);
894 147 : gel(y,3) = mod;
895 147 : gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
896 147 : return y;
897 : }
898 : static GEN
899 24145 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
900 : {
901 24145 : GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
902 24145 : gel(z,1) = gcopy(T);
903 24145 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
904 1269 : a = powgi(a, n);
905 : else {
906 22876 : pari_sp av = avma;
907 22876 : GEN p = NULL;
908 22876 : if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
909 : {
910 8771 : T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
911 8771 : if (lgefint(p) == 3)
912 : {
913 8764 : ulong pp = p[2];
914 8764 : a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
915 8764 : a = Flx_to_ZX(a);
916 : }
917 : else
918 7 : a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
919 8771 : a = FpX_to_mod(a, p);
920 8771 : a = gerepileupto(av, a);
921 : }
922 : else
923 : {
924 14105 : set_avma(av);
925 14105 : a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
926 : }
927 : }
928 24145 : gel(z,2) = a; return z;
929 : }
930 :
931 : GEN
932 116991162 : gpowgs(GEN x, long n)
933 : {
934 : long m;
935 : pari_sp av;
936 : GEN y;
937 :
938 116991162 : if (n == 0) return gpowg0(x);
939 115124973 : if (n == 1)
940 : {
941 73967594 : long t = typ(x);
942 73967594 : if (is_scalar_t(t)) return gcopy(x);
943 717289 : switch(t)
944 : {
945 664212 : case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: case t_MAT: case t_VECSMALL:
946 664212 : return gcopy(x);
947 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
948 : /* fall through handle extended t_QFB */
949 53063 : case t_QFB: return qfbred(x);
950 : }
951 14 : pari_err_TYPE("gpow", x);
952 : }
953 41157477 : if (n ==-1) return ginv(x);
954 32683153 : switch(typ(x))
955 : {
956 21040001 : case t_INT: return powis(x,n);
957 5094371 : case t_REAL: return powrs(x,n);
958 29348 : case t_INTMOD:
959 29348 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
960 29348 : gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
961 29348 : return y;
962 378421 : case t_FRAC:
963 : {
964 378421 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
965 378421 : long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
966 378421 : if (n < 0) {
967 3045 : n = -n;
968 3045 : if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
969 2821 : swap(a, b);
970 : }
971 378197 : y = cgetg(3, t_FRAC);
972 378197 : gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
973 378197 : gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
974 378197 : return y;
975 : }
976 1316941 : case t_PADIC: return powps(x, n);
977 249144 : case t_RFRAC:
978 : {
979 249144 : av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
980 249144 : gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
981 249144 : gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
982 249144 : if (n < 0) y = ginv(y);
983 249144 : return gerepileupto(av,y);
984 : }
985 24138 : case t_POLMOD: {
986 24138 : long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
987 24138 : affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
988 : }
989 7 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow", x);
990 : /* fall through handle extended t_QFB */
991 1318398 : case t_QFB: return qfbpows(x, n);
992 1338904 : case t_POL:
993 1338904 : if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
994 : default: {
995 2597608 : pari_sp av = avma;
996 2597608 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
997 2597618 : if (n < 0) y = ginv(y);
998 2597627 : return gerepileupto(av,y);
999 : }
1000 : }
1001 : }
1002 :
1003 : /* n a t_INT */
1004 : GEN
1005 104590123 : powgi(GEN x, GEN n)
1006 : {
1007 : GEN y;
1008 :
1009 104590123 : if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
1010 : /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
1011 25599 : switch(typ(x))
1012 : {
1013 25273 : case t_INTMOD:
1014 25273 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
1015 25274 : gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
1016 25281 : return y;
1017 101 : case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
1018 161 : case t_PADIC: return powp(x, n);
1019 :
1020 35 : case t_INT:
1021 35 : if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
1022 14 : if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
1023 7 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
1024 7 : return gen_0;
1025 7 : case t_FRAC:
1026 7 : pari_err_OVERFLOW("lg()");
1027 :
1028 0 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow",x);
1029 : /* fall through handle extended t_QFB */
1030 18 : case t_QFB: return qfbpow(x, n);
1031 7 : case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
1032 7 : default: {
1033 7 : pari_sp av = avma;
1034 7 : y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
1035 7 : if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
1036 7 : return gerepilecopy(av,y);
1037 : }
1038 : }
1039 : }
1040 :
1041 : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
1042 : static GEN
1043 7966 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
1044 : {
1045 : long lx, mi, i, j, d;
1046 7966 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
1047 7966 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
1048 74291 : d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
1049 7966 : gel(Y,0) = gen_1;
1050 111293 : for (i=1; i<=d; i++)
1051 : {
1052 103327 : pari_sp av = avma;
1053 103327 : GEN s = gen_0;
1054 492275 : for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
1055 : {
1056 388948 : GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
1057 388948 : s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
1058 : }
1059 103327 : gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
1060 : }
1061 7966 : return y;
1062 : }
1063 :
1064 : /* we suppose n != 0, valser(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
1065 : static GEN
1066 8071 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
1067 : {
1068 : GEN y, c, lead;
1069 8071 : if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
1070 7966 : lead = gel(x,2);
1071 7966 : if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
1072 7539 : x = ser_normalize(x);
1073 7539 : if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
1074 182 : c = powgi(c, gel(n,1));
1075 : else
1076 7357 : c = gpow(lead,n, prec);
1077 7539 : y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
1078 : /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
1079 7539 : if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
1080 7539 : return y;
1081 : }
1082 :
1083 : static long
1084 7980 : val_from_i(GEN E)
1085 : {
1086 7980 : if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
1087 7973 : return itos(E);
1088 : }
1089 :
1090 : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
1091 : static GEN
1092 7987 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
1093 : {
1094 7987 : GEN y, E = gmulsg(valser(x), q);
1095 : long e;
1096 :
1097 7987 : if (!signe(x))
1098 : {
1099 21 : if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
1100 21 : return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
1101 : }
1102 7966 : if (typ(E) != t_INT)
1103 7 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
1104 7959 : e = val_from_i(E);
1105 7959 : y = leafcopy(x); setvalser(y, 0);
1106 7959 : y = ser_pow(y, q, prec);
1107 7959 : setvalser(y, e); return y;
1108 : }
1109 :
1110 : static GEN
1111 126 : gpow0(GEN z, GEN x, long prec)
1112 : {
1113 126 : pari_sp av = avma;
1114 126 : switch(typ(x))
1115 : {
1116 84 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
1117 84 : break;
1118 35 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1119 105 : pari_APPLY_same(gpow0(z,gel(x,i),prec));
1120 7 : default: pari_err_TYPE("gpow(0,x)", x);
1121 : }
1122 84 : x = real_i(x);
1123 84 : if (gsigne(x) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,x)", "x", "<=", gen_0, x);
1124 77 : if (!precision(z)) return gcopy(z);
1125 :
1126 14 : z = ground(gmulsg(gexpo(z),x));
1127 14 : if (is_bigint(z) || uel(z,2) >= HIGHEXPOBIT)
1128 7 : pari_err_OVERFLOW("gpow");
1129 7 : set_avma(av); return real_0_bit(itos(z));
1130 : }
1131 :
1132 : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
1133 : static GEN
1134 18855042 : modlog2(GEN x, long *sh)
1135 : {
1136 18855042 : double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
1137 : long q;
1138 18855058 : if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
1139 18855089 : q = d < 0 ? - (long) qd: (long) qd;
1140 18855089 : *sh = q;
1141 18855089 : if (q) {
1142 15619272 : long l = realprec(x) + EXTRAPRECWORD;
1143 15619272 : x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
1144 15618919 : if (!signe(x)) return NULL;
1145 : }
1146 18854736 : return x;
1147 : }
1148 :
1149 : /* x^n, n a t_FRAC */
1150 : static GEN
1151 10529266 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
1152 : {
1153 10529266 : GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1154 10529266 : long D = itos_or_0(d);
1155 10528837 : if (D == 2)
1156 : {
1157 8930480 : GEN y = gsqrt(x,prec);
1158 8930093 : if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
1159 8931160 : return y;
1160 : }
1161 1598357 : if (D && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1162 : { /* x^n = x^q * x^(r/D) */
1163 1594194 : GEN z, r, q = truedvmdis(a, D, &r);
1164 1594203 : if (typ(x) == t_REAL)
1165 : {
1166 171858 : z = sqrtnr(x, D);
1167 171858 : if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
1168 171858 : if (signe(q)) z = gmul(z, powgi(x, q));
1169 : }
1170 : else
1171 : {
1172 1422345 : GEN X = x;
1173 1422345 : x = gtofp(x, prec + nbits2extraprec(expi(r)));
1174 1422345 : z = sqrtnr(x, D);
1175 1422345 : if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
1176 1422345 : if (signe(q))
1177 : {
1178 17068 : long e = typ(X)==t_INT? expi(X): maxuu(expi(gel(X,1)), expi(gel(X,2)));
1179 17068 : z = gmul(z, powgi(cmpiu(muliu(q,e), realprec(x)) > 0? x: X, q));
1180 : }
1181 : }
1182 1594203 : return z;
1183 : }
1184 4163 : return NULL;
1185 : }
1186 :
1187 : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
1188 : * log(x) must be computed to evaluate x^n */
1189 : long
1190 192845 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
1191 : {
1192 192845 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1193 192845 : long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
1194 192845 : e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
1195 192845 : return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
1196 : }
1197 : GEN
1198 5520716 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
1199 : {
1200 5520716 : GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
1201 5521771 : long sh, p = realprec(logx);
1202 5521771 : switch(typ(a))
1203 : {
1204 49882 : case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
1205 5378215 : case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
1206 5377852 : if (xa) break;
1207 : default:
1208 93724 : xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
1209 93743 : if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
1210 : else
1211 : {
1212 93743 : if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setprec(xa, prec);
1213 93743 : xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
1214 : }
1215 : }
1216 5521413 : if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
1217 5521413 : if (gexpo(xb) > 30)
1218 : {
1219 5184133 : GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
1220 5183249 : shiftr_inplace(P, 1);
1221 5181649 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
1222 5157041 : xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2 */
1223 5182487 : sh = Mod4(q);
1224 : }
1225 : else
1226 : {
1227 336872 : long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
1228 336873 : if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
1229 336879 : sh = q & 3;
1230 : }
1231 5518343 : if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setprec(xb, prec);
1232 5518343 : mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
1233 5524149 : return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
1234 : }
1235 :
1236 : GEN
1237 21646606 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
1238 : {
1239 21646606 : long i, prec0, tx, tn = typ(n);
1240 : pari_sp av;
1241 : GEN y;
1242 :
1243 21646606 : if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
1244 6110144 : tx = typ(x);
1245 6110228 : if (is_matvec_t(tx)) pari_APPLY_same(gpow(gel(x,i),n,prec));
1246 6110122 : av = avma;
1247 6110122 : switch (tx)
1248 : {
1249 28 : case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
1250 7560 : case t_SER:
1251 7560 : if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
1252 140 : if (valser(x))
1253 21 : pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
1254 : "valuation", "!=", gen_0, x);
1255 119 : if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
1256 112 : return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
1257 : }
1258 6102562 : if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
1259 6102505 : if (tn == t_FRAC)
1260 : {
1261 5154749 : GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1262 5154749 : switch (tx)
1263 : {
1264 1481235 : case t_INT:
1265 1481235 : if (signe(x) < 0)
1266 : {
1267 42 : if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
1268 : {
1269 21 : z = powgi(z, a);
1270 21 : if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
1271 5150475 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
1272 : }
1273 21 : break;
1274 : }
1275 1481193 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1276 1479233 : break;
1277 70030 : case t_FRAC:
1278 70030 : if (signe(gel(x,1)) < 0)
1279 : {
1280 28 : if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
1281 7 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
1282 21 : break;
1283 : }
1284 70002 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1285 68630 : break;
1286 :
1287 21 : case t_INTMOD:
1288 21 : p = gel(x,1);
1289 21 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
1290 14 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1291 14 : av = avma;
1292 14 : z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
1293 14 : if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1294 7 : gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
1295 7 : return y;
1296 :
1297 14 : case t_PADIC:
1298 14 : z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1299 7 : return gerepileupto(av, powgi(z, a));
1300 :
1301 21 : case t_FFELT:
1302 21 : return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
1303 : }
1304 5151333 : z = powfrac(x, n, prec);
1305 5151438 : if (z) return gerepileupto(av, z);
1306 : }
1307 951866 : if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1308 : {
1309 180994 : long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
1310 180994 : return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
1311 : }
1312 770872 : if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, gel(n,2), precp(n));
1313 770872 : i = precision(n);
1314 770872 : if (i) prec = i;
1315 770872 : prec0 = prec;
1316 770872 : if (!gprecision(x))
1317 : {
1318 39472 : long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
1319 39472 : if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
1320 : }
1321 770872 : y = gmul(n, glog(x,prec));
1322 770844 : y = gexp(y,prec);
1323 770844 : if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
1324 29246 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
1325 : }
1326 : GEN
1327 11683 : powPis(GEN s, long prec)
1328 : {
1329 11683 : pari_sp av = avma;
1330 : GEN x;
1331 11683 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
1332 490 : x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
1333 490 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1334 : }
1335 : GEN
1336 12187 : pow2Pis(GEN s, long prec)
1337 : {
1338 12187 : pari_sp av = avma;
1339 : GEN x;
1340 12187 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
1341 1876 : x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
1342 1876 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1343 : }
1344 :
1345 : GEN
1346 208028 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
1347 : {
1348 : long i, l;
1349 : GEN V;
1350 208028 : if (!x0) return gpowers(x,n);
1351 193542 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1352 193542 : l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
1353 7604377 : for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
1354 193602 : return V;
1355 : }
1356 :
1357 : GEN
1358 779482 : gpowers(GEN x, long n)
1359 : {
1360 779482 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1361 779475 : return gen_powers(x, n, 0, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
1362 : }
1363 :
1364 : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
1365 : GEN
1366 39711 : gsqrpowers(GEN q, long n)
1367 : {
1368 39711 : pari_sp av = avma;
1369 39711 : GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
1370 39711 : GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
1371 : long i;
1372 39711 : gel(v, 1) = gcopy(q);
1373 6737729 : for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
1374 39711 : return gerepileupto(av, v);
1375 : }
1376 :
1377 : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
1378 : static GEN
1379 1003178 : grootsof1_4(long N, long prec)
1380 : {
1381 1003178 : GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v = ((GEN*)RU) + 1;
1382 1003178 : long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
1383 : /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
1384 :
1385 1003178 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1386 1003178 : if (odd(N4)) N8++;
1387 1112338 : for (i=1; i<N8; i++)
1388 : {
1389 109160 : GEN t = v[i];
1390 109160 : v[i+1] = gmul(z, t);
1391 109160 : v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
1392 : }
1393 2535132 : for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
1394 4067076 : for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
1395 1003173 : return RU;
1396 : }
1397 :
1398 : /* as above, N arbitrary */
1399 : GEN
1400 1168820 : grootsof1(long N, long prec)
1401 : {
1402 : GEN z, RU, *v;
1403 : long i, k;
1404 :
1405 1168820 : if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
1406 1168807 : if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
1407 165629 : if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
1408 45600 : k = (N+1)>>1;
1409 45600 : RU = cgetg(N+1,t_COL);
1410 45600 : v = ((GEN*)RU) + 1;
1411 45600 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1412 108659 : for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
1413 45600 : if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
1414 154259 : for ( ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
1415 45600 : return RU;
1416 : }
1417 :
1418 : /********************************************************************/
1419 : /** **/
1420 : /** RACINE CARREE **/
1421 : /** **/
1422 : /********************************************************************/
1423 : /* assume x unit, e = precp(x) */
1424 : GEN
1425 144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
1426 : {
1427 144690 : ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
1428 : GEN z;
1429 : long ez;
1430 : pari_sp av;
1431 :
1432 144690 : switch(e)
1433 : {
1434 7 : case 1: return gen_1;
1435 161 : case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
1436 28 : case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
1437 71064 : case 4: if (r == 1) return gen_1;
1438 35133 : else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
1439 73430 : default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
1440 : }
1441 73430 : av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
1442 73430 : ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
1443 : for(;;)
1444 47978 : {
1445 : GEN mod;
1446 121408 : ez = (ez<<1) - 1;
1447 121408 : if (ez > e) ez = e;
1448 121408 : mod = int2n(ez);
1449 121408 : z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
1450 121408 : z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
1451 121408 : if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
1452 47978 : if (ez < e) ez--;
1453 47978 : if (gc_needed(av,2))
1454 : {
1455 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
1456 0 : z = gerepileuptoint(av,z);
1457 : }
1458 : }
1459 : }
1460 :
1461 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
1462 : GEN
1463 1897 : Qp_sqrt(GEN x)
1464 : {
1465 1897 : long pp, e = valp(x);
1466 1897 : GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
1467 :
1468 1897 : if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
1469 1883 : if (e & 1) return NULL;
1470 :
1471 1869 : y = cgetg(5,t_PADIC);
1472 1869 : pp = precp(x);
1473 1869 : mod = gel(x,3);
1474 1869 : z = gel(x,4); /* lift to t_INT */
1475 1869 : e >>= 1;
1476 1869 : z = Zp_sqrt(z, p, pp);
1477 1869 : if (!z) return NULL;
1478 1806 : if (absequaliu(p,2))
1479 : {
1480 805 : pp = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
1481 805 : mod = int2n(pp);
1482 : }
1483 1001 : else mod = icopy(mod);
1484 1806 : y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
1485 1806 : gel(y,2) = icopy(p);
1486 1806 : gel(y,3) = mod;
1487 1806 : gel(y,4) = z; return y;
1488 : }
1489 :
1490 : GEN
1491 420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
1492 : {
1493 420 : pari_sp ltop = avma, btop;
1494 420 : GEN b = gen_0, m = gen_1;
1495 : long j, np;
1496 420 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
1497 420 : if (typ(fn) == t_INT)
1498 0 : fn = absZ_factor(fn);
1499 420 : else if (!is_Z_factorpos(fn))
1500 0 : pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
1501 420 : np = nbrows(fn);
1502 420 : btop = avma;
1503 1680 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1504 : {
1505 : GEN bp, mp, pr, r;
1506 1260 : GEN p = gcoeff(fn, j, 1);
1507 1260 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1508 1260 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1509 1260 : if (v >= e) bp =gen_0;
1510 : else
1511 : {
1512 1134 : if (odd(v)) return NULL;
1513 1134 : bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
1514 1134 : if (!bp) return NULL;
1515 1134 : if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
1516 : }
1517 1260 : mp = powiu(p, e);
1518 1260 : pr = mulii(m, mp);
1519 1260 : b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
1520 1260 : m = pr;
1521 1260 : if (gc_needed(btop, 1))
1522 0 : gerepileall(btop, 2, &b, &m);
1523 : }
1524 420 : return gerepileupto(ltop, b);
1525 : }
1526 :
1527 : static GEN
1528 18739 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
1529 : {
1530 18739 : long e = valser(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
1531 : ulong mask;
1532 : GEN a, x, lta, ltx;
1533 :
1534 18739 : if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
1535 18739 : a = leafcopy(b);
1536 18739 : x = cgetg_copy(b, &lx);
1537 18739 : if (e & 1)
1538 14 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
1539 18725 : a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalser(0);
1540 18725 : lta = gel(a,2);
1541 18725 : if (gequal1(lta)) ltx = lta;
1542 14833 : else if (!issquareall(lta,<x)) ltx = gsqrt(lta,prec);
1543 18718 : gel(x,2) = ltx;
1544 316771 : for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
1545 18718 : setlg(x,3);
1546 18718 : mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
1547 18718 : lold = 1;
1548 96715 : while (mask > 1)
1549 : {
1550 77997 : GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
1551 77997 : long l = lold << 1, lx;
1552 :
1553 77997 : if (mask & 1) l--;
1554 77997 : mask >>= 1;
1555 77997 : setlg(a, l + 2);
1556 77997 : setlg(x, l + 2);
1557 77997 : y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
1558 376050 : for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
1559 77997 : y += lold; setvalser(y, lold);
1560 77997 : y = normalizeser(y);
1561 77997 : y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
1562 77997 : lx = minss(l+2, lg(y));
1563 376043 : for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
1564 77997 : lold = l;
1565 : }
1566 18718 : x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalser(e >> 1);
1567 18718 : return x;
1568 : }
1569 :
1570 : GEN
1571 62646711 : gsqrt(GEN x, long prec)
1572 : {
1573 : pari_sp av;
1574 : GEN y;
1575 :
1576 62646711 : switch(typ(x))
1577 : {
1578 5534760 : case t_INT:
1579 5534760 : if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
1580 5534690 : x = itor(x,prec); /* fall through */
1581 55908668 : case t_REAL: return sqrtr(x);
1582 :
1583 35 : case t_INTMOD:
1584 : {
1585 35 : GEN p = gel(x,1), a;
1586 35 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1587 35 : a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
1588 21 : if (!a)
1589 : {
1590 7 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
1591 7 : pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
1592 : }
1593 14 : gel(y,2) = a; return y;
1594 : }
1595 :
1596 6461202 : case t_COMPLEX:
1597 : { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
1598 6461202 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
1599 6461202 : if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
1600 6461202 : y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
1601 :
1602 6461202 : r = cxnorm(x);
1603 6461196 : if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
1604 0 : pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
1605 6461196 : r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
1606 6461198 : if (!signe(r))
1607 67 : u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
1608 6461131 : else if (gsigne(a) < 0)
1609 : {
1610 : /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
1611 : * positive numbers = 0 */
1612 190041 : v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
1613 190042 : if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
1614 190042 : v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
1615 : /* v = 0 is impossible */
1616 190042 : u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
1617 : } else {
1618 6271090 : u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
1619 6271091 : u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
1620 6271090 : if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
1621 7 : v = u;
1622 : else
1623 6271083 : v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
1624 : }
1625 6461200 : gel(y,1) = u;
1626 6461200 : gel(y,2) = v; return y;
1627 : }
1628 :
1629 63 : case t_PADIC:
1630 63 : y = Qp_sqrt(x);
1631 63 : if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
1632 42 : return y;
1633 :
1634 161 : case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
1635 :
1636 274387 : default:
1637 274387 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
1638 18739 : return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
1639 : }
1640 255648 : return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
1641 : }
1642 : /********************************************************************/
1643 : /** **/
1644 : /** N-th ROOT **/
1645 : /** **/
1646 : /********************************************************************/
1647 :
1648 : static GEN
1649 304139 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
1650 : {
1651 304139 : if (signe(a)==0)
1652 1316 : return zeropadic(p, e);
1653 : else
1654 : {
1655 302823 : GEN z = cgetg(5, t_PADIC);
1656 302823 : long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
1657 302823 : z[1] = evalprecp(d) | evalvalp(v);
1658 302823 : gel(z,2) = icopy(p);
1659 302823 : gel(z,3) = powiu(p, d);
1660 302824 : gel(z,4) = a;
1661 302824 : return z;
1662 : }
1663 : }
1664 :
1665 : GEN
1666 196211 : Qp_log(GEN x)
1667 : {
1668 196211 : pari_sp av = avma;
1669 196211 : GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
1670 196211 : long e = precp(x);
1671 :
1672 196211 : if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
1673 196190 : if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
1674 75508 : y = Zp_log(a, p, e);
1675 : else
1676 : { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
1677 120682 : GEN q = gel(x,3), t = subiu(p, 1);
1678 120682 : a = Fp_pow(a, t, q);
1679 120682 : y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
1680 : }
1681 196190 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
1682 : }
1683 :
1684 : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
1685 :
1686 : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
1687 : static GEN
1688 854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
1689 : {
1690 854 : pari_sp ltop=avma;
1691 854 : GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
1692 854 : long v = valp(x), va;
1693 854 : if (v)
1694 : {
1695 : long z;
1696 161 : v = sdivsi_rem(v, n, &z);
1697 161 : if (z) return NULL;
1698 91 : x = leafcopy(x);
1699 91 : setvalp(x,0);
1700 : }
1701 : /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
1702 784 : if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
1703 749 : a = Qp_log(x);
1704 749 : va = valp(a) - e;
1705 749 : if (va <= 0)
1706 : {
1707 287 : if (signe(gel(a,4))) return NULL;
1708 : /* all accuracy lost */
1709 119 : a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
1710 : }
1711 : else
1712 : {
1713 462 : setvalp(a, va); /* divide by p^e */
1714 462 : a = Qp_exp_safe(a);
1715 462 : if (!a) return NULL;
1716 : /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
1717 : * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
1718 462 : a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
1719 462 : if (v) setvalp(a,v);
1720 : }
1721 581 : return gerepileupto(ltop,a);
1722 : }
1723 :
1724 : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
1725 : static GEN
1726 2037 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1727 : {
1728 : pari_sp av;
1729 2037 : GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
1730 2037 : long v = valp(x);
1731 2037 : if (v)
1732 : {
1733 : long z;
1734 84 : v = sdivsi_rem(v,n,&z);
1735 84 : if (z) return NULL;
1736 : }
1737 2030 : r = cgetp(x); setvalp(r,v);
1738 2030 : Z = NULL; /* -Wall */
1739 2030 : if (zetan) Z = cgetp(x);
1740 2030 : av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
1741 2030 : if (!a) return NULL;
1742 2016 : affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
1743 2016 : if (zetan)
1744 : {
1745 14 : affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
1746 14 : *zetan = Z;
1747 : }
1748 2016 : return gc_const(av,r);
1749 : }
1750 :
1751 : GEN
1752 2604 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1753 : {
1754 : pari_sp av, tetpil;
1755 : GEN q, p;
1756 : long e;
1757 2604 : if (absequaliu(n, 2))
1758 : {
1759 70 : if (zetan) *zetan = gen_m1;
1760 70 : if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
1761 63 : return Qp_sqrt(x);
1762 : }
1763 2534 : av = avma; p = gel(x,2);
1764 2534 : if (!signe(gel(x,4)))
1765 : {
1766 203 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
1767 203 : q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
1768 203 : if (zetan) *zetan = gen_1;
1769 203 : set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
1770 : }
1771 : /* treat the ramified part using logarithms */
1772 2331 : e = Z_pvalrem(n, p, &q);
1773 2331 : if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
1774 2058 : if (is_pm1(q))
1775 : { /* finished */
1776 21 : if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
1777 21 : x = gerepileupto(av, x);
1778 21 : if (zetan)
1779 28 : *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
1780 28 : : gen_1;
1781 21 : return x;
1782 : }
1783 2037 : tetpil = avma;
1784 : /* use hensel lift for unramified case */
1785 2037 : x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
1786 2037 : if (!x) return NULL;
1787 2016 : if (zetan)
1788 : {
1789 : GEN *gptr[2];
1790 14 : if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
1791 : {
1792 7 : tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
1793 : }
1794 14 : gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
1795 14 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
1796 14 : return x;
1797 : }
1798 2002 : return gerepile(av,tetpil,x);
1799 : }
1800 :
1801 : GEN
1802 27301 : sqrtnint(GEN a, long n)
1803 : {
1804 27301 : pari_sp av = avma;
1805 : GEN x, b, q;
1806 : long s, k, e;
1807 27301 : const ulong nm1 = n - 1;
1808 27301 : if (n == 2) return sqrtint(a);
1809 23059 : if (typ(a) != t_INT)
1810 : {
1811 35 : if (typ(a) == t_REAL)
1812 : {
1813 : long e;
1814 14 : switch(signe(a))
1815 : {
1816 0 : case 0: return gen_0;
1817 7 : case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
1818 : }
1819 7 : e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
1820 7 : if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
1821 0 : a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
1822 : else
1823 7 : a = sqrtnint(truncr(a),n);
1824 : }
1825 : else
1826 : {
1827 21 : GEN b = gfloor(a);
1828 21 : if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
1829 14 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
1830 7 : a = sqrtnint(b, n);
1831 : }
1832 14 : return gerepileuptoint(av, a);
1833 : }
1834 23024 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
1835 23017 : if (n == 1) return icopy(a);
1836 20861 : s = signe(a);
1837 20861 : if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
1838 20861 : if (!s) return gen_0;
1839 20784 : if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
1840 14553 : e = expi(a); k = e/(2*n);
1841 14553 : if (k == 0)
1842 : {
1843 : long flag;
1844 291 : if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
1845 291 : flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
1846 291 : return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
1847 : }
1848 14262 : if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
1849 : {
1850 : ulong xs, qs;
1851 7128 : b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
1852 7128 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1853 7128 : xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
1854 : for(;;) {
1855 14078 : q = divii(a, powuu(xs, nm1));
1856 14078 : if (lgefint(q) > 3) break;
1857 14071 : qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
1858 6950 : xs -= (xs - qs + nm1)/n;
1859 : }
1860 7128 : return utoi(xs);
1861 : }
1862 7134 : b = addui(1, shifti(a, -n*k));
1863 7134 : x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
1864 7134 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1865 15994 : while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
1866 : {
1867 8860 : x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
1868 8860 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1869 : }
1870 7134 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1871 : }
1872 :
1873 : ulong
1874 8112 : usqrtn(ulong a, ulong n)
1875 : {
1876 : ulong x, s, q;
1877 8112 : const ulong nm1 = n - 1;
1878 8112 : if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
1879 8112 : if (n == 1 || a == 0) return a;
1880 8112 : s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
1881 8111 : q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
1882 21068 : while (q < x) {
1883 : ulong X;
1884 12956 : x -= (x - q + nm1)/n;
1885 12956 : X = upowuu(x, nm1);
1886 12957 : q = X? a/X: 0;
1887 : }
1888 8112 : return x;
1889 : }
1890 :
1891 : static ulong
1892 1734588 : cubic_prec_mask(long n)
1893 : {
1894 1734588 : long a = n, i;
1895 1734588 : ulong mask = 0;
1896 1734588 : for(i = 1;; i++, mask *= 3)
1897 8247940 : {
1898 9982528 : long c = a%3;
1899 9982528 : if (c) mask += 3 - c;
1900 9982528 : a = (a+2)/3;
1901 9982528 : if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
1902 : }
1903 : }
1904 :
1905 : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
1906 : GEN
1907 2796275 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
1908 : {
1909 : pari_sp av;
1910 : GEN x, b;
1911 : long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
1912 : ulong mask;
1913 2796275 : double K = n, X;
1914 :
1915 2796275 : if (n == 1) return mpabs(a);
1916 2795580 : if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
1917 :
1918 2448874 : prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
1919 2448874 : if (v) a = shiftr(a, -n*v);
1920 2448877 : b = rtor(a, DEFAULTPREC);
1921 2448903 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1922 2448907 : if (prec == DEFAULTPREC)
1923 : {
1924 752691 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1925 752694 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1926 : }
1927 1696216 : X = rtodbl(x);
1928 1696216 : K = (K*K-1) / (12*X*X); /* |x_{n+1} - x| < K |x_n - x|^3 */
1929 1696216 : eextra = dblexpo(K);
1930 1696216 : n1 = n+1;
1931 1696216 : n2 = 2*n;
1932 1696216 : B = prec2nbits(prec);
1933 1696216 : mask = cubic_prec_mask(B + 63);
1934 1696216 : eold = 1;
1935 : for(;;)
1936 6762957 : { /* reach 64 */
1937 8459173 : long enew = eold * 3;
1938 8459173 : enew -= mask % 3;
1939 8459173 : if (enew > 64) break; /* back up one step */
1940 6762957 : mask /= 3;
1941 6762957 : eold = enew;
1942 : }
1943 : for(;;)
1944 1318050 : {
1945 3014266 : long pr, enew = eold * 3;
1946 : GEN y, z;
1947 3014266 : enew -= mask % 3;
1948 3014266 : mask /= 3;
1949 3014266 : pr = nbits2prec(enew + eextra);
1950 3014266 : b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
1951 3014266 : x = rtor(x, pr);
1952 3014266 : y = subrr(powru(x, n), b);
1953 3014266 : z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
1954 3014266 : shiftr_inplace(z,1);
1955 3014266 : x = subrr(x, mulrr(x,z));
1956 3014266 : if (mask == 1)
1957 : {
1958 1696216 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1959 1696216 : return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
1960 : }
1961 1318050 : eold = enew;
1962 : }
1963 : }
1964 :
1965 : static void
1966 55393 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
1967 : {
1968 55393 : shiftr_inplace(gel(z,1), d);
1969 55393 : shiftr_inplace(gel(z,2), d);
1970 55393 : }
1971 :
1972 : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
1973 : static GEN
1974 552644 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
1975 : {
1976 : pari_sp av;
1977 : GEN x;
1978 : long eold, n1, n2, B;
1979 : ulong mask;
1980 :
1981 552644 : B = prec2nbits(prec);
1982 552644 : n1 = n+1;
1983 552644 : n2 = 2*n; av = avma;
1984 :
1985 552644 : x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
1986 552642 : if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
1987 38372 : mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
1988 38372 : eold = 1;
1989 : for(;;)
1990 149912 : { /* reach BITS_IN_LONG */
1991 188284 : long enew = eold * 3;
1992 188284 : enew -= mask % 3;
1993 188284 : if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
1994 149912 : mask /= 3;
1995 149912 : eold = enew;
1996 : }
1997 : for(;;)
1998 17021 : {
1999 55393 : long pr, enew = eold * 3;
2000 : GEN y, z;
2001 55393 : enew -= mask % 3;
2002 55393 : mask /= 3;
2003 55393 : pr = nbits2prec(enew);
2004 55393 : x = cxtofp(x, pr);
2005 55393 : y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
2006 55393 : z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
2007 55393 : shiftc_inplace(z,1);
2008 55393 : x = gmul(x, gsubsg(1, z));
2009 55393 : if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
2010 17021 : eold = enew;
2011 : }
2012 : }
2013 :
2014 : /* exp(2iPi/d) */
2015 : GEN
2016 2156051 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
2017 : {
2018 2156051 : switch(n)
2019 : {
2020 15421 : case 1: return gen_1;
2021 4081 : case 2: return gen_m1;
2022 694539 : case 4: return gen_I();
2023 42233 : case 3: case 6: case 12:
2024 : {
2025 42233 : pari_sp av = avma;
2026 42233 : GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
2027 42233 : GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
2028 42233 : shiftr_inplace(sq3, -1);
2029 42233 : a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
2030 42233 : return gerepilecopy(av, a);
2031 : }
2032 847146 : case 8:
2033 : {
2034 847146 : pari_sp av = avma;
2035 847146 : GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
2036 847126 : shiftr_inplace(sq2,-1);
2037 847128 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
2038 : }
2039 : }
2040 552631 : return sqrtnof1(n, prec);
2041 : }
2042 : /* e(a/b) */
2043 : GEN
2044 14616 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
2045 : {
2046 14616 : long g = cgcd(a,b);
2047 : GEN z;
2048 14616 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2049 14616 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2050 14616 : z = rootsof1u_cx(b, prec);
2051 14616 : if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
2052 14616 : return gpowgs(z, a);
2053 : }
2054 :
2055 : /* initializes powers of e(a/b) */
2056 : GEN
2057 15575 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
2058 : {
2059 15575 : long g = cgcd(a,b);
2060 15575 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2061 15575 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2062 15575 : a %= b; if (a < 0) a += b;
2063 15575 : return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
2064 : }
2065 : /* T = rootsof1powinit(a,b); return e(a/b)^c */
2066 : GEN
2067 12939507 : rootsof1pow(GEN T, long c)
2068 : {
2069 12939507 : GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
2070 12939507 : long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
2071 12939507 : c %= b; if (c < 0) c += b;
2072 12939507 : a = Fl_mul(a, c, b);
2073 12939507 : return gel(vz, a + 1);
2074 : }
2075 :
2076 : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
2077 : GEN
2078 4536 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
2079 : {
2080 4536 : if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
2081 0 : return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
2082 : }
2083 :
2084 : GEN
2085 42437 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
2086 : {
2087 : long i, tx;
2088 : pari_sp av;
2089 : GEN y, z;
2090 42437 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
2091 42437 : if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
2092 42437 : if (is_pm1(n))
2093 : {
2094 70 : if (zetan) *zetan = gen_1;
2095 70 : return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
2096 : }
2097 42367 : if (zetan) *zetan = gen_0;
2098 42367 : tx = typ(x);
2099 42381 : if (is_matvec_t(tx)) pari_APPLY_same(gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec));
2100 42360 : av = avma;
2101 42360 : switch(tx)
2102 : {
2103 182 : case t_INTMOD:
2104 : {
2105 182 : GEN p = gel(x,1), s;
2106 182 : z = gen_0;
2107 182 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
2108 182 : if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
2109 182 : s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
2110 161 : if (!s) {
2111 35 : if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
2112 28 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
2113 14 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2114 : }
2115 126 : gel(y,2) = s;
2116 126 : if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
2117 126 : return y;
2118 : }
2119 :
2120 56 : case t_PADIC:
2121 56 : y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
2122 49 : if (!y) {
2123 7 : if (zetan) return gen_0;
2124 7 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2125 : }
2126 42 : return y;
2127 :
2128 196 : case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
2129 :
2130 41352 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
2131 41352 : i = precision(x); if (i) prec = i;
2132 41352 : if (isint1(x))
2133 7 : y = real_1(prec);
2134 41345 : else if (gequal0(x))
2135 : {
2136 : long b;
2137 21 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
2138 21 : if (isinexactreal(x))
2139 14 : b = sdivsi(gexpo(x), n);
2140 : else
2141 7 : b = -prec2nbits(prec);
2142 21 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2143 : {
2144 7 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2145 7 : gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
2146 : }
2147 : else
2148 14 : y = real_0_bit(b);
2149 : }
2150 : else
2151 : {
2152 41324 : long nn = itos_or_0(n);
2153 41324 : if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
2154 41324 : if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
2155 31108 : y = sqrtnr(x, nn);
2156 : else
2157 10216 : y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
2158 41324 : y = gerepileupto(av, y);
2159 : }
2160 41352 : if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
2161 41352 : return y;
2162 :
2163 7 : case t_QUAD:
2164 7 : return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
2165 :
2166 567 : default:
2167 567 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2168 567 : return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
2169 : }
2170 0 : pari_err_TYPE("sqrtn",x);
2171 : return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
2172 : }
2173 :
2174 : /********************************************************************/
2175 : /** **/
2176 : /** EXP(X) - 1 **/
2177 : /** **/
2178 : /********************************************************************/
2179 : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
2180 : * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
2181 : GEN
2182 18837686 : exp1r_abs(GEN x)
2183 : {
2184 18837686 : long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
2185 : GEN y, p2, X;
2186 : pari_sp av;
2187 : double d;
2188 :
2189 18837448 : if (b + a <= 0) return mpabs(x);
2190 :
2191 18821697 : y = cgetr(l); av = avma;
2192 18821050 : B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
2193 18821050 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
2194 18821050 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
2195 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
2196 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
2197 : * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
2198 : * m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
2199 : * bit operations with n ~ b/e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
2200 : * b bits of accuracy needed, so
2201 : * B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
2202 : * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
2203 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b + a )
2204 : * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
2205 : *
2206 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
2207 : * sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
2208 : * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
2209 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
2210 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
2211 : * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b */
2212 18821050 : d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
2213 18822118 : while (d <= 0) { d++; m++; } /* d < 0 can occur from expm1 */
2214 18822112 : L = l + nbits2extraprec(m);
2215 18822133 : b += m;
2216 18822133 : n = (long)(b / d); /* > 0 */
2217 18822133 : if (n == 1)
2218 744063 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log ~ const in small ranges */
2219 20181769 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
2220 :
2221 18822133 : X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
2222 18822782 : if (n == 1) p2 = X;
2223 : else
2224 : {
2225 18822782 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
2226 18822608 : GEN unr = real_1(L);
2227 : pari_sp av2;
2228 :
2229 18822009 : p2 = cgetr(L); av2 = avma;
2230 351836567 : for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
2231 : { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
2232 : GEN p1, p3;
2233 333117443 : setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
2234 333536413 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(p3), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2235 333430437 : if (l1>L) l1=L;
2236 333430437 : setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
2237 332822213 : setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
2238 : }
2239 18820899 : setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
2240 : }
2241 :
2242 18823009 : B = prec2nbits(L);
2243 202646351 : for (i = 1; i <= m; i++)
2244 : {
2245 183824876 : if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
2246 183824876 : if (expo(p2) < -B)
2247 0 : shiftr_inplace(p2, 1); /* 2 + p2 ~ 2 and may blow up accuracy */
2248 : else
2249 183824876 : p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
2250 : }
2251 18821475 : affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
2252 : }
2253 :
2254 : GEN
2255 24683 : mpexpm1(GEN x)
2256 : {
2257 24683 : const long s = 6;
2258 24683 : long B, l, sx = signe(x);
2259 : GEN y, z;
2260 : pari_sp av;
2261 24683 : if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
2262 24676 : l = realprec(x);
2263 24676 : if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, BITS_IN_LONG<<s))
2264 : {
2265 6 : long e = expo(x);
2266 6 : if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
2267 6 : return subrs(mpexp(x), 1);
2268 : }
2269 24670 : if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
2270 10298 : B = prec2nbits(l);
2271 10298 : if (cmpsr(-B, x) > 0) return real_m1(l);
2272 : /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
2273 10291 : av = avma; y = exp1r_abs(x); /* > 0 */
2274 10291 : if (expo(y) >= -B) { z = addsr(1, y); y = divrr(y, z); }
2275 10291 : setsigne(y, -1);
2276 10291 : return gerepileuptoleaf(av, y);
2277 : }
2278 :
2279 : static GEN serexp(GEN x, long prec);
2280 : GEN
2281 26506 : gexpm1(GEN x, long prec)
2282 : {
2283 26506 : switch(typ(x))
2284 : {
2285 4220 : case t_REAL: return mpexpm1(x);
2286 20172 : case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
2287 14 : case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
2288 2100 : default:
2289 : {
2290 2100 : pari_sp av = avma;
2291 : long ey;
2292 : GEN y;
2293 2100 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2294 2079 : ey = valser(y);
2295 2079 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
2296 2079 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2297 2072 : if (ey)
2298 511 : return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
2299 : else
2300 : {
2301 1561 : GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
2302 1561 : y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
2303 1561 : gel(y,2) = e1;
2304 1561 : return gerepilecopy(av, y);
2305 : }
2306 : }
2307 : }
2308 21 : return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
2309 : }
2310 : /********************************************************************/
2311 : /** **/
2312 : /** EXP(X) **/
2313 : /** **/
2314 : /********************************************************************/
2315 : static GEN
2316 18761008 : mpexp_basecase(GEN x)
2317 : {
2318 18761008 : pari_sp av = avma;
2319 18761008 : long sh, l = realprec(x);
2320 : GEN y, z;
2321 :
2322 18761008 : y = modlog2(x, &sh);
2323 18760879 : if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
2324 18760879 : z = addsr(1, exp1r_abs(y));
2325 18759797 : if (signe(y) < 0) z = invr(z);
2326 18760168 : if (sh) {
2327 15525444 : shiftr_inplace(z, sh);
2328 15525402 : if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
2329 : }
2330 : #ifdef DEBUG
2331 : {
2332 : GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
2333 : if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
2334 : pari_err_BUG("exp");
2335 : }
2336 : #endif
2337 18760791 : return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
2338 : }
2339 :
2340 : GEN
2341 18907509 : mpexp(GEN x)
2342 : {
2343 18907509 : const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
2344 18907509 : long i, p, l = realprec(x), sh;
2345 : GEN a, t, z;
2346 : ulong mask;
2347 :
2348 18907509 : if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (BITS_IN_LONG<<s) + 2))
2349 : {
2350 18907714 : if (!signe(x)) return mpexp0(x);
2351 18760939 : return mpexp_basecase(x);
2352 : }
2353 11 : z = cgetr(l); /* room for result */
2354 13 : x = modlog2(x, &sh);
2355 13 : if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
2356 13 : constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
2357 13 : mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
2358 168 : for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
2359 13 : a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
2360 13 : x = addrs(x,1);
2361 13 : if (realprec(x) < l+EXTRAPREC64) x = rtor(x, l+EXTRAPREC64);
2362 13 : a = rtor(a, l+EXTRAPREC64); /*append 0s */
2363 13 : t = NULL;
2364 : for(;;)
2365 : {
2366 14 : p <<= 1; if (mask & 1) p--;
2367 14 : mask >>= 1;
2368 14 : setprec(x, nbits2prec(p));
2369 14 : setprec(a, nbits2prec(p));
2370 14 : t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
2371 14 : if (mask == 1) break;
2372 1 : affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
2373 : }
2374 13 : affrr(t,z);
2375 13 : if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
2376 13 : return gc_const((pari_sp)z, z);
2377 : }
2378 :
2379 : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
2380 : long
2381 98 : Qp_exp_prec(GEN x)
2382 : {
2383 98 : long e = valp(x), n = precp(x);
2384 : ulong a, b, q, r, p, t;
2385 :
2386 98 : if (e < 1) return -1;
2387 77 : if (e > n) return 1;
2388 77 : p = itos_or_0(gel(x,2));
2389 77 : if (!p) return n / e + 1;
2390 77 : if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
2391 : /* n >= e > 0, n = qe + r */
2392 : /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
2393 63 : t = p - 1;
2394 63 : if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
2395 0 : q = n / e;
2396 0 : r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
2397 0 : a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
2398 0 : b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
2399 0 : return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
2400 : }
2401 :
2402 : static GEN
2403 109550 : Qp_exp_safe(GEN x)
2404 : {
2405 109550 : pari_sp av = avma;
2406 109550 : GEN p = gel(x,2), a = gel(x,4), z;
2407 109550 : long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
2408 109550 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2409 107954 : if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
2410 107949 : z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
2411 107950 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
2412 : }
2413 :
2414 : GEN
2415 109088 : Qp_exp(GEN x)
2416 : {
2417 109088 : GEN y = Qp_exp_safe(x);
2418 109091 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
2419 109084 : return y;
2420 : }
2421 :
2422 : static GEN
2423 49 : cos_p(GEN x)
2424 : {
2425 : long k;
2426 : pari_sp av;
2427 : GEN x2, y;
2428 :
2429 49 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2430 28 : k = Qp_exp_prec(x);
2431 28 : if (k < 0) return NULL;
2432 21 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2433 21 : if (k & 1) k--;
2434 105 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2435 : {
2436 84 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
2437 84 : y = gsubsg(1, t);
2438 : }
2439 21 : return gerepileupto(av, y);
2440 : }
2441 : static GEN
2442 63 : sin_p(GEN x)
2443 : {
2444 : long k;
2445 : pari_sp av;
2446 : GEN x2, y;
2447 :
2448 63 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2449 42 : k = Qp_exp_prec(x);
2450 42 : if (k < 0) return NULL;
2451 28 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2452 28 : if (k & 1) k--;
2453 133 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2454 : {
2455 105 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
2456 105 : y = gsubsg(1, t);
2457 : }
2458 28 : return gerepileupto(av, gmul(y, x));
2459 : }
2460 :
2461 : static GEN
2462 4689016 : cxexp(GEN x, long prec)
2463 : {
2464 4689016 : GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2465 4688971 : pari_sp av = avma, tetpil;
2466 : long l;
2467 4688971 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
2468 4689022 : if (gequal0(gel(x,1)))
2469 : {
2470 346649 : gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
2471 346674 : return y;
2472 : }
2473 4342369 : r = gexp(gel(x,1),prec);
2474 4342487 : gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
2475 4342741 : tetpil = avma;
2476 4342741 : gel(y,1) = gmul(r,p1);
2477 4342606 : gel(y,2) = gmul(r,p2);
2478 4342619 : gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
2479 4342694 : return y;
2480 : }
2481 :
2482 : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
2483 : GEN
2484 37576 : serchop0(GEN s)
2485 : {
2486 37576 : long i, l = lg(s);
2487 : GEN y;
2488 37576 : if (l == 2) return s;
2489 37576 : if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
2490 37576 : y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
2491 164990 : gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
2492 37576 : return normalizeser(y);
2493 : }
2494 :
2495 : GEN
2496 42 : serchop_i(GEN s, long n)
2497 : {
2498 42 : long i, m, l = lg(s);
2499 : GEN y;
2500 42 : if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
2501 : {
2502 14 : if (valser(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalser(s,n); }
2503 14 : return s;
2504 : }
2505 28 : m = n - valser(s); if (m < 0) return s;
2506 21 : if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
2507 14 : y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalser(y, valser(y)+m);
2508 42 : for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
2509 14 : return normalizeser(y);
2510 : }
2511 : GEN
2512 42 : serchop(GEN s, long n)
2513 : {
2514 42 : pari_sp av = avma;
2515 42 : if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
2516 42 : return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
2517 : }
2518 :
2519 : static GEN
2520 83433 : serexp(GEN x, long prec)
2521 : {
2522 83433 : long i, j, lx, ly, mi, e = valser(x);
2523 : GEN y, xd, yd;
2524 : pari_sp av;
2525 :
2526 83433 : if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
2527 83426 : if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
2528 70497 : lx = lg(x);
2529 70497 : if (e)
2530 : {
2531 : GEN X;
2532 55699 : ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
2533 566888 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
2534 55699 : mi += e-2;
2535 55699 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
2536 : /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
2537 55699 : xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
2538 55699 : X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
2539 55699 : X = isint1(X)? NULL: X;
2540 55699 : gel(yd,0) = gen_1;
2541 56070 : for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
2542 664615 : for ( ; i < ly; i++)
2543 : {
2544 608916 : GEN t = gel(yd,i-e);
2545 608916 : long J = minss(i, mi);
2546 608916 : av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
2547 2578765 : for (j = e + 1; j <= J; j++)
2548 1969849 : t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
2549 608916 : gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
2550 : }
2551 55699 : return y;
2552 : }
2553 14798 : av = avma;
2554 14798 : return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
2555 : }
2556 :
2557 : static GEN
2558 1468576 : expQ(GEN x, long prec)
2559 : {
2560 1468576 : GEN p, q, z, z0 = NULL;
2561 : pari_sp av;
2562 1468576 : long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
2563 : double ex;
2564 : struct abpq_res R;
2565 : struct abpq S;
2566 :
2567 1468576 : if (typ(x) == t_INT)
2568 : {
2569 24686 : if (!signe(x)) return real_1(prec);
2570 24615 : p = x; q = gen_1;
2571 24615 : e = expi(p);
2572 24616 : if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
2573 : }
2574 : else
2575 : {
2576 1443890 : long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
2577 1443890 : p = gel(x,1); ep = expi(p);
2578 1443890 : q = gel(x,2); eq = expi(q);
2579 1443890 : if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
2580 14637 : e = ep - eq;
2581 14637 : if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
2582 : }
2583 39253 : if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPREC64; b += BITS_IN_LONG; }
2584 39253 : z = cgetr(prec); av = avma;
2585 39252 : if (e > 0)
2586 : { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
2587 2478 : long v = minss(e, vali(p));
2588 2478 : if (v) p = shifti(p, -v);
2589 2478 : if (e - v) q = shifti(q, e - v);
2590 : }
2591 39252 : s = signe(p);
2592 39252 : if (s < 0) p = negi(p);
2593 39254 : ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e, x / 2^e < 2 */
2594 39256 : nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
2595 39257 : abpq_init(&S, nmax);
2596 39296 : S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
2597 3368827 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
2598 : {
2599 3329581 : S.a[n] = gen_1;
2600 3329581 : S.b[n] = gen_1;
2601 3329581 : S.p[n] = p;
2602 3329581 : S.q[n] = muliu(q, n);
2603 : }
2604 39246 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
2605 39257 : if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
2606 39257 : if (e > 0)
2607 : {
2608 17136 : q = z; while (e--) q = sqrr(q);
2609 2478 : if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
2610 : }
2611 39257 : return gc_const(av,z);
2612 : }
2613 :
2614 : GEN
2615 18583257 : gexp(GEN x, long prec)
2616 : {
2617 18583257 : switch(typ(x))
2618 : {
2619 1468575 : case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
2620 11075593 : case t_REAL: return mpexp(x);
2621 4688971 : case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
2622 70 : case t_PADIC: return Qp_exp(x);
2623 1350048 : default:
2624 : {
2625 1350048 : pari_sp av = avma;
2626 : GEN y;
2627 1350048 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2628 66563 : return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
2629 : }
2630 : }
2631 1284130 : return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
2632 : }
2633 :
2634 : /********************************************************************/
2635 : /** **/
2636 : /** AGM(X, Y) **/
2637 : /** **/
2638 : /********************************************************************/
2639 : static int
2640 15783942 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
2641 : {
2642 15783942 : GEN d = subrr(b, a);
2643 15783916 : return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
2644 : }
2645 : /* assume x > 0 */
2646 : static GEN
2647 1069846 : agm1r_abs(GEN x)
2648 : {
2649 1069846 : long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
2650 1069846 : GEN a1, b1, y = cgetr(l);
2651 1069846 : pari_sp av = avma;
2652 :
2653 1069846 : a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
2654 1069846 : b1 = sqrtr_abs(x);
2655 15783969 : while (agmr_gap(a1,b1,L))
2656 : {
2657 14714123 : GEN a = a1;
2658 14714123 : a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
2659 14714194 : b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
2660 : }
2661 1069793 : affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
2662 : }
2663 :
2664 : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
2665 :
2666 : static void
2667 365851 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
2668 : {
2669 365851 : long l = precision(x);
2670 365851 : if (l) *prec = l;
2671 365851 : S->L = 1-prec2nbits(*prec);
2672 365851 : S->cnt = 0;
2673 365851 : S->ex = LONG_MAX;
2674 365851 : }
2675 :
2676 : static long
2677 365851 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
2678 : {
2679 365851 : long rotate = 0;
2680 365851 : if (gsigne(real_i(x))<0)
2681 : { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
2682 : * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
2683 11655 : if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1); rotate=-1; }
2684 11137 : else { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
2685 11655 : x = gneg(x);
2686 : }
2687 365851 : *b1 = gsqrt(x, prec);
2688 365851 : return rotate;
2689 : }
2690 : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
2691 : static int
2692 5539414 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
2693 : {
2694 5539414 : GEN d = gsub(b, a);
2695 5539414 : long ex = S->ex;
2696 5539414 : S->ex = gexpo(d);
2697 5539414 : if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
2698 : /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
2699 5277748 : if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
2700 : else
2701 208900 : if (S->cnt++) return 0;
2702 5173563 : return 1;
2703 : }
2704 : static GEN
2705 337102 : agm1cx(GEN x, long prec)
2706 : {
2707 : struct agmcx_gap_t S;
2708 : GEN a1, b1;
2709 337102 : pari_sp av = avma;
2710 : long rotate;
2711 337102 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2712 337102 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2713 337102 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2714 5357399 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2715 : {
2716 5020297 : GEN a = a1;
2717 5020297 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2718 5020297 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2719 : }
2720 337102 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2721 337102 : return gerepilecopy(av,a1);
2722 : }
2723 :
2724 : GEN
2725 28749 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
2726 : {
2727 : struct agmcx_gap_t S;
2728 28749 : pari_sp av = avma;
2729 28749 : GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
2730 : long rotate;
2731 28749 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2732 28749 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2733 28749 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
2734 28749 : t = gmul(r, t);
2735 28749 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2736 182015 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2737 : {
2738 153266 : GEN a = a1, b = b1;
2739 153266 : a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
2740 153266 : b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
2741 153266 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
2742 153266 : t = gmul(r, t);
2743 : }
2744 28749 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2745 28749 : a1 = gmul(a1, b0);
2746 28749 : t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
2747 : /* send t to the fundamental domain if necessary */
2748 28749 : if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
2749 28749 : return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
2750 : }
2751 :
2752 : static long
2753 49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
2754 : {
2755 49 : long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valser(B) - valser(A);
2756 49 : long i, la = lg(A), v = varn(B);
2757 9849 : for (i = 2; i < la; i++)
2758 : {
2759 9800 : GEN a = gel(A,i), b;
2760 : long ei;
2761 9800 : if (isexactzero(a)) continue;
2762 9800 : b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
2763 9800 : ei = gexpo(a);
2764 9800 : if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
2765 9800 : e = maxss(e, ei);
2766 : }
2767 49 : return e;
2768 : }
2769 :
2770 : static GEN
2771 21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
2772 : {
2773 21 : GEN a1 = y, b1 = gen_1;
2774 21 : long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
2775 : for(;;)
2776 84 : {
2777 105 : GEN a = a1, p1;
2778 105 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2779 105 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2780 105 : p1 = gsub(b1,a1);
2781 105 : if (isinexactreal(p1))
2782 : {
2783 49 : long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
2784 49 : if (e < l2 || e >= eold) break;
2785 42 : eold = e;
2786 : }
2787 56 : else if (valser(p1)-valser(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
2788 : }
2789 21 : return a1;
2790 : }
2791 :
2792 : /* agm(1,x) */
2793 : static GEN
2794 111832 : agm1(GEN x, long prec)
2795 : {
2796 : GEN y;
2797 : pari_sp av;
2798 :
2799 111832 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2800 111832 : switch(typ(x))
2801 : {
2802 28 : case t_INT:
2803 28 : if (!is_pm1(x)) break;
2804 21 : return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
2805 :
2806 74508 : case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
2807 :
2808 37156 : case t_COMPLEX:
2809 37156 : if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
2810 37121 : return agm1cx(x, prec);
2811 :
2812 14 : case t_PADIC:
2813 : {
2814 14 : GEN a1 = x, b1 = gen_1;
2815 14 : long l = precp(x);
2816 14 : av = avma;
2817 : for(;;)
2818 14 : {
2819 28 : GEN a = a1, p1;
2820 : long ep;
2821 28 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2822 28 : a = gmul(a,b1);
2823 28 : b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
2824 21 : p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
2825 21 : if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
2826 21 : if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
2827 : }
2828 : }
2829 :
2830 126 : default:
2831 126 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2832 21 : return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
2833 : }
2834 112 : return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
2835 : }
2836 :
2837 : GEN
2838 111650 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
2839 : {
2840 : pari_sp av;
2841 111650 : if (is_matvec_t(typ(y)))
2842 : {
2843 14 : if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
2844 7 : swap(x, y);
2845 : }
2846 111643 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2847 111643 : av = avma;
2848 111643 : return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
2849 : }
2850 :
2851 : /* b2 != 0 */
2852 : static GEN
2853 35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
2854 35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
2855 : GEN
2856 28 : ellK(GEN k, long prec)
2857 : {
2858 28 : pari_sp av = avma;
2859 28 : GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
2860 28 : if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
2861 21 : return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
2862 : }
2863 :
2864 : static int
2865 84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
2866 : {
2867 84 : GEN d = gsub(b, a);
2868 84 : return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
2869 : }
2870 :
2871 : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
2872 : * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
2873 : * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
2874 : static GEN
2875 14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
2876 : {
2877 14 : long L = -prec2nbits(prec) + 16;
2878 14 : GEN c = gen_0;
2879 84 : while (magm_gap(a, b, L))
2880 : {
2881 70 : GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
2882 70 : a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
2883 70 : b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
2884 : }
2885 14 : return gmul2n(gadd(a, b), -1);
2886 : }
2887 :
2888 : GEN
2889 21 : ellE(GEN k, long prec)
2890 : {
2891 21 : pari_sp av = avma;
2892 21 : GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
2893 21 : if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
2894 14 : return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
2895 : }
2896 :
2897 : /********************************************************************/
2898 : /** **/
2899 : /** LOG(X) **/
2900 : /** **/
2901 : /********************************************************************/
2902 : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
2903 : * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
2904 : * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
2905 : static GEN
2906 42020 : log2_split(long prec)
2907 : {
2908 42020 : GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
2909 42012 : GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
2910 42017 : GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
2911 42023 : shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
2912 42025 : shiftr_inplace(w, 3);
2913 42024 : return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
2914 : }
2915 : GEN
2916 28787490 : constlog2(long prec)
2917 : {
2918 : pari_sp av;
2919 : GEN tmp;
2920 28787490 : if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
2921 :
2922 41923 : tmp = cgetr_block(prec);
2923 42021 : av = avma;
2924 42021 : affrr(log2_split(prec+EXTRAPREC64), tmp);
2925 42023 : swap_clone(&glog2,tmp);
2926 42024 : return gc_const(av,glog2);
2927 : }
2928 :
2929 : GEN
2930 28787478 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
2931 :
2932 : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
2933 : static GEN
2934 995378 : logagmr_abs(GEN q)
2935 : {
2936 995378 : long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
2937 995378 : GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
2938 995376 : pari_sp av = avma;
2939 :
2940 995376 : incrprec(prec);
2941 995376 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
2942 995376 : Q = rtor(q,prec);
2943 995377 : shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
2944 :
2945 995377 : _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
2946 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
2947 995380 : y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
2948 995381 : y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
2949 995381 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
2950 : }
2951 :
2952 : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
2953 : static GEN
2954 11896803 : logr_aux(GEN y)
2955 : {
2956 11896803 : long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
2957 : /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
2958 : * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
2959 : * 2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
2960 : * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
2961 : * n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
2962 11896803 : double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
2963 11896752 : k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
2964 11896697 : k |= 1;
2965 11896697 : if (k >= 3)
2966 : {
2967 11864549 : GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
2968 11864840 : pari_sp av = avma;
2969 11864840 : long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
2970 11864895 : setprec(S, l1);
2971 11864859 : setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
2972 213825745 : for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
2973 : { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
2974 213825745 : setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
2975 213944408 : if (k == 1) break;
2976 :
2977 202079477 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s + incs, &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2978 202066090 : if (l1>L) l1=L;
2979 202066090 : setprec(S, l1);
2980 202057261 : setprec(unr,l1);
2981 202037296 : affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
2982 : }
2983 : /* k = 1 special-cased for eficiency */
2984 11864931 : y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
2985 : }
2986 11897088 : return y;
2987 : }
2988 : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
2989 : GEN
2990 13712758 : logr_abs(GEN X)
2991 : {
2992 13712758 : long EX, L, m, k, a, b, l = lg(X), p = realprec(X);
2993 : GEN z, x, y;
2994 : ulong u;
2995 : double d;
2996 :
2997 : /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
2998 : * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
2999 : * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
3000 : * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
3001 13712758 : EX = expo(X);
3002 13712758 : u = uel(X,2);
3003 13712758 : k = 2;
3004 13712758 : if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
3005 7756032 : EX++; u = ~u;
3006 7868999 : while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
3007 : } else { /* choose x - 1 */
3008 5956726 : u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
3009 7321575 : while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
3010 : }
3011 13712758 : if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(p)): real_0(p);
3012 12892298 : a = bit_accuracy(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
3013 12892382 : L = p+EXTRAPRECWORD;
3014 12892382 : b = prec2nbits(L - (bit_accuracy(k))); /* take loss of accuracy into account */
3015 12892365 : if (b > 24*a*log2(prec2lg(L)) && p > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
3016 :
3017 11897061 : z = cgetr(EX? p: p - bit_accuracy(k));
3018 :
3019 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3020 : * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
3021 : * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
3022 : * m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
3023 : * bit operations with |x-1| < 2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
3024 : * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
3025 : * increments of BITS_IN_LONG), so
3026 : * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
3027 : * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
3028 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
3029 : * m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b - a )
3030 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
3031 : * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
3032 : * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
3033 11897064 : d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
3034 :
3035 11897064 : if (m > b-a) m = b-a;
3036 11897064 : if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
3037 11897052 : x = rtor(X,L);
3038 11897051 : setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
3039 : /* 2/3 < x < 4/3 */
3040 70112161 : for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
3041 :
3042 11896923 : y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
3043 11896788 : y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
3044 11897016 : shiftr_inplace(y, m + 1);
3045 11896947 : if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(p+EXTRAPRECWORD)));
3046 11896655 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
3047 : }
3048 :
3049 : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
3050 : * prec [disregard input accuracy] */
3051 : GEN
3052 299939 : logagmcx(GEN q, long prec)
3053 : {
3054 299939 : GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
3055 : long lim, e, ea, eb;
3056 299939 : pari_sp av = avma;
3057 299939 : int neg = 0;
3058 :
3059 299939 : incrprec(prec);
3060 299939 : if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
3061 299939 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
3062 299939 : Q = gtofp(q, prec);
3063 299939 : a = gel(Q,1);
3064 299939 : b = gel(Q,2);
3065 299939 : if (gequal0(a)) {
3066 0 : affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
3067 0 : y = Pi2n(-1, prec);
3068 0 : if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
3069 0 : affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3070 : }
3071 299939 : ea = expo(a);
3072 299939 : eb = expo(b);
3073 299939 : e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
3074 299939 : shiftr_inplace(a, e);
3075 299939 : shiftr_inplace(b, e);
3076 :
3077 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
3078 299939 : y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
3079 299939 : a = gel(y,1);
3080 299939 : b = gel(y,2);
3081 299939 : a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
3082 299939 : if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
3083 418458 : if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
3084 118519 : : gsub(b, mppi(prec));
3085 299939 : affrr_fixlg(a, gel(z,1));
3086 299939 : affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3087 : }
3088 :
3089 : GEN
3090 203735 : mplog(GEN x)
3091 : {
3092 203735 : if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
3093 203735 : return logr_abs(x);
3094 : }
3095 :
3096 : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
3097 : * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
3098 : * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
3099 : GEN
3100 10814 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
3101 : {
3102 : GEN q, z, p1;
3103 : pari_sp av;
3104 : ulong mask;
3105 10814 : if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
3106 10135 : if (e == 1) return icopy(x);
3107 10135 : av = avma;
3108 10135 : p1 = subiu(p, 1);
3109 10135 : mask = quadratic_prec_mask(e);
3110 10135 : q = p; z = remii(x, p);
3111 35504 : while (mask > 1)
3112 : { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
3113 25368 : GEN w, t, qold = q;
3114 25368 : if (mask <= 3) /* last iteration */
3115 10136 : q = pe;
3116 : else
3117 : {
3118 15232 : q = sqri(q);
3119 15232 : if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
3120 : }
3121 25367 : mask >>= 1;
3122 : /* q <= qold^2 */
3123 25367 : if (lgefint(q) == 3)
3124 : {
3125 24381 : ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
3126 24381 : ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
3127 24381 : ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
3128 24382 : Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
3129 24382 : z = utoi(Z);
3130 : }
3131 : else
3132 : {
3133 986 : w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
3134 986 : t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
3135 986 : z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
3136 : }
3137 : }
3138 10136 : return gerepileuptoint(av, z);
3139 : }
3140 :
3141 : GEN
3142 1225 : teichmullerinit(long p, long n)
3143 : {
3144 : GEN t, pn, g, v;
3145 : ulong gp, tp;
3146 : long a, m;
3147 :
3148 1225 : if (p == 2) return mkvec(gen_1);
3149 1225 : if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
3150 :
3151 1225 : m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
3152 1225 : tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
3153 1225 : pn = powuu(p, n);
3154 1225 : v = cgetg(p, t_VEC);
3155 1225 : t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
3156 1225 : gel(v, 1) = gen_1;
3157 1225 : gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
3158 3031 : for (a = 1; a < m; a++)
3159 : {
3160 1806 : gel(v, tp) = t;
3161 1806 : gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
3162 1806 : if (a < m-1)
3163 : {
3164 1029 : t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
3165 1029 : tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p */
3166 : }
3167 : }
3168 1225 : return v;
3169 : }
3170 :
3171 : /* tab from teichmullerinit or NULL */
3172 : GEN
3173 5802 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
3174 : {
3175 : GEN p, q, y, z;
3176 5802 : long n, tx = typ(x);
3177 :
3178 5802 : if (!tab)
3179 : {
3180 5690 : if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
3181 : {
3182 7 : p = gel(x,1);
3183 7 : q = gel(x,2);
3184 7 : if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
3185 7 : return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
3186 : }
3187 : }
3188 112 : else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3189 5795 : if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
3190 5795 : z = gel(x,4);
3191 5795 : if (!signe(z)) return gcopy(x);
3192 5795 : p = gel(x,2);
3193 5795 : q = gel(x,3);
3194 5795 : n = precp(x);
3195 5795 : y = cgetg(5,t_PADIC);
3196 5795 : y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
3197 5795 : gel(y,2) = icopy(p);
3198 5795 : gel(y,3) = icopy(q);
3199 5795 : if (tab)
3200 : {
3201 112 : ulong pp = itou_or_0(p);
3202 112 : if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3203 112 : z = gel(tab, umodiu(z, pp));
3204 112 : if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3205 112 : z = remii(z, q);
3206 : }
3207 : else
3208 5683 : z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
3209 5796 : gel(y,4) = z;
3210 5796 : return y;
3211 : }
3212 : GEN
3213 5564 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
3214 :
3215 : GEN
3216 17887559 : glog(GEN x, long prec)
3217 : {
3218 : pari_sp av, tetpil;
3219 : GEN y, p1;
3220 : long l;
3221 :
3222 17887559 : switch(typ(x))
3223 : {
3224 10303315 : case t_REAL:
3225 10303315 : if (signe(x) >= 0)
3226 : {
3227 8637180 : if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3228 8637173 : return logr_abs(x);
3229 : }
3230 1666135 : retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
3231 :
3232 517105 : case t_FRAC:
3233 : {
3234 : GEN a, b;
3235 : long e1, e2;
3236 517105 : av = avma;
3237 517105 : a = gel(x,1);
3238 517105 : b = gel(x,2);
3239 517105 : e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
3240 517103 : if (e2 > e1) prec += nbits2extraprec(e2 - e1);
3241 517103 : x = fractor(x, prec);
3242 517104 : return gerepileupto(av, glog(x, prec));
3243 : }
3244 4733988 : case t_COMPLEX:
3245 4733988 : if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
3246 4723970 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3247 4723995 : if (ismpzero(gel(x,1)))
3248 : {
3249 70421 : GEN a = gel(x,2), b;
3250 70421 : av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
3251 70420 : if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
3252 70420 : a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
3253 70418 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
3254 : }
3255 4653583 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
3256 4353828 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
3257 4353829 : gel(y,2) = garg(x,prec);
3258 4353809 : av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
3259 4353815 : gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
3260 :
3261 322 : case t_PADIC: return Qp_log(x);
3262 2332829 : default:
3263 2332829 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3264 140 : if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3265 140 : if (valser(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
3266 133 : p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
3267 133 : if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
3268 133 : return gerepileupto(av, p1);
3269 : }
3270 2333009 : return trans_eval("log",glog,x,prec);
3271 : }
3272 :
3273 : static GEN
3274 63 : mplog1p(GEN x)
3275 : {
3276 : long ex, a, b, l, L;
3277 63 : if (!signe(x)) return rcopy(x);
3278 63 : ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
3279 42 : a = -ex;
3280 42 : b = realprec(x); L = b+1;
3281 42 : if (b > a*log2(L) && b > LOGAGM_LIMIT)
3282 : {
3283 0 : x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
3284 0 : if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
3285 0 : return logagmr_abs(x);
3286 : }
3287 42 : x = rtor(x, L);
3288 42 : x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
3289 42 : if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
3290 42 : shiftr_inplace(x,1); return x;
3291 : }
3292 :
3293 : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
3294 : static GEN
3295 14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
3296 : {
3297 : pari_sp av;
3298 14 : GEN z, a, b = gel(x,2);
3299 : long l;
3300 14 : if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
3301 14 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3302 14 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
3303 14 : a = gel(x,1);
3304 14 : z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
3305 14 : a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
3306 14 : a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
3307 14 : gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
3308 14 : gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
3309 : }
3310 : static GEN
3311 133 : log1p_i(GEN x, long prec)
3312 : {
3313 133 : switch(typ(x))
3314 : {
3315 63 : case t_REAL: return mplog1p(x);
3316 14 : case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
3317 7 : case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
3318 49 : default:
3319 : {
3320 : long ey;
3321 : GEN y;
3322 49 : if (!(y = toser_i(x))) break;
3323 21 : ey = valser(y);
3324 21 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
3325 21 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
3326 14 : if (ey)
3327 7 : return glog(gaddgs(y,1),prec);
3328 : else
3329 : {
3330 7 : GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
3331 7 : y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
3332 7 : return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
3333 : }
3334 : }
3335 : }
3336 28 : return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
3337 : }
3338 : GEN
3339 119 : glog1p(GEN x, long prec)
3340 : {
3341 119 : pari_sp av = avma;
3342 119 : return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
3343 : }
3344 : /********************************************************************/
3345 : /** **/
3346 : /** SINE, COSINE **/
3347 : /** **/
3348 : /********************************************************************/
3349 :
3350 : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
3351 : static GEN
3352 17425144 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
3353 : {
3354 17425144 : long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
3355 : GEN y, u, x2;
3356 : double d;
3357 :
3358 17425144 : n = 0;
3359 17425144 : if (a >= 0)
3360 : {
3361 : long p;
3362 : GEN q;
3363 10197715 : if (a > 30)
3364 : {
3365 684652 : GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
3366 684652 : z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
3367 684652 : if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
3368 684652 : shiftr_inplace(P, 1);
3369 684652 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
3370 684652 : p = l+EXTRAPREC64; x = rtor(x,p);
3371 : } else {
3372 9513063 : q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
3373 9513064 : p = l;
3374 : }
3375 10201873 : if (signe(q))
3376 : {
3377 10197716 : GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
3378 10197607 : long b = expo(y);
3379 10197607 : if (a - b < 7) x = y;
3380 : else
3381 : {
3382 6116562 : p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
3383 6116573 : x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
3384 : }
3385 10197587 : a = b;
3386 10197587 : if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
3387 10197587 : n = Mod4(q);
3388 : }
3389 : }
3390 : /* a < 0 */
3391 17429136 : b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
3392 17429136 : if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
3393 :
3394 17429136 : b = prec2nbits(l);
3395 17424424 : if (b + 2*a <= 0) {
3396 1385209 : y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
3397 1385209 : return y;
3398 : }
3399 :
3400 16039215 : y = cgetr(l);
3401 16041107 : B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
3402 16041107 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
3403 16041107 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
3404 16041107 : L = l + nbits2extraprec(m);
3405 :
3406 16040920 : b += m;
3407 16040920 : d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
3408 16040941 : n = (long)(b / d);
3409 16040941 : if (n > 1)
3410 15983004 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
3411 34557174 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
3412 :
3413 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3414 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
3415 : * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
3416 : * m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
3417 : * ~ (b/2e) b^2 / 3 + m b^2
3418 : * bit operations with n ~ b/2e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
3419 : * b bits of accuracy needed, so
3420 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
3421 : * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
3422 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6), b/2 + a )
3423 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
3424 : *
3425 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
3426 : * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
3427 : * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
3428 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
3429 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
3430 : * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b */
3431 16040941 : x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
3432 16042518 : x2 = sqrr(x);
3433 16044098 : if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
3434 : else
3435 : {
3436 16044098 : GEN un = real_1(L);
3437 : pari_sp av;
3438 16042414 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
3439 :
3440 16042366 : u = cgetr(L); av = avma;
3441 240136485 : for (i = n; i >= 2; i--)
3442 : {
3443 : GEN t;
3444 224098803 : setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
3445 224678758 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(t), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
3446 224547261 : if (l1 > L) l1 = L;
3447 224547261 : if (i != n) t = mulrr(t,u);
3448 224913528 : setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
3449 224341092 : setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
3450 : }
3451 16037682 : shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
3452 16040391 : setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
3453 : }
3454 : /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
3455 143116848 : for (i = 1; i <= m; i++)
3456 : { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
3457 127109295 : GEN q = sqrr(u);
3458 127328127 : shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
3459 127164582 : shiftr_inplace(u, 1);
3460 127076244 : if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
3461 : }
3462 16007553 : affrr_fixlg(u, y); return y;
3463 : }
3464 :
3465 : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
3466 : static GEN
3467 15721594 : mpaut(GEN x)
3468 : {
3469 15721594 : GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
3470 15728943 : if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
3471 15728943 : return sqrtr_abs(t);
3472 : }
3473 :
3474 : /********************************************************************/
3475 : /** COSINE **/
3476 : /********************************************************************/
3477 :
3478 : GEN
3479 2745074 : mpcos(GEN x)
3480 : {
3481 : long mod8;
3482 : pari_sp av;
3483 : GEN y, z;
3484 :
3485 2745074 : if (!signe(x)) {
3486 75 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3487 75 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3488 75 : return real_1(l);
3489 : }
3490 2744999 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3491 2744976 : switch(mod8)
3492 : {
3493 760058 : case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
3494 688608 : case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3495 682286 : case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
3496 614024 : default: y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
3497 : }
3498 2745012 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3499 : }
3500 :
3501 : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
3502 : * cancellation */
3503 : static GEN
3504 13253 : tofp_safe(GEN x, long prec)
3505 : {
3506 13253 : return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
3507 26493 : : fractor(x, prec);
3508 : }
3509 :
3510 : GEN
3511 154868 : gcos(GEN x, long prec)
3512 : {
3513 : pari_sp av;
3514 : GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
3515 : long i;
3516 :
3517 154868 : switch(typ(x))
3518 : {
3519 153586 : case t_REAL: return mpcos(x);
3520 42 : case t_COMPLEX:
3521 42 : a = gel(x,1);
3522 42 : b = gel(x,2);
3523 42 : if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
3524 28 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3525 28 : y = cgetc(prec); av = avma;
3526 28 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3527 28 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
3528 28 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3529 28 : mpsincos(a, &u, &v);
3530 28 : affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
3531 28 : affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3532 :
3533 1156 : case t_INT: case t_FRAC:
3534 1156 : y = cgetr(prec); av = avma;
3535 1156 : affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3536 :
3537 49 : case t_PADIC: y = cos_p(x);
3538 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3539 42 : return y;
3540 :
3541 35 : default:
3542 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3543 28 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3544 28 : if (valser(y) < 0)
3545 7 : pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
3546 21 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3547 21 : return gerepilecopy(av,v);
3548 : }
3549 7 : return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
3550 : }
3551 : /********************************************************************/
3552 : /** SINE **/
3553 : /********************************************************************/
3554 :
3555 : GEN
3556 834946 : mpsin(GEN x)
3557 : {
3558 : long mod8;
3559 : pari_sp av;
3560 : GEN y, z;
3561 :
3562 834946 : if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
3563 834737 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3564 834726 : switch(mod8)
3565 : {
3566 311654 : case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
3567 131323 : case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
3568 264276 : case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3569 127473 : default: y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
3570 : }
3571 834752 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3572 : }
3573 :
3574 : GEN
3575 1252120 : gsin(GEN x, long prec)
3576 : {
3577 : pari_sp av;
3578 : GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
3579 : long i;
3580 :
3581 1252120 : switch(typ(x))
3582 : {
3583 829763 : case t_REAL: return mpsin(x);
3584 416959 : case t_COMPLEX:
3585 416959 : a = gel(x,1);
3586 416959 : b = gel(x,2);
3587 416959 : if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
3588 410974 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3589 410974 : y = cgetc(prec); av = avma;
3590 410974 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3591 410974 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
3592 410974 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3593 410974 : mpsincos(a, &u, &v);
3594 410974 : affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
3595 410974 : affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3596 :
3597 5118 : case t_INT: case t_FRAC:
3598 5118 : y = cgetr(prec); av = avma;
3599 5118 : affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3600 :
3601 49 : case t_PADIC: y = sin_p(x);
3602 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3603 42 : return y;
3604 :
3605 231 : default:
3606 231 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3607 224 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3608 224 : if (valser(y) < 0)
3609 7 : pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
3610 217 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3611 217 : return gerepilecopy(av,u);
3612 : }
3613 7 : return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
3614 : }
3615 : /********************************************************************/
3616 : /** SINE, COSINE together **/
3617 : /********************************************************************/
3618 :
3619 : void
3620 13829559 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3621 : {
3622 : long mod8;
3623 : pari_sp av, tetpil;
3624 : GEN z, *gptr[2];
3625 :
3626 13829559 : if (!signe(x))
3627 : {
3628 4043 : long e = expo(x);
3629 4043 : *s = real_0_bit(e);
3630 4043 : *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
3631 4043 : return;
3632 : }
3633 :
3634 13825516 : av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
3635 13828795 : switch(mod8)
3636 : {
3637 4453946 : case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
3638 687189 : case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3639 1043956 : case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3640 647099 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
3641 3749822 : case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3642 677668 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
3643 1892989 : case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
3644 678636 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3645 : }
3646 13827940 : gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3647 : }
3648 :
3649 : /* SINE and COSINE - 1 */
3650 : void
3651 20130 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3652 : {
3653 : long mod8;
3654 : pari_sp av, tetpil;
3655 : GEN z, *gptr[2];
3656 :
3657 20130 : if (!signe(x))
3658 : {
3659 0 : long e = expo(x);
3660 0 : *s = real_0_bit(e);
3661 0 : *c = real_0_bit(2*e-1);
3662 0 : return;
3663 : }
3664 20130 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
3665 20130 : switch(mod8)
3666 : {
3667 6912 : case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
3668 1844 : case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
3669 1591 : case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3670 1881 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3671 2295 : case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3672 2062 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3673 1650 : case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
3674 1895 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
3675 : }
3676 20130 : gptr[0] = s; gptr[1] = c;
3677 20130 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3678 : }
3679 :
3680 : /* return exp(ix), x a t_REAL */
3681 : GEN
3682 881636 : expIr(GEN x)
3683 : {
3684 881636 : pari_sp av = avma;
3685 881636 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3686 881637 : mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3687 881638 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3688 878935 : return v;
3689 : }
3690 :
3691 : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
3692 : static GEN
3693 20130 : expm1_Ir(GEN x)
3694 : {
3695 20130 : pari_sp av = avma;
3696 20130 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3697 20130 : mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3698 20130 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3699 20130 : return v;
3700 : }
3701 :
3702 : /* return exp(z)-1, z complex */
3703 : GEN
3704 20186 : cxexpm1(GEN z, long prec)
3705 : {
3706 20186 : pari_sp av = avma;
3707 20186 : GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
3708 20186 : long l = precision(z);
3709 20186 : if (l) prec = l;
3710 20186 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
3711 20186 : if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
3712 20186 : if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
3713 20130 : if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
3714 19997 : X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
3715 19997 : Y = expm1_Ir(y);
3716 : /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
3717 19997 : return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
3718 : }
3719 :
3720 : void
3721 4698390 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
3722 : {
3723 : long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
3724 : pari_sp av, tetpil;
3725 : GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
3726 : GEN *gptr[4];
3727 :
3728 4698390 : switch(typ(x))
3729 : {
3730 6949 : case t_INT: case t_FRAC:
3731 6949 : *s = cgetr(prec);
3732 6949 : *c = cgetr(prec); av = avma;
3733 6944 : mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
3734 6955 : affrr_fixlg(ps,*s);
3735 4698613 : affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
3736 :
3737 4686810 : case t_REAL:
3738 4686810 : mpsincos(x,s,c); return;
3739 :
3740 4130 : case t_COMPLEX:
3741 4130 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3742 4130 : ps = cgetc(prec); *s = ps;
3743 4130 : pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
3744 4130 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3745 4130 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3746 4130 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3747 4130 : gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
3748 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
3749 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
3750 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
3751 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
3752 4130 : set_avma(av); return;
3753 :
3754 0 : case t_QUAD:
3755 0 : av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
3756 0 : gerepileall(av, 2, s, c); return;
3757 :
3758 501 : default:
3759 501 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3760 518 : if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
3761 :
3762 518 : ex = valser(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
3763 518 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
3764 518 : if (ex2 > lx)
3765 : {
3766 98 : *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
3767 98 : *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
3768 98 : return;
3769 : }
3770 420 : if (!ex)
3771 : {
3772 105 : gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
3773 105 : gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
3774 105 : p1 = gmul(v1,v);
3775 105 : p2 = gmul(u1,u);
3776 105 : p3 = gmul(v1,u);
3777 105 : p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
3778 105 : *c = gsub(p1,p2);
3779 105 : *s = gadd(p3,p4);
3780 105 : gptr[0]=s; gptr[1]=c;
3781 105 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3782 105 : return;
3783 : }
3784 :
3785 315 : ly = lx+2*ex;
3786 3066 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
3787 315 : mi += ex-2;
3788 315 : pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
3789 315 : ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
3790 315 : pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(y));
3791 315 : gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
3792 637 : for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
3793 644 : for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
3794 3577 : for (i=ex2; i<ly; i++)
3795 : {
3796 3262 : long ii = i-ex;
3797 3262 : av = avma; p1 = gen_0;
3798 7476 : for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
3799 4214 : p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
3800 3262 : gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
3801 3262 : if (ii < lx)
3802 : {
3803 2940 : av = avma; p1 = gen_0;
3804 6202 : for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
3805 3262 : p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
3806 2940 : p1 = gdivgu(p1,i-2);
3807 2940 : gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
3808 : }
3809 : }
3810 315 : return;
3811 : }
3812 0 : pari_err_TYPE("gsincos",x);
3813 : }
3814 :
3815 : /********************************************************************/
3816 : /** **/
3817 : /** SINC **/
3818 : /** **/
3819 : /********************************************************************/
3820 : static GEN
3821 2319450 : mpsinc(GEN x)
3822 : {
3823 2319450 : pari_sp av = avma;
3824 : GEN s, c;
3825 :
3826 2319450 : if (!signe(x)) {
3827 0 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3828 0 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3829 0 : return real_1(l);
3830 : }
3831 :
3832 2319450 : mpsincos(x,&s,&c);
3833 2319450 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
3834 : }
3835 :
3836 : GEN
3837 2319562 : gsinc(GEN x, long prec)
3838 : {
3839 : pari_sp av;
3840 : GEN r, u, v, y, u1, v1;
3841 : long i;
3842 :
3843 2319562 : switch(typ(x))
3844 : {
3845 2319429 : case t_REAL: return mpsinc(x);
3846 49 : case t_COMPLEX:
3847 49 : if (isintzero(gel(x,1)))
3848 : {
3849 28 : av = avma; x = gel(x,2);
3850 28 : if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
3851 14 : return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
3852 : }
3853 21 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3854 21 : y = cgetc(prec); av = avma;
3855 21 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3856 21 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3857 21 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3858 21 : gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
3859 21 : affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
3860 21 : return gc_const(av,y);
3861 :
3862 14 : case t_INT:
3863 14 : if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
3864 : case t_FRAC:
3865 21 : y = cgetr(prec); av = avma;
3866 21 : affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3867 :
3868 21 : case t_PADIC:
3869 21 : if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
3870 14 : av = avma; y = sin_p(x);
3871 14 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3872 7 : return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
3873 :
3874 35 : default:
3875 : {
3876 : long ex;
3877 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3878 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3879 35 : ex = valser(y);
3880 35 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
3881 28 : if (ex)
3882 : {
3883 28 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3884 28 : y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
3885 28 : if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
3886 28 : return y;
3887 : }
3888 : else
3889 : {
3890 0 : GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
3891 0 : if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
3892 0 : gsincos(y1,&u,&v,prec);
3893 0 : z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
3894 0 : y = gaddsg(1, y10);
3895 0 : u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
3896 0 : return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
3897 : }
3898 : }
3899 : }
3900 0 : return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
3901 : }
3902 :
3903 : /********************************************************************/
3904 : /** **/
3905 : /** TANGENT and COTANGENT **/
3906 : /** **/
3907 : /********************************************************************/
3908 : static GEN
3909 133 : mptan(GEN x)
3910 : {
3911 133 : pari_sp av = avma;
3912 : GEN s, c;
3913 :
3914 133 : mpsincos(x,&s,&c);
3915 133 : if (!signe(c))
3916 0 : pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
3917 133 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
3918 : }
3919 :
3920 : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
3921 : static int
3922 4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
3923 : {
3924 4018 : long b, p = precision(ix);
3925 4018 : if (!p) p = prec;
3926 4018 : b = prec2nbits(p);
3927 4018 : return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
3928 : }
3929 : /* \pm I */
3930 : static GEN
3931 35 : real_I(long s, long prec)
3932 : {
3933 35 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3934 35 : gel(z,1) = real_0(prec);
3935 35 : gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
3936 : }
3937 :
3938 : GEN
3939 224 : gtan(GEN x, long prec)
3940 : {
3941 : pari_sp av;
3942 : GEN y, s, c;
3943 :
3944 224 : switch(typ(x))
3945 : {
3946 126 : case t_REAL: return mptan(x);
3947 :
3948 42 : case t_COMPLEX: {
3949 42 : if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
3950 28 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
3951 14 : av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
3952 14 : gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
3953 : }
3954 7 : case t_INT: case t_FRAC:
3955 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
3956 7 : affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3957 :
3958 14 : case t_PADIC:
3959 14 : av = avma;
3960 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
3961 :
3962 35 : default:
3963 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3964 28 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3965 28 : if (valser(y) < 0)
3966 7 : pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
3967 21 : gsincos(y,&s,&c,prec);
3968 21 : return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
3969 : }
3970 7 : return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
3971 : }
3972 :
3973 : static GEN
3974 70 : mpcotan(GEN x)
3975 : {
3976 70 : pari_sp av=avma, tetpil;
3977 : GEN s,c;
3978 :
3979 70 : mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
3980 70 : return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
3981 : }
3982 :
3983 : GEN
3984 4214 : gcotan(GEN x, long prec)
3985 : {
3986 : pari_sp av;
3987 : GEN y, s, c;
3988 :
3989 4214 : switch(typ(x))
3990 : {
3991 63 : case t_REAL:
3992 63 : return mpcotan(x);
3993 :
3994 4011 : case t_COMPLEX:
3995 4011 : if (isintzero(gel(x,1))) {
3996 21 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3997 21 : gel(z,1) = gen_0; av = avma;
3998 21 : gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
3999 21 : return z;
4000 : }
4001 3990 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
4002 3969 : av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
4003 3969 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4004 :
4005 7 : case t_INT: case t_FRAC:
4006 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
4007 7 : affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
4008 :
4009 14 : case t_PADIC:
4010 14 : av = avma;
4011 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
4012 :
4013 119 : default:
4014 119 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
4015 112 : if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
4016 112 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
4017 105 : gsincos(y,&s,&c,prec);
4018 105 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4019 : }
4020 7 : return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
4021 : }
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